基于分光計(jì)測(cè)量不同介質(zhì)折射率的探究性研究＊

李一諾，袁 爍，梁小蕊，金靚婕，張紀(jì)磊

（海軍航空大學(xué)航空基礎(chǔ)學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264001）

0 引言

分光計(jì)是一種用于精確測(cè)量光線偏轉(zhuǎn)角度的典型光學(xué)儀器，光學(xué)研究中許多直接或間接與光線偏轉(zhuǎn)角度有關(guān)的光學(xué)量或光學(xué)性能如光波波長(zhǎng)、折射率、色散特性、光柵常數(shù)、光譜特性等的測(cè)量，都可以利用分光計(jì)來(lái)實(shí)現(xiàn)[1-5]。其中折射率是表征物質(zhì)重要物理屬性的光學(xué)參數(shù)，折射率的精確測(cè)量對(duì)于科學(xué)研究和工業(yè)生產(chǎn)都具有十分重要的意義。在前沿科技領(lǐng)域，液體折射率的高精度測(cè)量也是國(guó)內(nèi)外重要的研究課題[6-11]。大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中，我們通?；诜止庥?jì)，采用最小偏向角法測(cè)得幾種譜線的折射率，但這種方法常常會(huì)由于最小偏向角的精確位置判斷不準(zhǔn)確，而引入一定的誤差，難以得到高精度的測(cè)量結(jié)果，并且這種方法通常只能用于三棱柱狀固體材料的折射率測(cè)量[12-13]。而對(duì)于液體折射率的高精度測(cè)量，國(guó)內(nèi)外通常依賴于高精尖的設(shè)備或者要求較為苛刻的測(cè)試環(huán)境[8-11]，這就導(dǎo)致測(cè)量成本大大增加。

針對(duì)以上問(wèn)題，本著降低測(cè)量成本并且提高測(cè)量精度的原則，本文應(yīng)用現(xiàn)有基本教學(xué)設(shè)備JJY 型分光計(jì)，探索了任意入射角與偏向角法測(cè)量折射率，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與最小偏向角法的結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)任意入射角與偏向角法測(cè)得的折射率具有更高的精度，因此選擇了任意入射角與偏向角法測(cè)量不同液體的折射率。此項(xiàng)研究采用等厚玻璃制成的空心三棱鏡作為容器，來(lái)實(shí)現(xiàn)不同液體折射率的高精度測(cè)量。

1 分光計(jì)測(cè)量折射率基本原理

1.1 最小偏向角法測(cè)量折射率的原理

如圖1 所示，一束單色光以i1角入射到AB 面上，經(jīng)棱鏡兩次折射后，從AC 面出射，出射角為i2′，入射光與出射光之間的夾角δ稱為偏向角。當(dāng)棱鏡頂角A 一定時(shí)，偏向角δ的大小隨入射角i1的變化而變化。而當(dāng)i1=i2′時(shí)，δ為最小，這時(shí)的偏向角稱為最小偏向角，記為δmin。三棱鏡折射率n與最小偏向角δmin的關(guān)系為：

圖1 最小偏向角法原理圖

由此可知，測(cè)量出頂角A 和最小偏向角δmin的值，即可求得棱鏡材料的折射率n[14]。

1.2 任意入射角與偏向角法測(cè)量折射率的原理

圖2為任意入射角入射時(shí)的光路圖，由圖2 幾何關(guān)系可計(jì)算出任意入射角經(jīng)三棱鏡兩次折射后所形成出射角和偏向角的值。

圖2 任意入射角與偏向角法原理圖

也可得到AB面折射角與AC面入射角的關(guān)系為：

由AB 面折射定律可得：

由AC 面折射定律可得：

偏向角與任意入射角的關(guān)系式[14]

因此，測(cè)量出多組任意入射角i1，及其對(duì)應(yīng)的偏向角δ，即可求得介質(zhì)的折射率n。

1.3 空心三棱鏡測(cè)量液體折射率原理

由參考文獻(xiàn)[15]中陳新，李維暉等人的研究結(jié)果可知，用空心三棱鏡測(cè)量液體折射率是可行的。本實(shí)驗(yàn)采用的空心三棱鏡是用折射率相同的等厚玻璃制成的，其截面為等邊三角形。將空心三棱鏡放置在調(diào)平的分光計(jì)載物臺(tái)上，當(dāng)光線從平行光管發(fā)出后，會(huì)經(jīng)過(guò)空心三棱鏡的兩個(gè)側(cè)面，并在兩側(cè)玻璃上發(fā)生折射，光線會(huì)有所偏移，但與通過(guò)固體實(shí)心三棱鏡的出射光線平行，相應(yīng)偏向角的角度不變，因此仍可用式（2）～（8）求得液體折射率（如圖3 所示為測(cè)量光路圖）。

