基于FDTD 的高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)低相干顯微干涉信號(hào)仿真分析

趙雨晴，高志山，袁群，馬劍秋，孫一峰，郭珍艷

（南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，南京 210094）

0 引言

隨著制造與加工工藝的不斷發(fā)展，高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)在半導(dǎo)體、傳感及光學(xué)領(lǐng)域體現(xiàn)出優(yōu)越的性能，被廣泛應(yīng)用于微光機(jī)電系統(tǒng)（Micro-Electro-Mechanical System，MEMS）、梳齒式加速度傳感器等器件中。高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)的深度、線寬等形貌特征參數(shù)使得上述器件具有獨(dú)特的光學(xué)、催化和動(dòng)力學(xué)特性，滿足了器件對(duì)高驅(qū)動(dòng)力、低噪聲、高靈敏度等性能的迫切要求，因此實(shí)現(xiàn)高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)形貌特征參數(shù)的精確檢測(cè)對(duì)加工過(guò)程控制、器件質(zhì)量評(píng)定具有重要意義。

非接觸式的低相干垂直掃描干涉技術(shù)［1］以其檢測(cè)成本低、效率高、穩(wěn)定性好等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于微結(jié)構(gòu)的形貌特征參數(shù)檢測(cè)中。該技術(shù)采用寬帶光源，通過(guò)構(gòu)建測(cè)試光路和參考光路，在系統(tǒng)垂直掃描過(guò)程中形成一組干涉條紋圖像，干涉圖像中每一個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的干涉信號(hào)包含一個(gè)高斯包絡(luò)且包絡(luò)峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的掃描位置為當(dāng)前采樣點(diǎn)的縱向高度，通過(guò)形貌復(fù)原算法［2］提取干涉信號(hào)包絡(luò)并定位其峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的垂直掃描高度信息，可實(shí)現(xiàn)對(duì)被測(cè)結(jié)構(gòu)形貌特征參數(shù)的精確檢測(cè)。然而，高深寬比的結(jié)構(gòu)特征會(huì)導(dǎo)致該技術(shù)檢測(cè)得到的干涉信號(hào)異常，進(jìn)而影響檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性。JO T 等在使用Linnik 型干涉系統(tǒng)檢測(cè)深度47.9 μm、直徑4.27 μm 的硅通孔時(shí)發(fā)現(xiàn)，高深寬比的結(jié)構(gòu)特征會(huì)遮擋測(cè)試臂入射光束，導(dǎo)致返回光能量弱于參考臂，從而降低干涉信號(hào)的對(duì)比度［3］。MONTGOMERY P C 等在檢測(cè)深度75 μm、線寬2 μm 的微光機(jī)電系統(tǒng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)在梳齒結(jié)構(gòu)上邊緣水平方向向空氣延伸的位置附近，相干掃描會(huì)出現(xiàn)異常干涉條紋［4-5］，導(dǎo)致錯(cuò)誤的形貌復(fù)原結(jié)果。

近年來(lái)，為了分析測(cè)量系統(tǒng)和被測(cè)結(jié)構(gòu)特征參數(shù)對(duì)探測(cè)信號(hào)的調(diào)制規(guī)律，研究異常干涉信號(hào)的形成機(jī)理，進(jìn)而改進(jìn)形貌復(fù)原算法，提升形貌檢測(cè)精度，越來(lái)越多的研究基于不同的理論仿真建立干涉信號(hào)模型，并將其與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果相比較驗(yàn)證所建模型的準(zhǔn)確性。目前，基于衍射理論（如Kirchhoff 衍射理論、Richards-Wolf 衍射理論）的仿真建模［6-8］通常被應(yīng)用于表面形貌存在微小起伏的結(jié)構(gòu)。但由于衍射理論的有效性限制，該類方法無(wú)法完善描述高深寬比等復(fù)雜結(jié)構(gòu)特征對(duì)探測(cè)光的多重散射作用。因此，一些研究采用更為嚴(yán)格的基于麥克斯韋方程組求解的數(shù)值仿真方法。TAVROV A 等采用嚴(yán)格耦合波分析（Rigorous Coupled Wave Analysis，RCWA）數(shù)值仿真得到了高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)表面調(diào)制光場(chǎng)，并結(jié)合構(gòu)建的相干方程得到了與實(shí)驗(yàn)相近的仿真結(jié)果［9］，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)光源偏振方向垂直于溝槽方向時(shí)，結(jié)構(gòu)的遮擋以及復(fù)雜衍射效應(yīng)所引起的干涉條紋異?，F(xiàn)象最為明顯。BISCHOFF J 等［10］分別基于有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）、嚴(yán)格耦合波分析和Kirchhoff 衍射理論仿真得到一維矩形光柵的干涉圖及形貌復(fù)原結(jié)果，通過(guò)與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果相比較，指出相比基于衍射理論的仿真建模，即使數(shù)值仿真所設(shè)置仿真區(qū)域?yàn)槎S，也能夠和實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較好的一致性。THOMAS 等［11-12］采用邊界元法（Boundary Element Method，BEM）同樣在二維仿真區(qū)域內(nèi)得到了階躍結(jié)構(gòu)、V 型槽等表面調(diào)制光場(chǎng)，并得到了與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果相近的仿真干涉圖及其頻域分布。然而，嚴(yán)格耦合波分析通常僅適用于周期性結(jié)構(gòu)，邊界元法在面對(duì)同非線性項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的區(qū)域積分時(shí)求解困難，有限元法運(yùn)算步驟復(fù)雜且通常用于求解單一頻率的探測(cè)光場(chǎng)，此外對(duì)探測(cè)光與尺寸大于十倍光波長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)相互作用中光場(chǎng)的傳輸過(guò)程計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng)且效率低。相比之下，時(shí)域有限差分法（Finite Difference Time Domain，F(xiàn)DTD）在離散的網(wǎng)格空間中數(shù)值求解麥克斯韋差分方程組，能夠直接通過(guò)時(shí)域的遞推精確模擬光場(chǎng)的傳播過(guò)程，不僅適用于各種周期性及非周期性結(jié)構(gòu)，并且對(duì)寬帶探測(cè)光與高深寬比溝槽微結(jié)構(gòu)的相互作用過(guò)程的計(jì)算效率較高。

