透過巧合表象 溯源問題本質(zhì)
——一道幾何問題的探析與思考

肖 霄 (重慶復(fù)旦中學(xué) 400010)

1 問題提出

在參加暑期教師研修時筆者遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，點(diǎn)P是BD上一點(diǎn)，∠APC=135°，求PD的長.

圖1 圖2

在隨后的解法賞析中，其中一種方法引起了筆者極大的興趣.如圖2所示，這里“輔助圓”的由來是因?yàn)椤螦PC=135°，由題目條件AB=BC和∠ABC=90°容易知道△APC外接圓的圓心為點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)(點(diǎn)O).由圖2，若點(diǎn)P，D，E共線，即CP⊥BD，則有∠APE=∠ACE=45°，反之亦然.這看似巧合的表象背后究竟隱藏著怎樣的問題本質(zhì)，對于我們核心素養(yǎng)培養(yǎng)理念下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)又有著怎樣的指導(dǎo)意義，這值得我們做進(jìn)一步的思考.

2 探析與改編

2.1 解法探析

對一道題目條件的普遍化、特殊化或類比和要解的題目之間的聯(lián)系是一種探尋解題思路的 有效方法[1].由此，我們對問題做適當(dāng)?shù)臈l件特殊化：如圖3，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，CP⊥BD，試說明∠APC=135°.

圖3 圖4

對比條件特殊化后的問題和原問題，不難看出當(dāng)CP⊥BD時有∠APC=135°，那么當(dāng)∠APC=135°時是否一定有CP⊥BD？這是肯定的.如圖5所示，若沒有CP⊥BD，則無法滿足∠APC=135°(此時∠APC>135°或∠APC<135°)，這就是前文圖2中的點(diǎn)P，D，E共線，看似“巧合”背后蘊(yùn)含的必然緣由.

圖5

2.2 問題改編

為了突破學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的差異性以及當(dāng)前教材還難以厘清的某些知識結(jié)構(gòu)、聯(lián)系和規(guī)律的桎梏，教師有必要對問題進(jìn)行適當(dāng)改編.結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)并將教學(xué)內(nèi)容納入整個單元知識體系的全局中思考，從而加強(qiáng)各知識、技能方法之間的連續(xù)性和銜接性，問題改編可著重從這樣幾個方面加以考慮：(1)對若干個單元或整個幾何知識板塊中的條件相似或方法可借鑒的問題進(jìn)行有機(jī)的整合、串聯(lián)或并聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生有意識類比知識和技能間的聯(lián)系；(2)把握問題的本質(zhì)，精心研究解答過程，探析問題解法的由來，在契合學(xué)生認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上對問題進(jìn)行必要的簡化，或橫向拓展、縱向延伸；(3)引導(dǎo)學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、直覺、推理和歸納基礎(chǔ)上可自主探索的開放性或探索性結(jié)果的問題；(4)在充分考慮學(xué)生個性化發(fā)展的基礎(chǔ)上，通過一般化或特殊化條件或者改變問題的條件與結(jié)論，調(diào)動各層級學(xué)生積極參與“問題解決”為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)活動，促進(jìn)其差異性發(fā)展，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的育人價值.

改編1 如圖6，在△ABC中，AB=BC=6，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，CP⊥BD，求CP的長.

圖6 圖7

改編2 如圖7，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若PB=1，PC=2，∠BPC=135°，求AP的長.

改編3 如圖8，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APC=135°，求BP的最小值.

圖8 圖9

改編4 如圖9，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，AD∶DC=1∶2，CP⊥BD，延長CP交AB于點(diǎn)E，證明點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).

改編5 如圖10，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，點(diǎn)P是BD上一點(diǎn)，CP⊥BD且∠APC=135°，猜想線段AD和DC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

圖10

改編6 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，連結(jié)AD.

(1)如圖11，將AD繞著點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連結(jié)BE，交AC于點(diǎn)F，若F為AC中點(diǎn)，BD=4，求AE的長.

