微波耦合四能級(jí)原子系統(tǒng)二維電磁感應(yīng)光柵

夏紅銘，張多，李亞騫，孫照宇，王梅

（武漢輕工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，武漢 430023）

0 引言

近年來(lái)，光場(chǎng)與原子系統(tǒng)之間相互作用的一些物理現(xiàn)象，如：相干布居俘獲（Coherent Population Trapping，CPT）［1］、電磁感應(yīng)透明（Electromagnetically Induced Transparency，EIT）［2］、自發(fā)輻射相干（Spontaneously Generated Coherence，SGC）［3］等引起了人們的廣泛關(guān)注，其中基于EIT 的電磁感應(yīng)光柵（Electromagnetically Induced Grating，EIG）現(xiàn)象成為近些年的研究熱點(diǎn)。在EIT 效應(yīng)中，強(qiáng)的行波耦合場(chǎng)與原子間量子相干使得介質(zhì)對(duì)弱的探測(cè)光零吸收。如果把行波場(chǎng)替換為具有空間調(diào)制形式的駐波場(chǎng)，則可交替出現(xiàn)高透射區(qū)和吸收區(qū)，介質(zhì)對(duì)探測(cè)光的吸收和色散等性質(zhì)也會(huì)相應(yīng)的受到空間調(diào)制，入射的探測(cè)光經(jīng)過(guò)該駐波調(diào)制的區(qū)域后將被衍射，這樣原子介質(zhì)就形成了類(lèi)似光柵的結(jié)構(gòu)，這種現(xiàn)象被稱為EIG。EIG 克服了傳統(tǒng)光柵的很多局限性，對(duì)振幅和相位可以同時(shí)進(jìn)行調(diào)制，其光柵常數(shù)、衍射光能量和衍射級(jí)次可以通過(guò)改變駐波場(chǎng)的波長(zhǎng)以及入射光場(chǎng)的強(qiáng)度和失諧量進(jìn)行調(diào)控。由于其具備諸多優(yōu)勢(shì)，EIG 已引起人們的廣泛關(guān)注，并被應(yīng)用于全光開(kāi)關(guān)和路由［4］、相干誘導(dǎo)光子帶隙［5］、量子Talbot 效應(yīng)［6］、分束器［7］等光量子器件的研究領(lǐng)域中。

EIG 這一概念最早是在三能級(jí)Λ 型原子系統(tǒng)［8］的理論研究上提出的。隨后，研究者們先后在冷原子系統(tǒng)［9］和熱原子系統(tǒng)［10］的實(shí)驗(yàn)上觀察并研究了EIG 效應(yīng)。DUTTA B K 等［11］研究了在共振和非共振雙光子吸收條件下，三能級(jí)Ξ 型原子系統(tǒng)的EIG 特性；XIAO Z H 團(tuán)隊(duì)［12］研究了雙暗態(tài)下微波場(chǎng)耦合原子系統(tǒng)的電磁感應(yīng)相位光柵的衍射效率；文獻(xiàn)［13］報(bào)道了在EIT 條件下，增強(qiáng)交叉Kerr 非線性可以得到類(lèi)似理想正弦位相光柵的電磁感應(yīng)位相光柵；基于Fano 干涉和光子誘導(dǎo)效應(yīng)，關(guān)于EIG 的研究擴(kuò)展到非對(duì)稱半導(dǎo)體量子阱［14］和量子點(diǎn)系統(tǒng)［15-17］中。此外，為了抑制線性吸收且獲得更高的衍射效率，在其他量子系統(tǒng)中一些EIG 的理論和實(shí)驗(yàn)方案［18-23］也被提出。近年來(lái)，EIG 的研究逐漸向二維空間發(fā)展，WANG L 等［24］利用兩個(gè)正交的駐波場(chǎng)，在三角架型四能級(jí)原子系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)了二維電磁感應(yīng)交叉光柵，結(jié)果表明，一階衍射強(qiáng)度明顯取決于探測(cè)場(chǎng)失諧和耦合駐波場(chǎng)的拉比頻率。WU J C 等［25］和CHENG G L 等［26］分別在N 型原子系統(tǒng)和二能級(jí)原子系統(tǒng)中研究了二維EIG 效應(yīng)。為了進(jìn)一步調(diào)節(jié)衍射級(jí)次和提高衍射效率，WAN R G 研究小組［27-29］提出幾種有趣的方案實(shí)現(xiàn)了位相光柵和增益位相光柵。此外，P-T 對(duì)稱性［30-31］、Raman 相互作用［32］、渦旋場(chǎng)的方位調(diào)制［33］等也被用來(lái)實(shí)現(xiàn)高效率的二維EIG。

