考慮污染和種內關系的種群擴散最優(yōu)控制模型

楊 露, 高 偉

(西安財經大學 統(tǒng)計學院,陜西 西安 710100)

0 引言

隨著科技進步和人類文明的發(fā)展，全球性環(huán)境污染和生態(tài)破壞問題日益凸顯，這也加速了瘟疫的爆發(fā)和流行。細菌是產生瘟疫的主流病原體。從中世紀造成歐洲人口大量削減的鼠疫，到21世紀的生物恐怖襲擊武器—炭疽，以及至今仍在非洲各國爆發(fā)的霍亂等[1]，細菌導致的嚴重傳染病已經嚴重危害人類生存和發(fā)展。環(huán)境是細菌種群賴以生存和發(fā)展的基礎，因環(huán)境污染而釋放的毒素也對細菌種群的生存和發(fā)展產生了巨大的影響[2,3]。

種群擴散是種群動態(tài)的一個重要方面，而個體間相互作用是制約種群擴散變化的主要因素之一[4]。在種群生態(tài)學中，種群內不同個體間的相互作用稱為種內關系，具體包括種內互助和種內競爭。當種群個體達到一定數(shù)目時，就必定會出現(xiàn)鄰近個體之間的相互作用和影響。開展種群研究最為核心的問題就是種群數(shù)量研究，種群數(shù)量是生物繁殖與進化的基本指標[5]。因此，基于環(huán)境污染和種內關系研究細菌種群擴散及其最優(yōu)控制問題具有重要的理論和實際意義。

利用微分方程模型定性研究環(huán)境污染對生物種群的影響始于20世紀80年代。Srinvasu[6]研究環(huán)境中毒素是常數(shù)輸入的單種群模型，給出種群平均弱持久、強持久和滅絕的定義。Liu等[7]將Hallam所建模型中表示環(huán)境毒素濃度變化量進行簡化，給出種群滅絕條件。燕雪飛等[8]研究污染環(huán)境中單種群內稟增長率為非線性函數(shù)的模型，得到種群持續(xù)生存與滅絕的判別條件。

近年來，考慮環(huán)境污染的種群擴散最優(yōu)控制問題也越來越受到學者的關注。何澤榮等[9]研究了一類包含全局反饋的偏泛函積分微分方程尺度結構種群模型，并得到最優(yōu)策略的存在唯一性。贠曉菊等[10]研究污染環(huán)境中非線性時變種群擴散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，并證明最優(yōu)控制存在性。申柳肖等[11]研究基于個體尺度結構的競爭種群系統(tǒng)最優(yōu)輸入率控制問題，并獲得了最優(yōu)控制的存在唯一性。王戰(zhàn)平[12]研究環(huán)境污染的非線性種群動力系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，證明最優(yōu)控制的存在性。雒志學等[13]研究了一類具有擴散的種群線性動力系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，證明了最優(yōu)控制問題解的存在性。

由現(xiàn)有成果可知，基于環(huán)境污染視角，借助偏微分方程作為研究工具探索生物種群擴散及最優(yōu)控制問題的文獻頗多。但是這些文獻大都采用低階偏微分方程，宏觀地分析環(huán)境污染對種群擴散的制約。而在現(xiàn)實中，生物種群個體間相互作用廣泛存在，種群生存擴散往往受到個體間相互作用(種內關系)的影響。目前考慮環(huán)境污染和種內關系雙重影響下種群擴散系統(tǒng)最優(yōu)控制的研究相對缺乏，考慮種內關系有利于從微觀角度深入研究種內調節(jié)作用[14]。楊露等[15]率先研究了基于高階偏微分方程的污染擴散模型的適定性。本文在此基礎上，兼具環(huán)境污染和種內關系兩大制約因素，研究生物種群擴散系統(tǒng)的最優(yōu)控制。首先利用Schauder不動點定理證明基于環(huán)境污染和種內關系雙重因素影響下種群擴散系統(tǒng)是適定的，這一結論為后續(xù)研究提供了堅實的理論保障。其次，在最優(yōu)控制模型求解中，解決能控性問題最有效的方法是Carleman型估計。若考慮種內關系這一因素，種群擴散系統(tǒng)最優(yōu)控制問題將包含高階(三階)偏導數(shù)項，其對應的Carleman型估計目前鮮有證明。本文通過建立該種群擴散模型新的Carleman型估計，最終給出最優(yōu)控制的存在性，進一步豐富了偏微分方程控制理論的框架體系。最后，通過數(shù)值算例驗證了種群擴散系統(tǒng)最優(yōu)控制模型的有效性。

