基于“高認知發(fā)展”的教學(xué)實踐與思考

高楠

［摘? 要］ 設(shè)計高認知的學(xué)習(xí)任務(wù)能促進學(xué)生的高認知發(fā)展，從真正意義上調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力. 文章以“反比例函數(shù)圖象的不變性”教學(xué)為例，從“回顧舊知，導(dǎo)入新課”“適當(dāng)留白，激發(fā)猜想”“鋪設(shè)臺階，激發(fā)探索欲”“循循善誘，慢中求穩(wěn)”“自主探究，鞏固提升”五個方面展開教學(xué)設(shè)計和研究，并針對教學(xué)活動提出了一些教學(xué)思考.

［關(guān)鍵詞］ 高認知發(fā)展；反比例函數(shù)；本質(zhì)

教學(xué)活動的開展應(yīng)基于學(xué)生的生活經(jīng)驗與認知水平. 這就需要教師充分了解學(xué)情，設(shè)置高認知的學(xué)習(xí)任務(wù)，以培養(yǎng)學(xué)生的洞察力，激發(fā)學(xué)生的探究欲，樹立學(xué)生的創(chuàng)新意識等，從真正意義上實現(xiàn)“淡化形式，注重知識本質(zhì)”的教學(xué)目標，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

本文以“反比例函數(shù)圖象的不變性”教學(xué)為例，具體從以下幾個方面談?wù)劵诟哒J知發(fā)展的教學(xué)實踐與思考.

教學(xué)分析

反比例函數(shù)是在研究函數(shù)概念與一次函數(shù)的基礎(chǔ)上，學(xué)生所接觸到的新的函數(shù). 從設(shè)計思路的角度來看，反比例函數(shù)的圖象是分布在不同象限內(nèi)的雙曲線，x，y的取值范圍都有一定的局限性，且反比例函數(shù)圖象的增減性、連續(xù)性、對稱性以及漸進特征都比一次函數(shù)復(fù)雜許多. 因此，基于一次函數(shù)研究反比例函數(shù)，學(xué)生很難從高認知發(fā)展的角度掌握知識本質(zhì).

鑒于此，教師常會緊扣“y=k/x（k為常數(shù)，且k≠0），其中x，y的乘積為一個定值”這個特點進行教學(xué)設(shè)計，但雙曲線除了這一個特點，是否存在其他不變的關(guān)系呢？帶著這個疑問，筆者基于學(xué)生的實際認知水平，有針對性地設(shè)計了“探究反比例函數(shù)圖象的不變性”的一節(jié)課，以期揭示知識本質(zhì).

教學(xué)簡錄

1. 回顧舊知，導(dǎo)入新課

師：大家還記得什么樣的函數(shù)為反比例函數(shù)嗎？

生1：y=k/x（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)為反比例函數(shù).

師：很好！解析式y(tǒng)=k/x表達了x與y之間的反比例關(guān)系，我們還可以用什么式子表示這個關(guān)系？

生2：x·y=k（k為常數(shù)，且k≠0）.

師：也就是說不論x，y發(fā)生怎樣的變化，它們的乘積始終是一個常數(shù). 大家想一想，之前我們接觸到的幾何問題中，是否有用兩個量的乘積來描述的幾何模型？

生3：有，如矩形的面積、三角形的面積等都是用兩個量的乘積來描述的.

師（借助幾何畫板，操作演示）：大家一起來看，圖中點P（x，y）為反比例函數(shù)y=100/x上的一個動點，若過點P分別作PN⊥x軸，PM⊥y軸，求四邊形MONP的圖形特征與面積.

生4：四邊形MONP為一個面積為100的矩形.

師：你是如何確定它的面積是100的？

生4：我是根據(jù)矩形的面積公式得S=PM·PN=|x||y|=|k|=100.

簡簡單單的舊知回顧，輕輕松松的交流，教師順利地引入了教學(xué)主題. 以上對話反映出反比例函數(shù)的代數(shù)特征，運用幾何圖形進行解釋，可以給學(xué)生帶來更多的信息與價值.