本文提出在雙暗態(tài)的四能級(jí)原子系統(tǒng)中研究二維電磁感應(yīng)光柵效應(yīng)。在該原子系統(tǒng)中兩個(gè)超精細(xì)結(jié)構(gòu)，偶極禁戒的亞穩(wěn)態(tài)之間采用微波場(chǎng)來(lái)耦合。由于微波場(chǎng)的存在，會(huì)引發(fā)兩種不同的暗共振，通過(guò)合適地調(diào)節(jié)微波場(chǎng)強(qiáng)度，可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)低吸收和高折射［34-36］，使原子響應(yīng)得到有效控制，有利于提高光柵的衍射效率。而且，本文提出的方案能級(jí)結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，在微波場(chǎng)的作用下，通過(guò)調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)，如探測(cè)場(chǎng)失諧量、駐波耦合場(chǎng)強(qiáng)度、相互作用長(zhǎng)度等可以實(shí)現(xiàn)高衍射效率的二維EIG。

1 理論模型與動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)光與物質(zhì)相互作用的半經(jīng)典理論，采用電偶極近似和旋波近似［37］，可以得到該系統(tǒng)相互作用的哈密頓量（設(shè)?=1），可表示為

式中，H.c.表示厄密共軛項(xiàng)，考慮系統(tǒng)的弛豫過(guò)程，根據(jù)光與原子相互作用系統(tǒng)的密度算符運(yùn)動(dòng)方程（Liouville 方程），利用密度矩陣方法可得密度算符運(yùn)動(dòng)方程為

根據(jù)原子介質(zhì)的極化強(qiáng)度：Pp=ε0χpEp=N0μ14ρ41，Ep為探測(cè)場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度，可以推導(dǎo)出弱探測(cè)場(chǎng)的線性極化率，表示為

圖1 微波耦合四能級(jí)原子系統(tǒng)及與光場(chǎng)相互作用空間結(jié)構(gòu)關(guān)系Fig.1 Schematic of microwave coupled four level atomic system and the schematic sketch of the spatial configuration oflaser fields

式中，λp為探測(cè)場(chǎng)的波長(zhǎng)，定義作為探測(cè)場(chǎng)沿原子介質(zhì)傳播方向z方向的單位，ζ是該四能級(jí)原子系統(tǒng)中共振弱探測(cè)場(chǎng)在振幅吸收為e-1的傳播距離。因此式（5）可簡(jiǎn)寫(xiě)為，令α=Im(χ)，β=Re(χ)分別表示探測(cè)場(chǎng)的吸收和色散。通過(guò)對(duì)式（5）求解，可以得出探測(cè)場(chǎng)與原子介質(zhì)在相互作用長(zhǎng)度z=L處的透射函數(shù)為

由此可知透射函數(shù)的振幅調(diào)制和位相調(diào)制分別為

對(duì)透射函數(shù)作傅里葉變換，可以得到探測(cè)場(chǎng)的夫瑯禾費(fèi)衍射方程為

式中，

式（10）為單個(gè)空間周期探測(cè)場(chǎng)的夫瑯禾費(fèi)衍射，本文數(shù)值計(jì)算中衍射效率均采用無(wú)量綱處理，其大小均以I0=|E(θ)|2為參考標(biāo)準(zhǔn)。θx和θy為探測(cè)場(chǎng)在z方向傳播的衍射角在x和y方向上的分量，M和N為二維光柵的空間周期數(shù)。第（m，n）級(jí)衍射峰的方向由光柵方程sinθx=mλp/Λx和sinθy=nλp/Λy決定，由此可以計(jì)算出第（0，0）級(jí)、（1，0）級(jí)、（0，1）級(jí)和（1，1）級(jí)衍射峰的強(qiáng)度，分別表示為

