基于非局部Biot 理論的循環(huán)荷載下飽和土地基動(dòng)力特性研究

丁海濱，管凌霄，童立紅，徐長節(jié),3，顏建偉

(1.華東交通大學(xué)軌道交通基礎(chǔ)設(shè)施性能監(jiān)測(cè)與保障國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西，南昌 330013；2.江西省地下空間技術(shù)開發(fā)工程研究中心，江西，南昌 330013；3.華東交通大學(xué)江西省巖土工程基礎(chǔ)設(shè)施安全與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西，南昌 330013)

探究循環(huán)動(dòng)荷載下飽和土地基的動(dòng)力響應(yīng)及固結(jié)沉降對(duì)實(shí)際工程具有重要意義，如廠房機(jī)械振動(dòng)對(duì)地基的影響，列車荷載下飽和地基動(dòng)力特性及軟土地區(qū)地基加固[1]等。飽和孔隙介質(zhì)的動(dòng)力控制方程最早是由BIOT[2- 3]提出，該方程能夠較準(zhǔn)確地反映飽和土的動(dòng)力特性。之后，許多學(xué)者[4-5]通過室內(nèi)動(dòng)力實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了Biot 理論的正確性。Biot理論也因其形式簡(jiǎn)單且其模型參數(shù)易通過試驗(yàn)獲得，而在實(shí)際工程得到了廣泛的應(yīng)用。Biot 動(dòng)力控制方程的原始形式中的變量為u(土骨架位移)和w(流體相對(duì)土骨架位移)，即u-w格式控制方程。后續(xù)學(xué)者們根據(jù)所研究問題的不同，將原始的控制方程變換為u-p和u-w-p等格式的控制方程[6-7]。

由于基于Biot 理論的二維或者三維固結(jié)問題的解析解難以獲得，目前學(xué)者們所求得的解析解都是對(duì)所研究的問題進(jìn)行簡(jiǎn)化后獲得的，如：簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱問題[8-9]，或者將該問題簡(jiǎn)化為一維問題，求得其解析解[10-12]。簡(jiǎn)化所得到的解析解與實(shí)際情況存在一定的差異，為此，學(xué)者大多采用數(shù)值方法求解Biot 理論控制方程。PREVOST[13]采用有限元法和隱式積分算法，研究了波在飽和土兩相介質(zhì)中的傳播問題。CARTER 等[14]采用有限元數(shù)值方法求解了彈塑性地基的固結(jié)問題。SIMON等[15]采用有限元法研究了u-w，u-w-p及u-p三種形式的控制方程在飽和孔隙介質(zhì)的復(fù)雜邊值中的應(yīng)用。FERRONATO等[16]提出了三維混合有限元方程，求解了Biot 固結(jié)方程，以減輕數(shù)值計(jì)算引起的孔隙水壓不穩(wěn)定問題。MENENDEZ等[17]采用有限元法求解了不可壓縮流體和滲透系數(shù)變化的固結(jié)模型，分析了飽和土介質(zhì)的非線性固結(jié)問題。基于Arbitrary Lagrangian-Eulerian 法和摩爾庫倫(MC)及修正劍橋本構(gòu)模型(MCC)，SABETAMAL等[18]采用Generalized-α 積分法對(duì)u-p耦合控制方程時(shí)間進(jìn)行離散，求解了荷載作用下飽和孔隙介質(zhì)的大變形問題?；贐iot 固結(jié)理論，WU 等[19-20]采用數(shù)值流變模型建立了飽和土動(dòng)力固結(jié)的有限元方程，編制了有限元計(jì)算程序，分析了外荷載作用下低滲透性飽和黏土邊坡的動(dòng)力固結(jié)問題。NAVAS等[21-23]基于u-w格式的控制方程，采用局部最大熵原理(LME)構(gòu)建無網(wǎng)格法形函數(shù)，研究了飽和土地基的固結(jié)問題。NAZEM等[24]提出最大熵?zé)o網(wǎng)格法，用于研究飽和土介質(zhì)的固結(jié)問題，結(jié)果顯示所提出的模型可給出固結(jié)沉降的穩(wěn)定的解。TORABI等[25]提出了一種求解固結(jié)方程的穩(wěn)定時(shí)間積分算法。