圖11

圖12 圖13

在幾何證明時，學(xué)生不僅要處理相關(guān)圖形，而且要理解圖形背后所表示或隱含的信息，如在前文題目中未有CP⊥BD，但綜合題目信息卻可得出這一重要的隱含結(jié)論.因而在以問題驅(qū)動為主要模式的幾何教學(xué)中，教師在問題改編時應(yīng)注意立足于學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，把握其認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平，通過梯度化的問題設(shè)置，貼近學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，從而更好地調(diào)動學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動.特別需要注意的是，在對某一典型問題解題思路和方法的精準(zhǔn)剖析下，改編問題或重構(gòu)圖形時不應(yīng)只是簡單地改變一下邊的長度或者角的度數(shù)，而應(yīng)遵循弱化條件使其圖形結(jié)構(gòu)一般化，或強(qiáng)化條件使得圖形特殊化，著力于通過一系列的變式問題串使得學(xué)生厘清問題之間的聯(lián)系和區(qū)別，建構(gòu)起對知識和方法技能更為合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu).如改編的問題1～問題3，簡化了原問題的條件，圖形因此變得更為簡略，但涉及的知識和方法卻是貫穿整個中學(xué)幾何學(xué)習(xí)的勾股定理、旋轉(zhuǎn)變換和圓.改編問題4強(qiáng)化了題目條件，引導(dǎo)學(xué)生回顧原問題的求解過程和所學(xué)的中位線知識，從而轉(zhuǎn)化問題，找到突破口.改編問題5中盡管圖形沒有變化，但將原問題的結(jié)論和條件變換了位置，同時不再給出線段間關(guān)系再要求證明，而是一種開放式的問題設(shè)置方式，學(xué)生需要觀察、甚至直覺猜測并仔細(xì)回顧利用“輔助圓”求解原問題時，其中還需厘清的幾何關(guān)系還有哪些，這在潛移默化中培養(yǎng)題后反思的好習(xí)慣.

改編問題6減少原問題的條件的同時加入新的條件，重構(gòu)了圖形，此時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有文字、符號和圖形信息，將題目中未告知但較容易得到的隱含信息補(bǔ)充為題目條件，如第(1)小問中易知∠BAD=∠CAE，易證CE=BD，第(2)小問中△DMN和△DMA為等腰三角形，第(3)小問中DP=DB等，在此基礎(chǔ)上啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：過去解題中遇到中點(diǎn)、等腰三角形、動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離保持不變時最容易聯(lián)想到什么？以往解題中遇到此類條件時是如何處理的？這就容易激活學(xué)生已有解題經(jīng)驗(yàn)，從而嘗試通過諸如圖14～圖16這樣的“輔助線或圓”將題目中條件有機(jī)整合，進(jìn)而形成環(huán)環(huán)相扣、內(nèi)在邏輯通暢的信息鏈，逐步明晰原有圖形中隱含的幾何性質(zhì)與關(guān)系，從而拓寬解題突破口，最終打開問題解決的思路.

圖14

圖15 圖16

3 教學(xué)思考

幾何中問題情境及其數(shù)學(xué)關(guān)系雖然抽象，但對學(xué)生而言是富有意義和直觀的，幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平比較吻合，幾何可以讓學(xué)生在不需要掌握太多系統(tǒng)知識的前提下體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生自身即可判斷檢驗(yàn)解題過程的正確性，幾何證明的結(jié)果常常令人驚奇：往往只需要很少的條件就能得到很漂亮的結(jié)果，等等[2]292.因此，科學(xué)開展幾何問題教學(xué)將是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和推理能力的重要途徑.鑒于此，筆者認(rèn)為可從以下三個方面加以考慮.

3.1 重視方法，明晰幾何直觀內(nèi)涵

盡管幾何題是一類十分有益的問題解決活動，但幾何問題，特別是其中的證明題，對學(xué)生而言確實(shí)比較困難，這是因?yàn)閹缀巫C明題，由于需要厘清其圖形背后隱含的幾何關(guān)系，往往具有多種途徑，而非只是單一、線性的方法，是一種綜合幾何直觀和邏輯推理的演繹證明.課標(biāo)將幾何直觀和推理能力列為中學(xué)數(shù)學(xué)教育兩大核心素養(yǎng)，日常教學(xué)中應(yīng)以此為培養(yǎng)的核心目標(biāo).這里的幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.由于圓特殊的圖形性質(zhì)(旋轉(zhuǎn)以及軸對稱)，特別是圓上同(等)弧、弦和圓心角、圓周角之間靈活的對應(yīng)變換形成的“共圓”關(guān)系，借助圓的幾何直觀性，往往有助于挖掘出問題隱含的幾何關(guān)系和性質(zhì)，從而拓寬問題突破口.如前文改編問題6中第(2)小問：由題目中條件AD=DM，以及由DM繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DN得到的DM=DN，易知點(diǎn)A，M，N在以點(diǎn)D為圓心、AD為半徑的圓上，如圖17所示，從而由∠MDN=90°知∠MAN=45°.結(jié)合所要證明問題，容易想到過點(diǎn)N作AM的垂線，結(jié)合∠MDN=90°，此時又有“共圓”關(guān)系出現(xiàn)，如圖18所示，由此易知∠DHN=135°，∠DNH=∠DMB.結(jié)合題目條件，容易證明△DNH≌△DMB，至此問題求解的思路愈發(fā)清晰.

圖17 圖18

基于以上分析，在幾何教學(xué)中，教師應(yīng)重視和探索圓的幾何直觀性的教學(xué)價值，探尋問題中“輔助圓”成立的條件化、方法的合理化、思路形成的自然化，使學(xué)生充分明晰課標(biāo)中幾何直觀的內(nèi)涵，使不同層次學(xué)生得到相應(yīng)的解題能力提升.