本文采用FDTD 數(shù)值模擬光場(chǎng)的傳輸過(guò)程，首先計(jì)算得到入射會(huì)聚光經(jīng)被測(cè)結(jié)構(gòu)調(diào)制后的表面返回場(chǎng)，然后針對(duì)低相干垂直掃描干涉的測(cè)量過(guò)程，引入垂直掃描過(guò)程并建立理想的顯微成像系統(tǒng)，同樣采用FDTD 將所得到的一系列不同步進(jìn)量下的調(diào)制光場(chǎng)傳輸至系統(tǒng)像面，最后結(jié)合所構(gòu)建的相干方程疊加參考光場(chǎng)數(shù)據(jù)，獲取被測(cè)結(jié)構(gòu)的低相干顯微干涉信號(hào)。分別仿真得到深寬比為5∶1、80∶3 的兩種硅基溝槽微結(jié)構(gòu)的表面調(diào)制光場(chǎng)，同時(shí)搭建與實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)放大倍率一致的理想成像系統(tǒng)，將表面調(diào)制光場(chǎng)傳輸至系統(tǒng)像面，并進(jìn)一步疊加參考光場(chǎng)數(shù)據(jù)，最后計(jì)算得到干涉信號(hào)。將仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)室自研的Linnik 型低相干垂直掃描干涉系統(tǒng)對(duì)相同深寬比樣品的檢測(cè)信號(hào)進(jìn)行比較，分析干涉信號(hào)的包絡(luò)及幅頻特征，證明采用所提方法建立的高深寬比溝槽微結(jié)構(gòu)低相干顯微干涉信號(hào)模型的準(zhǔn)確性，并進(jìn)一步分析受到結(jié)構(gòu)復(fù)雜表面形貌調(diào)制的異常干涉信號(hào)對(duì)相應(yīng)形貌復(fù)原算法準(zhǔn)確性的影響。通過(guò)對(duì)所建干涉信號(hào)模型的提前分析，可為相應(yīng)形貌復(fù)原算法的提出及改進(jìn)奠定基礎(chǔ)。

1 高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)的干涉信號(hào)特征

低相干垂直掃描干涉技術(shù)通常采用寬光譜光源，當(dāng)發(fā)生干涉時(shí)，寬光譜干涉強(qiáng)度表示為

式中，z為測(cè)量臂的長(zhǎng)度，z0為參考臂的長(zhǎng)度，lc為光源的相干長(zhǎng)度，λ0為寬光譜中心波長(zhǎng)。由此可知，得到的理想干涉信號(hào)是一個(gè)周期為λ0/2 的高斯包絡(luò)調(diào)制余弦函數(shù)，干涉信號(hào)高斯包絡(luò)峰值對(duì)應(yīng)的掃描位置為當(dāng)前采樣點(diǎn)的縱向高度。通常形貌復(fù)原算法在對(duì)干涉信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理之后，通過(guò)提取干涉信號(hào)包絡(luò)，并定位包絡(luò)峰值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的垂直掃描高度信息，即可復(fù)原結(jié)構(gòu)的形貌特征參數(shù)。預(yù)處理的目的在于提高干涉信號(hào)信噪比，保證復(fù)原形貌的準(zhǔn)確性，常采用Gaussian 濾波、Winner 濾波等消除信號(hào)中的高頻噪聲，完全噪聲輔助聚合經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解［13］（Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Nosie，CEEMDAN）用于消除由于光照不均或樣品表面反射率分布差異造成的光強(qiáng)信號(hào)低頻漂移。包絡(luò)提取算法主要包括希爾伯特變換法、小波變換法、傅立葉變換法等，其中Morlet 小波變換法［14］因計(jì)算精度高成為干涉信號(hào)包絡(luò)提取的常用方法。