然而，以上針對(duì)飽和孔隙介質(zhì)動(dòng)力固結(jié)的研究都是基于經(jīng)典Biot 理論，雖然Biot 理論在工程中得到了廣泛的應(yīng)用，其假設(shè)飽和土中的波長遠(yuǎn)大于孔隙尺寸，但在高頻情況下該假設(shè)已不再成立[26]。為此，TONG 等[27]通過引入了非局部參數(shù)考慮了孔隙尺寸效應(yīng)的影響，提出了非局部Biot理論。隨后，利用非局部Biot 理論，TONG等[28]研究了飽和土介質(zhì)中Rayleigh 波傳播特性；XU等[29]，DING 等[30]及徐長節(jié)等[31]研究飽和土介質(zhì)中圓形襯砌的動(dòng)力響應(yīng)問題；TONG 等[32- 33]研究移動(dòng)荷載下飽和土地基的動(dòng)力響應(yīng)問題。

由以上分析可知，高頻下，孔隙尺寸效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的影響顯著，為此，本文基于TONG等[27]所構(gòu)建的u-w形式的非局部Biot 理論，采用有限單元法，結(jié)合虛位移原理及Newmark 積分法，得到了非局部Biot 理論的有限元離散方程，編制對(duì)應(yīng)的有限元計(jì)算程序，分析孔隙尺寸效應(yīng)對(duì)循環(huán)動(dòng)荷載作用下飽和土地基動(dòng)力特性的影響。本文得到了非局部Biot 理論的控制方程數(shù)值解，使其能用于解決復(fù)雜的工程問題，以期為實(shí)際工程中循環(huán)動(dòng)荷載下飽和土地基動(dòng)力響應(yīng)及固結(jié)沉降問題提供參考。

1 非局部Biot 控制方程的有限元空間離散

1.1 非局部Biot 理論控制方程

采用有限元求解一個(gè)系統(tǒng)，首先需建立并求解該系統(tǒng)的線性方程組，稱之為有限元方程。有多種方法可用于求解有限元方程，如加權(quán)參數(shù)法、虛位移法及變分原理等。本章采用虛位移法獲得系統(tǒng)的有限元方程。非局部Biot 理論控制方程式為[27]：

式中：u、w分別為土骨架位移和流體相對(duì)于土骨架位移； α =1-Kb/Ks；M為Biot 參數(shù)； ?2為Laplace算子； σ′為總Cauchy 應(yīng)力； ρf為孔隙流體的體積密度， ρ =(1-n0)ρs+n0ρf，n0為初始孔隙比， ρs為土顆粒密度； ?0為非局部參數(shù)，該參數(shù)可由室內(nèi)波速試驗(yàn)測(cè)定，其包含孔隙尺寸效應(yīng)及由于波動(dòng)所引起的孔隙動(dòng)力效應(yīng)兩部分[27]，主要反映土顆粒之間相互作用的影響范圍；為曲度因子；η為流體粘滯系數(shù)；κ為滲透系數(shù)；F(ζ)為粘性修正系數(shù)，ω為 圓頻率，；a為孔隙半徑，圓孔狀孔隙時(shí)：裂縫狀孔隙時(shí)：ξ 為 彎曲因子；ber 和 bei分別為第一類零階開爾文函數(shù)的實(shí)部和虛部。

