基于理解的概念課教學(xué)實(shí)踐與思考*
——以“平方根”教學(xué)為例

江蘇省宿遷市宿豫區(qū)新莊中心學(xué)校

汪東松

南京師范大學(xué)附屬中學(xué)宿遷分校黃海路校區(qū)

李 軍

1 問題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》的正式發(fā)布，確定了數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(主要包括“三會”).數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，與學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展息息相關(guān)，其成效直接影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.但實(shí)際教學(xué)卻不盡如人意，部分教師依然采用“概念+注意+刷題”的形式進(jìn)行教學(xué)，忽視課標(biāo)及教學(xué)要求，忽視學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)，忽視概念本源，忽視探究過程，等等，導(dǎo)致學(xué)生對抽象概念的理解困難，建構(gòu)內(nèi)化受阻，深感學(xué)習(xí)枯燥無趣，教學(xué)效果大打折扣.基于此，現(xiàn)結(jié)合蘇科版“平方根”教學(xué)為例，著力探討如何實(shí)施概念課教學(xué)，進(jìn)而深度理解概念教學(xué)，帶領(lǐng)學(xué)生“入乎其內(nèi)、出乎其外”，挖掘概念內(nèi)涵與外延，內(nèi)外關(guān)聯(lián)，類比遷移，意義建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)對學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的價(jià)值[1].

2 相關(guān)概念的理解

杜威(John Dewey)在《我們?nèi)绾嗡季S》一書中對理解做了清晰的總結(jié)，認(rèn)為理解是學(xué)習(xí)者探求事實(shí)意義的結(jié)果，“掌握一個(gè)事物、事件或場景的意義，就是要觀察它與其他事物的聯(lián)系，觀察它的運(yùn)作方式和功能產(chǎn)生的結(jié)果和原因以及如何應(yīng)用.”“方法和結(jié)果的關(guān)系是所有理解的核心.”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，理解無疑是首要的.例如，學(xué)生到底是理解了還是沒有理解，是部分理解還是全部理解，理解的深度如何，等等.

追求“概念性理解”的教學(xué)，要求教師不能只關(guān)注知識表象而忽略了對知識本質(zhì)的探求.而當(dāng)前許多課堂教學(xué)中，許多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科上耗費(fèi)大量時(shí)間和精力刷題，缺少知識的意義建構(gòu),缺乏數(shù)學(xué)思想方法的理解.有些數(shù)學(xué)課堂中，教師的“匠氣”太濃，題型、技巧太多，彌漫著應(yīng)試的“功利”.以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)教學(xué)的正軌，數(shù)學(xué)育人的價(jià)值得不到充分體現(xiàn).

3 教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施

數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧[2].教學(xué)中，要圍繞概念教學(xué)，遵循理解課標(biāo)要求、理解學(xué)生學(xué)情、理解教材系統(tǒng)、理解教學(xué)程序，尋找概念的前世今生未來，追本溯源；以問題導(dǎo)學(xué)，不斷追問，挖掘本質(zhì)，回歸本真.教學(xué)思維路徑從模糊到清晰，從盲點(diǎn)到亮點(diǎn)，讓概念課教學(xué)理性開通.

3.1 理解課標(biāo)要求

課標(biāo)是專家們集體智慧的結(jié)晶，是指導(dǎo)教學(xué)的綱領(lǐng)性文件.數(shù)學(xué)概念課教學(xué)要達(dá)到深度教學(xué)狀態(tài)就必須對課標(biāo)達(dá)到較高的理解層次.就“平方根”教學(xué)而言，課標(biāo)給出了內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求及教學(xué)提示[3](如圖1).

圖1

3.2 理解教材編排

“平方根”是義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級上冊(江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社)第四章第一課時(shí)內(nèi)容.從運(yùn)算過程看，求解過程是開平方運(yùn)算，它是數(shù)的開方運(yùn)算的重要基礎(chǔ)與代表；從結(jié)果上看，擴(kuò)充了數(shù)的范圍，豐富了無理數(shù)的內(nèi)容與表達(dá)，深化了學(xué)生對無理數(shù)的認(rèn)識與理解.

教材以計(jì)算直角三角形的邊長為情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟研究“數(shù)的開方”的必要性，激發(fā)學(xué)生探究欲望.接著，課本順理成章地給出平方根、算術(shù)平方根的概念.很自然地讓學(xué)生明白“為什么學(xué)、學(xué)什么”等問題.同時(shí)，教材沿用類似(類比遷移)的過程，給出立方根、實(shí)數(shù)等概念，可謂是舉一反三.