在測(cè)量高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)不同采樣點(diǎn)的干涉信號(hào)具有不同的特征［15］，如圖1：被測(cè)結(jié)構(gòu)上表面采樣點(diǎn)的干涉信號(hào)對(duì)比度高且包含一組包絡(luò)；結(jié)構(gòu)下表面采樣點(diǎn)，因結(jié)構(gòu)對(duì)入射光的遮擋導(dǎo)致反射光能量低，使該位置干涉信號(hào)能量弱于上表面，由大范圍掃描引起的光強(qiáng)漂移現(xiàn)象還會(huì)使干涉信號(hào)發(fā)生整體偏移。此外，高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)階躍邊緣復(fù)雜的衍射效應(yīng)，會(huì)導(dǎo)致測(cè)量得到的干涉信號(hào)異常，包含兩組甚至是多組包絡(luò)，其中一組為包含結(jié)構(gòu)下表面垂直掃描高度信息的有效信號(hào)包絡(luò)，另一組為與結(jié)構(gòu)上表面位置相對(duì)應(yīng)的異常信號(hào)包絡(luò)。采樣點(diǎn)越靠近階躍下邊緣，下表面對(duì)應(yīng)的有效信號(hào)包絡(luò)幅值越小，甚至低于異常信號(hào)包絡(luò)。

圖1 高深寬比結(jié)構(gòu)的低相干顯微干涉信號(hào)特征Fig.1 Characteristics of low coherent micro-interference signal with high aspect ratio structure

2 仿真過(guò)程

仿真過(guò)程模擬低相干垂直掃描干涉系統(tǒng)測(cè)量高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)的過(guò)程，分為結(jié)構(gòu)表面調(diào)制光場(chǎng)的仿真、顯微成像過(guò)程的模擬、垂直掃描過(guò)程的模擬以及相干疊加獲得干涉信號(hào)四部分。其中，前兩部分都采用FDTD 數(shù)值模擬光場(chǎng)的傳輸過(guò)程。整個(gè)仿真過(guò)程在二維XOY面內(nèi)完成，具體仿真流程如圖2。

圖2 仿真流程Fig.2 Simulation process

2.1 結(jié)構(gòu)表面調(diào)制光場(chǎng)仿真

在直角坐標(biāo)系XOY面內(nèi)劃定FDTD 仿真區(qū)域，在區(qū)域內(nèi)定義被測(cè)結(jié)構(gòu)的表面形貌、材料屬性等特征參數(shù)，同時(shí)構(gòu)建給定帶寬?λ及中心波長(zhǎng)λ0的探測(cè)光源以及用于采集光場(chǎng)的場(chǎng)監(jiān)視器（Field Profile Monitor，F(xiàn)PM），F(xiàn)DTD 模擬的二維仿真空間設(shè)置如圖2 中步驟1 所示。為了避免不必要的諧振，被測(cè)結(jié)構(gòu)基底及左右兩側(cè)應(yīng)延伸至仿真區(qū)域以外，只以結(jié)構(gòu)復(fù)雜表面形貌為中心劃定二維仿真空間進(jìn)行仿真。需要注意的是，由于場(chǎng)監(jiān)視器真正能夠采集光場(chǎng)數(shù)據(jù)的范圍受到仿真區(qū)域?qū)挾龋ㄑ豖軸方向）的限制，為了能夠采集到由被測(cè)結(jié)構(gòu)表面反射的絕大部分光能量，同時(shí)保證仿真效率，將仿真空間的寬度設(shè)置為約探測(cè)光源注入面中光能量集中區(qū)域?qū)挾鹊膬杀丁?/p>

此外，根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)量系統(tǒng)的顯微成像光路，探測(cè)光源采用平行光束經(jīng)口徑大小為D1、焦距為f1的理想薄透鏡Lens1會(huì)聚的球面波，如圖2 中步驟2 所示，其在焦面位置處的光斑橫向尺寸遵循瑞利判據(jù)，如圖3。探測(cè)光主要沿Y軸方向傳播至被測(cè)結(jié)構(gòu)表面，結(jié)構(gòu)表面形貌對(duì)探測(cè)光產(chǎn)生相位和振幅調(diào)制，場(chǎng)監(jiān)視器緊貼在光源注入位置的后面，用于采集經(jīng)結(jié)構(gòu)表面調(diào)制后的反射光場(chǎng)數(shù)據(jù)。由于在遠(yuǎn)離被測(cè)結(jié)構(gòu)復(fù)雜表面形貌的區(qū)域不存在明顯的反射界面，因此仿真區(qū)域兩個(gè)Y邊界和兩個(gè)X邊界都采用理想匹配層吸收邊界條件（Perfectly Matched Layer，PML）［16］，使入射到邊界上的電磁波可以無(wú)反射地進(jìn)入虛擬有耗媒質(zhì)并逐漸衰減。