圖3 測(cè)量液體折射率光路圖

圖4 實(shí)驗(yàn)儀器

1.4 柯西色散公式

柯西色散公式最初是由法國(guó)物理學(xué)家Augustin-Jean Fresnel 和法國(guó)數(shù)學(xué)家Augustin-Louis Cauchy 分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)公式。它是描述介質(zhì)的折射率與真空中入射光波長(zhǎng)的數(shù)學(xué)關(guān)系，可以表示為：

式中a，b，c是三個(gè)柯西色散系數(shù)，因介質(zhì)的不同而不同。

該公式可以精確預(yù)測(cè)不同波長(zhǎng)的光在不同介質(zhì)中的折射率，當(dāng)光線從一種介質(zhì)傳播到另一種介質(zhì)時(shí)，不同介質(zhì)對(duì)入射光的波長(zhǎng)會(huì)有不同的影響，導(dǎo)致光線的折射角發(fā)生變化，折射率隨之發(fā)生變化。在這種情況下，柯西色散公式可以準(zhǔn)確計(jì)算出不同波長(zhǎng)的光通過(guò)不同介質(zhì)的折射率[1,16-17]。

2 實(shí)驗(yàn)部分

2.1 試劑與儀器

試劑：蒸餾水、國(guó)藥分析純?cè)噭┍吐橛停ㄕ凵渎?.477-1.481）。

實(shí)驗(yàn)儀器：JJY 型分光計(jì)、實(shí)心三棱鏡（40×40×40×40mm）、空心三棱鏡（40×40×40×33mm，厚度2mm）、汞燈（波長(zhǎng)404.66nm、435.84nm、546.07nm、579.07nm）、氫燈（波長(zhǎng)486.13nm、656.28nm）、氦燈（波長(zhǎng)447.15nm、501.57、587.56、667.82）。其中分光計(jì)的讀數(shù)系統(tǒng)可精確到1 分。全部實(shí)驗(yàn)均在室溫25℃下進(jìn)行。

2.2 最小偏向角測(cè)量三棱鏡折射率

利用各調(diào)一半法將所用實(shí)驗(yàn)設(shè)備JJY 型分光計(jì)調(diào)平。轉(zhuǎn)動(dòng)游標(biāo)盤(pán)使三棱鏡AC 面正對(duì)望遠(yuǎn)鏡，記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)θ1和θ2。再轉(zhuǎn)動(dòng)游標(biāo)盤(pán)，使AB 面正對(duì)望遠(yuǎn)鏡，記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)和。同一游標(biāo)兩次讀數(shù)之差求和取平均即載物臺(tái)轉(zhuǎn)過(guò)的角度φ，則三棱鏡頂角A=π-φ。

將平行光管狹縫對(duì)準(zhǔn)前方光源，通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)游標(biāo)盤(pán)及望遠(yuǎn)鏡找出棱鏡出射的各種顏色的光譜線。再轉(zhuǎn)動(dòng)游標(biāo)盤(pán)改變?nèi)肷浣莍1，各色譜線隨之移動(dòng)，直至譜線開(kāi)始要反向移動(dòng)為止，即為光線以最小偏向角射出的方向。記下此時(shí)兩游標(biāo)處的讀數(shù)θ1和θ2，取下三棱鏡，轉(zhuǎn)動(dòng)望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)平行光管以確定入射光的方向，再記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)則二者求和取平均即為待測(cè)譜線的最小偏向角δmin的值如式（10）所示。

將δmin和測(cè)得的三棱鏡頂角A 平均值帶入式（1），可計(jì)算出折射率n。重復(fù)此步驟分別計(jì)算不同譜線的折射率n。

2.3 任意入射角與偏向角法測(cè)量三棱鏡折射率

2.3.1 角度測(cè)量

將平行光管狹縫對(duì)準(zhǔn)光源，將三棱鏡放置在調(diào)平的載物臺(tái)上。望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)平行光管，使其分劃板上的中心豎線對(duì)準(zhǔn)出射光，記下此時(shí)兩游標(biāo)處的讀數(shù)θ11和θ21。