2. 適當(dāng)留白，激發(fā)猜想

師：我們所知道的雙曲線中，從雙曲線上一點，分別向x，y軸作垂線段，垂線段與坐標軸所圍成的矩形的面積不會發(fā)生變化，那么，是否還有其他不變的關(guān)系呢？

問題 如圖1所示，已知點P（x，y）為反比例函數(shù)y=100/x圖象外側(cè)的一點，若過點P分別作PN⊥x軸，PM⊥y軸，并分別與雙曲線圖象在第一象限的一支交于點H，G，嘗試猜想直線GH和MN可能存在怎樣的特殊位置關(guān)系，并證明.

師生共同操作幾何畫板，如圖1所示，拖動點P，當(dāng)點P的位置發(fā)生變化時，直線GH的位置也隨之改變. （給學(xué)生充足的時間觀察與思考）

看著幾何畫板的變化，不少學(xué)生自主利用雙手在空中比畫，聯(lián)想直線GH和MN的位置關(guān)系. 大部分學(xué)生通過分析猜想出這兩條直線為互相平行的關(guān)系. 此時，教師作出直線MN.

設(shè)計意圖 “留白”是繪畫重要的手法之一，數(shù)學(xué)課堂中適當(dāng)留白，能為學(xué)生提供學(xué)習(xí)的空間，對培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力、推理能力、空間觀念等有重要的促進作用.

3. 鋪設(shè)臺階，激發(fā)探索欲

當(dāng)學(xué)生對GH∥MN的證明無從下手時，教師通過以下方式進行適當(dāng)?shù)狞c撥.

師：通過第一個探究活動，我們發(fā)現(xiàn)由拋物線上的一點向x（或y軸）作垂線段，拋物線上的這個點、坐標原點及所作垂線段的垂足三點所圍成的直角三角形的面積恒定為|k|/2，現(xiàn)在我們一起來觀察圖2，看看△NGM和△NHM的面積是否相等.

生5：這兩個三角形的面積是相等的關(guān)系，因為△NGM和△OGM是同底等高的，根據(jù)面積公式，它們的面積都是|k|/2. 同時可證，△NHM的面積也是|k|/2，因此△NGM和△NHM的面積是相等的.

師：非常好！這兩個三角形之間除了面積是相等的，還存在其他特殊關(guān)系嗎？

生6：這兩個三角形同底.

師：這個條件有什么作用呢？

（學(xué)生躍躍欲試，課堂達到了一個小高潮）

生7：這兩個三角形同底，面積也一樣，那么它們的高也是一樣的. 根據(jù)一組對邊平行且相等的條件，可確定四邊形BHGA為一個平行四邊形，由此可知MN∥GH.

評注 教師通過鋪設(shè)臺階，設(shè)計逐層遞進的問題吊足了學(xué)生的胃口，啟發(fā)了學(xué)生的思維，激發(fā)了學(xué)生的探索欲.

4. 循循善誘，慢中求穩(wěn)

學(xué)生此時的探究熱情高漲，想要發(fā)表言論的學(xué)生很多，教師可在此時趁熱打鐵，提出高質(zhì)量的問題，引發(fā)學(xué)生思考，促進學(xué)生高認知發(fā)展.

師：若想判定兩條直線是否為平行的關(guān)系，還有其他方法嗎？

生（眾）：可以從內(nèi)錯角相等、同位角相等、同旁內(nèi)角互補等來證明兩條直線為平行的關(guān)系.

師：觀察圖2，你們認為此題用什么來證明的可能性更大些？

生8：用同位角相等證明.

師：那么從什么角度來證明同位角相等呢？

生8：用全等三角形或相似三角形可證明同位角相等.

師：怎樣尋找全等三角形或相似三角形呢？

生8：圖2中找不到全等的關(guān)系，只能從相似的角度來探索，目前已經(jīng)知道一組直角對應(yīng)相等了……（該生邊說邊思考，此處停頓，教師沒有打斷他，其他學(xué)生也沉浸在思考中，兩分鐘后，該生肯定地提出意見）

生8：想要證明兩個三角形相似，這里找不到另一組角相等的關(guān)系，我們只能去尋找兩組邊分別成比例的條件了.

（教師給予肯定，點頭示意讓他繼續(xù)往下說，但該生欲言又止、猶猶豫豫）

師：現(xiàn)在我們都回到問題的原始條件來觀察、思考所有線段是如何構(gòu)造出來的.

