光學(xué)干涉教學(xué)中噪聲因素的探究
——以散射光聚焦為例

洪佩龍，易明芳

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

光學(xué)在現(xiàn)代信息技術(shù)、先進制造和精密測量等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，已成為推動科技進步和社會發(fā)展的關(guān)鍵驅(qū)動力[1-2]。隨著光學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，世界主要創(chuàng)新型國家對光學(xué)技術(shù)人才的需求日益迫切，產(chǎn)業(yè)界亦面臨著光學(xué)技術(shù)人才短缺的困境[3]。近年來，我國施行“新工科”教育改革，對培養(yǎng)光學(xué)領(lǐng)域創(chuàng)新型人才提出了更高要求[4-6]。在這一背景下，光學(xué)人才的培養(yǎng)既要深化理論功底，又要緊扣工程創(chuàng)新能力[7-8]。然而，傳統(tǒng)光學(xué)課堂往往偏重基礎(chǔ)理論的傳授，而缺乏對理論知識與工程應(yīng)用聯(lián)系的討論[9-10]。因此，在光學(xué)教學(xué)中，引入既具有理論深度又能與工程實際相結(jié)合的案例成為新的挑戰(zhàn)。

光場干涉是光學(xué)課程的核心概念[11]。光場干涉教學(xué)一般從最基礎(chǔ)的兩路徑疊加出發(fā)，講清楚楊氏雙縫干涉、邁克爾遜干涉儀、牛頓環(huán)等；然后深入到多路徑疊加，講解多縫光柵、法布里珀羅干涉儀、薄膜干涉等。無論是在兩路徑疊加還是在多路徑疊加中，光學(xué)路徑間的相對相位是決定和分析干涉增強或減弱的關(guān)鍵。這一關(guān)鍵點也體現(xiàn)在光子學(xué)前沿研究中，為了將散射光場匯聚到某一特定的觀測點，必須使得多條散射路徑間的相位差為2π的整數(shù)倍。目前，先進的波前整形技術(shù)正是基于該原理，先通過實驗測定散射路徑間的相位差，然后利用光場調(diào)控設(shè)備來補償該相位差，進而實現(xiàn)散射光的聚焦。

此外，光場干涉也是眾多先進光子學(xué)技術(shù)所涉及的基本原理，包括光譜探測、表面形貌精密測量、光學(xué)成像等。然而，在實際光學(xué)裝置中，噪聲會不可避免地影響實驗的測量結(jié)果，并在很大程度上決定著光學(xué)裝置的靈敏度乃至可行性[12]。盡管傳統(tǒng)課堂對光場干涉基本原理的講解較為詳實，但對干涉特性與噪聲內(nèi)在聯(lián)系的討論尚有欠缺。為此，本文將光學(xué)前沿研究中的散射光聚焦引入到課程教學(xué)中，并基于仿真實驗系統(tǒng)地探討噪聲對聚焦效果的影響，以期闡明噪聲對光學(xué)干涉裝置的重要作用。該案例結(jié)合光學(xué)前沿來探究光學(xué)干涉中的噪聲因素，一方面引導(dǎo)學(xué)生將理論知識與實際應(yīng)用相結(jié)合，從而培養(yǎng)學(xué)生的工程思維；另一方面促使學(xué)生將課本知識和前沿研究聯(lián)系起來，從而形成對光子學(xué)技術(shù)中非理想因素進行系統(tǒng)性思考的習(xí)慣，并最終促進高水平光學(xué)人才的培養(yǎng)。

1 散射光場聚焦的基本理論

無序介質(zhì)是指結(jié)構(gòu)具有一定無序度的材料，在自然界中廣泛存在，如生物組織、云層、墻面等。光在無序介質(zhì)中傳播時，會經(jīng)歷多重散射過程，最終在出射端呈現(xiàn)出散斑現(xiàn)象；實現(xiàn)散射光場聚焦是復(fù)雜光場調(diào)控領(lǐng)域的前沿?zé)狳c問題[13]。目前，波前整形技術(shù)是實現(xiàn)散射光場聚焦的核心技術(shù)，其基本原理為光學(xué)課程中重點講述的多路徑干涉增強。本文首先闡述了波前整形的工作原理，隨后討論了實際裝置中噪聲對散射光聚焦效果的影響。

光場的多重散射是一個線性光學(xué)過程，可以用散射矩陣來描述。假設(shè)將入射光場和透射端散射光的每一個空間模式按順序排列，分別構(gòu)成列矢Ein和Eout。如果入射端可調(diào)的空間模式數(shù)目為N，則Ein為一個包含N個元素的列矢。同理，列矢Eout大小取決于出射端光場的空間模式數(shù)目。那么，可以引入一個二維透射矩陣T來描述無序介質(zhì)對光場的散射，而且透射端和入射端散射光場存在如下數(shù)學(xué)關(guān)系[14]：