平方根，尤其是算術(shù)平方根，是本章的重要概念，也是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，對后續(xù)學(xué)習(xí)“二次根式”有著重要影響.為了突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，教材創(chuàng)設(shè)了現(xiàn)實(shí)情境或問題情境，給學(xué)生學(xué)習(xí)提供了知識“背景”和“支撐”，還設(shè)計(jì)了一些例題，以加深學(xué)生對概念本質(zhì)的理解，為學(xué)生“怎么學(xué)”鋪路搭橋.

3.3 理解教學(xué)程式

數(shù)學(xué)概念課教學(xué)需遵循一定之規(guī)，有其基本的程式和操作流程，只有深刻理解概念教學(xué)的基本流程才能科學(xué)設(shè)計(jì)，有針對性地施教.數(shù)學(xué)概念課教學(xué)一般要經(jīng)歷以下幾個(gè)過程：(1)情境引學(xué).(2)本質(zhì)抽象.通過典型、豐富的具體例證(要讓學(xué)生自己舉例)，引導(dǎo)學(xué)生開展分析、比較、綜合等活動，概括共同本質(zhì)特征，得到概念的本質(zhì)屬性.(3)定義提出.用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)，可以通過看教科書完成.(4)概念辨析.即以實(shí)例(正例、反例)為載體，引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，包括對概念特例的考查.(5)概念應(yīng)用.用概念作判斷的具體事例，這里要用有代表性的簡單例子，其目的是形成用概念作判斷的具體步驟，并運(yùn)用概念進(jìn)行計(jì)算或說理.(6)概念“精致”.主要是建立與相關(guān)概念的聯(lián)系，形成功能良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).概念教學(xué)要盡量采用歸納式，給學(xué)生提供概括的機(jī)會.其設(shè)計(jì)程式整合成圖示，如圖2所示.

圖2

3.4 課堂教學(xué)實(shí)踐

3.4.1 在情境引學(xué)中理解概念的本源

情境引學(xué)：先算后想，由已知到未知.

問題1計(jì)算：32=，(-3)2=，02=.

問題2(課本之問)如圖3，小方格的邊長為1，你能算出圖中AB，A′B′的長嗎？

圖3

師生活動：

(1)說.請三位同學(xué)說出運(yùn)算結(jié)果，并說出乘方的意義及有關(guān)概念.

(2)寫.請你類比問題1，再任意寫兩個(gè)這樣的算式并計(jì)算出來與大家分享.

(3)算.分組計(jì)算問題2，是否有困惑的地方？

(4)議.通過計(jì)算，你有什么發(fā)現(xiàn)？請分享你的想法.

(5)問.從運(yùn)算對象上來說，問題1,2有何聯(lián)系與區(qū)別？(小組交流)

(6)引.問題1是前面學(xué)過的平方運(yùn)算，即已知底數(shù)和指數(shù)求冪；問題2的求解對象反過來了，即已知指數(shù)和冪求底數(shù)，而且從問題2的第2個(gè)圖知道，邊長是客觀存在的，但不知道是什么、叫什么、怎么寫等，那么問題該怎么解決呢？(形成懸念)

教學(xué)理解：情境引學(xué)中設(shè)置了兩類問題，問題1主要從數(shù)的運(yùn)算幫助學(xué)生回顧乘方的知識；問題2主要從形的角度，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)求解底數(shù)的客觀存在，感知求解對象的變化.一方面讓學(xué)生深刻體會學(xué)習(xí)“數(shù)的開方”的必要性，明晰平方根的本源在“平方”，是由平方運(yùn)算派生而來；另一方面也打通了知識間的聯(lián)系.創(chuàng)設(shè)情境時(shí)，立足學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，關(guān)注知識間的內(nèi)部聯(lián)系，從正反兩方面揭示事物的本質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷從已知到未知的認(rèn)知過程，從而誘發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)動機(jī).

3.4.2 在探究經(jīng)歷中理解概念的生成

概念的形成和同化不是一蹴而就的，而是讓學(xué)生具身參與，經(jīng)歷探究過程慢慢習(xí)得的.

探究1填空：( )2=9，( )2=4，

學(xué)生先獨(dú)立思考，寫出結(jié)果，再小組交流，互議互評.

