一種微型航天器姿態(tài)跟蹤的四元數(shù)實(shí)現(xiàn)方法

馮路明 路坤鋒 劉曉東

1.北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854 2.宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100854

0 引言

空間航天器在執(zhí)行對(duì)目標(biāo)跟蹤與觀測(cè)、編隊(duì)飛行、空間交會(huì)對(duì)接、軌道轉(zhuǎn)移等空間任務(wù)時(shí)，需要航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)精確地跟蹤指令坐標(biāo)系。姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)效果對(duì)在軌服務(wù)性能的穩(wěn)定性和可靠性有著十分重要的影響[1]，因此姿態(tài)控制系統(tǒng)研究一直是空間科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)問題。

航天器執(zhí)行任務(wù)期間需要從初始姿態(tài)過渡到指令姿態(tài)并實(shí)現(xiàn)姿態(tài)指令的穩(wěn)定跟蹤，描述飛行器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)通常采用歐拉角法和四元數(shù)法。由于航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)范圍大，當(dāng)采用歐拉角法時(shí)，歐拉方程將出現(xiàn)奇異點(diǎn)。而四元數(shù)微分方程是代數(shù)方程，在計(jì)算過程中不會(huì)出現(xiàn)奇異點(diǎn)的情況，因此本文采用四元數(shù)描述航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)及姿態(tài)跟蹤方法。

目前姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計(jì)方法通常有LQR控制、滑模變結(jié)構(gòu)非線性控制以及自適應(yīng)控制方法。LQR基于姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的線性化模型，通過最小化某一性能指標(biāo)求出控制量，但該方法在實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制的同時(shí)不可避免地帶來系統(tǒng)線性化誤差。滑模變結(jié)構(gòu)控制雖能有效地抑制外界干擾和系統(tǒng)不確定性，但因其采用三通道控制，不能實(shí)現(xiàn)能量最小控制。自適應(yīng)控制通過設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)的自適應(yīng)控制器可以逐漸調(diào)整一部分系統(tǒng)參數(shù)，適應(yīng)航天器內(nèi)部系統(tǒng)參數(shù)具有較大不確定性的情況，因此廣泛應(yīng)用在航天器姿態(tài)控制問題上[2-3]。

目前，航天器的四元數(shù)姿態(tài)控制方法研究大多集中在解決姿態(tài)控制性能需求方面。本文基于現(xiàn)代控制理論，將復(fù)雜的非線性航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型轉(zhuǎn)化成一個(gè)特征結(jié)構(gòu)可以任意配置的線性定常狀態(tài)空間模型。利用極點(diǎn)配置具有很大自由度的特點(diǎn)，通過極點(diǎn)配置法實(shí)現(xiàn)線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，該方法的應(yīng)用性和自由度都很高，設(shè)計(jì)靈活。

1 基于誤差四元數(shù)的姿態(tài)機(jī)動(dòng)模型

1.1 航天器姿態(tài)跟蹤的四元數(shù)描述

航天器相對(duì)慣性空間以角速度ω1旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為qd。設(shè)期望坐標(biāo)系相對(duì)慣性空間以角速度ωr旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為qr。定義由期望坐標(biāo)系到航天器坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)為誤差四元數(shù)qe，則[4]：

(1)

圖1 航天器運(yùn)動(dòng)四元數(shù)與指令四元數(shù)關(guān)系

航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的四元數(shù)微分方程為：

(2)

誤差四元數(shù)微分方程方程為：

(3)

則式(3)可以表示為：

(4)

定義：

(5)

根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

(6)

(7)

將式(7)代入式(6)，整理可得：

(8)

將式(5)表示的ω1代入式(8)，整理得：

(9)

1.2 基于四元數(shù)的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)模型

定義誤差四元數(shù)矢量部分：q=[qe1qe2qe3]T，由公式(3)可得：

(10)

對(duì)公式(10)求導(dǎo)，將一階的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型：

(11)

由式(4)得：

(12)

因此：

(13)

令：

則角速度ωe1可以表示為：

(14)

為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)，假設(shè)飛行器各通道之間轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無耦合，即：J1=diag(Jx1，Jy1，Jz1)

令：J=[Jx1Jy1Jz1]T

將ωe1、J1代入式(9)得：

(15)

其中：

則：

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

將式(16)～ (20)代入式(11)，得到由誤差四元數(shù)描述的姿態(tài)控制系統(tǒng)模型：

(21)

1.3 基于誤差四元數(shù)的姿態(tài)跟蹤問題描述

針對(duì)式(21)描述的關(guān)于q的航天器二階系統(tǒng)模型，其控制問題的提法是設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)目刂坡蓇：

u=f(q)=f(q1,q2,q3)

(22)

使得閉環(huán)系統(tǒng)

(23)

滿足:

(24)

當(dāng)被控航天器的姿態(tài)誤差四元數(shù)矢量部分q從初始值到達(dá)平衡點(diǎn)qe=[0 0 0]T時(shí)，控制系統(tǒng)完成了航天器姿態(tài)跟蹤控制問題。