轉(zhuǎn)動(dòng)望遠(yuǎn)鏡，找出三棱鏡出射的各色光譜線，使分劃板上的中心豎線對(duì)準(zhǔn)待測(cè)譜線，各色光譜線如圖5 所示，記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)，參照式（10）計(jì)算得到任意偏向角δ。

將望遠(yuǎn)鏡向另一方向旋轉(zhuǎn)至一定角度，找到反射光線，使分劃板上的中心豎線對(duì)準(zhǔn)反射光，記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)。如圖6 所示，入射光與反射光的夾角為β，

圖6 測(cè)量反射光的光路圖

圖7 反射光譜線

根據(jù)圖6 中幾何關(guān)系可求得入射角i1。

轉(zhuǎn)動(dòng)游標(biāo)盤(pán)改變?nèi)肷浣莍1，然后轉(zhuǎn)動(dòng)望遠(yuǎn)鏡，使分劃板上的中心豎線再次對(duì)準(zhǔn)入射光，記下兩游標(biāo)處的讀數(shù)θ12和θ22。重復(fù)上述步驟，即可測(cè)量并記錄若干組任意入射角i1k的值，及對(duì)應(yīng)待測(cè)譜線的若干組任意偏向角值δ（kk=1，2，3……）的值。

2.3.2i-δ非線性擬合，計(jì)算折射率

對(duì)于一條待測(cè)譜線其任意入射角i與對(duì)應(yīng)偏向角δ之間的關(guān)系為（8）式，利用上述方法測(cè)量得到了不同波長(zhǎng)譜線的8 組（i，δ）數(shù)據(jù)，列于表1 中。用MATLAB 程序?qū)Ρ? 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，如圖8 所示（以587.56nm氦燈黃色譜線為例），可得到待測(cè)譜線的折射率n。按此方法可分別得到不同波長(zhǎng)譜線的i-δ關(guān)系曲線，進(jìn)而計(jì)算出不同波長(zhǎng)的光對(duì)應(yīng)的折射率n[18]。

表1 不同波長(zhǎng)的光對(duì)于三棱鏡的任意入射角與偏向角測(cè)量結(jié)果

圖8 氦燈黃色譜線對(duì)于三棱鏡的任意入射角與偏向角關(guān)系圖

2.4 任意入射角與偏向角法測(cè)量液體折射率

用空心三棱鏡作為容器盛裝蒸餾水和蓖麻油兩種液體，測(cè)得不同波長(zhǎng)的光通過(guò)兩種不同介質(zhì)的折射率n（測(cè)量方法與步驟同2.3）。得到不同波長(zhǎng)的光對(duì)應(yīng)的角度數(shù)據(jù)分別列于表2 和表3 中。

表2 不同波長(zhǎng)的光入射蒸餾水的入射角與偏向角測(cè)量結(jié)果

表3 不同波長(zhǎng)的光入射蓖麻油的入射角與偏向角測(cè)量結(jié)果

3 結(jié)果與討論

3.1 最小偏向角法和任意入射角與偏向角法測(cè)三棱鏡折射率的比較

采用最小偏向角法測(cè)得的不同波長(zhǎng)的光入射實(shí)心三棱鏡的折射率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)列于表4。

表4 最小偏向角法測(cè)得不同波長(zhǎng)的光入射三棱鏡的折射率

用MATLAB 程序?qū)⒈? 中的數(shù)據(jù)（n，λ）進(jìn)行非線性擬合，得到擬合曲線及柯西色散方程如圖9 所示。

圖9 最小偏向角法測(cè)量實(shí)心三棱鏡折射率的柯西色散方程擬合曲線（左）

利用任意入射角與偏向角的方法測(cè)量了不同波長(zhǎng)的光入射實(shí)心三棱鏡的入射角與偏向角，將表1 中的數(shù)據(jù)用MATLAB 程序進(jìn)行擬合，將擬合得到的不同波長(zhǎng)光入射不同介質(zhì)的折射率及對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)數(shù)據(jù)列于表5 中。再將表5 中的數(shù)據(jù)（n，λ）進(jìn)行非線性擬合，n與λ符合柯西色散公式，擬合結(jié)果如圖10 所示。

