利用勞條件求取雙相位光柵干涉儀靈敏度

楊君，黃建衡，單雨征，雷耀虎，宗方軻，郭金川

（深圳大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院 光電子器件與系統(tǒng)教育部/廣東省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，深圳 518060）

0 引言

在過去的二十年間，基于光柵的X 射線干涉儀獲得了大量的關(guān)注，在成像方法［1-9］、器件制作［10-13］和實(shí)際應(yīng)用［14-17］等方面取得了一系列的研究成果。雙相位光柵干涉儀由于無需分析光柵，能實(shí)現(xiàn)大視場、高劑量利用率的X 射線相襯和暗場成像［18-24］。雙相位光柵干涉儀的勞條件（Lau condition）影響著成像條紋的對比度，而條紋對比度又影響了系統(tǒng)的信噪比。對于雙相位光柵干涉儀的勞條件，有學(xué)者利用直觀的幾何關(guān)系［20］，分別求出光源移動(dòng)對兩塊相位光柵產(chǎn)生的條紋移動(dòng)量，再將兩個(gè)條紋移動(dòng)量相減獲取勞條件。他們認(rèn)為對于雙π 相位光柵干涉儀，在多色光照明下的源光柵周期為單色光照明下的源光柵周期的兩倍。其理由則是在多色光照明下，相位光柵的零級衍射不為零。但這無法解釋對于π 相位光柵的Talbot-Lau 干涉儀，其源光柵周期無論在單色光照明時(shí)還是多色光照明時(shí)均是相同的。對于雙相位光柵干涉儀靈敏度，大多數(shù)研究人員都是直接在DONATH T 等［25］建立的Talbot-Lau 干涉儀靈敏度模型上進(jìn)行推導(dǎo)［21，26］。但DONATH T 等建立的靈敏度模型本身存在一定程度的不合理，因此在該模型上獲取的雙相位光柵干涉儀靈敏度也存在著一定的問題。本文將給出新的靈敏度模型，該模型巧妙地利用了系統(tǒng)的勞條件求取雙相位光柵干涉儀的靈敏度。

1 理論計(jì)算與數(shù)值模擬

1.1 雙相位光柵干涉儀的勞條件

一般而言，雙相位光柵干涉儀的勞條件指的是源光柵的周期。從Talbot-Lau 干涉儀勞條件的獲取過程中可知，勞條件可以利用波動(dòng)光學(xué)進(jìn)行推導(dǎo)。因此，對于雙相位光柵干涉儀勞條件的獲取，也可以嘗試從波動(dòng)光學(xué)的角度出發(fā)。在單色光照明時(shí)，利用菲涅耳衍射可以得到當(dāng)點(diǎn)光源從光軸上的位置G0移動(dòng)到G0'時(shí)（如圖1），雙相位光柵干涉儀在成像平面上的復(fù)振幅分布可表示為

圖1 雙相位光柵干涉儀中的勞條件示意Fig.1 Illustration of the Lau condition of the dual phase grating interferometer

式中，A5為相位常數(shù)，在考慮相對光強(qiáng)時(shí)可以忽略。a n、b m、p1、p2分別為相位光柵G1和G2的傅里葉系數(shù)和周期。z1、z2和z3分別為G0到G1、G1到G2和G2到成像平面的距離，x3為成像平面上的坐標(biāo)。p、M1和M2則分別表示為

從式（1）可以看出，當(dāng)光源移動(dòng)x0距離后，光柵G1的“像”移動(dòng)了，光柵G2的“像”移動(dòng)了。和分析雙相位光柵干涉儀成像條紋周期時(shí)類似［27］，考慮振幅最大的條紋移動(dòng)量，即可將問題極大簡化。對此，同樣分兩種情況進(jìn)行考慮，即雙π 相位光柵干涉儀和雙π/2 相位光柵干涉儀。

1）雙π 相位光柵干涉儀

一般而言，單色光照明時(shí)雙π 相位光柵干涉儀中相位光柵正負(fù)一級衍射形成的干涉條紋振幅最大。該條紋在光源有偏移量x0情形下的表達(dá)式為

式（5）化簡后可得

為了使點(diǎn)光源G0'形成的條紋（式（6））和光軸上G0點(diǎn)形成的條紋能夠相互加強(qiáng)，應(yīng)使二者的相位差為2π的整數(shù)倍，即

