范希爾理論下初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用策略探析

韓薛成，董琪翔

（揚州大學數(shù)學科學學院，江蘇揚州 225000）

著名數(shù)學家華羅庚教授曾經(jīng)說過：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好。”這首詩說明了要善于將抽象的數(shù)學理論和生動、直觀的圖形兩者相互結(jié)合起來分析問題，這便證明了“數(shù)形結(jié)合”的重要性。但是在當下的初中數(shù)學課堂里，很多學生都畏懼學習數(shù)學，喪失了學習數(shù)學的興趣，更不用說主動思考、解決數(shù)學難題，他們認為數(shù)學枯燥無味，只不過是計算結(jié)果，沒有語文閱讀的“美”。數(shù)學教師要帶領(lǐng)學生深挖教材中的“數(shù)形結(jié)合之美”，引導學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想思考并解決問題，如此方能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。本文將范希爾理論融入初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合教學，探索適合初中生的應(yīng)用策略，期望能在提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)以及幾何思維水平等方面達到更好的效果。

一、范希爾理論簡介

范希爾理論是范希爾夫婦在長期一線教學中總結(jié)出來的經(jīng)驗，故因此命名。這個理論和皮亞杰的認知發(fā)展理論不同，對于指導幾何課堂教學意義重大，目前國內(nèi)有越來越多的人開始研究此理論的價值。范希爾夫婦認為教師應(yīng)該針對學生不同的思維階段組織不同的教學模式，因此將思維水平與教學階段相結(jié)合，對應(yīng)學生的思維水平，提出了“五個教學階段理論”，理論內(nèi)容如下：

階段1：學前咨詢（Information），教師通過進一步了解學生的解題能力，在舊知經(jīng)驗的基礎(chǔ)上施加與之相對應(yīng)的幾何教學，從而提高學生的解題能力，從學生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)確定下一步的學習計劃。

階段2：引導定向（Direct Orientation），教師要在課堂教學環(huán)節(jié)精心設(shè)計豐富多彩的活動，吸引學生主動研究，通過動手操作鞏固新知、掌握學習目標，能夠運用一些學習方法。

階段3：闡明（Explication），接著上面兩個階段學習符號語言的意義，運用符號語言獲得新知，促進教育教學和教師專業(yè)發(fā)展。

階段4：自由定向（Free Orientation），引導學生用多樣化的方法解決問題，從而發(fā)現(xiàn)研究方向，范希爾理論認為這個階段是讓學生利用已有的知識經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)、探索和運用，激發(fā)學生主動學習的意識。

階段5：整合（Integration），學生在此階段歸納總結(jié)、梳理所學知識內(nèi)容，通過自己的理解描述成觀點，將對象與關(guān)系內(nèi)化為一個新的思維領(lǐng)域，教師要鼓勵學生經(jīng)常反思，從而加深理解知識。

二、提倡初中數(shù)學數(shù)形結(jié)合法的原因

（一）課程標準的改變

新課程標準出臺，提出“通過獨立思考或者合作交流感悟數(shù)學的基本思想”，課程標準多次提出要滲透數(shù)學思想，其中就包括數(shù)形結(jié)合思想，這更加凸顯了數(shù)形結(jié)合思想的重要性，越來越多的學者開始研究數(shù)形結(jié)合思想在一線教學中的作用。新課程改革提倡學生能夠運用數(shù)形結(jié)合思想展開探究性學習，在解決問題的過程中能夠培養(yǎng)運用數(shù)形結(jié)合思想的好習慣，有效突破傳統(tǒng)、枯燥的學習模式。習近平同志曾說過“教育是國之根本”，我國非常重視教育，尤其是素質(zhì)教育，不能再搞老一套的“填鴨式”教育。隨著推進教育改革，數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中占據(jù)了不容忽視的地位，越來越多的學者開始重視滲透數(shù)形結(jié)合思想。