生8：其實最初就是存在雙曲線圖象外側(cè)任意點P（x，y），大部分線段的形成都源自點P.

師：從題目出發(fā)，根據(jù)點P（x，y），我們要探索三角形與矩形的面積不變，其中PM與PN的長度該怎么表達？

生8：根據(jù)點P的坐標，不難發(fā)現(xiàn)點M，N的坐標，那么點H，G的坐標也很容易得到，如此就能用x，y來表示四條線段的長度了，只要知道線段的長度，自然能斷定它們是否成比例.

師：非常棒！現(xiàn)在我們一起來把這道題的解題過程梳理一下，哪位同學(xué)愿意來表述？我來板書.

設(shè)計意圖 想要證明MN∥GH，有兩種證明方法，即分別從幾何關(guān)系著手或代數(shù)運算的角度分析. 本節(jié)課，關(guān)鍵在于緊扣圖形特征，從圖形關(guān)系與變化的角度進行分析. 當(dāng)學(xué)生的思維卡殼時，教師并沒有著急點撥或換另一位學(xué)生表述，而是給予學(xué)生充足的時間去思考，通過循循善誘的方式啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在“慢教育”中實現(xiàn)思維的成長.

此過程中直線平行的實質(zhì)生成于坐標系中的反比例函數(shù)的圖象，因為問題的源頭為坐標系，所以從解析式的角度解決問題也是自然而然的事情. 雖說初中幾何更偏重證明過程，對于計算的要求較少，但絕非不計算. 在學(xué)生的探索過程中增加一些代數(shù)手法，不僅能拓寬學(xué)生的知識視野，還能為后續(xù)高中階段的解析幾何的學(xué)習(xí)夯實基礎(chǔ).

5. 自主探究，鞏固提升

教師在幾何畫板上拖動點P（如圖3所示），要求學(xué)生觀察并思考圖中還有什么沒有發(fā)生變化.

生9：拖動點P后，△MGA≌△NBH.

師：哦？說說你的證明過程.

生9：借助生7所證明的MN∥GH，再加上AM∥HN，可確定四邊形MNHA是一個平行四邊形，因此MA=NH，同理可證GM=BN，根據(jù)“SAS”可確定△MGA≌△NBH.

師：很好！現(xiàn)在大家繼續(xù)觀察幾何畫板. （教師繼續(xù)拖動點P）線段AG與哪條線段始終相等？

生（眾）：AG與HB始終相等.

師：現(xiàn)在回過頭來想一想，本節(jié)課我們一共獲得了幾個不變的特性？

生10：3個，分別為面積不變、平行的關(guān)系沒有發(fā)生變化以及線段始終相等.

師：不錯！大家觀察圖4，作一條直線與雙曲線位于第一象限的一支有兩個交點，那么我們所獲得的三個不變性是否依然存在呢？

基于以上探究活動，學(xué)生快速尋找到了解決問題的辦法：如圖5所示作輔助線.

師：還可以從什么角度來嘗試？

生11：是不是可以從直線AD與雙曲線相交于不同象限中的兩點的角度來思考？

師：哦？為你這個大膽的想法點贊. 請你來給大家說說這個想法.

生11到講臺上操作幾何畫板，拖動AD，大家都用期待的目光看著幾何畫板，等待結(jié)果的出現(xiàn). 待操作完成，大家都被生11的想法所折服. 原來直線AD與雙曲線相交于不同象限中的兩點時，那些不變的特性依然存在.

設(shè)計意圖 學(xué)生開始在教師的引導(dǎo)與點撥下，由淺入深地進入探究，隨著探究的深入，教師慢慢放手讓學(xué)生自主探究、交流與操作，整個課堂顯示出了濃郁的“探究味”與“求知欲”.

最后，師生一起回顧并梳理了本節(jié)課的教學(xué)重點與難點，并以思維導(dǎo)圖的方式將本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容整理出來. 相信在今后很長一段時間內(nèi)，師生都會對本節(jié)課的教學(xué)津津樂道. 這種教學(xué)方法不僅體現(xiàn)了知識與技能的教學(xué)，更重要的是對知識本質(zhì)的揭露與學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，對學(xué)生的高認知發(fā)展具有重要的意義.