探究2形式化抽象

第1次形式化：讓學(xué)生依照上述計(jì)算形式再舉兩個(gè)例子，并思考這樣的例子是否舉得完，從而引出可以用字母表示數(shù)(字母具有一般性)，如學(xué)生舉出x2=16，x2=121，…….在求解過程中，學(xué)生常常只習(xí)慣性得出正值，而丟掉負(fù)值，此時(shí)需要教師引導(dǎo)，讓學(xué)生吸取經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)——由平方數(shù)求底數(shù)時(shí)，解不唯一.

第2次形式化：學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題2中求A′B′的長，也就是相當(dāng)于求x2=41中的x，還有學(xué)生舉出x2=8，x2=3，等等，學(xué)生思維又一次被打開.因此，學(xué)生說這樣的例子是舉不完的，需要用字母表示.(教師給予表揚(yáng)肯定.)師生共同探究中得出，上述所有問題可用一個(gè)式子來概括，即x2=a.

探究3提煉屬性

(1)字母取值探究.對于式子x2=a，它具有一般性特點(diǎn)，也就是說字母代表了一切數(shù).請學(xué)生思考“若x2=-1，則x的值是多少？”由此讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)a的取值范圍是a≥0,并明白沒有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方是負(fù)數(shù)，所以a是非負(fù)數(shù).

(2)概念生成.上述問題其實(shí)就要研究“當(dāng)x2=a時(shí)，x是什么數(shù)？”的問題.這一類問題就是已知指數(shù)和冪求底數(shù)的運(yùn)算，這種運(yùn)算叫開方(開平方)運(yùn)算，它與乘方是不同的，它們是互逆運(yùn)算.因此，名稱上要有區(qū)別，于是需要生成新概念.對“誰”開方呢？當(dāng)然是a，所以a就是被開方數(shù)(如上面的16，121，41，8，3等)，x就是a的平方根(如±4，±11等)，2還是指數(shù)位置，叫做根指數(shù)，從而揭示課題，并留有認(rèn)知沖突——41，8，3的平方根是什么？

教學(xué)理解：概念的本質(zhì)抽象是較難理解的.教學(xué)時(shí)，采取了問題驅(qū)動、分步推進(jìn)的策略，結(jié)合學(xué)生對平方的認(rèn)知，先分析乘方中所關(guān)注的對象有三項(xiàng)，即底數(shù)、指數(shù)、冪，當(dāng)指數(shù)確定，以前是知底數(shù)求冪，同樣，知冪也可以求底數(shù).研究對象的變化，需要生成新的概念.這里對具體例子進(jìn)行探究，逐步抽象，揭示問題本質(zhì)，生成新的知識，一步步引入課題，挖掘概念內(nèi)涵.

3.4.3 在認(rèn)知沖突中理解概念的表達(dá)

根據(jù)上述認(rèn)知沖突和知識發(fā)展需要，讓學(xué)生自主閱讀教材，理解定義，學(xué)會表達(dá)(這里主要是文字語言與符號語言及其相互轉(zhuǎn)化).教學(xué)時(shí)，先讓學(xué)生分享自學(xué)情況，讓學(xué)生學(xué)會表達(dá)：(1)概念凝煉(文字表述)；(2)符號表示(讓學(xué)生寫與讀)；(3)語言轉(zhuǎn)換理解(舉例解讀).教師適時(shí)引導(dǎo)啟發(fā)，并對學(xué)生的表達(dá)從三個(gè)方面進(jìn)行類比概括，加以板書呈現(xiàn)(如圖4).

圖4

教學(xué)理解：組織學(xué)生自主學(xué)習(xí).通過小組展示、補(bǔ)充、糾錯(cuò)，經(jīng)歷概念的形成；通過類比思維圖，讓學(xué)生學(xué)會表達(dá)，系統(tǒng)梳理概念，由感性認(rèn)識到理性建構(gòu).

3.4.4 在辨析應(yīng)用中理解概念的性質(zhì)

(1)從正反兩個(gè)方面辨析概念.判斷：9的平方根是3( )；3是9的平方根( ).

(2)問題再現(xiàn).根據(jù)定義填空：

①41的正的平方根是，41的負(fù)的平方根是，41的平方根是；

(3)小組交流.下列各數(shù)有沒有平方根？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由.(教材內(nèi)容)

從中你發(fā)現(xiàn)了什么？

(4)發(fā)現(xiàn)性質(zhì).

①一個(gè)正數(shù)有個(gè)平方根，它們互為；②0有個(gè)平方根，是；③負(fù)數(shù)平方根.

