兩個(gè)“尷尬”的證明引發(fā)的思考

張網(wǎng)軍 苗長(zhǎng)青 (江蘇省泰州市姜堰區(qū)羅塘高級(jí)中學(xué) 225500)

在江蘇教育出版社版高中數(shù)學(xué)新教材必修一“指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)”中，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論是利用圖象觀察歸納出來的，而一個(gè)結(jié)論必須經(jīng)過嚴(yán)格證明才是可靠的.由于教材對(duì)此結(jié)論的證明不作要求，因此，筆者鼓勵(lì)學(xué)有余力的學(xué)生自己嘗試證明，結(jié)果班上有兩位學(xué)生證明如下：

求證：y=2x為增函數(shù).

生甲：設(shè)x10，2x2-x1>20=1，即2x2-x1-1>0.又因?yàn)?x1>0，所以y2>y1，故y=2x為增函數(shù).

這兩種證明十分“尷尬”，都用到“當(dāng)x2-x1>0時(shí)，2x2-x1>20=1”這一結(jié)論，而這一結(jié)論的成立本身就是因?yàn)閥=2x為增函數(shù)才得到的，顯然這是用結(jié)論本身來證明結(jié)論，犯了循環(huán)論證的謬誤.其實(shí)要說明當(dāng)x2-x1>0時(shí)，2x2-x1>1，我們只要考察冪函數(shù)y=xx2-x1的單調(diào)性便可.因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了冪函數(shù)，所以證明修正如下：

設(shè)x10，由于冪函數(shù)y=xx2-x1在(0,+∞)上是增函數(shù)，又因?yàn)?>1，所以2x2-x1>1x2-x1=1.又因?yàn)?x1>0，所以y2>y1，故y=2x為增函數(shù).

思考1為什么學(xué)生會(huì)犯循環(huán)論證的謬誤？

循環(huán)論證，是指用來證明論題的論據(jù)本身的真實(shí)性要依靠論題來證明的邏輯錯(cuò)誤.也就是說論證的前提就是待論證的結(jié)論.學(xué)生在證明一些常見定理或者結(jié)論時(shí)常常會(huì)不經(jīng)意間犯這種錯(cuò)誤，這主要是因?yàn)閷W(xué)生在已有數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行命題的論證時(shí)，往往缺乏一定的數(shù)學(xué)邏輯，會(huì)將一些命題中不存在的條件作為已知條件(而不自知)，導(dǎo)致解題過程不能達(dá)到“句句有理，步步有據(jù)”.要避免這種謬誤，首先需要不斷加強(qiáng)邏輯思維能力的培養(yǎng)，了解證明過程中每一步的依據(jù)是什么.其次，教師在平時(shí)的教學(xué)過程中，不能只在乎對(duì)結(jié)果的運(yùn)用，還要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的生成和發(fā)展過程，讓學(xué)生真正能夠知其所以然.最后，還要重視學(xué)生對(duì)知識(shí)的探索能力，不能讓學(xué)生只是學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的模仿，要注重引導(dǎo)，從教知識(shí)上升到教方法、教思維.

思考2新教材中為何要將冪函數(shù)放到指數(shù)函數(shù)之前學(xué)習(xí)？

筆者認(rèn)為主要有以下幾個(gè)原因：

(1)蘇教版新教材的數(shù)學(xué)必修一是緊隨初中教材而設(shè)計(jì)的，在初中學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等初等函數(shù)，而這些函數(shù)都是由冪函數(shù)構(gòu)成的，所以，將冪函數(shù)放在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)之前，有利于學(xué)生從初中已學(xué)函數(shù)中進(jìn)行類比推理，由特殊到一般，更深刻地理解和研究?jī)绾瘮?shù)的基本性質(zhì).

(2)冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)形式上具有極高的相似性，學(xué)生在做題過程中往往難以分辨這兩類函數(shù)，從而錯(cuò)誤解題.所以將指數(shù)函數(shù)緊隨其后，便于學(xué)生區(qū)分這兩類函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式.

(3)在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)知曉冪的概念——冪指乘方運(yùn)算的結(jié)果，在高中進(jìn)行冪函數(shù)的研究時(shí)，學(xué)生會(huì)充分進(jìn)行聯(lián)想，發(fā)散思維.教材對(duì)冪指對(duì)函數(shù)順序調(diào)整，便于學(xué)生閱讀教材，易于學(xué)生理解，能激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.