教學(xué)思考

縱觀課堂教學(xué)流程，沒有華麗的辭藻，也沒有令人耳目一新的情境，只憑借一個幾何畫板與教師極少的點撥就將知識的本質(zhì)完全暴露在學(xué)生面前，給人一種簡約卻又充滿內(nèi)涵之感，且學(xué)生的思維空間充裕，彰顯了基于“高認知發(fā)展”的教學(xué)的優(yōu)勢.

1. 把握知識本質(zhì)

數(shù)學(xué)是反映事物間數(shù)量與空間關(guān)系的一門學(xué)科，其本質(zhì)是對現(xiàn)實事物的思考、刻畫、描述、揭示等，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要目的在于發(fā)現(xiàn)事物中所蘊含的數(shù)、形規(guī)律［1］. 本節(jié)課的教學(xué)核心是反比例函數(shù)在變化過程中哪些概念是恒定不變的，圍繞這個教學(xué)核心，能凸顯出反比例函數(shù)的本質(zhì).

教學(xué)中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，發(fā)現(xiàn)了三個不變的特性：首先從數(shù)量關(guān)系中探尋反比例函數(shù)的第一個不變的特性——兩變量的積不變；其次帶領(lǐng)學(xué)生從幾何圖形的角度，探索雙曲線的第二個不變的特性——矩形面積不發(fā)生變化；由此促使學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)：任意點P向兩坐標軸作垂線段，“兩垂足所在直線”與“垂線段和雙曲線形成的兩交點所在的直線”間的位置關(guān)系恒定不變，即第三個不變的特性.

這三個不變的特性從數(shù)量關(guān)系著手，貫穿整節(jié)課，教師通過步步為營，讓學(xué)生體驗了豐富的課堂所帶來的成就感，并在教師由淺入深的啟發(fā)下，開動腦筋，使得課堂充滿“探究味”，知識的本質(zhì)也隨著學(xué)生的探究而水落石出.

2. 暴露思維過程

數(shù)學(xué)問題的解決一般都遵循著一定的規(guī)律，若能往問題的深層去挖掘，常能讓學(xué)生透過表面看到本質(zhì)，從而獲得一定的感悟與體會. 本節(jié)課的成功之處在于充分展示了學(xué)生的思維過程，讓學(xué)生從反比例函數(shù)的概念出發(fā)，剖析k值的意義，自然而然地過渡到更深層次的探究.

教學(xué)中，“我們所知道的雙曲線中，矩形與直角三角形的面積不會發(fā)生變化，是否還有其他不變的關(guān)系或量呢？”這個問題成功地激起了學(xué)生的探究熱情，學(xué)生通過猜想、驗證等方式，發(fā)現(xiàn)數(shù)量和位置關(guān)系中存在不變特性. 學(xué)生的思維在教師的循循善誘下充分暴露了出來，整個教學(xué)過程學(xué)生自主探索，體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性.

3. 提煉數(shù)學(xué)思想方法

眾所周知，數(shù)學(xué)知識與思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中強有力的支柱，數(shù)學(xué)思想方法的形成源自知識，而知識中又隱藏著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，兩者為相輔相成的關(guān)系［2］. 本節(jié)課中，所有教學(xué)活動的開展都緊扣“面積不變”的主題，有效地滲透了數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在教師循循善誘下感知解決問題的主要方法. 這種教學(xué)方法打破了常規(guī)例題教學(xué)的弊端，讓學(xué)生通過自主探究獲得了一定的解題能力.

總之，教師應(yīng)注重教學(xué)理念的更新，通過巧妙的設(shè)計將課堂還給學(xué)生，同時潛移默化地滲透數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生在“數(shù)”與“形”的靈活轉(zhuǎn)化中理解知識的本質(zhì)，促進認知的發(fā)展.

參考文獻：

［1］ 楊翠蓉，周成軍. 布魯納的“認知發(fā)現(xiàn)說”與建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的比較研究［J］. 蘇州教育學(xué)院學(xué)報，2004（02）：27-31.

［2］ 鄭毓信. 數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論［M］. 成都：四川教育出版社，2001.