（二）實踐教學的需要

古人云：“授人以魚，不如授人以漁”，教師應(yīng)該讓學生掌握學習數(shù)學的思想方法，而不是就題目講題目，因此滲透數(shù)形結(jié)合思想能夠提升學生的數(shù)學素養(yǎng)，使學生思維富有創(chuàng)造性，以后可以為社會發(fā)展、科技進步貢獻一份力量。初中生抽象思維能力還沒有完全發(fā)展，一些難懂的數(shù)學語言成了學生學習數(shù)學路上的“絆腳石”，教師需要借助直觀易懂的數(shù)學模型講解晦澀難懂的數(shù)學知識，也就是滲透數(shù)形結(jié)合思想。每年中高考都會涉及數(shù)形結(jié)合方面的內(nèi)容，有效運用數(shù)形結(jié)合思想不僅有利于學生擴展解題思路，而且也能大大提高解題效率，能夠探索問題的一題多解，加快學生的解題速度，提高解題的正確率。數(shù)形結(jié)合不僅能夠改變傳統(tǒng)的數(shù)學學習模式，給學生學習數(shù)學帶來更多趣味性、便捷性，學生通過直觀的圖形感知并理解更多復雜的數(shù)學知識，而且能夠拓展學生的發(fā)散性、開放性數(shù)學思維，激發(fā)學生的好奇心，讓他們愿意嘗試各種解題方式，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維。

（三）學生學習的需要

縱觀目前的數(shù)學課堂，教師教學和學生解題并沒有普遍運用數(shù)形結(jié)合思想，部分學生根本不懂數(shù)形結(jié)合的含義，還有部分學生也說不出來課本上的題目是否運用了數(shù)形結(jié)合，更別提能夠在考試時運用數(shù)形結(jié)合方法了。每年的中高考試卷都會出現(xiàn)不同程度考查數(shù)形結(jié)合的題目，這些題目不只局限于明顯的關(guān)于“數(shù)”和“形”的數(shù)學問題，而更加關(guān)注考查基于雙基基礎(chǔ)的學生思維的創(chuàng)新能力，這就意味著學生要重視學習和應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想。

三、學生運用數(shù)形結(jié)合思想解題時的問題分析

（一）學生的幾何基礎(chǔ)薄弱，繪圖不規(guī)范

結(jié)合實際教學經(jīng)驗以及與其他教師溝通發(fā)現(xiàn)，大部分學生在運用數(shù)形結(jié)合解題時繪制圖形都不規(guī)范，不會借助直尺畫圖，往往都是畫一些只能自己看懂的草圖，繪圖不準確、不嚴謹往往也會導致解題失敗。畫圖的目的是直觀展示題意，從而促使學生更容易分析解題思路，求得正確結(jié)果。然而很多學生畫的圖形并不能體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，部分學生的幾何基礎(chǔ)薄弱，看到題目中的“是它的1.5 倍”等條件無法準確用線段表示。因此，教師要解決學生在以“形”助“數(shù)”方面遇到的阻礙。

（二）學生無法運用直覺思維分析圖形表征

學生的兩種思維模式?jīng)Q定了學生解題時運用的方法，在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法解決“圖形與幾何”部分的問題時，學生應(yīng)該多以直覺思維分析圖像表征，通過形象、具體、直觀的圖形表征理解關(guān)于數(shù)與代數(shù)部分的知識。而基礎(chǔ)薄弱的學生并不能找準圖形中的數(shù)量關(guān)系，忽視了圖形中的代數(shù)意義，因此無法正確解題。

（三）學生無法用數(shù)學的思維方式理解數(shù)學語言

學生解決問題時總是習慣用自然語言解釋問題，而不能運用數(shù)形結(jié)合思想看待問題，也就是無法理解問題中蘊含的數(shù)學語言。部分學生不理解數(shù)學概念表示的含義，而只是一味地死記硬背，不能基于自己的生活經(jīng)驗給予其相應(yīng)的解釋、嘗試理解數(shù)學概念。

