“同構(gòu)法”巧解圓錐曲線定點(diǎn)定值子弦問(wèn)題

甘肅省蘭州市第六中學(xué)(730060)焦永垚

1 定點(diǎn)定值子弦的含義

設(shè)點(diǎn)P是圓錐曲線C上的一個(gè)定點(diǎn),PA,PB是C的兩條弦,當(dāng)直線PA,PB的斜率之和(或積)為定值λ時(shí),稱線段AB為圓錐曲線C上定點(diǎn)P的關(guān)于λ的斜率等和(或積)子弦[1].

文獻(xiàn)[2]中筆者介紹了用“借切線法”解圓錐曲線頂點(diǎn)定值子弦問(wèn)題,但此法具有局限性,因?yàn)閷?duì)于一般的圓錐曲線定點(diǎn)定值子弦問(wèn)題,無(wú)法用“借切線法”解決,而此類問(wèn)題又是近年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,如果用常規(guī)方法求解往往計(jì)算量非常大,讓很多考生望而卻步.筆者經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),運(yùn)用“同構(gòu)法”解決圓錐曲線定點(diǎn)定值子弦問(wèn)題,思路新穎,可以簡(jiǎn)化解題步驟,提高解題效率.

2 構(gòu)建模型,初探“同構(gòu)法”

例1已知P,Q為橢圓C:上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A(0,1),直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且求證:直線PQ過(guò)定點(diǎn).

證明由題意可知直線AP,AQ的方程分別為y=k1x+ 1 和y=k2x+ 1,設(shè)直線PQ的方程為mx+ny=1(n±1),則由與橢圓C的方程聯(lián)立,消去x,y得

同理

由①,②可知k1,k2是關(guān)于k的方程3(n+1)k2+6mk-(n-1)=0 的兩個(gè)根,則解得故直線PQ過(guò)定點(diǎn)(0,-3).

眾所周知,解決此類問(wèn)題的常規(guī)方法是先將直線PQ的方程與橢圓方程聯(lián)立,然后進(jìn)行消元,再利用韋達(dá)定理求得兩根的關(guān)系,最后根據(jù)條件所以直線PQ的方程為進(jìn)行轉(zhuǎn)化和計(jì)算.從上述解答可以看出,與常規(guī)方法相比,運(yùn)用“同構(gòu)法”解題,目標(biāo)更為明確,過(guò)程更為簡(jiǎn)捷,學(xué)生容易掌握.

反思(1)將直線PQ的方程設(shè)為“mx+ny=1”,避免了討論其斜率是否存在.又由題設(shè)易知直線PQ不經(jīng)過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)A(0,1)和下頂點(diǎn)(0,-1),故n±1;

(3)從“形”上看,直線AP與AQ具有“對(duì)等”性,因此它們的方程在“數(shù)”上看是“同構(gòu)”的,于是得到方程①便可同理得到方程②;

(4)根據(jù)方程①和②得到關(guān)于k的一元二次方程(k1,k2為它的兩個(gè)根),再由韋達(dá)定理列出斜率之和(或積)的等式求解.

3 “同構(gòu)法”在圓錐曲線定點(diǎn)定值子弦問(wèn)題中的應(yīng)用

例2(2022年新高考Ⅰ卷第21 題)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C:上,直線l交C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ的斜率之和為0.

(1)求l的斜率;

解(1)由點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C上,可得C的方程為設(shè)直線AP,AQ的方程分別為y=k1(x-2)+1 和y=k2(x-2)+1,設(shè)直線PQ的方程為mx+ny=1(2m±n1),則由與聯(lián)立,消去x,y得

同理得

由此可知k1,k2是關(guān)于k的方程

(2)ΔPAQ的面積為(過(guò)程略).

例3(2020年高考山東卷第22 題)已知橢圓C:,且過(guò)點(diǎn)A(2,1).

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

(2)若直線AM,AN的斜率都存在,設(shè)直線AM,AN的方程分別為y=k1(x-2)+1 和y=k2(x-2)+1,設(shè)直線MN的方程為mx+ny=1(2m±n1),則由與橢圓方程聯(lián)立,消去x,y得

同理得

由此可知k1,k2是關(guān)于k的方程

由AD⊥MN可知D在以AE為直徑的圓上,AE的中點(diǎn)即為圓心Q.故存在使得|DQ|=為定值.

