過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作橢圓切線的兩種尺規(guī)方法

北京市第五中學(xué)通州校區(qū)(101101)田朋朋

研究橢圓切線尺規(guī)作圖方法的文章有很多,文[1]中介紹了勒姆柯?tīng)?、舒馬赫、高斯三位數(shù)學(xué)家從橢圓外一點(diǎn)作橢圓切線的三種極點(diǎn)極線作法,精妙至極,令人嘆為觀止.研究從橢圓上一點(diǎn)作橢圓切線的文章也有很多,但大多數(shù)作法步驟繁多,且需要給定橢圓的中心、焦點(diǎn)、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線等,依賴性較強(qiáng).文[2]中在分別給定橢圓的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的情況下給出了三種相對(duì)簡(jiǎn)潔的橢圓切線作法,其中方法一用到了橢圓的光學(xué)性質(zhì)作圖.文[3]中首先通過(guò)作圖找到了橢圓的中心,然后在作出橢圓中心弦的基礎(chǔ)上,給出了過(guò)橢圓上一點(diǎn)作切線的尺規(guī)方法.本文根據(jù)高等幾何中極點(diǎn)極線的性質(zhì)與對(duì)偶原則,給出了只用一把直尺從“中心、對(duì)稱軸、焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線”等一概不知的橢圓上任意一點(diǎn)作橢圓切線的兩種尺規(guī)作法.

定義1[4]給定二次曲線C,如果兩點(diǎn)P,Q(P,Q不在曲線C上)連線與二次曲線交于兩點(diǎn)M1,M2,且(M1M2,PQ)=-1,則稱P,Q關(guān)于二次曲線C調(diào)和共軛,或稱點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于二次曲線C互為調(diào)和共軛點(diǎn).

對(duì)于二次曲線外的一個(gè)定點(diǎn),它關(guān)于這個(gè)二次曲線調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡是一條直線,這條直線叫做該定點(diǎn)關(guān)于此二階曲線的極線,該定點(diǎn)叫做這條直線關(guān)于此二次曲線的極點(diǎn).

如圖1,P為不在二次曲線上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作二次曲線的兩條割線依次交二次曲線于點(diǎn)E,F,G,H,連接EH,FG交于點(diǎn)N,連接EG,FH交于點(diǎn)M,則直線MN為點(diǎn)P關(guān)于此二次曲線的極線,點(diǎn)P稱為直線MN關(guān)于此二次曲線的極點(diǎn);同時(shí)也有直線MP為點(diǎn)N關(guān)于此二次曲線的極線,點(diǎn)N稱為直線MP關(guān)于此二次曲線的極點(diǎn).

圖1

性質(zhì)1[1]若點(diǎn)P在二次曲線上,則點(diǎn)P關(guān)于此二次曲線的極線為過(guò)點(diǎn)P二次曲線的切線;若點(diǎn)P在二次曲線內(nèi),則點(diǎn)P關(guān)于此二次曲線的極線為與以點(diǎn)P為中點(diǎn)的弦平行的直線;若點(diǎn)P在二次曲線外,則點(diǎn)P關(guān)于此二次曲線的極線為過(guò)點(diǎn)P作二次曲線的兩條切線的切點(diǎn)連線(如圖2).

圖2

性質(zhì)2[1]如果P點(diǎn)的極線通過(guò)Q點(diǎn),則Q點(diǎn)的極線也通過(guò)P點(diǎn).

證明設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),以橢圓為例,則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線方程為若設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),則有成立.又因點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的極線方程為所以此直線通過(guò)點(diǎn)P(x0,y0).證畢.

其實(shí),性質(zhì)2 為配極變換中的基本性質(zhì),是一種特殊的對(duì)偶原則.因橢圓也屬于二次曲線,下面利用上述定義和性質(zhì)給出過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)作橢圓切線的兩種新方法.

方法1(1)如圖3,橢圓上有一點(diǎn)P,任取一斜向割線PQ,并在異于PQ的地方取割線AB,AC,設(shè)PQ和AB交于點(diǎn)E,PQ和AC交于點(diǎn)F;

圖3

(2)如圖4,連結(jié)直線BP和直線QA交于點(diǎn)S,連結(jié)直線AP和直線QB交于點(diǎn)T,連結(jié)直線PA和直線CQ交于點(diǎn)M,連結(jié)直線AQ和直線PC交于點(diǎn)N,連結(jié)直線ST和直線MN交于點(diǎn)O,連結(jié)直線OP和直線OQ,則OP和OQ為橢圓的兩條切線.

圖4

證明根據(jù)定義1,點(diǎn)E關(guān)于橢圓的極線為直線ST,點(diǎn)F關(guān)于橢圓的極線為直線MN; 連結(jié)直線ST和直線MN交于點(diǎn)O,則點(diǎn)E關(guān)于橢圓的極線為ST且經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,根據(jù)

性質(zhì)2,點(diǎn)O關(guān)于橢圓的極線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)E; 同理,點(diǎn)F關(guān)于橢圓的極線為MN且經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,點(diǎn)O關(guān)于橢圓的極線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)F;綜上所述,點(diǎn)O關(guān)于橢圓的極線經(jīng)過(guò)直線EF.又因?yàn)橹本€EF交橢圓于P,Q兩點(diǎn),根據(jù)性質(zhì)1,即可得到OP和OQ為橢圓的兩條切線.

方法2(1)作法與方法1 中的(1)相同.

(2)如圖5,連結(jié)直線BP和直線QA交于點(diǎn)S,連結(jié)直線AQ和直線PC交于點(diǎn)N; 連結(jié)直線NF和直線SE交于點(diǎn)O,連結(jié)直線OP,則OP為橢圓的切線.

圖5

證明補(bǔ)全圖5 中的部分直線得到圖6,根據(jù)定義1,點(diǎn)M關(guān)于橢圓的極線為NF且經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,根據(jù)性質(zhì)2,點(diǎn)O關(guān)于橢圓的極線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)M; 同理,點(diǎn)T關(guān)于橢圓的極線為SE且經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,點(diǎn)O關(guān)于橢圓的極線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)T;綜上有點(diǎn)O關(guān)于橢圓的極線經(jīng)過(guò)直線MT.又因?yàn)橹本€MT交橢圓于P,A兩點(diǎn),根據(jù)性質(zhì)1,即可得到OP為橢圓的切線.

圖6