其中，針對無序散射介質(zhì)，透射矩陣T的每一個矩陣元是隨機且滿足高斯分布的復(fù)數(shù)[14]。

從公式（1）可知，Eout的一個元素表示某一出射位置的散射光場，由Ein中的不同入射模式經(jīng)過T所表示的不同散射路徑疊加形成。由于這些散射路徑之間的相位隨機分布，散射光場表現(xiàn)為明暗不同且無序的散斑，其光強滿足瑞利分布。為了實現(xiàn)散射光的聚焦，一般通過控制入射光的復(fù)振幅分布來實現(xiàn)：

其中，Etar代表在目標(biāo)位置產(chǎn)生聚焦點的目標(biāo)列矢量，T+是T的轉(zhuǎn)置共軛矩陣。這時，將Efoc代入公式（1）的入射列矢Ein，則不同散射路徑之間的相位保持一致，并產(chǎn)生多路徑干涉增強。

因為T通常不是完備的散射矩陣，所以散射光的聚焦并不完美。經(jīng)過波前整形，散射光場除了會在目標(biāo)位置產(chǎn)生一個干涉增強的聚焦點，其它位置依然會存在如圖1所示的剩余散斑。此外，在波前整形裝置中，光場調(diào)控設(shè)備如空間光調(diào)制器往往只控制入射光的波前相位，而不是復(fù)振幅，因而在入射光波前引入了額外的誤差，從而導(dǎo)致剩余散斑進一步增強。為了表征散射光的聚焦效果，一般采用聚焦位置光強的增強倍數(shù)來定量描述，即聚焦增強系數(shù)η：

圖1 基于波前整形實現(xiàn)的散射光聚焦

其中，Ifoc是經(jīng)波前整形后目標(biāo)位置聚焦點的光強大小，Ibg是目標(biāo)位置散斑光強的系綜平均值。為了得到系綜平均后的透射光場，可在入射光加載若干個隨機波前，對獲得的透射光強求平均。根據(jù)平均透射場分布，可得到目標(biāo)位置的系綜平均值Ibg。如果在波前整形中只控制入射光的波前相位，那么多次實驗得到的聚焦增強系數(shù)平均值和可控自由度N之間的理論關(guān)系為[15]

一般而言，入射光波前可控自由度N的大小取決于實驗中空間光調(diào)制器的有效像素數(shù)目，即用多少像素來獨立地調(diào)控所在位置的波前相位。在反饋式波前整形實驗中，為了實現(xiàn)散射光的聚焦，可采用一個相機探測透射端目標(biāo)位置的光強，并監(jiān)測其隨調(diào)控模式的可控相位KA的變化[15]：

其中，IA和ΦA(chǔ)分別表示來自入射光調(diào)控位置的散射光強度和相位，而IB和ΦB則分別表示來自其它非調(diào)控位置的散射光強度和相位。通過監(jiān)控Itar隨KA的變化，可以提取出最佳相位Km，其中最佳相位滿足Km+ΦA(chǔ)-ΦB=0。隨后，將該過程遍歷每一個入射模式，即可獲得一個結(jié)構(gòu)化的相位圖，并將其通過空間光調(diào)制器加載到入射光波前，則可實現(xiàn)散射光場聚焦。

本文根據(jù)反饋式波前整形理論，采用Matlab對散射光的聚焦過程進行了仿真。在反饋式波前整形過程中，背景光場IB和ΦB隨調(diào)控位置的改變有細(xì)微的變化。為消除該變化所引入的誤差，我們針對入射波前的N個單元進行了兩輪相位測量，并得到一個優(yōu)化的結(jié)果。由于每次獨立的波前整形都改變了透射矩陣T，其對應(yīng)著實驗中對樣品不同位置的散射光進行聚焦，因而每次得到的聚焦增強系數(shù)η各不相同。在仿真實驗中，對不同N分別進行10 次獨立的波前整形，從而得到聚焦增強系數(shù)的平均值ηˉ和標(biāo)準(zhǔn)差，結(jié)果如圖2 所示。對這些數(shù)據(jù)點進行線性擬合，得到其斜率為0.81，與公式（4）的理論值π/4接近。