2 數(shù)值結(jié)果與討論

根據(jù)第1 節(jié)得到的表達(dá)式及相應(yīng)的數(shù)值結(jié)果來(lái)分析和討論，研究系統(tǒng)參數(shù)的改變對(duì)二維電磁感應(yīng)光柵夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度和衍射效率等的影響。微波場(chǎng)的引入，使得原先的Λ 型原子系統(tǒng)變?yōu)槲⒉詈系乃哪芗?jí)原子系統(tǒng)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的改變對(duì)振幅調(diào)制、位相調(diào)制、夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度和衍射效率等都有影響，可以把入射光調(diào)制到特定的衍射方向上，提高二維電磁感應(yīng)光柵的衍射效率。為方便起見(jiàn)，以無(wú)單位量綱呈現(xiàn)數(shù)值結(jié)果，以下數(shù)值計(jì)算均以γ1為耦合場(chǎng)拉比頻率、輔助微波場(chǎng)拉莫頻率以及相應(yīng)光場(chǎng)和微波場(chǎng)失諧量的度量標(biāo)準(zhǔn)。

首先考察微波場(chǎng)對(duì)衍射效率的影響，如圖2（a）和（b），分別繪制了存在微波場(chǎng)及不存在微波場(chǎng)的情況下探測(cè)場(chǎng)的夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度隨sinθx和sinθy變化的分布圖。當(dāng)不存在微波場(chǎng)時(shí)，探測(cè)場(chǎng)的能量基本集中在零級(jí)衍射峰上，幾乎沒(méi)有其他的探測(cè)場(chǎng)能量分散在高階方向上；當(dāng)存在微波場(chǎng)時(shí)，零級(jí)衍射峰上的能量明顯降低，其零級(jí)中心主峰的強(qiáng)度只有0.3 左右，其余一部分能量被衍射到四個(gè)位于(sinθx=±0.25，sinθy=0)和(sinθx=0，sinθy=±0.25)的（1，0）級(jí)和（0，1）級(jí)衍射峰上，其衍射效率達(dá)到4%左右，只有極少數(shù)的能量被分散到（1，1）級(jí)衍射峰上，（1，1）級(jí)衍射效率約為1%。由此可知，微波場(chǎng)的存在能夠削弱零級(jí)衍射強(qiáng)度并增大一級(jí)衍射強(qiáng)度，明顯提高一階衍射效率。因此，對(duì)其他參數(shù)的研究都在有微波場(chǎng)的情況下進(jìn)行。

圖2 夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度隨sin θx 和sin θy 變化分布（Δp=7γ1，Ω=8γ1，L=8ζ，γ21=γ31=0.004γ1，γ41=1，Δc=7γ1，Δm=9.8γ1，M=N=5，Λx=Λy=4λp）Fig.2 Fraunhofer diffraction intensity as a function of sin θx and sin θy（Δp=7γ1，Ω=8γ1，L=8ζ，γ21=γ31=0.004γ1，γ41=1，Δc=7γ1，Δm=9.8γ1，M=N=5，Λx=Λy=4λp）