圖3 焦面位置處的探測(cè)光場(chǎng)分布示意Fig.3 Distribution of detecting light field at focal plane

2.2 顯微成像過(guò)程模擬

從2.1 節(jié)中場(chǎng)監(jiān)視器直接獲取的只是經(jīng)被測(cè)結(jié)構(gòu)表面調(diào)制后的、有限區(qū)間內(nèi)的近場(chǎng)數(shù)據(jù)，但在實(shí)驗(yàn)測(cè)量中所采集到的一系列干涉圖像，是經(jīng)過(guò)顯微物鏡和管鏡放大成像后的遠(yuǎn)場(chǎng)數(shù)據(jù)。為了模擬實(shí)驗(yàn)測(cè)量中的顯微成像過(guò)程，定義兩個(gè)口徑分別為D1和D2、焦距分別為f1和f2的理想薄透鏡Lens1、Lens2并將其共軛放置，構(gòu)成顯微成像系統(tǒng)，如圖4。由于2.1 節(jié)中仿真采用的光源為會(huì)聚球面波，因此仿真模擬的理想成像系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的是物方單個(gè)采樣點(diǎn)到系統(tǒng)像面單個(gè)像素點(diǎn)的放大成像。

圖4 仿真模擬成像過(guò)程Fig.4 Simulation of imaging process

成像過(guò)程采用FDTD 進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。首先，將經(jīng)被測(cè)結(jié)構(gòu)調(diào)制的近場(chǎng)數(shù)據(jù)分解為沿不同角度傳播的平面波并傳輸?shù)嚼硐氡⊥哥RLens1，根據(jù)Lens1所給定的焦距f1和口徑大小D1可計(jì)算得到Lens1的數(shù)值孔徑NA1及相應(yīng)的孔徑角u1，由于數(shù)值孔徑的限制，角度大于孔徑角u1的平面波都會(huì)被舍棄，保留的光線通過(guò)Lens1會(huì)聚到其后焦面上；然后，同樣對(duì)Lens1后焦面上的光場(chǎng)數(shù)據(jù)作分解并傳輸?shù)嚼硐氡⊥哥RLens2，計(jì)算得到Lens2的數(shù)值孔徑NA2及孔徑角u2，舍棄掉大于孔徑角u2的分解平面波并將保留的光線會(huì)聚到理想成像系統(tǒng)的像面上。其中，數(shù)值孔徑NA 與相應(yīng)孔徑角u的具體計(jì)算表達(dá)式為

式中，空間折射率（通常為空氣折射率）約等于1。

整個(gè)光場(chǎng)傳輸過(guò)程還須借助等效原理［17-18］，應(yīng)用有限區(qū)間內(nèi)的光場(chǎng)數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)區(qū)間外光場(chǎng)的外推。等效原理簡(jiǎn)述如下：在散射體周圍引入虛擬界面A，如圖5（a），設(shè)A面外為真空。如果保持界面A處場(chǎng)E、H的切向分量不變，而令A(yù)面內(nèi)的場(chǎng)為零，如圖5（b），則根據(jù)唯一性定理，圖5（a）和圖5（b）兩種情況在面A以外的場(chǎng)E、H有相同的分布。

圖5 等效原理示意Fig.5 Schematic of equivalent principle

在A面處存在等效面電流J與面磁流Jm（A面上E、H的切向分量），表示為

式中，en為面A的外法向。E與H的輻射場(chǎng)表示為

式中，A、F為矢量勢(shì)函數(shù)，通過(guò)J、Jm以及 Green 函數(shù)可以確定矢量勢(shì)函數(shù)，根據(jù)式（4）進(jìn)一步推導(dǎo)出A面外的輻射場(chǎng)E、H。在二維情況下，Green 函數(shù)可近似為

式中，k=ker。設(shè)二維外推封閉面為l，推導(dǎo)可得二維情況下的矢量勢(shì)函數(shù)為

同時(shí)定義電流矩tw和磁流矩tmw為

式中，w=x，y，z，表示電流矩和磁流矩分量的方向。利用上述公式，可推算得到二維直角坐標(biāo)系下電場(chǎng)和磁場(chǎng)的縱向分量Ez、Hz，表示為

2.3 垂直掃描過(guò)程模擬

實(shí)驗(yàn)檢測(cè)中，需要控制PZT 將干涉顯微物鏡分別調(diào)焦至結(jié)構(gòu)上、下表面，并以上、下表面為中心進(jìn)行±lc（光源相干長(zhǎng)度）范圍內(nèi)的相干掃描。仿真建模時(shí)，首先應(yīng)確定仿真區(qū)域中的待測(cè)采樣點(diǎn)，接著模擬物鏡的會(huì)聚光束對(duì)采樣點(diǎn)進(jìn)行沿光軸方向上的垂直掃描，最后得到采樣點(diǎn)的干涉信號(hào)。仿真模擬的垂直掃描過(guò)程如圖6（a），保持光源焦點(diǎn)位置不變并控制樣品移動(dòng)，掃描過(guò)程分三個(gè)步驟進(jìn)行：