圖2 無噪聲下聚焦增強系數(shù)ηˉ與波前整形自由度N的關(guān)系

2 噪聲對散射光聚焦效果的影響

前文的理論和仿真實驗并沒有考慮實際裝置中的噪聲，故與實際的實驗結(jié)果差異明顯。具體而言，在典型的波前整形裝置中需要考慮空間光調(diào)制器的相位噪聲、光場的探測噪聲及樣品去相干引入的噪聲?；诖耍覀兎謩e對各種噪聲的影響進行了討論，以期明晰各種噪聲對散射光聚焦的影響特點。

2.1 空間光調(diào)制器的相位噪聲

空間光調(diào)制器具有大量的像素點，可單獨控制入射光的波前相位。然而，空間光調(diào)制器的相位控制具有一定的誤差。通常假設(shè)不同像素點的相位誤差滿足高斯分布：

其中，φ0表示預(yù)期的精確相位，φ表示空間光調(diào)制器實際加載的相位，σs表示相位誤差的大小。

為了明晰該相位噪聲對聚焦效果的影響，我們在仿真程序中引入了不同強度的相位誤差，并保持其它條件一致，得到了如圖3（a）所示的ηˉ隨調(diào)控模式數(shù)N的變化情況。

圖3 存在相位噪聲時聚焦增強系數(shù)與波前整形自由度（a）和噪聲強度（b）的關(guān)系

由圖可知，隨著相位噪聲的增加，ηˉ與N之間依然保持線性關(guān)系，但是斜率變小。這意味著實際裝置中的散射光聚焦依然可通過增加入射端的調(diào)控自由度來增強，但是聚焦效果較理論情況有一定減弱。隨后，選定入射端調(diào)控自由度N為100，通過改變空間光調(diào)制器的噪聲強度σs來研究增強系數(shù)ηˉ隨σs的變化規(guī)律。如圖3（b）所示，隨著σs的增大呈現(xiàn)高斯線型衰減，即=+1。當(dāng)σs趨于無窮時，聚焦增強系數(shù)趨近于1，表示無法實現(xiàn)散射光的聚焦。

2.2 光場的探測噪聲

在反饋式波前整形中，探測器測量到的光強是推導(dǎo)優(yōu)化相位的依據(jù)。然而，探測器測量的光強既依賴于入射模的相位變化，也存在著一些隨機變化的噪聲，噪聲主要來源包括激光功率噪聲和散粒噪聲。激光功率噪聲由激光器功率不穩(wěn)定所引起，可模型化為一個高斯分布的隨機噪聲：

其中，Ic是激光的平均光強，I是激光的瞬時光強，σc是激光噪聲的大小。

散粒噪聲是激光的量子噪聲，該噪聲始終存在，其變化滿足泊松分布[16]：

本文在探測信號中引入了功率噪聲及散粒噪聲。通過改變?nèi)肷涠苏{(diào)控的模式數(shù)N，可獲得不同功率噪聲下的聚焦增強系數(shù)如圖4（a）所示，當(dāng)僅存在散粒噪聲而不存在功率噪聲時(σc=0)隨N的變化不再是線性增加的，而是出現(xiàn)飽和的趨勢，其滿足=η0(1-e-k(N-1))+1。這一變化規(guī)律在激光功率噪聲的引入和增加時表現(xiàn)得更加明顯。為了進一步確定激光功率噪聲對聚焦增強系數(shù)的影響，本文研究了在N=100時隨功率噪聲強度σc的變化情況。如圖4（b）所示，隨著σc的增加指數(shù)下降，其滿足=η0e-kσc+η1。由此可見，低功率噪聲激光器在波前整形裝置中極為重要。

圖4 存在探測噪聲時聚焦增強系數(shù)與波前整形自由度（a）和聚焦增強系數(shù)（b）的關(guān)系

2.3 樣品去相干引入的噪聲

在實際裝置中，散射樣品的結(jié)構(gòu)隨時間發(fā)生了改變，因而光場在樣品中的散射路徑也隨之改變，稱之為樣品的去相干效應(yīng)。這種去相干效應(yīng)使得透射矩陣T在波前整形過程中發(fā)生了變化，導(dǎo)致散射光聚焦時的最佳波前發(fā)生變化。因此，在波前整形裝置中，散射光聚焦效果必然受到樣品去相干引入的噪聲影響。為了定量研究去相干噪聲對散射光聚焦的影響，可以假設(shè)在波前整形過程的每一次光強探測后，透射矩陣的所有矩陣元都單獨受到了隨機復(fù)數(shù)的干擾，并假設(shè)該干擾復(fù)數(shù)滿足高斯分布[15]：