由式（3）、（4）可知，衍射強(qiáng)度與介質(zhì)的極化率有很大關(guān)系，為了更清晰地說(shuō)明圖2 的物理機(jī)制，繪制了存在微波場(chǎng)的情況下探測(cè)場(chǎng)極化率的實(shí)部Re()（藍(lán)色實(shí)線）和虛部Im()（黃色虛線）隨失諧量Δp的變化曲線（如圖3）。極化率的實(shí)部Re()表示折射率或色散，由式（8）可以看出極化率的實(shí)部的正負(fù)影響位相調(diào)制深度。而極化率的虛部Im()為正表示介質(zhì)對(duì)探測(cè)光吸收，為零表示零吸收，也就是介質(zhì)對(duì)探測(cè)光透明，為負(fù)表示增益。觀察極化率虛部Im()可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)峰大概以10γ1間隔出現(xiàn)，表示該雙暗態(tài)原子系統(tǒng)在三個(gè)強(qiáng)吸收峰之間出現(xiàn)兩個(gè)電磁感應(yīng)透明窗口，因?yàn)檩o助微波場(chǎng)強(qiáng)度Ωm以及失諧量等相關(guān)參數(shù)的調(diào)節(jié)，使得極化率的實(shí)部和虛部表現(xiàn)近周期性的變化?？梢钥吹?，在失諧量Δp處于-2γ1～6γ1區(qū)間出現(xiàn)電磁感應(yīng)透明窗口，介質(zhì)對(duì)探測(cè)光表現(xiàn)為接近零吸收，折射率較為平緩地降低或增加。而失諧量在6γ1～10γ1等區(qū)間時(shí)，折射率都比較高，先陡然上升再急劇下降，且失諧量在8γ1附近出現(xiàn)峰值，介質(zhì)對(duì)探測(cè)光強(qiáng)烈吸收。在失諧量Δp=7γ1時(shí)，介質(zhì)對(duì)探測(cè)光吸收較小，探測(cè)光基本可以透明傳輸，損失較小，而折射率卻比較高，因此探測(cè)光在通過(guò)周期變化的駐波區(qū)域后將發(fā)生衍射，形成電磁感應(yīng)光柵。接著，在圖4（a）和（b）中考察二維電磁感應(yīng)光柵透射函數(shù)的振幅調(diào)制（|T(x，y)|）和位相調(diào)制（Φ(x，y)）。在探測(cè)場(chǎng)失諧量Δp取7γ1，相互作用長(zhǎng)度L取8ζ的情況下，振幅調(diào)制在平均透過(guò)率為50%附近上下振蕩，這是由于通過(guò)微波場(chǎng)和耦合場(chǎng)的共同作用，介質(zhì)的線性吸收受到抑制，有部分能量損耗。與此同時(shí)，駐波場(chǎng)的周期性變化使得透射函數(shù)的位相也發(fā)生周期性變化，位相調(diào)制深度達(dá)到了2.6，表明在這種情況下，原子介質(zhì)具有一定的相位調(diào)制能力。

圖3 探測(cè)場(chǎng)極化率的折射部分Re()和吸收部分Im()隨失諧Δp 的變化曲線（參數(shù)與圖2（b）相同）Fig.3 The refractive partRe()and absorptive partIm()of the probe field polarizability versus detuning Δp（parameters are the same as in Fig.2（b））

圖4 探測(cè)場(chǎng)透射函數(shù)的調(diào)制圖（參數(shù)與圖2（b）相同）Fig.4 Modulation diagrams of the transmission function of the probe field（parameters are the same as in Fig.2（b））

為了進(jìn)一步說(shuō)明振幅調(diào)制和位相調(diào)制所起的作用，在圖5（a）、（b）中繪制了探測(cè)場(chǎng)透射函數(shù)振幅調(diào)制和位相調(diào)制的夫瑯禾費(fèi)衍射圖。從圖中可以看出，當(dāng)只有振幅調(diào)制存在時(shí)，只有一個(gè)零級(jí)的中心主峰，中心主峰強(qiáng)度約為0.54，基本沒(méi)有入射光向高階方向轉(zhuǎn)移；當(dāng)僅存在位相調(diào)制時(shí)，零級(jí)衍射峰的強(qiáng)度明顯減弱，只有0.22 左右，而且一級(jí)衍射效率得到了提高并達(dá)到了6%左右，二級(jí)衍射峰的強(qiáng)度也開(kāi)始顯現(xiàn)。另外，其位相調(diào)制的衍射強(qiáng)度分布圖5（b）與振幅調(diào)制和位相調(diào)制共同作用時(shí)的衍射強(qiáng)度分布圖2（b）類(lèi)似。由此可見(jiàn)，探測(cè)場(chǎng)的入射光向高階方向衍射主要是靠位相調(diào)制來(lái)完成，而振幅調(diào)制對(duì)光柵的透射能量有所影響。

