探究一道斜率之積為定值的?？荚囶}

四川省名山中學(625100)高繼浩

一、試題呈現(xiàn)

題目(2022年4 月江西省南昌市高三二模)已知橢圓E:的左、右頂點分別為A(-2,0),B(2,0),點H是直線l:x=1 上的動點,以點H為圓心且過原點的圓與直線l交于M,N兩點.當點H在橢圓E上時,圓H的半徑為.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若直線AM,AN與橢圓E的另一個交點分別為P,Q,記直線PQ,OH的斜率分別為k1,k2,判斷k1k2是否為定值? 若是,求出這個定值;若不是,說明理由.

答案(1);(2).

二、推廣探究

將試題第(2)問進行推廣得到:

性質1已知橢圓E:的左頂點為A,點H是直線l:x=λa(λ0,λ±1)上的動點,以點H為圓心且過原點O的圓與直線l交于M,N兩點,若直線AM,AN與橢圓E的另一個交點分別為P,Q,直線PQ,OH的斜率分別為k1,k2,橢圓E的離心率為e,則

所以

評注若將性質1 中的左頂點改為右頂點,則k1k2=.

由以上可得:

推論1已知橢圓E:的左、右頂點分別為A,B,點H是直線l:x=λa(λ0,λ±1)上的動點,以點H為圓心且過原點的圓與直線l交于M,N兩點,若直線AM,AN與橢圓E的另一個交點分別為P,Q,直線BM,BN與橢圓E的另一個交點分別為S,T,直線PQ,ST的斜率分別為k1,k2,橢圓E的離心率為e,則.

從橢圓的下、上頂點出發(fā),得到:

推論2已知橢圓E:的下頂點為A,點H是直線l:y=λb(λ0,λ±1)上的動點,以點H為圓心且過原點O的圓與直線l交于M,N兩點,若直線AM,AN與橢圓E的另一個交點分別為P,Q,直線PQ,OH的斜率分別為k1,k2,橢圓E的離心率為e,則.

推論3已知橢圓E:的下、上頂點分別為A,B,點H是直線l:y=λb(λ0,λ±1)上的動點,以點H為圓心且過原點的圓與直線l交于M,N兩點,若直線AM,AN與橢圓E的另一個交點分別為P,Q,直線BM,BN與橢圓E的另一個交點分別為S,T,直線PQ,ST的斜率分別為k1,k2,橢圓E的離心率為e,則.

三、類比探究

將性質1 類比到雙曲線中,得到:

性質2已知雙曲線E:的左頂點為A,點H是直線l:x=λa(λ0,λ±1)上的動點,以點H為圓心且過原點O的圓與直線l交于M,N兩點,若直線AM,AN與雙曲線E的另一個交點分別為P,Q,直線PQ,OH的斜率分別為k1,k2,雙曲線E的離心率為e,則.

推論4已知雙曲線E:的左、右頂點分別為A,B,點H是直線l:x=λa(λ0,λ±1)上的動點,以點H為圓心且過原點的圓與直線l交于M,N兩點,若直線AM,AN與雙曲線E的另一個交點分別為P,Q,直線BM,BN與雙曲線E的另一個交點分別為S,T,直線PQ,ST的斜率分別為k1,k2(k20),雙曲線E的離心率為e,則.

對拋物線進行探究,得到:

性質3已知拋物線E:y2=2px(p>0)和直線l:x=λ(λ0),點H是直線l上的動點,以點H為圓心且過原點O的圓與直線l交于M,N兩點,若直線OM,ON與拋物線E的另一個交點分別為P,Q,直線PQ,OH的斜率分別為k1,k2,則.

證明如圖2,設直線OM,ON的方程分別為y=kx,y=mx,則M(λ,kλ),因為所以λ2+kmλ2=0,即km=-1.聯(lián)立直線OM與拋物線E的方程,消去y得k2x2-2px=0,故同理可得所以.

圖2