表5 任意入射角與偏向角法測(cè)得不同波長(zhǎng)的光入射三棱鏡對(duì)應(yīng)的折射率

圖10 任意入射角與偏向角法測(cè)量實(shí)心三棱鏡折射率的柯西色散方程擬合曲線（右）

比較圖9 和圖10 的擬合結(jié)果可知，用最小偏向角法得到的柯西色散方程擬合曲線，其相關(guān)系數(shù)達(dá)到99.60%，而用任意入射角與偏向角法得到的柯西色散方程的擬合相關(guān)系數(shù)達(dá)99.93%，可見(jiàn)采用任意入射角與偏向法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果更為可靠。并且589.3nm 鈉黃光通過(guò)實(shí)心三棱鏡的折射率真值為1.5161，而用最小偏向角法和任意入射角與偏向角法得到的擬合曲線上其折射率分別為1.5150 和1.5165，計(jì)算可得兩種方法的相對(duì)誤差分別為：0.073%和0.026%。由此可見(jiàn)，用任意入射角與偏向角法測(cè)得的折射率相對(duì)誤差更小，結(jié)果更為精確，因此本文采用該方法進(jìn)一步測(cè)量液體折射率。

3.2 液體折射率的測(cè)量及柯西色散公式

用任意入射角與偏向角的方法測(cè)量了不同波長(zhǎng)光入射蒸餾水和蓖麻油兩種液體的入射角與偏向角，將表2、表3 中的數(shù)據(jù)用MATLAB 程序進(jìn)行擬合，將擬合得到的不同波長(zhǎng)光入射不同介質(zhì)的折射率及對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)數(shù)據(jù)列于表6、表7 中。

表6 任意入射角與偏向角法測(cè)得不同波長(zhǎng)的光入射蒸餾水對(duì)應(yīng)的折射率

表7 任意入射角與偏向角法測(cè)得不同波長(zhǎng)的光入射蓖麻油對(duì)應(yīng)的折射率

再將表6、表7 中的數(shù)據(jù)（n，λ）進(jìn)行非線性擬合，n與λ符合柯西色散公式，擬合曲線及相應(yīng)的柯西色散公式如圖11、圖12 所示。

圖11 蒸餾水折射率的柯西色散方程擬合曲線

圖12 蓖麻油折射率的柯西色散方程擬合曲線

通過(guò)測(cè)量實(shí)心三棱鏡的折射率比較最小偏向角和任意入射角與偏向角兩種測(cè)量方法，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果得出了任意入射角與偏向角法測(cè)量的折射率具有更高測(cè)量精度的結(jié)論。進(jìn)一步利用該方法，以等厚玻璃制成的空心三棱鏡作為容器，測(cè)量了不同波長(zhǎng)的光通過(guò)蒸餾水和蓖麻油兩種液體的折射率，測(cè)得的結(jié)果更具有統(tǒng)計(jì)學(xué)的優(yōu)勢(shì)，得到了較為穩(wěn)定可靠的折射率值。

由上述結(jié)果可得，波長(zhǎng)為589.3nm 的光經(jīng)過(guò)蒸餾水的折射率為1.3323，與文獻(xiàn)[19]中水的高精度折射率測(cè)量結(jié)果1.3325072 非常接近，相對(duì)誤差僅為0.016%，說(shuō)明此方法用于液體折射率的測(cè)量同樣具有較高精度。

3 結(jié)語(yǔ)

本文利用基礎(chǔ)教學(xué)設(shè)備JJY 型分光計(jì)，以汞燈、氫燈和氦燈作為光源，選取對(duì)應(yīng)光源中確定波長(zhǎng)，并且清晰可見(jiàn)的10 條譜線作為觀察對(duì)象。對(duì)于測(cè)量數(shù)據(jù)的處理，本實(shí)驗(yàn)通過(guò)MATLAB 程序?qū)y(cè)得的不同介質(zhì)中的折射率與對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)進(jìn)行了數(shù)據(jù)的非線性擬合，發(fā)現(xiàn)任意入射角與偏向角法對(duì)于不同介質(zhì)的柯西色散方程擬合的相關(guān)系數(shù)都較高，進(jìn)一步驗(yàn)證了任意入射角與偏向角這種方法的可靠性。本實(shí)驗(yàn)所研究的方法既提高了折射率測(cè)量結(jié)果的精度，又大大降低了測(cè)量液體折射率的成本，對(duì)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中分光計(jì)的使用、折射率測(cè)量方法的拓展研究具有一定的指導(dǎo)意義。