式中，p3是條紋周期，將條紋周期［22］代入式（7），化簡后可得

式中，x0既可取正值，也可取負(fù)值，其物理意義為G0'可以在G0的上下兩邊分布。式（8）即為兩個(gè)不同位置的點(diǎn)源所成像的條紋能夠互相加強(qiáng)的條件，此時(shí)x0即是源光柵的周期p0。因此，雙π 相位光柵干涉儀的勞條件為

式（9）的正確性已由文獻(xiàn)［22］中的實(shí)驗(yàn)所驗(yàn)證。需要強(qiáng)調(diào)的是，在多色光照明下，雙π 相位光柵干涉儀的源光柵周期既可能由式（9）決定，也可能由式（12）決定。因?yàn)閺氖剑?）可知，雙相位光柵干涉儀的源光柵周期與成像條紋周期緊密相連。而在多色光照明時(shí)，雙π 相位光柵干涉儀的成像條紋周期既可能由相位光柵正負(fù)一級衍射形成的干涉條紋決定［22］，也可能由相位光柵的零級和正負(fù)一級衍射形成的干涉條紋所決定［27］。有學(xué)者認(rèn)為，雙π 相位光柵干涉儀在多色光照明時(shí)由于相位光柵零級衍射的存在，成像條紋周期一定是單色光照明時(shí)的兩倍［20］。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果［22］卻表明條紋周期在多色光照明時(shí)并不一定會加倍。一個(gè)類似的例子是，對于π 相位光柵Talbot-Lau 干涉儀，分?jǐn)?shù)泰伯階處的成像條紋周期在單色光照明和多色光照明時(shí)是相同的。其根本原因在于，系統(tǒng)的成像條紋周期不是由周期最大的干涉條紋決定，而是由振幅最大的干涉條紋所決定。在雙π 相位光柵干涉儀滿足對比度極大值條件時(shí)［27］，相位光柵的零級和正負(fù)一級衍射形成的干涉條紋振幅遠(yuǎn)不如相位光柵正負(fù)一級衍射形成的干涉條紋振幅大，此時(shí)成像條紋周期由相位光柵正負(fù)一級衍射形成的干涉條紋所決定。當(dāng)雙π 相位光柵干涉儀不滿足對比度極大值條件時(shí)，條紋周期則主要由相位光柵的零級和正負(fù)一級衍射形成的干涉條紋所決定。

2）雙π/2 相位光柵干涉儀

對于雙π/2 相位光柵干涉儀，振幅最大的干涉條紋是零級和正負(fù)一級衍射形成，即

式中，?代表初相，其具體形式不影響勞條件的結(jié)果?；喪剑?0）后可得

圖2 點(diǎn)源在光軸上的G0處與光軸外的G0'處形成的仿真條紋Fig.2 The simulation fringe formed by the point source G0 on the optics axis and the point source G0' off the optics axis

表1 雙相位光柵干涉儀的仿真參數(shù)Table 1 The simulation parameters of the dual phase grating interferometer

1.2 Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度

在DONATH T 建立的Talbot-Lau 干涉儀靈敏度模型［25］中，隱含著兩個(gè)有爭議的假設(shè)。第一個(gè)假設(shè)是沿著光軸傳播的X 射線通過物體后不發(fā)生折射。該假設(shè)只有在X 射線垂直入射到均勻的物體上時(shí)才能成立，對于一般的樣品是不成立的。第二個(gè)假設(shè)是光源發(fā)出的X 射線與光軸的夾角很小，并且這些傍軸X 射線被物體折射后，能夠與光軸相交，且交點(diǎn)恰好落在分析光柵所在的平面。對于X 射線而言，空氣的折射率會略大于物體的折射率，所以X 射線通過物體后，一般是離光軸越來越遠(yuǎn)，而不是越來越近。即使X 射線通過物體后能與光軸相交，其交點(diǎn)未必就落在分析光柵所在的平面上。接下來將給出新的靈敏度模型，并首先將該靈敏度模型應(yīng)用于簡單的Talbot-Lau 干涉儀上，再過渡到復(fù)雜的雙相位光柵干涉儀的情形。

圖3（a）表示當(dāng)物體處于相位光柵G1與成像條紋之間時(shí)的情形，G0表示源光柵中的一透光點(diǎn)。為簡便起見，圖3 中忽略了分析光柵。G0到G1、G1到成像條紋和物體到成像條紋的距離分別為z1、z2和zD。圖中藍(lán)色和紫色曲線分別表示有無物體時(shí)的成像條紋，兩條條紋實(shí)際處于同一平面上（為了便于說明兩條條紋之間存在橫向位移，將其畫在了不同平面上）。