1）調(diào)整被測(cè)結(jié)構(gòu)位置，使待測(cè)采樣點(diǎn)與光源焦點(diǎn)重合，模擬實(shí)驗(yàn)中的對(duì)焦過(guò)程。

2）圖中采樣點(diǎn)設(shè)置在溝槽下表面中心位置，對(duì)圖6（a）所示常規(guī)情況，以采樣點(diǎn)為中心，仿真模擬±lc區(qū)間內(nèi)的垂直掃描過(guò)程；對(duì)圖6（b）所示結(jié)構(gòu)深度大于lc的情況，以±0.5lc為區(qū)間完成下表面的垂直掃描后，以相同方式進(jìn)行上表面掃描。

圖6 仿真模擬垂直掃描過(guò)程Fig.6 Simulation of vertical scanning process

3）垂直掃描過(guò)程中設(shè)置步進(jìn)量step，控制結(jié)構(gòu)以由下向上進(jìn)行移動(dòng)，場(chǎng)監(jiān)視器在掃描過(guò)程中同步記錄結(jié)構(gòu)表面的調(diào)制光場(chǎng)數(shù)據(jù)，至此完成掃描過(guò)程。

2.4 相干疊加獲得干涉信號(hào)

將參考平面反射的光場(chǎng)數(shù)據(jù)和2.1 節(jié)與2.3 節(jié)在結(jié)構(gòu)表面記錄的垂直掃描調(diào)制光場(chǎng)數(shù)據(jù)，通過(guò)2.2 節(jié)中介紹的理想顯微成像系統(tǒng)，采用FDTD 光場(chǎng)傳輸至系統(tǒng)像面，隨后提取參考臂及測(cè)試臂的電場(chǎng)矢量E、H，根據(jù)式（9）進(jìn)行矢量疊加，最終得到干涉光場(chǎng)數(shù)據(jù)，表示為

式中，電場(chǎng)矢量E、干涉光場(chǎng)I是隨垂直掃描位置y變化的函數(shù)。

基于FDTD 數(shù)值計(jì)算顯微成像過(guò)程時(shí)，設(shè)置的成像傳輸后的像方采樣間隔遠(yuǎn)小于實(shí)際檢測(cè)中CCD 像元尺寸l。為后續(xù)將仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相對(duì)比，以干涉光場(chǎng)強(qiáng)度最大值的位置為中心劃定±l/2 的區(qū)域，對(duì)內(nèi)部所有像方采樣點(diǎn)的強(qiáng)度值求平均，將結(jié)果作為被測(cè)結(jié)構(gòu)表面選定的待測(cè)采樣點(diǎn)在當(dāng)前掃描位置的干涉強(qiáng)度值。根據(jù)掃描順序逐步拼接干涉強(qiáng)度值，得到采樣點(diǎn)的初始干涉信號(hào)。最后采用CEEMDAN 算法進(jìn)行干涉信號(hào)的預(yù)處理，消除大范圍相干掃描過(guò)程中存在的光強(qiáng)漂移現(xiàn)象。

值得注意的是，仿真過(guò)程中采用2.2 節(jié)介紹的理想顯微成像系統(tǒng)，期間并未考慮實(shí)際檢測(cè)時(shí)系統(tǒng)衍射極限作用的影響。為使仿真結(jié)果更接近真實(shí)值，進(jìn)一步考慮當(dāng)前采樣點(diǎn)鄰域范圍內(nèi)干涉信號(hào)由于衍射作用產(chǎn)生的疊加效果：進(jìn)行二維仿真時(shí)，首先以像元尺寸l對(duì)應(yīng)的物方間隔為采樣間隔設(shè)立當(dāng)前采樣點(diǎn)相鄰的點(diǎn)為輔助采樣點(diǎn)，接著以所闡述的仿真方法對(duì)輔助采樣點(diǎn)進(jìn)行干涉信號(hào)的計(jì)算，考慮如圖7 所示系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)幅值的衰減情況，則當(dāng)前采樣點(diǎn)受其相鄰兩個(gè)輔助采樣點(diǎn)的影響最為明顯，根據(jù)式（10）進(jìn)行仿真干涉信號(hào)的強(qiáng)度疊加，表示為

圖7 衰減因子與系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)示意Fig.7 Schematic of attenuation factor and point spread function

式中，Ifinal0為當(dāng)前采樣點(diǎn)最終的干涉信號(hào)，I0為當(dāng)前采樣點(diǎn)預(yù)處理后的干涉信號(hào)，I1、I2為左右相鄰輔助采樣點(diǎn)的干涉信號(hào)，α為衰減因子，其大小可根據(jù)物方采樣間隔d和系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)求得［19］。