1.2 邊界條件

設(shè)有限元求解域?yàn)棣福蠼庥虻倪吔鐬?，則式(1)應(yīng)滿足邊界條件：

強(qiáng)制邊界條件：

自然邊界條件：

且各邊界條件應(yīng)滿足如下關(guān)系：

1.3 空間離散

本章采用虛位移原理得到式(1)的空間離散方程，假設(shè) δu為 土骨架的虛位移矢量， δw為流體相對(duì)固體虛位移矢量，則式(1)可表示為：

對(duì)變量場(chǎng)u和w引入同階等參數(shù)單元差值函數(shù)：

式中：ue(x,t)和we(x,t)分別為單元土骨架和孔隙流體的位移場(chǎng)；x為空間坐標(biāo)矢量；t為時(shí)間；分別為土骨架和孔隙流體節(jié)點(diǎn)位移矢量；Ni(x)為單元形函數(shù)；ne為單元節(jié)點(diǎn)數(shù)目；I為單位矩陣。和僅表示矩陣的乘積運(yùn)算。

將式(7)中第一式和第二式分別代入式(5)和式(6)，采用Galerkin 法，可將式(5)和式(6)寫成等效積分弱形式[34]：

其中：

2 非局部Biot 理論控制方程的時(shí)間離散

式(8)為非局部Biot 理論離散后的控制方程，本文考慮線彈性材料，因此則式(8)簡(jiǎn)化為：

為方便后續(xù)推導(dǎo)，將(Kss+K′ss)合并為一項(xiàng)，并令為其中彈性矩陣變?yōu)?，，則式(9)可簡(jiǎn)化為：

為編程方便將式(10)寫為：

為求解式(11)，將時(shí)域劃分為時(shí)間間隔為Δt的小區(qū)間， Δt應(yīng)足夠小，以保證計(jì)算的收斂性和精度。由Newmark 積分可知，假設(shè)當(dāng)前時(shí)間為n+1，并假設(shè)前一時(shí)刻n的位移、速度和加速度已知。則n+1時(shí)刻的位移、速度和加速度可表示為：

式(17)即為所求的離散方程，β1、β2為Newmark-積分常數(shù)，為保證計(jì)算穩(wěn)定，應(yīng)該滿足β2≥β1≥0.5。本文計(jì)算所選取的計(jì)算參數(shù)值為 β1=0.6和β2=0.605，以引入一定的數(shù)值阻尼提高計(jì)算的穩(wěn)定性及收斂性[35]。

3 循環(huán)荷載下飽和土動(dòng)力固結(jié)分析

3.1 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證所編寫u-w形式的非局部Biot 理論有限元程序的正確性，利用該程序分析飽和土一維固結(jié)問題，并將其與Terzaghi 一維固結(jié)解析解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。為此，假設(shè)一個(gè)深度為H0=10.0m，寬度為1.0m 的一維固結(jié)模型(模型深度遠(yuǎn)大于寬度)，模型上邊界設(shè)置為排水邊界，頂部施加P0=100 kPa 的均布荷載，底部及兩側(cè)為不透水邊界，計(jì)算模型及荷載形式如圖1所示。為采用本計(jì)算程序模擬上述一維情況，將上述土柱采用4×40個(gè)4節(jié)點(diǎn)矩形單元離散，并固定所有節(jié)點(diǎn)的土骨架及孔隙流體相對(duì)土骨架的水平自由度(x方向)。為模擬土柱底部及兩側(cè)的不排水情況，將模型底部和兩側(cè)節(jié)點(diǎn)分別設(shè)置為wz=0及wx=0；頂部為排水邊界，即wz所對(duì)應(yīng)的自然邊界條件；頂部外荷載P0全部施加到土骨架豎向(uz方向)自由度上。同時(shí)本文理論中的非局部參數(shù)τ=0.0 mm，以將非局部Biot 理論退化至經(jīng)典Biot 理論控制方程。飽和土計(jì)算參數(shù)按JEREM IC等[36]論文選取，Terzaghi一維固結(jié)中假設(shè)了土顆粒及孔隙水壓力不可壓縮，因此將土顆粒及孔隙水的體積模量取一個(gè)大值，如表1所示。