圖3 Talbot-Lau 干涉儀示意Fig.3 Illustration of the Talbot-Lau interferometer

當(dāng)一束X 射線通過物體后，會產(chǎn)生大小為α的折射角。X 射線的折射使得條紋產(chǎn)生了Δp2的移動(dòng)和Δ?的相移，據(jù)此可得

將式（13）帶入式（14）后，再由靈敏度的定義［25］可得

式中，SD為物體處于相位光柵與成像條紋之間時(shí)的系統(tǒng)靈敏度，p2為成像條紋的周期。上述推導(dǎo)過程在文獻(xiàn)［19，28］中也有論述，其過程符合直觀的想象。

圖3（b）表示當(dāng)物體處于G0與G1之間時(shí)的情形，其中zS表示物體與G0的距離。當(dāng)X 射線通過物體后，會引起條紋產(chǎn)生大小為Δp2的移動(dòng)。如何求解Δp2，是求解靈敏度的關(guān)鍵所在。本文提出一個(gè)新的靈敏度模型：物體引起的條紋移動(dòng)與光源位置變化引起的條紋移動(dòng)是等效的。據(jù)此，可以將X 射線通過物體后的折射線作一反向延長線，該反向延長線與源光柵所在的平面相交于點(diǎn)G0'。如果把G0'想象成是一虛擬光源，那么折射線則是從G0'發(fā)出的直線。此時(shí)，問題就從物體所產(chǎn)生的條紋移動(dòng)轉(zhuǎn)化為了光源移動(dòng)所產(chǎn)生的條紋移動(dòng)。本文將該方法稱為“折射反投影法（Refraction Back Projection，RBP）”。令G0與G0'之間的距離為Δp0，由小角近似可知

由Talbot-Lau 干涉儀的勞條件可得

式中，p0為源光柵的周期，對式（17）兩邊取微分得

再將式（16）和（18）代入式（14），可得當(dāng)物體處于G0和G1之間時(shí)系統(tǒng)的靈敏度SS，表示為

再利用一次勞條件式（17），式（19）可化簡為

在獲取式（20）的過程中，關(guān)鍵在于提出的新靈敏度模型，“折射反投影法”則給出了將物體對X 射線的折射作用轉(zhuǎn)換成光源移動(dòng)的具體方法，而勞條件起到了聯(lián)系光源移動(dòng)與條紋移動(dòng)的橋梁作用，三者之間層層遞進(jìn)。從光路可逆性的角度來理解的話，即想象圖3（b）中的X 射線是從右往左傳播的，而探測器在G0所在的位置，那么“折射反投影法”則和應(yīng)用于圖3（a）的方法完全對稱。DONATH T 建立的靈敏度模型至少依賴于兩個(gè)假設(shè)，而提出的新靈敏度模型則只有一個(gè)假設(shè)，因此該靈敏度模型更合理，推導(dǎo)過程也更簡單。

1.3 雙相位光柵干涉儀的靈敏度

通過之前的分析可知，利用RBP 可以非常有效地求取Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度。接下來，將利用RBP 推導(dǎo)雙相位光柵干涉儀的靈敏度。

圖4（a）為物體處于相位光柵與成像條紋之間時(shí)的情形。G1、G2分別表示周期為p1、p2的相位光柵。z1、z2和z3分別是G0到G1、G1到G2和G2到成像條紋之間的距離。Δp3為物體所引起的條紋移動(dòng)量。此時(shí)，系統(tǒng)靈敏度的推導(dǎo)過程和式（13）與（14）相似，系統(tǒng)靈敏度SD表示為

式中，p3為成像條紋的周期。而圖4（b）為物體處于G0和G1之間時(shí)的情形，當(dāng)物體插入時(shí)成像條紋產(chǎn)生了Δp3的移動(dòng)和Δ?的相移，據(jù)此可得