(5)概念升華.已知一個(gè)直角三角形的兩邊的長分別為3和5，求第三邊的長.

教學(xué)理解：教學(xué)中讓學(xué)生充分展示、積極參與、主動探索，經(jīng)歷觀察發(fā)現(xiàn)、類比分析、思考?xì)w納、有序表達(dá)等活動，讓其理解概念本質(zhì)，內(nèi)化知識，形成能力，建構(gòu)起自己的知識經(jīng)驗(yàn)體系；培養(yǎng)手腦并用意識，形成模型觀念，提升理解能力與運(yùn)算能力.同時(shí)，做到形數(shù)結(jié)合，首尾呼應(yīng)，形成完整的教學(xué)閉環(huán).

3.4.5在類比聯(lián)系中理解概念的結(jié)構(gòu)

回顧反思學(xué)習(xí)歷程，幫助學(xué)生理清學(xué)習(xí)內(nèi)容與思路，深化對知識的理解與掌握，進(jìn)而走向概念的精致.

(1)平方根學(xué)習(xí)反思：平方根的概念、表示、性質(zhì)及其應(yīng)用.

(2)方法經(jīng)驗(yàn)積累：學(xué)會數(shù)學(xué)抽象、符號表達(dá)、建立模型，體會分類與類比、整體思想、一般化思想等.

(3)形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)：平方(冪)?開平方(平方根)?開立方(立方根)?開n次方(n次方根).

教學(xué)理解：通過回顧與反思，讓學(xué)生梳理概念的學(xué)習(xí)路徑，不斷同化概念，使之納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).同時(shí)，引領(lǐng)學(xué)生從整體上再認(rèn)識概念，做到整合貫通，舉一反三，學(xué)會類比遷移，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供智力支撐與幫助，進(jìn)而形成良好的學(xué)習(xí)力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 教學(xué)思考

本課是實(shí)數(shù)學(xué)習(xí)的第一課時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生充分觀察感知、動手計(jì)算、實(shí)踐體驗(yàn)、歸納概括，體會平方根概念的形成過程.在學(xué)生理解知識的基礎(chǔ)上，引發(fā)學(xué)生批判性地學(xué)習(xí)新的思想和事實(shí)，并將它們?nèi)谌朐械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中，能夠在眾多思想間進(jìn)行聯(lián)系，并能夠?qū)⒁延械闹R遷移到新的情境中，作出決策并解決問題.

4.1 重視理解的深度——深度學(xué)習(xí)

理解的深度是指學(xué)生不僅能夠認(rèn)識知識的表象，更能夠深刻領(lǐng)會知識的本質(zhì)和背后蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想.而學(xué)生理解的深度取決于教師是否能夠洞悉知識的源頭,從知識發(fā)生的歷史脈絡(luò)中把握其產(chǎn)生的原因、本質(zhì)和價(jià)值.例如，在平方根的學(xué)習(xí)中，要讓學(xué)生理解，先通過平方的學(xué)習(xí)，進(jìn)而變換求解對象.讓學(xué)生經(jīng)歷“為什么學(xué)，學(xué)什么，怎樣學(xué)，又學(xué)向何處？”這樣，學(xué)生就能深度理解知識的來龍去脈，并用數(shù)學(xué)符號語言來表達(dá)，進(jìn)而形成高階思維能力.

4.2 拓展理解的廣度——深化建構(gòu)

4.3 明晰理解的完整度——深入思考

理解的完整度是指能夠?qū)χR之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)建立清晰的印象并建構(gòu)完善的知識網(wǎng)絡(luò).理解的完整度是建立在對知識整體結(jié)構(gòu)清晰把握的基礎(chǔ)上.對“平方根”這個(gè)概念的理解比較透徹，就意味著理解了它的內(nèi)涵和外延，了解這個(gè)概念的“前世、今生與將來”，了解它在立方根、無理數(shù)、實(shí)數(shù)或解決實(shí)際問題中的作用，感受它是學(xué)習(xí)二次根式的重要基礎(chǔ).引導(dǎo)學(xué)生自主將知識結(jié)構(gòu)化，形成概念網(wǎng)絡(luò)和體系，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)和通道越豐富，說明概念內(nèi)容就越完整，思考理解就越深刻.這樣，學(xué)生就能夠在解決問題的過程中迅速有效地提取關(guān)鍵性知識，打通學(xué)習(xí)脈絡(luò)，進(jìn)行知識的自主建構(gòu)和類比遷移.