圖1 一維固結(jié)土柱及荷載形式Fig.1 One-dimension consolidation column and loading condition

表1 飽和土體參數(shù)Table1 parametersof saturated soil

圖2為荷載作用下飽和土土柱一維固結(jié)的數(shù)值解與解析解的對(duì)比曲線，圖中橫坐標(biāo)為無量綱超靜孔壓p/p0，縱坐標(biāo)為無量綱深度h/h0。如前所述，Newmark 積分參數(shù)取為 β1=0.6 和 β2=0.605，即引入一定的數(shù)值阻尼以消除由于外荷載的突然施加而導(dǎo)致的數(shù)值波動(dòng)。由圖2可知，本文所編制程序的計(jì)算結(jié)果與Terzaghi 解析解結(jié)果吻合的很好，由此說明了本文所編制的u-w格式的飽和土體動(dòng)力固結(jié)分析程序的正確性。

圖2 靜載下一維飽和土柱超靜孔壓的數(shù)值解與解析解對(duì)比Fig.2 Comparing the numerical solution and analytical resultsof the excess pore-pressure for one-dimension saturated column under static load

由于Biot 控制方程的復(fù)雜性，目前仍未有二維及三維問題飽和土動(dòng)力響應(yīng)問題的解析解，因此為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所編制u-w格式飽和土控制方程的正確性，將本文的飽和土雙相介質(zhì)退化為單相介質(zhì)(通過固定孔隙流體相對(duì)固體位移自由度wi，同時(shí)取Biot 參數(shù)α =M=0)，并與已有數(shù)值結(jié)果對(duì)比[37]。為此，建立高10m，寬100m 的平面應(yīng)變地基模型，該模型左上角表面1m 范圍內(nèi)施加均布荷載，均布荷載在時(shí)間T內(nèi)成三角形變化，如圖3所示。退化后土體參數(shù)E=100 MPa，ν=0.3 及 ρ=2000 kg/m3，荷載持續(xù)時(shí)間為T=0.16 s。模型左邊為自由邊界，底面為固定邊界條件，計(jì)算結(jié)果分析了地基右邊固定及右邊自由兩種工況下地基頂部中點(diǎn)A處的位移，并將計(jì)算結(jié)果與JU 和WANG[37]的論文結(jié)果對(duì)比。

圖3 平面應(yīng)變地基模型示意圖/m Fig.3 Foundation model of plane strain

圖4為模型右邊界固定及自由情況下本文計(jì)算結(jié)果與JU 和WANG[37]的計(jì)算結(jié)果對(duì)比曲線，由圖可知，右端固定和自由時(shí)，本文結(jié)果與JU 和WANG[37]的計(jì)算結(jié)果均吻合的很好，由此驗(yàn)證本文計(jì)算程序的正確性。

圖4 模型頂面中點(diǎn)A水平位移ux 時(shí)程曲線Fig.4 The time-history curve of horizontal displacement ux of point A at the top surface of themodel

3.2 算例分析

為研究孔隙尺寸效應(yīng)對(duì)循環(huán)動(dòng)荷載下飽和土動(dòng)力響應(yīng)的影響，本節(jié)將選取幾個(gè)典型的實(shí)例進(jìn)行參數(shù)分析，以研究孔隙尺寸效應(yīng)對(duì)飽和土地基的動(dòng)力固結(jié)及動(dòng)力響應(yīng)的影響。具體如下：

3.2.1循環(huán)荷載下一維動(dòng)力固結(jié)