2 基于誤差四元數(shù)的姿態(tài)跟蹤控制器

控制器設(shè)計(jì)的目的是在系統(tǒng)存在干擾的情況下，實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)的穩(wěn)定與跟蹤，因此，對(duì)于系統(tǒng)確定性擾動(dòng)，通過設(shè)計(jì)補(bǔ)償控制器來實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制系統(tǒng)的擾動(dòng)抑制能力，因此控制器設(shè)計(jì)如下所述：

u=uf+uc

(25)

其中，uc補(bǔ)償是為了抑制系統(tǒng)的確定性干擾設(shè)計(jì)的補(bǔ)償控制器，uf為狀態(tài)反饋控制律。

2.1 擾動(dòng)補(bǔ)償控制器

將式(25)設(shè)計(jì)的控制器代入式(21)描述的閉環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)選擇

即：

(26)

2.2 控制器設(shè)計(jì)

經(jīng)過擾動(dòng)補(bǔ)償后，控制系統(tǒng)的二階模型可以表示為：

(27)

狀態(tài)反饋控制量：

(28)

擾動(dòng)補(bǔ)償后的閉環(huán)控制系統(tǒng)模型變?yōu)椋?/p>

(29)

其中：

對(duì)式(29)表示的系統(tǒng)進(jìn)行線性變換[5]：

(30)

其中：

則式(28)和式(29)系統(tǒng)的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為式(31)描述的Sylvester方程求解問題：

(31)

其中：

式(31)系統(tǒng)左右互質(zhì)分解及其解為[6-7]：

(32)

Z∈Rn×2n是自由參數(shù)，可根據(jù)具體的指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化求解。

F∈R2n×2n是自由的待定參數(shù)，用于配置系統(tǒng)特征根，可以根據(jù)系統(tǒng)指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化求解。

2.3 控制量?jī)?yōu)化求解

由于式(31)描述的穩(wěn)定系統(tǒng)系數(shù)矩陣F可以自由配置，因此可以通過優(yōu)化某一特定的性能指標(biāo)Jopt求解狀態(tài)反饋控制器uf。

對(duì)于線性系統(tǒng)，通常以系統(tǒng)特征根靈敏度作為優(yōu)化指標(biāo)[8-9]，因此選擇系統(tǒng)特征根的二范數(shù)作為優(yōu)化指標(biāo)，即：

(33)

式(33)的優(yōu)化問題，可以通過式(32)描述的帶約束非線性規(guī)劃方法求解：

minJopt(F,Z)

(34)

利用Matlab優(yōu)化工具箱進(jìn)行求解，可以得到λi，則

F=diag(λ1,λ2,…,λ2n)

優(yōu)化出F、Z后，即可求解狀態(tài)反饋增益矩陣Kf，進(jìn)而根據(jù)確定性擾動(dòng)與狀態(tài)反饋控制量求解出系統(tǒng)的控制律：

(35)

將u代入式(6)，即可實(shí)現(xiàn)航天器姿態(tài)跟蹤的閉環(huán)控制。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真條件

假設(shè)微型航天器初始時(shí)刻處于空間靜止?fàn)顟B(tài)，指令坐標(biāo)系以角速度ωr旋轉(zhuǎn)。

(36)

描述指令坐標(biāo)系的四元數(shù)初值：

qr(0)=[0.5000 -0.6456 0.4655 0.3412]T

描述飛行器本體坐標(biāo)系的四元數(shù)初值：

qd(0)=[1.0 0.0 0.0 0.0]T

誤差四元數(shù)初值為：

[0.5000 0.6456 -0.4655 -0.3412]T

在機(jī)動(dòng)過程中，假設(shè)航天器的慣量矩陣不變，且各軸之間無交聯(lián)耦合。

Jx1=0.014kg·m2
Jy1=0.025kg·m2
Jz1=0.018kg·m2

通過極點(diǎn)配置后的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣為：

F=diag(-0.18，-0.2，-0.22，-0.35，-0.44，-0.5)

仿真時(shí)間150s，控制周期20ms。

3.2 仿真結(jié)果

依據(jù)3.1節(jié)仿真條件進(jìn)行仿真，結(jié)果如下所示：

圖2 qd與qr隨時(shí)間變化曲線

圖3 誤差四元數(shù)標(biāo)量q0隨時(shí)間變化曲線

圖5 誤差四元數(shù)矢量導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間變化曲線

圖6 控制力矩隨時(shí)間變化曲線

4 結(jié)論

建立了基于誤差四元數(shù)的微型航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)該模型，同時(shí)基于狀態(tài)反饋控制器，通過配置系統(tǒng)的極點(diǎn)，滿足飛行器對(duì)姿態(tài)控制系統(tǒng)的性能需求。數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證表明：通過四元數(shù)狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)的控制器能夠穩(wěn)定地以高精度跟蹤姿態(tài)指令。