圖4 雙相位光柵干涉儀示意Fig.4 Illustration of the dual phase grating interferometer

接下來則需要計(jì)算物體所引起的條紋移動(dòng)量Δp3。利用式（7），將x0換成p0后可得利用條紋周期表示的勞條件

對式（23）兩邊取微分后可得

利用RBP 可以獲得Δp0，即式（16）。將式（16）和（24）代入式（22）可得

再次利用雙相位光柵干涉儀的勞條件，將式（23）代入式（25）得

利用靈敏度的定義，可以獲得物體處于G0和G1之間時(shí)雙相位光柵干涉儀的靈敏度

可見，雙相位光柵干涉儀與Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度具有相同的形式。在上述的推導(dǎo)過程中相位光柵的類型沒有預(yù)先假定，意味著式（21）和（27）對于雙π 相位光柵干涉儀和雙π/2 相位光柵干涉儀都是適用的。

而當(dāng)物體處于兩塊相位光柵之間時(shí)，如圖5，其靈敏度的表達(dá)式則略微復(fù)雜一些。由于一階分?jǐn)?shù)泰伯像比其它高階的分?jǐn)?shù)泰伯像具有更高的對比度和亮度，因此將它作為中間光源。首先考慮圖5（a），物體處于G1和其一階分?jǐn)?shù)泰伯像之間時(shí)的情形。G1與物體、G1與'和與G2之間的距離分別為z23、z21和z22。由于物體的引入，的移動(dòng)量為(z21-z23)α。參考式（18）可得

圖5 物體處于兩塊相位光柵之間Fig.5 Illustration of an object between the two phase gratings

將式（28）代入式（22）可得

利用靈敏度的定義，由式（29）可得物體處于G1和之間時(shí)的靈敏度

2 結(jié)果與討論

從式（21）和（27）可知，雙相位光柵干涉儀的靈敏度一般低于Talbot-Lau 干涉儀的靈敏度。這是因?yàn)樵趦煞N干涉儀中，物體到光源或成像條紋的距離差別不大。而雙相位光柵干涉儀的條紋周期或源光柵周期則比對應(yīng)的Talbot-Lau 干涉儀條紋周期或源光柵周期大一個(gè)數(shù)量級以上。因此，對于雙相位光柵干涉儀，目前難以實(shí)現(xiàn)大視場的同時(shí)還能實(shí)現(xiàn)高的系統(tǒng)靈敏度。

式（21）和（27）給出的靈敏度與文獻(xiàn)［21］中基于DONATH T 靈敏度模型獲得的結(jié)果幾乎完全一致。二者的區(qū)別在于，對于雙π 相位光柵干涉儀，文獻(xiàn)［21］的結(jié)果中衍射級次m的值只取了2。而本文的理論結(jié)果則表明，該衍射級次m的值既可以取2，也可以取1，其取值決定于成像條紋周期在多色光照明時(shí)是否是單色光照明時(shí)的兩倍［27］。而當(dāng)雙相位光柵干涉儀按照文獻(xiàn)［26］提出的方式將系統(tǒng)分為前后兩個(gè)級聯(lián)的Talbot-Lau 干涉儀進(jìn)行處理時(shí)，式（21）和（27）給出的靈敏度與文獻(xiàn)［26］給出的靈敏度是一致的。當(dāng)雙相位光柵干涉儀的系統(tǒng)參數(shù)偏離兩個(gè)級聯(lián)的Talbot-Lau 干涉儀所需的參數(shù)時(shí)，二者計(jì)算出來的靈敏度則不一定相同。其原因在于文獻(xiàn)［26］給出的靈敏度依賴于級聯(lián)的Talbot-Lau 干涉儀，而本文結(jié)果則不受此限制。

3 結(jié)論

本文首先利用波動(dòng)光學(xué)獲取了雙相位光柵干涉儀的勞條件，并指出雙相位光柵干涉儀的源光柵周期與成像條紋周期緊密關(guān)聯(lián)。由于雙π 相位光柵干涉儀的條紋周期在多色光照明時(shí)不一定是單色光照明時(shí)的兩倍，因此，雙π 相位光柵干涉儀的源光柵周期在多色光照明時(shí)也不一定是單色光照明時(shí)的兩倍。同時(shí)，針對Talbot-Lau 干涉儀和雙相位光柵干涉儀的靈敏度分析，本文提出了新的靈敏度模型，并據(jù)此模型提出了“折射反投影”法。該方法可以充分利用系統(tǒng)的勞條件，將光源的移動(dòng)和成像條紋的移動(dòng)巧妙地聯(lián)系在一起，從而化簡了系統(tǒng)靈敏度的推導(dǎo)過程，對于雙相位光柵干涉儀靈敏度的設(shè)計(jì)具有重要的理論價(jià)值。