循環(huán)荷載下飽和土的一維固結(jié)計(jì)算模型尺寸如圖1所示，但模型頂部作用正弦荷載P=P0sin(ωt)，其中：P0=100 kPa為 正弦荷載幅值；ω=2πf為圓頻率；f=1/T為正弦荷載頻率；T為正弦荷載周期；位移觀測(cè)點(diǎn)位于土柱中心，孔隙水壓力觀測(cè)點(diǎn)位于模型底面，數(shù)值積分采用Newmark 積分，時(shí)間間隔 Δt應(yīng)隨所施加荷載頻率的變化而變化，如：頻率較小時(shí)，時(shí)間間隔 Δt可選取較大值，而頻率較大時(shí)選取的時(shí)間間隔 Δt應(yīng)較小(本文計(jì)算時(shí)滿足Δt≤T/8，即1/4荷載區(qū)域內(nèi)應(yīng)有包含兩個(gè)時(shí)間積分點(diǎn)，以保證計(jì)算的精度)；模型左右邊界約束固體顆粒及流體的法向位移，底部為固定邊界和不透水邊界條件；飽和土的物理力學(xué)參數(shù)見表2中的材料1。

表2 飽和土物理力學(xué)參數(shù)Table2 physical and mechanical parametersof saturated soil

圖5為荷載頻率不同時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)O的位移時(shí)域響應(yīng)，表征孔隙尺寸效應(yīng)的非局部參數(shù)取值分別為0.00 m、0.04m 和0.08 m。由圖可知，荷載頻率為500Hz 時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)O的位移響應(yīng)隨非局部參數(shù)的增加，變化不大。而由圖5(b)～圖5(d)可以看出，隨非局部參數(shù)的增加，位移響應(yīng)的峰值向后移動(dòng)，即飽和土中波的相位差發(fā)生了變化。這是由于頻率較小時(shí)，循環(huán)荷載在飽和土內(nèi)產(chǎn)生的波的波長較長，此時(shí)可以認(rèn)為飽和土中的波長遠(yuǎn)大于飽和土介質(zhì)的孔隙尺寸，由此導(dǎo)致孔隙尺寸效應(yīng)的影響并不明顯。而隨著荷載振動(dòng)頻率的增加，循環(huán)荷載在飽和土中產(chǎn)生的波的頻率增加，此時(shí)，飽和土中的波長接近甚至小于飽和土介質(zhì)的孔隙尺寸，由TONG 等[27]研究結(jié)果可知，考慮孔隙尺寸效應(yīng)時(shí)，隨波頻率的增加，飽和土介質(zhì)的波速減小，由此導(dǎo)致隨非局部參數(shù)的增加，觀測(cè)點(diǎn)O的位移響應(yīng)向后移動(dòng)。

圖6為不同荷載頻率時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)B的孔隙水壓力隨時(shí)間變化曲線。由圖可知，荷載頻率較低時(shí)，非局部Biot 理論的計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典Biot 理論計(jì)算結(jié)果幾乎一致，而頻率較高時(shí)，此時(shí)，隨非局部參數(shù)的增加，改變了飽和土介質(zhì)中波速的相位差，由此導(dǎo)致孔隙水壓力響應(yīng)稍有滯后。其原因與圖5相同，在此不在贅述。此外，對(duì)比圖6中的四幅圖可看出，隨入射頻率的增加，整體孔隙水壓力變小。

圖5 不同荷載頻率下一維飽和土地基位移響應(yīng)時(shí)程曲線Fig.5 The displacement time-history curve of the onedimensional saturated foundation for different load frequency

圖6 不同荷載頻率下一維飽和土地基孔壓響應(yīng)時(shí)程曲線Fig.6 The pore-pressure time-history curveof the onedimensional saturated foundation for different load frequency

3.2.2循環(huán)荷載下二維飽和土地基動(dòng)力響應(yīng)