3 仿真與測(cè)量結(jié)果的比較與分析

為驗(yàn)證仿真方法的準(zhǔn)確性并進(jìn)一步分析高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)的異常干涉信號(hào)，分別仿真得到深寬比為5∶1、80∶3 的硅基單溝槽微結(jié)構(gòu)下表面采樣點(diǎn)的低相干顯微干涉信號(hào)，并與實(shí)驗(yàn)室自研的Linnik 型低相干垂直掃描干涉系統(tǒng)測(cè)量相同深寬比溝槽微結(jié)構(gòu)所得結(jié)果進(jìn)行比較。實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)光源采用帶寬?λ為100 nm、中心波長(zhǎng)λ0為1 325 nm 的短相干近紅外光（相干長(zhǎng)度lc約為17.56 μm），PZT 帶動(dòng)測(cè)試臂在給定區(qū)間內(nèi)以步進(jìn)量step（165.625 nm，λ0/8）從下往上移動(dòng)，實(shí)現(xiàn)垂直掃描，系統(tǒng)兩臂顯微物鏡的放大倍率為20 倍（NA 為0.5），CCD 像元尺寸l為20 μm，兩像素間隔對(duì)應(yīng)物方采樣間隔為1 μm。仿真過(guò)程模擬實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的測(cè)量過(guò)程，所設(shè)置的仿真參數(shù)與實(shí)驗(yàn)一致。

3.1 深寬比5∶1 溝槽微結(jié)構(gòu)的干涉信號(hào)分析

仿真構(gòu)建深度10 μm、線寬2 μm 的硅基溝槽微結(jié)構(gòu)，待測(cè)采樣點(diǎn)位于溝槽底部，如圖8，采樣點(diǎn)間隔與實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)的1 μm 物方采樣間隔保持一致。根據(jù)第2 節(jié)所述的仿真過(guò)程，調(diào)整溝槽微結(jié)構(gòu)使待測(cè)采樣點(diǎn)與光源焦點(diǎn)位置重合，以此位置為中心，進(jìn)行±17.56 μm（±lc）區(qū)間內(nèi)的垂直掃描，仿真得到不同光源偏振方向下（垂直于溝槽方向的TEs光和平行于溝槽方向的TEp光）待測(cè)采樣點(diǎn)的干涉信號(hào)，光源焦點(diǎn)位置所對(duì)應(yīng)的垂直掃描步數(shù)為第107 步，如圖9。

圖8 深寬比5∶1 硅基溝槽微結(jié)構(gòu)下表面采樣點(diǎn)位置Fig.8 Location of tested sampling point of Si-based trench micro-structure with aspect ratio of 5∶1

圖9 不同光源偏振方向下深寬比5∶1 的硅基溝槽微結(jié)構(gòu)溝槽底部采樣點(diǎn)的干涉信號(hào)仿真結(jié)果Fig.9 Simulated interference signals of Si-based trench micro-structure with aspect ratio of 5∶1 under different polarization directions

進(jìn)一步采用實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)測(cè)量深度10 μm、線寬2 μm 的硅基溝槽微結(jié)構(gòu)并提取溝槽底部的干涉信號(hào)數(shù)據(jù)。以實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)的垂直掃描方向?yàn)橹行男D(zhuǎn)溝槽微結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)在不同角度下，所得到的結(jié)構(gòu)溝槽底部的干涉信號(hào)特征相似，如圖10 所示，這是由于實(shí)驗(yàn)采用的光源（SLD1325）為非偏振光的原因。

圖10 深寬比5∶1 的硅基MEMS 溝槽微結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果（干涉信號(hào)為CEEMDAN 算法預(yù)處理之后的結(jié)果）Fig.10 Experimental results of Si-based MEMS trench micro-structure with aspect ratio of 5∶1（the interference signals are the result of CEEMDAN preprocessing）

進(jìn)一步比較圖9 及圖10 仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，發(fā)現(xiàn)TEs光對(duì)應(yīng)的仿真干涉信號(hào)與實(shí)驗(yàn)干涉信號(hào)具有較好的一致性。相比TEp光對(duì)應(yīng)的仿真結(jié)果，由于TEs光的偏振方向垂直于溝槽方向，高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)特征所導(dǎo)致的遮擋效應(yīng)和衍射效應(yīng)明顯，干涉信號(hào)不僅幅值很小并且包含多個(gè)異常信號(hào)包絡(luò)，此時(shí)下表面位置對(duì)應(yīng)的有效信號(hào)包絡(luò)幅值甚至低于異常信號(hào)包絡(luò)幅值。由此證明雖然實(shí)驗(yàn)采用非偏振光入射，但是TEs光的偏振方向?qū)y(cè)量結(jié)果的影響遠(yuǎn)大于其它偏振方向。因此，在之后深寬比80∶3 硅基溝槽微結(jié)構(gòu)的仿真中，將直接采用TEs偏振會(huì)聚光作為仿真光源。