本文主要貢獻有：第一，將種內關系這一因素引入種群擴散最優(yōu)控制模型，使模型更加貼近種群擴散演變規(guī)律，有助于從微觀角度深入研究種內調節(jié)作用；第二，建立種群擴散最優(yōu)控制模型的新Carleman型估計，這是證明最優(yōu)控制存在性的充分條件；第三，本文研究表明，種群擴散最優(yōu)控制模型用于模擬雙重影響下細菌種群擴散行為時存在最優(yōu)控制，即可以找到外界環(huán)境對種群的毒素輸入率，該毒素輸入率使得種群在最短時間內滅亡。本文通過考慮環(huán)境污染和種內關系影響，更加客觀地反映出細菌種群的現(xiàn)實擴散及發(fā)展趨勢，對現(xiàn)代傳染病預防具有借鑒意義，也為有效控制瘟疫的爆發(fā)和流行提供理論參考。

1 種群擴散最優(yōu)控制問題描述與基本模型構建

細菌是產生瘟疫的主流病原體，因此研究細菌種群擴散也隨之成為管理生態(tài)學領域中的熱點問題。污染和種內關系是影響種群生存和發(fā)展的兩個重要因素。因此，基于污染環(huán)境和種內關系研究細菌種群擴散及其最優(yōu)控制問題十分重要，并吸引不少學者從事這方面的研究[16～18]。本文提出污染(外界向種群生活環(huán)境輸入毒素)和種內關系雙重影響下的種群擴散系統(tǒng)(下文簡記為NPC系統(tǒng))

NPC系統(tǒng)源于種群動力學，描述在區(qū)域Ω內某一種群的擴散行為，如細菌[16]。本文運用NPC系統(tǒng)研究在考慮種內關系影響下，外界環(huán)境向種群輸入毒素率與種群擴散行為之間的關系。在上述NPC系統(tǒng)中，y(x,t)表示生存在區(qū)域Ω內的種群密度，算子-Δ用于衡量區(qū)域Ω內種群遷移情況，即種群個體由高密度區(qū)域向低密度區(qū)域移動的遷移速率。高階偏導數(shù)項Δyt(x,t)表示種內關系狀況。在種群生態(tài)學中，種內互助和種內競爭是種內關系的兩種表現(xiàn)形式[5]。非局部項F(ξ(y(x,t)))表示種群的平均死亡率，根據種群生態(tài)學理論，假設死亡率與種群密度成比例[16]，本文假設函數(shù)F滿足

F∈C1(R),0≤F(s)≤M,?s∈R

(1)

因種群是動態(tài)發(fā)展變化的，故NPC系統(tǒng)中引入表征種群死亡率的非線性項，更貼近種群真實生存狀態(tài)。

環(huán)境質量對種群的生存擴散影響巨大，因此研究環(huán)境污染對生物種群的作用關系著生態(tài)平衡和發(fā)展。在NPC系統(tǒng)中，u(x,t)為控制變量，表示外界環(huán)境向種群輸入的毒素率。而在實際的種群擴散系統(tǒng)中，因不同位置其地理環(huán)境特征可能有很大差異，導致環(huán)境對種群輸入的毒素率也不同，所以m(x)用于描述種群在其生活區(qū)域Ω內，不同位置x∈Ω對應的特有地理環(huán)境特征。

令U=L2(0,∞;L2(Ω))為控制變量u(x,t)所屬度量空間，假設控制變量u(x,t)屬于集合

本文目標是尋求控制函數(shù)u∈Uρ，使得種群密度在最短時間下降為零(該種群在最短時間內滅絕)，即研究如下的時間最優(yōu)控制問題

(P)inf{T|yu(T)=0,u∈Uρ,yu是如下NPC系統(tǒng)的解}

(2)

(3)

其中T>0為控制時間。若NPC系統(tǒng)的解y滿足y(T)=0，則稱u∈Uρ是容許控制。下確界T*=inf{T|yu(T)=0,u∈Uρ,yu是如下NPC系統(tǒng)的解}稱為最優(yōu)控制時間。滿足yu*(T*)=0的u*∈Uρ稱為最優(yōu)控制變量。

2 種群擴散最優(yōu)控制模型的適定性

在研究時間最優(yōu)控制問題(P)之前，首先考慮NPC系統(tǒng)的適定性，即對任意T>0，NPC系統(tǒng)的解存在且唯一。模型適定性是研究實際自然現(xiàn)象可抽象為數(shù)學模型的理論保證。