為充分研究孔隙尺寸效應(yīng)對(duì)飽和土地基動(dòng)力響應(yīng)的影響，本節(jié)采用如圖3的循環(huán)荷載下飽和土地基的計(jì)算模型尺寸，但在模型左端1m 范圍內(nèi)作用有均勻分布的正弦荷載，荷載周期為T，荷載頻率取為1000Hz。模型底面為固定且不透水邊界，左右邊界為自由且排水邊界(不對(duì)土骨架位移及流體相對(duì)土骨架位移施加任何約束)。觀測(cè)點(diǎn)位于距離模型右側(cè)10m 處的A點(diǎn)(地表)和模型表面中心B點(diǎn)。本實(shí)例飽和土所采用物理力學(xué)參數(shù)見表2中的材料2。

圖7和圖8分別為循環(huán)動(dòng)荷載下觀測(cè)點(diǎn)B和觀測(cè)點(diǎn)A的固體位移及流體相對(duì)固體位移的時(shí)程曲線，由圖可知，時(shí)間小于1.6×10-2s時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)B的位移響應(yīng)為0，這是由于左端均布荷載產(chǎn)生的波還未到達(dá)觀測(cè)點(diǎn)B，隨時(shí)間的增加，觀測(cè)點(diǎn)B開始波動(dòng)，但考慮非局部效應(yīng)，B點(diǎn)出現(xiàn)波動(dòng)的時(shí)間稍有延遲，且隨著時(shí)間的增加位移響應(yīng)的延遲愈加明顯。該現(xiàn)象也可從觀測(cè)點(diǎn)A看出，所不同的是A點(diǎn)產(chǎn)生波動(dòng)的時(shí)間大約在3×10-2s時(shí)刻。從圖中還可以看出，考慮孔隙尺寸效應(yīng)對(duì)飽和土介質(zhì)中位移場(chǎng)的幅值影響不大，只是對(duì)飽和土介質(zhì)中波速影響較大，由此導(dǎo)致位移場(chǎng)的相位差發(fā)生變化。由此說明，孔隙尺寸效應(yīng)對(duì)循環(huán)荷載所引起地基中的能量影響較小。此外，由圖中的插圖可知，隨時(shí)間的增加，位移場(chǎng)波動(dòng)幅值略有增加的趨勢(shì)，這是由于所施加的動(dòng)載的持續(xù)作用，在介質(zhì)中的能量積累所致。

圖7 觀測(cè)點(diǎn)A的位移時(shí)域響應(yīng)Fig.7 Displacement response in time domain at point A

圖8 觀測(cè)點(diǎn)B 位移時(shí)域響應(yīng)Fig.8 Displacement response in time domain at point B

3.2.3循環(huán)荷載下飽和土地基動(dòng)力響應(yīng)

本節(jié)例子所模擬的是一個(gè)飽和土地基，在其中心處作用一個(gè)均勻分布荷載P，荷載隨時(shí)間呈正弦變化。考慮到該問題的對(duì)稱性，僅考慮一半模型，如圖9所示。約束模型兩側(cè)及底部的法向位移，且模型兩側(cè)及底面為不透水邊界條件。模型的幾何參數(shù)及網(wǎng)格劃分如圖9所示，物理力學(xué)參數(shù)見表3.2中的材料3。正弦荷載幅值為100 kPa，振動(dòng)頻率為1000 Hz，Newmark 積分步長選取為Δt=1.0×10-5s，即所分析的時(shí)長為3×10-2s。本節(jié)主要分析，非局部參數(shù)對(duì)循環(huán)荷載下飽和土地基位移及孔壓響應(yīng)的影響，觀測(cè)點(diǎn)位于模型的四個(gè)頂點(diǎn)，順時(shí)針方向依次為點(diǎn)1、點(diǎn)2、點(diǎn)3及點(diǎn)4(如圖9所示)。

圖9 條形荷載作用下地基響應(yīng)計(jì)算模型Fig.9 Calculating modelof the responseof foundation subjected to a strip load