圖5 夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度隨sin θx 和sin θy 變化分布（參數(shù)與圖2（b）相同）Fig.5 Fraunhofer diffraction intensity as a function of sin θx and sin θy（parameters are the same as in Fig.2（b））

探測(cè)場(chǎng)失諧量在調(diào)節(jié)衍射效率方面同樣有著重要作用，介質(zhì)對(duì)探測(cè)光的吸收依賴于失諧。接下來(lái)考察探測(cè)場(chǎng)失諧對(duì)衍射效率的影響。如圖6（a），繼續(xù)增加探測(cè)場(chǎng)失諧量到Δp=11γ1時(shí)，與圖2（b）相比，隨著失諧量增大，（0，0）級(jí)衍射效率從30%降到了11%，而（1，0）或（0，1）級(jí)衍射效率增加到5%，但（1，1）級(jí)衍射效率卻沒(méi)有太大變化，仍然是大約1%。究其原因，可以結(jié)合圖3 加以說(shuō)明：當(dāng)探測(cè)場(chǎng)失諧量Δp增加到11γ1時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)原子介質(zhì)對(duì)探測(cè)場(chǎng)的吸收明顯減小，同時(shí)探測(cè)場(chǎng)的色散項(xiàng)也相應(yīng)地減少，在這種情況下，由于振幅調(diào)制和位相調(diào)制的共同作用，衍射光的一級(jí)衍射效率相對(duì)于中央級(jí)次衍射效率明顯增加，二維電磁感應(yīng)光柵效果越發(fā)明顯。由此可見(jiàn)，通過(guò)調(diào)節(jié)探測(cè)場(chǎng)的失諧，探測(cè)場(chǎng)的衍射效率可以得到控制。接下來(lái)討論駐波耦合場(chǎng)強(qiáng)度Ω對(duì)光柵衍射圖像及衍射效率的影響。由式（3）、（4）和（5）可知，光柵的衍射效率與駐波耦合場(chǎng)強(qiáng)度Ω有關(guān)。如圖6（b），在駐波耦合場(chǎng)強(qiáng)度取為Ω=10γ1時(shí)，給出了（0，0）級(jí)、（1，0）級(jí)、（0，1）級(jí)和（1，1）級(jí)衍射峰強(qiáng)度的分布圖以作說(shuō)明，與圖6（a）相比，當(dāng)增加駐波耦合場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，零級(jí)衍射峰強(qiáng)度明由原來(lái)的11%顯著下降到3.5%，而（1，0）級(jí)和（1，1）級(jí)衍射峰強(qiáng)度增加到6%，（1，1）級(jí)衍射峰強(qiáng)度同樣有所增強(qiáng)，達(dá)到了2%，而且還有極少量入射光能量向更高階方向衍射。因此，調(diào)節(jié)駐波耦合場(chǎng)強(qiáng)度可以在抑制零級(jí)衍射峰的同時(shí)，提升一級(jí)衍射峰的衍射效率，并且對(duì)入射光能量向高階方向轉(zhuǎn)移有所幫助。

圖6 夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度隨sin θx 和sin θy 變化分布Fig.6 Fraunhofer diffraction intensity as a function of sin θx and sin θy