證明運用文獻[16]的證明思想和Schauder不動點定理可得NPC系統(tǒng)解的存在唯一性。

定理1說明基于環(huán)境污染和種內關系雙重影響的 NPC系統(tǒng)模型是適定的。

3 種群擴散最優(yōu)控制模型的容許控制

最優(yōu)控制的存在性需以容許控制存在性為前提。這部分將首先給出當控制變量u屬于有界集Uρ時，NPC系統(tǒng)的精確零能控性。在探索NPC系統(tǒng)的容許控制是否存在時，Carleman型估計發(fā)揮著至關重要的作用。因NPC系統(tǒng)包含高階偏導數(shù)項Δyt(x,t)，得到NPC系統(tǒng)的Carleman型估計是一個難點。

3.1 Carleman型估計

近年來，學者們利用Carleman型估計處理最優(yōu)控制問題的近似能控和精確零能控性已取得許多成果[19～23]。然而，偽拋物型方程最優(yōu)控制系統(tǒng)鮮有研究，其對應的Carleman型估計也未給出。令

其中ψ由文獻[16,18]給出。

下面運用文獻[16]得到NPC系統(tǒng)的Carleman型估計。

引理1(Carleman型估計) 存在常數(shù)λ0≥1,s0≥1使得對λ≥λ0,s≥s0(T+T2)，有

其中p是非線性擬拋物方程初邊值問題

的任意解。Qω=ω×(0,T)，是不依賴T,p,λ和s的正常數(shù)。

引理1得到NPC系統(tǒng)的Carleman型估計是容許控制存在性的先決條件，也是本文主要貢獻之一，進一步豐富了偏微分方程控制理論的框架體系。

3.2 容許控制的存在性

(4)

接下來運用文獻[16]中定理3.1的證明思想得到NPC系統(tǒng)的精確零能控性。

引理2說明線性系統(tǒng)(4)是精確零能控，并得到相關控制變量的范數(shù)估計。

下面證明NPC系統(tǒng)容許控制的存在性，這是最優(yōu)控制存在性的充分條件。

定理2說明NPC系統(tǒng)用于模擬環(huán)境污染和種內關系雙重影響下種群的擴散行為是存在容許控制的，即對于任意時刻T，當種群初始密度滿足一個關于T的關系式時，可以找出外界環(huán)境對種群的毒素輸入率，使得在時刻t=T時該種群密度為0，表明在時刻t=T該種群消亡。

(5)

推論1在定理 2的基礎上取T=1即可得。

4 種群擴散系統(tǒng)最優(yōu)控制的存在性

本部分證明問題(P)的最優(yōu)控制是存在的。

定理3說明NPC模型用于模擬在環(huán)境污染和種內關系雙重影響下種群的擴散行為是存在最優(yōu)控制的，即當種群初始密度滿足一定條件時，可以找到一個外界環(huán)境對種群的毒素輸入率，使得在時刻t=T時該種群密度為0，表明該種群消亡，并且該毒素輸入率使得種群在最短時間內滅亡。

綜合上述結果，在時空區(qū)域內，種群擴散最優(yōu)控制模型的最優(yōu)滅亡時間T*計算步驟如下:

步驟4計算最優(yōu)滅亡時間T*=minT。

5 數(shù)值算例分析

本文采用數(shù)值計算方法對考慮污染和種內關系的種群擴散最優(yōu)控制模型進行仿真，驗證種群擴散最優(yōu)控制模型的有效性，進一步定量分析污染源向種群中輸入的毒素率及種群初始密度對種群滅亡時間的影響。我們考慮不同的種群初始密度y0及污染源向種群中輸入的毒素率u影響種群滅亡時間的情形。數(shù)值仿真參數(shù)選取如下：c=c0=1，t=10，生存區(qū)域測度|Ω|=1。取u=(0.05,0.10,0.15,0.20,0.25,0.30)，y0=(0.010,0.015,0.020,0.025,0.030)和y0=(0.10,0.15,0.20,0.25,0.30)分別刻畫種群最優(yōu)滅亡時間。

綜上所述，基于NPC系統(tǒng)和控制問題(P)的種群滅亡時間計算步驟如下:

步驟3計算最優(yōu)滅亡時間T*=minT，所得結果見圖1～圖6。

圖1 y0及u與T的關系(當u≥0.316時)

圖2 y0與T的關系( u≥0.316且固定)

圖3 u與T的關系(u≥0.316，固定y0 )

圖4 y0及u與T的關系(當u<0.316時)

圖5 y0與T的關系( u<0.316且固定)

圖6 u與T的關系( u<0.316，固定y0 )

圖1、圖2和圖3揭示了當污染源向種群輸入毒素率u大于等于0.316 時，種群初始密度y0和毒素率u與種群滅亡時間T之間的關系。圖4、圖5和圖6揭示了當污染源向種群輸入的毒素率u小于0.316時，種群初始密度y0和毒素率u與種群滅亡時間之間T的關系。