3.2 深寬比80∶3 溝槽微結(jié)構(gòu)的干涉信號(hào)分析

仿真構(gòu)建深度80 μm、線寬3 μm 的硅基溝槽微結(jié)構(gòu)，采用TEs偏振會(huì)聚光入射，得到被測(cè)結(jié)構(gòu)下表面中心采樣點(diǎn)Ps1和其相鄰的階躍下邊緣采樣點(diǎn)Ps2的干涉信號(hào)。為后續(xù)便于將仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，對(duì)所得到的干涉信號(hào)，以結(jié)構(gòu)上、下表面對(duì)應(yīng)的垂直掃描位置為中心，分別截取±50、±30 掃描范圍內(nèi)的干涉信號(hào)并重新拼接，結(jié)果如圖11。

圖11 拼接處理后的仿真干涉信號(hào)Fig.11 Simulated interference signals after splicing

進(jìn)一步選取實(shí)驗(yàn)測(cè)量深度80 μm、線寬3 μm 的硅基MEMS 溝槽微結(jié)構(gòu)得到的下表面溝槽中心采樣點(diǎn)、階躍下邊緣采樣點(diǎn)的干涉信號(hào)，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果如圖12，圖中展示的干涉信號(hào)已通過(guò)CEEMDAN 算法預(yù)處理。

圖12 深寬比80∶3 硅基MEMS 溝槽微結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果Fig.12 Experimental results of Si-based MEMS trench micro-structure with aspect ratio of 80∶3

以實(shí)驗(yàn)被測(cè)結(jié)構(gòu)上、下表面所對(duì)應(yīng)的垂直掃描位置為中心，同樣分別截取±50、±30 掃描范圍內(nèi)的經(jīng)過(guò)預(yù)處理后的干涉信號(hào)并拼接，結(jié)果如圖13。

從圖11 和圖13 間的對(duì)比可以看出，由于仿真光源及仿真區(qū)域?yàn)槎S形式，探測(cè)光會(huì)聚到結(jié)構(gòu)表面后反射的光能量弱于實(shí)際檢測(cè)時(shí)的光能量，因此仿真干涉信號(hào)的強(qiáng)度相比于實(shí)驗(yàn)信號(hào)會(huì)有所衰減，在比較過(guò)程中可將二者同時(shí)進(jìn)行歸一化處理，如圖14。

圖13 拼接處理后的實(shí)驗(yàn)干涉信號(hào)Fig.13 Experimental interference signal after splicing

圖14 歸一化后的實(shí)驗(yàn)干涉信號(hào)與仿真干涉信號(hào)對(duì)比圖Fig.14 Comparison diagram of normalized experimental interference signal and simulated interference signal

從對(duì)比結(jié)果中可以看出，受二維仿真形式、仿真建立結(jié)構(gòu)與實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)樣品結(jié)構(gòu)間區(qū)別的影響，雖然仿真干涉信號(hào)相比實(shí)驗(yàn)干涉信號(hào)的形式存在細(xì)微差別，但二者的信號(hào)特征近乎相同，初步證明了仿真模型的準(zhǔn)確性。接著采用Morlet 小波變換算法提取干涉信號(hào)包絡(luò)，進(jìn)一步比較信號(hào)的變化趨勢(shì)，同時(shí)對(duì)干涉信號(hào)進(jìn)行傅立葉變換提取頻域信息并進(jìn)行幅頻結(jié)果的比較，其結(jié)果分別如圖15 和圖16。

圖15 實(shí)驗(yàn)干涉信號(hào)與仿真干涉信號(hào)包絡(luò)對(duì)比Fig.15 Envelope comparison of experimental interference signal and simulated interference signal

從實(shí)驗(yàn)干涉信號(hào)與仿真干涉信號(hào)的包絡(luò)結(jié)果可以看出，對(duì)于深寬比80∶3 的高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)而言，下表面的干涉信號(hào)中均包含兩個(gè)包絡(luò)，其中左側(cè)異常包絡(luò)及右側(cè)有效包絡(luò)的掃描位置分別對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的上表面及下表面。當(dāng)采樣點(diǎn)逐漸接近階躍邊緣時(shí)，從圖15（a）至圖15（b）的信號(hào)變化中可以看出右側(cè)包絡(luò)的幅值顯著衰減，這是由于高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)遮擋作用時(shí)邊緣位置處采樣點(diǎn)的信號(hào)能量及信噪比降低的緣故。從干涉信號(hào)包絡(luò)的實(shí)驗(yàn)檢測(cè)及仿真結(jié)果間的對(duì)比可以看出，包絡(luò)都具有雙峰性特征且包絡(luò)的幅值、包絡(luò)峰值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的掃描位置都近乎相同，從而證明了本文提出的仿真方法可以成功地對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行模擬。此外，從信號(hào)解調(diào)的角度出發(fā)，干涉信號(hào)中存在的雙包絡(luò)現(xiàn)象將使采用重心法的相干峰位置定位算法失效，且將影響多項(xiàng)式擬合法對(duì)零光程差位置的求解。此外，由于左側(cè)異常包絡(luò)幅值大于右側(cè)有效包絡(luò)的影響，采用Morlet 小波變換等算法提取干涉信號(hào)的包絡(luò)后，針對(duì)雙包絡(luò)信號(hào)無(wú)法簡(jiǎn)單地定位相干峰位置。