通過(guò)式（6）可知，光柵的衍射效率與相互作用長(zhǎng)度有很大關(guān)系，進(jìn)一步考察相互作用長(zhǎng)度L對(duì)電磁誘導(dǎo)光柵的衍射效率的影響。圖7（a）反映了（0，0）級(jí)衍射強(qiáng)度（藍(lán)色實(shí)線）、（1，0）級(jí)衍射強(qiáng)度（黃色虛線）和（1，1）級(jí)衍射強(qiáng)度（綠色虛點(diǎn)線）與相互作用長(zhǎng)度L的關(guān)系。從圖中可以看出，當(dāng)相互作用長(zhǎng)度比較小時(shí)，探測(cè)光能量主要集中在（0，0）級(jí)衍射峰，隨著相互作用長(zhǎng)度的增大，（0，0）級(jí)衍射峰強(qiáng)度陡然下降，而（1，0）級(jí)和（1，1）級(jí)衍射峰開(kāi)始顯現(xiàn)，探測(cè)場(chǎng)能量逐漸向高階方向轉(zhuǎn)移，這是因?yàn)橄嗷プ饔瞄L(zhǎng)度增加使得相位調(diào)制深度增加，入射光能量逐漸從零級(jí)向一級(jí)轉(zhuǎn)移。

圖7 相互作用長(zhǎng)度L 對(duì)衍射效率的影響（參數(shù)與圖6（b）相同）Fig.7 Effect of interaction length L on diffraction efficiency（parameters are the same as in Fig.6（b））

當(dāng)相互作用長(zhǎng)度繼續(xù)增加，位相調(diào)制的作用越來(lái)越大，（1，0）級(jí)和（1，1）級(jí)衍射峰強(qiáng)度分別在相互作用長(zhǎng)度L=11ζ和L=7ζ時(shí)達(dá)到最大值，與此同時(shí)，（0，0）級(jí)衍射峰強(qiáng)度降至為0。但是，隨著相互作用長(zhǎng)度繼續(xù)增加，（1，0）級(jí)和（1，1）級(jí)衍射峰強(qiáng)度又逐漸下降，（0，0）級(jí)衍射峰強(qiáng)度又有些許回升。這主要是由于過(guò)大的相互作用長(zhǎng)度會(huì)使介質(zhì)對(duì)探測(cè)場(chǎng)的能量的吸收逐漸加大并占據(jù)主導(dǎo)地位，導(dǎo)致衍射效率降低。為了更清晰地觀察衍射圖像，在圖7（b）繪制了相互作用長(zhǎng)度L=11ζ時(shí)探測(cè)場(chǎng)的夫瑯禾費(fèi)衍射強(qiáng)度分布圖，此時(shí)可以看到零級(jí)衍射峰強(qiáng)度降至為0，零級(jí)衍射峰的能量已經(jīng)基本衍射到四個(gè)一階衍射峰上，一級(jí)衍射效率為7%左右。因此，可以通過(guò)有效調(diào)節(jié)光與原子介質(zhì)相互作用長(zhǎng)度來(lái)實(shí)現(xiàn)一個(gè)高折射率、高衍射效率的二維電磁誘導(dǎo)光柵。

3 結(jié)論

本文研究了微波耦合的四能級(jí)原子系統(tǒng)的二維電磁感應(yīng)光柵特性，該原子系統(tǒng)包含一個(gè)弱探測(cè)場(chǎng)、一個(gè)二維駐波耦合場(chǎng)和一個(gè)微波場(chǎng)。結(jié)果表明，光柵的衍射效率由振幅調(diào)制和位相調(diào)制共同決定，振幅調(diào)制主要影響入射光透過(guò)的能量，位相調(diào)制主要可以實(shí)現(xiàn)將光能量向高階方向轉(zhuǎn)移。微波場(chǎng)的存在對(duì)位相調(diào)制有較大影響，對(duì)衍射效率的提升大有幫助，通過(guò)調(diào)節(jié)探測(cè)場(chǎng)失諧量、駐波耦合場(chǎng)強(qiáng)度以及相互作用長(zhǎng)度，可以改變光柵的衍射圖像及衍射效率，而且，可以根據(jù)實(shí)際需要將入射光能量衍射到特定的衍射峰上。本文研究可用于全光分束和光開(kāi)關(guān)，對(duì)光信息處理和光網(wǎng)絡(luò)通信的研究將有所幫助。