四、范希爾理論下應(yīng)用數(shù)形結(jié)合教學法的策略

（一）學前咨詢階段：復習舊知，調(diào)動學生已有的經(jīng)驗

在新課程改革的推動下，社會對于教師有了更高的要求，教師應(yīng)當與時俱進，及時更新教育理念，培養(yǎng)社會需要的人才，增強滲透數(shù)形結(jié)合思想的意識。數(shù)學思想是學生打開數(shù)學世界大門的“金鑰匙”，教師不應(yīng)該一味地進行“填鴨式”教育，而要關(guān)注情景化教學，關(guān)注學生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的能力，這就要求教師在課堂教學過程中要加強滲透數(shù)學思想，而數(shù)形結(jié)合思想就是數(shù)學思想的重要組成部分，因此教師在課堂教學中要提高滲透數(shù)形結(jié)合思想的意識。

1.在觀察中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想。觀察、操作、證明一直是數(shù)學教學不可或缺的三個環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣、層層遞進。引導學生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，教師首先要從“觀察”環(huán)節(jié)滲透數(shù)形結(jié)合思想。例如，在教學《主視圖、左視圖、俯視圖》一課時，要引導學生充分觀察不同方位看到的圖形特征。

2.在操作中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想。傳統(tǒng)的數(shù)學課以知識為本位，磨滅了學生學習數(shù)學的熱情，導致他們覺得數(shù)學枯燥、無聊。而當前數(shù)形結(jié)合成了以學生為本位的數(shù)學課堂的一種重要的教學方法。比如，在教學《余角、補角、對頂角》一課時，教師要引導學生通過動手操作“擺一擺、拼一拼”，從而感受角的不同大小，感受余角、補角、對頂角的特征。在驗證三角形的內(nèi)角和是180°的過程中，組織學生通過操作擺出不同的三角形，引導學生進一步探索發(fā)現(xiàn)、驗證計算三角形的內(nèi)角和。每一步操作都能滲透數(shù)形結(jié)合思想，一步一步地提高學生的思維能力。

3.在證明中滲透“數(shù)形結(jié)合”思想。研究中考試卷發(fā)現(xiàn)幾乎每張中考試卷中都有一道證明題，而證明題學生往往得分最低，因為很多證明題都要借助圖形進行佐證，但是圖形并不能直接證明，課本明確指出圖形只能作為說理的過程，而這是運用數(shù)形結(jié)合解決問題時一定要注意的問題。例如推導“完全平方公式”時，教師要引導學生構(gòu)建一個邊長為a 的大正方形，還有一個邊長為b 的小正方形，求這兩個正方形的面積差，先在圖中找出面積差的部分，把它分成兩個長方形，一個是面積為a×（a－b）的長方形，一個是面積為b×（a－b）的長方形，兩個長方形的面積和即a2－b2，則平方差公式成立。

（二）引導定向階段：認真鉆研教材，研究數(shù)形結(jié)合的典型案例

數(shù)學教材是按照發(fā)現(xiàn)、產(chǎn)生、發(fā)展數(shù)學知識的過程編寫的，呈螺旋式上升的特點，其中學生容易掌握基礎(chǔ)知識，而數(shù)學思想并沒有具體的呈現(xiàn)方式，學生不容易理解。但是基礎(chǔ)知識中蘊含著基本數(shù)學思想，每種基本數(shù)學思想可能包含幾個章節(jié)或幾個模塊的知識，因此教師要認真鉆研教材，研究數(shù)形結(jié)合的典型案例，從而促使學生更容易掌握和理解。教學過程中要設(shè)計生動有趣的教學情境，培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合意識。教師要認真研讀教材，在講授新課的環(huán)節(jié)加入創(chuàng)設(shè)情境、自主探索等環(huán)節(jié)，滲透數(shù)形結(jié)合思想。