從實(shí)驗(yàn)干涉信號(hào)與仿真干涉信號(hào)的幅頻結(jié)果可以看出，對(duì)深寬比80∶3 的高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)進(jìn)行檢測(cè)時(shí)，系統(tǒng)中心波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)波數(shù)附近的幅頻結(jié)果出現(xiàn)異常，表現(xiàn)為形式不對(duì)稱且不具備單峰性的特點(diǎn)。這是由干涉信號(hào)雙包絡(luò)的特征所引起，且當(dāng)采樣點(diǎn)接近階躍邊緣時(shí)，從圖16（a）至圖16（b）幅頻有所衰減。從干涉信號(hào)幅頻的仿真結(jié)果可以看出，其表現(xiàn)出的雙峰性特征與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相同，證明了本文所提仿真模型的有效性。此外，從信號(hào)解調(diào)的角度出發(fā)，幅頻結(jié)果的異常會(huì)導(dǎo)致基于頻域信息求解的空間頻域算法失效，影響零光程差位置的求解。

圖16 實(shí)驗(yàn)干涉信號(hào)與仿真干涉信號(hào)的頻域分布對(duì)比Fig.16 Frequency distribution comparison of experimental interference signal and simulated interference signal

通過(guò)比較深寬比80∶3 溝槽微結(jié)構(gòu)的仿真與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，分析干涉信號(hào)的包絡(luò)及幅頻特征，證明了所提仿真方法可對(duì)實(shí)驗(yàn)干涉信號(hào)進(jìn)行準(zhǔn)確模擬。此外，由于異常干涉信號(hào)會(huì)影響相應(yīng)形貌復(fù)原算法的準(zhǔn)確性，可通過(guò)提前分析仿真干涉信號(hào)特征，為后續(xù)信號(hào)解調(diào)算法的選取及有效包絡(luò)的確定提供指導(dǎo)。

4 結(jié)論

本文提出了基于FDTD 的低相干顯微干涉信號(hào)仿真方法。通過(guò)劃定仿真區(qū)域并設(shè)置仿真基本參數(shù)建立二維仿真空間，然后劃定垂直掃描范圍，以給定步進(jìn)量從下往上移動(dòng)被測(cè)結(jié)構(gòu)模擬系統(tǒng)的垂直掃描過(guò)程，同時(shí)采用FDTD 計(jì)算得到一系列步進(jìn)量下的結(jié)構(gòu)表面調(diào)制光場(chǎng)數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)建理想成像系統(tǒng)模擬實(shí)驗(yàn)的顯微成像過(guò)程，同樣采用FDTD 將表面調(diào)制光場(chǎng)傳輸至系統(tǒng)像面，最后疊加參考光場(chǎng)數(shù)據(jù)獲得所需的干涉信號(hào)。分別仿真得到深寬比5∶1、80∶3 的硅基溝槽微結(jié)構(gòu)下表面采樣點(diǎn)的干涉信號(hào)，并與實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)測(cè)量相同深寬比溝槽微結(jié)構(gòu)得到的干涉信號(hào)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)對(duì)干涉信號(hào)包絡(luò)及幅頻特征的比較，證明所提仿真方法的準(zhǔn)確性，并進(jìn)一步分析異常干涉信號(hào)對(duì)相應(yīng)形貌復(fù)原算法準(zhǔn)確性的影響。隨著高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)在半導(dǎo)體、傳感器及微納光學(xué)領(lǐng)域愈發(fā)廣泛的應(yīng)用，越來(lái)越多的研究基于低相干垂直掃描干涉技術(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真并建立干涉信號(hào)模型，通過(guò)與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果的比較驗(yàn)證仿真所建模型的準(zhǔn)確性，進(jìn)而研究分析測(cè)量系統(tǒng)和被測(cè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)干涉信號(hào)的調(diào)制機(jī)理，為改進(jìn)形貌復(fù)原算法、提升檢測(cè)精度奠定基礎(chǔ)。本文所提出的基于FDTD 的數(shù)值仿真方法為實(shí)驗(yàn)測(cè)量高深寬比溝槽結(jié)構(gòu)提供了有效的理論干涉信號(hào)模型，可以在實(shí)驗(yàn)檢測(cè)前對(duì)干涉信號(hào)進(jìn)行先驗(yàn)性計(jì)算，提前分析干涉信號(hào)的特征，并為信號(hào)解調(diào)算法的選取及有效包絡(luò)的確定提供指導(dǎo)，為形貌復(fù)原算法的改進(jìn)奠定基礎(chǔ)。且該仿真方法同樣適用于理想平面、光柵、V 型槽等各種周期性或非周期性結(jié)構(gòu)。在未來(lái)的研究工作中，可將仿真模型從二維擴(kuò)展到三維，與此同時(shí)優(yōu)化算法效率，使其具備更為廣闊的應(yīng)用前景。