其中，ti是第i次波前整形的任意矩陣元值，δti+1是去相干引入的干擾項，σd是δti+1和ti標(biāo)準(zhǔn)方差比值。

如圖5（a）所示，仿真實驗控制了隨機干擾項的強度，并通過改變?nèi)肷涠苏{(diào)控的模式數(shù)N，獲得了不同條件下的聚焦增強系數(shù)隨N的變化特點。當(dāng)存在去相干時，隨N的變化不再是線性增加，而是隨N的增加出現(xiàn)飽和趨勢，其滿足=η0(1-e-k(N-1))+1。隨著去相干效應(yīng)的增強，聚焦增強系數(shù)明顯減小。為了進一步確定去相干噪聲的影響，我們探究了N=100時隨去相干強度的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)隨著增加指數(shù)下降，其滿足=η0e-kσd2+1。由此可見，動態(tài)無序介質(zhì)的散射光聚焦更為困難。

圖5 不同去相干條件下聚焦增強系數(shù)與波前整形自由度（a）和聚焦增強系數(shù)（b）的關(guān)系

3 各種噪聲對散射光聚焦效果的綜合影響

在實際光學(xué)裝置中，散射光聚焦受到各種噪聲的綜合影響。具體而言，散粒噪聲始終存在，激光功率噪聲和相位噪聲跟實驗設(shè)備性能相關(guān)，而去相干引入的噪聲和散射樣品的特性有關(guān)。根據(jù)實際裝置能夠達(dá)到的實驗參數(shù)，我們假設(shè)激光的功率噪聲為1%，空間光調(diào)制器的相位噪聲為1%，且激光的散粒噪聲始終存在。針對一個靜態(tài)無序介質(zhì)和一個存在明顯去相干的動態(tài)無序介質(zhì)，分別研究散射光場聚焦特性隨調(diào)控自由度N的變化。如圖6所示，聚焦增強系數(shù)ηˉ隨N的增加單 調(diào)遞增，直至趨 于飽和，其滿足=η0(1-e-k(N-1))+1。此外，樣品去相干效應(yīng)會減弱的值，并導(dǎo)致的提前飽和。當(dāng)反饋式波前整形受到較大噪聲影響時，雖然能夠?qū)崿F(xiàn)散射光場的聚焦，但是聚焦增強系數(shù)ηˉ大大降低?？紤]ηˉ隨調(diào)控自由度N的變化特征，噪聲使得理論上的線性依賴轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性飽和趨勢，導(dǎo)致過度提高N并不能實現(xiàn)更強的聚焦。

圖6 各種噪聲綜合影響下聚焦增強系數(shù)與波前整形自由度的關(guān)系

明確各種噪聲對散射光聚焦的影響，將促進學(xué)生更好理解散射光場聚焦在保密認(rèn)證[17]、光計算[18]和光學(xué)成像[19]等方面的應(yīng)用。以保密認(rèn)證為例[17]，較高的聚焦增強系數(shù)意味著可減弱照明光場，并提高裝置中單光子的概率，進而增強認(rèn)證過程的安全性。顯然，噪聲的強弱在很大程度上影響著保密認(rèn)證裝置的安全性。為提高量子認(rèn)證裝置的安全性，有必要使用低噪聲的激光、空間光調(diào)制器和探測器等關(guān)鍵設(shè)備。此外，用于認(rèn)證的無序介質(zhì)的時間穩(wěn)定性也極為重要，去相干效應(yīng)明顯的無序介質(zhì)只在有限的時間內(nèi)完成安全認(rèn)證。為提升教學(xué)效果，可進一步將噪聲因素的考量延伸至邁克爾遜干涉儀和法布里珀羅干涉儀等其它典型干涉裝置及應(yīng)用中[11]，引導(dǎo)學(xué)生對噪聲的影響進行討論和分析。

4 結(jié)束語

本文以散射光聚焦為例，探討了聚焦增強系數(shù)ηˉ和空間光調(diào)制器的相位噪聲、探測噪聲及去相干噪聲的依賴關(guān)系。在光學(xué)課程教學(xué)中引入本案例，可以直觀而生動地闡明噪聲對多光束干涉效應(yīng)的重要影響。通過結(jié)合保密認(rèn)證等前沿光子學(xué)應(yīng)用，可以加強對學(xué)生理論聯(lián)系實際等工程創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。此外，以本案例為契機，可將噪聲因素的考量延伸至邁克爾遜干涉儀等其它典型干涉裝置，以課堂提問和討論等形式，引導(dǎo)學(xué)生思考噪聲在相關(guān)應(yīng)用中的重要作用，有助于啟發(fā)學(xué)生從實際應(yīng)用出發(fā)去理解光學(xué)理論，從而促進學(xué)生工程創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。