評(píng)注以上例2 為斜率等和子弦問(wèn)題,例3 為斜率等積子弦問(wèn)題,若用常規(guī)方法解決,把條件中的k1+k2=0(或k1k2=-1)用韋達(dá)定理中的坐標(biāo)表示,運(yùn)算過(guò)程相當(dāng)繁瑣.而用“同構(gòu)法”解決過(guò)程明顯簡(jiǎn)捷了,大大提高了解題效率.因此,用“同構(gòu)法”解決圓錐曲線定點(diǎn)定值子弦問(wèn)題會(huì)起到事半功倍的效果.

有一類頂點(diǎn)弦問(wèn)題,雖然表面上不是圓錐曲線定點(diǎn)定值子弦問(wèn)題,但可通過(guò)轉(zhuǎn)化構(gòu)造出斜率之積為定值的式子,再用“同構(gòu)法”解決,請(qǐng)看下例:

例4(2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科第20 題)已知A,B分別為橢圓E:的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),P為直線x=6 上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一個(gè)交點(diǎn)為C,PB與E的另一個(gè)交點(diǎn)為D.

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).

解(1).

(2)設(shè)直線AC,AD的斜率分別為k1,k2.由(1)知A(-3,0),B(3,0),設(shè)P(6,t),則所以kBD=3k1.由可得

則k1·.

直線AC,AD的方程分別為y=k1(x+3)和y=k2(x+3).設(shè)直線CD的方程為則由與橢圓方程聯(lián)立,消去x,y得(3m-1)=0,同理得由此可知k1,k2是關(guān)于k的方程

還有一類圓錐曲線問(wèn)題,雖然過(guò)定點(diǎn)的兩條直線的斜率之和(或積)是否為定值沒(méi)有明確給出或無(wú)法像例4 一樣構(gòu)造出來(lái),但也可用“同構(gòu)法”解決,請(qǐng)看下面2022年的兩道高考題:

例5(2022年高考北京卷第19 題)已知橢圓E:的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,1),焦距為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C,直線AB,AC分別與x軸交于點(diǎn)M,N.當(dāng)|MN|=2 時(shí),求k的值.

(2)因?yàn)橹本€AB,AC的斜率都不能為零,故可設(shè)直線AB,AC的方程分別為x=m1(y-1)和x=m2(y-1).直線BC的方程為y-1=k(x+2)(k0),則由可得與聯(lián)立,消去x,y得同理得由此可知m1,m2是關(guān)于m的方程km2-4km+4(k+1)=0 的兩個(gè)根,則由直線AB,AC的方程可得M(-m1,0),N(-m2,0),于是

解得k=-4.

評(píng)注此題中將直線AB,AC的方程設(shè)為x=m1(y-1)和x=m2(y-1)的形式,而非斜截式,成功避免了對(duì)其斜率存在性的討論,從而減少了運(yùn)算量.

例6(2022年高考浙江卷第21 題)如圖1,已知橢圓設(shè)A,B是橢圓上異于P(0,1)的兩點(diǎn),且點(diǎn)在線段AB上,直線PA,PB分別交直線于C,D兩點(diǎn).

圖1

(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值;

(2)求|CD|的最小值.

解(1)點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為.

(2)設(shè)直線PA,PB的方程分別為y=k1x+1 和y=k2x+1,設(shè)直線AB的方程為則由與聯(lián)立,消去x,y得同理可得36nk22+48mk2-n=0,由此可知k1,k2是關(guān)于k的方程36nk2+ 48mk2- n=0 的兩個(gè)根,從而有得,同理可得于是

令t=-3m/n+1,則

結(jié)語(yǔ)圓錐曲線定點(diǎn)定值子弦問(wèn)題的解法靈活多樣,本文介紹的“同構(gòu)法”為學(xué)生提供了一種新的視角,豐富了學(xué)生的解題思路,開(kāi)拓了學(xué)生的解題視野.在用同構(gòu)法解題時(shí),我們須先慧眼看清“形”的“對(duì)等”,進(jìn)而得到“數(shù)”的“同構(gòu)”,這是用同構(gòu)法解題的關(guān)鍵.望讀者在今后解圓錐曲線定點(diǎn)定值子弦問(wèn)題時(shí),不僅可以選擇常規(guī)方法,還可以嘗試選擇同構(gòu)法.