3.2 回歸教材，凸顯問題本質(zhì)

相關(guān)調(diào)查研究業(yè)已表明，有78%的學(xué)生不能完成幾何證明題的原因是缺乏相應(yīng)的幾何知識[2]292.教材作為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的主要載體，是課標(biāo)理念和目標(biāo)的集中體現(xiàn).由于一道題目中無法集中體現(xiàn)重要的知識和技能方法，同時問題條件的呈現(xiàn)是否考慮到學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的差異性，是否貼近其思維的最近發(fā)展區(qū)，因此在準(zhǔn)確了解學(xué)生已有認(rèn)知水平，在詳盡掌握問題涉及的知識技能的基礎(chǔ)上對問題作必要的改編顯得尤為重要.

任何有效的問題改編前，教師都應(yīng)詳細(xì)研讀教材透析課標(biāo)精神，緊緊把握課標(biāo)要求，從單元整體教學(xué)的角度厘清知識間關(guān)聯(lián).

在問題改編中，不可脫離教材盲目拔高，應(yīng)注重回歸教材，對典型問題進(jìn)行梯度化的變式改編：一方面將教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法及技能滲透其中凸顯問題本質(zhì)，如前文的問題改編立足于教材中的勾股定理、中位線、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換、三角函數(shù)和圓等重要知識和思想方法；另一方面從認(rèn)知難度“降低”和“提高”的角度吸引各個認(rèn)知水平階段的學(xué)生參與學(xué)習(xí)活動中，啟迪其從多角度探尋問題思路，并培養(yǎng)題后反思、歸納總結(jié)方法的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而促進(jìn)其透視教材和問題中知識與技能、思想和方法之間的聯(lián)系和區(qū)別，充分感受到知識從發(fā)生、發(fā)展到應(yīng)用的完整過程，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，真正從過去的題海中解脫出來，推動素養(yǎng)培養(yǎng)為核心目標(biāo)的課標(biāo)理念的達(dá)成.

3.3 關(guān)注差異，注重情感態(tài)度價值觀

數(shù)學(xué)教育的價值決定了應(yīng)以學(xué)生為中心，注重學(xué)生個性化發(fā)展，不只關(guān)注認(rèn)知能力，還應(yīng)包括情感態(tài)度和價值觀等非認(rèn)知因素，這些都離不開讓學(xué)生形成對數(shù)學(xué)正確的信念，而這種正確的對數(shù)學(xué)的體驗(yàn)和認(rèn)識取決于教學(xué)活動.對此數(shù)學(xué)教育專家匈菲爾德就認(rèn)為：“如果我們相信數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是很有用的，而且數(shù)學(xué)式的思維是很有價值的，那么課堂教學(xué)就必須反映這些信念.因此，我們必須創(chuàng)設(shè)出一種學(xué)習(xí)環(huán)境，在這種環(huán)境中，學(xué)生能夠積極地體驗(yàn)數(shù)學(xué).”[2]199因此，在問題改編時應(yīng)充分考慮學(xué)情，將學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的差異性充分納入到問題改編中，通過特殊化題目條件或圖形，或?qū)㈩}目條件或圖形結(jié)構(gòu)弱化其原有的特殊性，以認(rèn)知基礎(chǔ)較薄弱學(xué)生作為問題改編的出發(fā)點(diǎn)，突出條件、圖形理解的低起點(diǎn)和方法技能的寬口徑.這種層次化的問題串設(shè)置降低了認(rèn)知難度，能幫助能力不足而產(chǎn)生畏難情緒的學(xué)生積極參與問題探索，從順利解題中增強(qiáng)信心，改善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度.

同時，問題改編不可忽視高立意，涂榮豹教授指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效開展離不開高水平的智力參與[3].正如前面的問題改編所展現(xiàn)的一樣，高立意是指學(xué)生通過對前面所學(xué)的反思，通過觀察、類比和推理，甚至直覺等一系列智力活動挖掘圖形背后蘊(yùn)含的幾何關(guān)系.如前面的改編問題6的第(2)小問，通過觀察圖形特征，由題目中AD=DM，以及由DM繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)90°至DN得到的DM=DN，類比三角形全等判定所需條件，學(xué)生會嘗試通過圖19這樣的思路對問題加以推理證明.

圖19

整個過程都離不開積極主動和不畏困難等相應(yīng)的良好情感態(tài)度和價值觀的參與，學(xué)生在這一過程中也在不斷增進(jìn)自我認(rèn)可度，獲得充足的個人思維建構(gòu)體驗(yàn).因此，教師應(yīng)充分認(rèn)識問題改編的育人價值，使得不同認(rèn)知層次的學(xué)生都能從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得不同的發(fā)展.