例如《數(shù)軸》一課就是典型的數(shù)形結(jié)合案例，引導定向階段要始終以學生為主體，教師為引導者，循序漸進地引導學生體會數(shù)軸的特征，給數(shù)軸下定義。闡明和整合階段要總結(jié)一系列利用數(shù)軸解題的類型，在學生解題時提示用畫圖的方法，給學生的解題思路搭建一座“數(shù)形結(jié)合”的橋梁，也給教師解決幾何教學設(shè)計存在的問題提供一條有效路徑。有效運用數(shù)軸解釋、理解實際數(shù)學問題，可以突出課堂教學的重點，突破難點，有利于解決一些學生無從下手的難題，使抽象的數(shù)量關(guān)系變得直觀可見，“數(shù)”與“形”相結(jié)合可以收到非常不錯的課堂教學效果。

（三）闡明階段：注重提高學生的理解能力，掌握三種數(shù)學語言的轉(zhuǎn)化

數(shù)學界有著名的三句話：“用數(shù)學眼光觀察世界，用數(shù)學思維思考世界，用數(shù)學語言表達世界?！睌?shù)學語言簡潔而豐富，大致可以分為三類：文字語言、符號語言、圖像語言，這三種數(shù)學語言相輔相成、地位相當，只是在同一種知識中的表達方式有所不同。問卷調(diào)查顯示很多學生轉(zhuǎn)化三種語言的能力較弱，從而導致解題失敗。因此，教師實際教學時要重視教導學生三種語言之間相互轉(zhuǎn)化。一般情況下學生很容易忽視文字語言，雖然都會讀題，但是很多學生并不了解題目的意思，從而導致無法把題目轉(zhuǎn)化成對應(yīng)的圖像語言?？偠灾處熢诮虒W過程中要更加關(guān)注學生相互轉(zhuǎn)化三種語言的能力。

（四）自由定向階段：借助信息技術(shù)增強學生的作圖能力

隨著信息技術(shù)快速發(fā)展，課堂教學也不僅僅依賴粉筆和黑板了。這些年來教育部一直倡導將信息技術(shù)融入教學環(huán)境，因此傳統(tǒng)教學模式發(fā)生了翻天覆地的變化。值得注意的是，在數(shù)學學科中運用信息技術(shù)特別有利于發(fā)展學生的數(shù)形結(jié)合思想，如教師課堂教學使用幾何畫板、GeoGebra 等專業(yè)畫圖軟件，可以大大提高作圖的準確性，減少人工作圖的誤差，促使學生更加直觀、明了地認識圖形。很多學生解題錯誤的原因并不是不會畫圖，而是畫得不夠準確，作圖潦草導致解題的正確率下降。

（五）整合階段：梳理總結(jié)、歸納整理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法的類型

以數(shù)形結(jié)合為研究工具，促使學生置身于具體、直觀的環(huán)境中，經(jīng)歷直觀形象—形象概括—本質(zhì)抽象的過程，充分體會數(shù)形結(jié)合的好處。那么，數(shù)形結(jié)合可以解決哪些問題呢？初中數(shù)學利用數(shù)形結(jié)合可以解決的五大類型問題：圓的相關(guān)問題、集合問題、函數(shù)問題、方程與不等式、三角函數(shù)。

五、結(jié)語

本文結(jié)合一些教學案例展開闡述，對于給學生滲透數(shù)形結(jié)合思想有非常重要的意義。范希爾理論作為幾何教學的重要理論框架，提出學生幾何思維水平發(fā)展有次序性與進階性，強調(diào)教學活動對學生發(fā)展幾何思維水平的重要作用，促進了學生發(fā)展數(shù)形結(jié)合思想，具有很強的應(yīng)用性、實踐性與可操作性。結(jié)合范希爾理論的五個教學階段展開研究，充分考慮學生不同階段的知識基礎(chǔ)與能力水平，針對每一階段學生的幾何思維設(shè)計相應(yīng)的教學案例，以幫助學生掌握幾何知識、改進幾何理解，從而提升運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。