從圖1及圖2可以看出，當污染源向種群輸入的毒素率u大于等于0.316時，隨著種群初始密度y0增大，種群滅亡時間T先急速下降后緩慢上升，即當y0處于零至0.332之間時，種群初始密度y0越小，種群滅亡時間T越長；當y0大于0.332時，種群初始密度y0越大，種群滅亡時間T越長。從圖1及圖3可以看出，在固定種群初始密度y0的情況下，當污染源向種群輸入的毒素率u大于等于0.316時，種群滅亡時間T保持不變，即不會隨毒素輸入率u的變化而變化。此時，對于具有相同初始密度的種群來說，污染源向種群輸入的毒素率u對應的最優(yōu)滅亡時間T*均相同。從圖3可以看出，初始密度為0.10的種群，污染源向種群輸入毒素率對應的最優(yōu)滅亡時間T*是1.592；初始密度為0.20的種群，污染源向種群輸入毒素率對應的T*是1.404；初始密度為0.30的種群，污染源向種群輸入毒素率對應的T*是1.323。

從圖4及圖5可以看出，在污染源向種群輸入毒素率u小于0.316的情況下，種群初始密度y0越大，種群滅亡時間T越短。種群初始密度y0越小，種群滅亡時間越長。從圖4及圖6可以看出，在固定種群初始密度y0的情況下，當污染源向種群輸入的毒素率u小于0.316 時，種群滅亡時間T隨毒素輸入率的增加而變長，即污染源向種群輸入的毒素率越大，種群滅亡時間T越長，污染源向種群輸入的毒素率越小，種群滅亡時間T越短。此時，對于具有相同初始密度的種群來說，污染源向種群輸入的毒素率對應的最優(yōu)滅亡時間T*均存在。圖6 顯示，初始密度為0.010的種群，污染源向種群輸入毒素率對應的最優(yōu)滅亡時間T*是1.592；初始密度為0.020的種群，污染源向種群輸入毒素率對應的T*是1.404；初始密度為0.030的種群，污染源向種群輸入毒素率對應的T*是1.322。

結合管理生態(tài)學發(fā)展規(guī)律，該算例都可得到合理的解釋。由該數(shù)值算例可知，種群初始密度和污染源向種群輸入的毒素率都會影響種群滅亡時間T，而且這些算例均可找到種群最優(yōu)滅亡時間T*以及對應的種群輸入的毒素率u，即找到一對時間最優(yōu)控制，驗證了種群擴散最優(yōu)控制模型的有效性。

6 結論與展望

擴散研究是管理生態(tài)學領域的熱點問題，研究種群擴散具有十分重要的理論和實踐意義。本文基于污染和個體間相互作用(種內關系)視角，研究了種群擴散系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題，通過設計毒素輸入率控制，使得種群在最短時間內滅亡。首先，本文給出了種群擴散系統(tǒng)最優(yōu)控制模型是適定的，這為模型的應用和數(shù)值模擬提供了理論保證。其次，證明了種群擴散系統(tǒng)存在容許控制，即對于任意時刻，當種群初始密度滿足一定條件時，可以得到外界環(huán)境對種群的毒素輸入率，使種群在該時刻滅亡。最后，證明種群擴散系統(tǒng)存在最優(yōu)控制，即當種群初始密度滿足一定條件時，可以得到外界環(huán)境對種群的毒素輸入率，并且該毒素輸入率使得種群在最短時間內滅亡，即得到了一對時間最優(yōu)控制。通過數(shù)值仿真方法研究了不同的種群初始密度及污染源向種群中輸入的毒素率對種群滅亡時間的影響，得到種群最優(yōu)滅亡時間，找到一對時間最優(yōu)控制。數(shù)值仿真結果驗證了種群擴散最優(yōu)控制模型的有效性，該模型揭示了復雜的種群系統(tǒng)生存機制，從定量角度研究了受到外界污染和種內關系作用的種群生存時間的最優(yōu)控制問題。本文所得結論為探索污染和種內關系雙重影響下細菌種群生存擴散理論提供理論參考和借鑒。

本文研究了基于污染和種內關系影響的單一種群擴散最優(yōu)控制模型，然而大部分種群生存環(huán)境并不是封閉的，任何細菌種群都處在某一群落里而與別的種群發(fā)生著一定的聯(lián)系。在建模過程中，考慮的影響因素越多，所得結果往往更接近于種群真實生存狀態(tài)。所以通過考慮兩種群、三種群或多種群相互作用，研究環(huán)境污染、個體間相互作用(種內關系)、種間關聯(lián)影響下的種群擴散系統(tǒng)最優(yōu)控制問題，并在更普適條件下提出最優(yōu)控制求解方案是未來的研究方向。