圖10為循環(huán)荷載下觀測(cè)點(diǎn)1和2處位移時(shí)程曲線，表征孔隙尺寸效應(yīng)的非局部參數(shù)分別取為?0=0.00 m 和?0=0.08m。由圖可知，觀測(cè)點(diǎn)1的位移響應(yīng)隨時(shí)間的增加呈現(xiàn)出波動(dòng)上升的趨勢(shì)，而考慮非局部參數(shù)后，位移響應(yīng)相對(duì)于經(jīng)典Biot 理論(非局部參數(shù)取0)的計(jì)算結(jié)果有向后延遲現(xiàn)象，其原因是由于觀測(cè)點(diǎn)1距離荷載作用區(qū)域有一定的距離，而考慮非局部效應(yīng)后飽和土中波速有所降低所致。而觀測(cè)點(diǎn)2位于荷載的下方，因此隨時(shí)間增加位移場(chǎng)的相位差相差不大，但其振動(dòng)幅值有一定程度的減小。

圖10 位移時(shí)程曲線Fig.10 Displacement time-history curve

圖11為循環(huán)荷載下，上述四個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的孔壓隨時(shí)間變化曲線，由圖可看出，觀測(cè)點(diǎn)1、觀測(cè)點(diǎn)2和觀測(cè)點(diǎn)4孔壓響應(yīng)開始時(shí)間有不同程度的延遲，其原因?yàn)楦饔^測(cè)點(diǎn)與荷載的距離不同，導(dǎo)致其產(chǎn)生響應(yīng)的時(shí)間不同。由于觀測(cè)點(diǎn)2正好位移荷載下方，因此，孔壓響應(yīng)沒有延遲現(xiàn)象，且考慮及不考慮孔隙尺寸效應(yīng)所引起孔壓響應(yīng)的相位基本一致。此外，考慮孔隙尺寸效應(yīng)后，觀測(cè)點(diǎn)1的孔壓振動(dòng)幅值有一定的增大，而觀測(cè)點(diǎn)2、觀測(cè)點(diǎn)3和觀測(cè)點(diǎn)4處孔壓幅值則呈現(xiàn)出不同程度減小，且孔壓響應(yīng)均有滯后的現(xiàn)象。

圖11 孔壓時(shí)程曲線Fig.11 Pore pressure time-history curve

4 結(jié)論

本文基于非局部Biot 理論，采用虛位移法構(gòu)建了有限元空間離散方程，采用Newmark 積分法對(duì)時(shí)間進(jìn)行了離散，并采用MATLAB軟件編制了飽和土地基二維動(dòng)力固結(jié)的有限元計(jì)算程序，通過與解析解及已有的單相介質(zhì)數(shù)值解的對(duì)比，驗(yàn)證了本文有限元計(jì)算程序的正確性。進(jìn)而，采用該有限元程序分析了三種典型的工程實(shí)例，得出如下結(jié)論：

(1)荷載頻率振動(dòng)頻率較低時(shí)，非局部Biot 理論與經(jīng)典Biot 理論所預(yù)測(cè)的結(jié)果差別很小，即非局部參數(shù)的影響很小；

(2)當(dāng)輸入高頻荷載時(shí)，孔隙尺寸效應(yīng)的影響逐漸顯現(xiàn)，且非局部參數(shù)對(duì)位移和應(yīng)力響應(yīng)的相位產(chǎn)生顯著影響，使得位移場(chǎng)及孔壓的響應(yīng)時(shí)間有所延遲。這是由于考慮孔隙尺寸效應(yīng)后，飽和土中的波速有所降低，由此導(dǎo)致荷載在飽和土中引起的波傳播至觀測(cè)點(diǎn)的時(shí)間有所延長，從而引起位移及孔壓延遲響應(yīng)的現(xiàn)象。

本文的數(shù)值模型可以用于研究如廠房機(jī)械振動(dòng)、高速鐵路、高速公路地基的動(dòng)力響應(yīng)及固結(jié)沉降分析等飽和土動(dòng)力響應(yīng)及固結(jié)沉降問題。