地震數(shù)據(jù)采集器線性度不確定度評(píng)定及分析

鄭淑梅

1 中國(guó)地震局第一監(jiān)測(cè)中心，天津市耐火路7號(hào)，300180

線性度是地震數(shù)據(jù)采集器的關(guān)鍵性能指標(biāo)之一，可反映地震數(shù)據(jù)采集器輸出信號(hào)是否失真。評(píng)價(jià)線性度的常用方法有最小二乘法[1-3]和端基直線法[4]，地震數(shù)據(jù)采集器線性度計(jì)算多采用最小二乘法。

為評(píng)估最小二乘法和端基直線法對(duì)地震數(shù)據(jù)采集器線性度測(cè)量不確定度的影響，本文從理論上給出2種方法評(píng)價(jià)線性度的區(qū)別，通過(guò)實(shí)例展示不確定度的計(jì)算過(guò)程。最后通過(guò)對(duì)比多種型號(hào)的地震數(shù)采測(cè)量結(jié)果，分析2種方法的差別及不同輸入點(diǎn)個(gè)數(shù)和位置對(duì)線性度不確定度的影響。

1 最小二乘法和端基直線法的線性度理論

對(duì)于線性系統(tǒng)，輸入量x和輸出量y之間的關(guān)系為：

f(x)=kx+b

(1)

式中，k為直線斜率，b為直線截距。

用xi、yi(i=1,2,…,n)分別表示輸入值和測(cè)量值，則在信號(hào)點(diǎn)xi上測(cè)量值yi與線性回歸值f(xi)的殘差可表示為：

Δyi=yi-(kxi+b)

(2)

根據(jù)線性度定義，最大殘差可反映線性度大小。線性度公式為：

(3)

圖1為最小二乘法和端基直線法擬合示意圖。可以看出，二者計(jì)算線性度的區(qū)別在于k和b的估計(jì)值不同導(dǎo)致殘差Δy不同，殘差的正負(fù)和大小可表征測(cè)量值在擬合直線兩側(cè)的分散程度。按照最小二乘法原理，當(dāng)殘差平方和最小時(shí)，k和b估計(jì)值最佳；端基直線法中，k和b只與首尾點(diǎn)有關(guān)。

圖1 線性擬合示意圖Fig.1 Schematic diagram of linear fitting

(4)

最小二乘法

(5)

(6)

2 測(cè)量不確定度模型

考慮到被測(cè)數(shù)據(jù)采集器的重復(fù)性和分辨力存在重復(fù)，合成不確定度時(shí)將二者中的最小值舍去。

根據(jù)不確定度理論公式[5]與文獻(xiàn)[1,4]可得，線性度L的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

(7)

其有效自由度veff=m-3。

3 測(cè)量數(shù)據(jù)處理及分析

3.1 測(cè)量數(shù)據(jù)獲取及處理

采用標(biāo)準(zhǔn)源法，利用5730A輸出標(biāo)準(zhǔn)直流電壓信號(hào)作為地震數(shù)據(jù)采集器的輸入。選用EDAS-27HR型號(hào)地震數(shù)據(jù)采集器，測(cè)量范圍設(shè)為(-10 V, 10 V)，采樣率設(shè)為100 Hz，其A/D位數(shù)為28 bits，分辨率為0.149 μV/count。根據(jù)地震監(jiān)測(cè)專業(yè)設(shè)備入網(wǎng)測(cè)試規(guī)程[6]選擇測(cè)試點(diǎn)，從-10～10 V每隔1 V選取1個(gè)點(diǎn)，首尾選取-9.5 V和9.5 V，共21個(gè)測(cè)試點(diǎn)。每個(gè)測(cè)試點(diǎn)測(cè)量2 min，截取20 s的數(shù)據(jù)計(jì)算其平均值，并將平均值折合到對(duì)應(yīng)的輸入端作為最終的測(cè)量結(jié)果，由5730A標(biāo)準(zhǔn)儀器引入的不確定度分量u(Ei)采用B類評(píng)定，Ei的允許誤差極限由儀器說(shuō)明書獲得。如參照5730A技術(shù)指標(biāo)，測(cè)量2 V直流電壓時(shí)的擴(kuò)展不確定度為5 ppm×Vout+0.7 μV，k=2，則其區(qū)間半寬為：

5.35×10-6V

在日常測(cè)量中，一般取2 000(20 s)個(gè)點(diǎn)的平均值作為測(cè)量結(jié)果，測(cè)量結(jié)果的實(shí)驗(yàn)方差由式(4)獲得。最終的不確定度分量以及靈敏系數(shù)見(jiàn)表1。

對(duì)于最小二乘法，由式(2)和式(3)可得線性度估計(jì)值L=4.74×10-6，j=1。將表1中靈敏系數(shù)代入式(7)，計(jì)算得到最小二乘法線性度的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為7.8×10-7V。

對(duì)于端基直線法，由式(2)和式(3)可得線性度估計(jì)值L=9.1×10-7，j=12。將表1中靈敏系數(shù)代入式(7)，計(jì)算得到端基直線法線性度的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為6.5×10-7V，有效自由度均為veff=21-3=18。

表1 不確定度分量及靈敏系數(shù)Tab.1 Uncertainty components and sensitivity coefficients

3.2 測(cè)量數(shù)據(jù)分析

3.2.1 不同方法對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

分別采用最小二乘法和端基直線法對(duì)不同分辨力(數(shù)據(jù)位數(shù))、不同型號(hào)的地震數(shù)據(jù)采集器的線性度結(jié)果進(jìn)行不確定度評(píng)定，結(jié)果見(jiàn)表2。

從表2可以看出，最小二乘法與端基直線法線性度不確定度評(píng)定結(jié)果在同一數(shù)量級(jí)，與分辨力無(wú)關(guān)。因此，對(duì)于目前常用的地震數(shù)據(jù)采集器而言，無(wú)論采用最小二乘法還是端基直線法計(jì)算的線性度，其結(jié)果的離散度均很小。端基直線法線性度不確定度的評(píng)定結(jié)果較最小二乘法穩(wěn)定，這主要與不確定度計(jì)算公式有關(guān)。

表2 最小二乘法與端基直線法線性度的標(biāo)準(zhǔn)不確定度Tab.2 Standard uncertainty of linearity of the least squares method and the terminal-based straight line method

3.2.2 數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)和位置對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

為研究數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)和位置對(duì)不確定度評(píng)定結(jié)果的影響，分別對(duì)19點(diǎn)、17點(diǎn)、15點(diǎn)、13點(diǎn)、11點(diǎn)、9點(diǎn)和7點(diǎn)數(shù)據(jù)在不同位置組合下線性度的不確定度進(jìn)行評(píng)定。為不失一般性，仍然采用對(duì)稱的選點(diǎn)原則。如圖2所示，以19點(diǎn)數(shù)據(jù)為例，即在原21點(diǎn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上從大到小依次去掉對(duì)稱的一組數(shù)據(jù)，因此有9個(gè)位置組合。同理，17點(diǎn)、15點(diǎn)、13點(diǎn)、11點(diǎn)、9點(diǎn)和7點(diǎn)分別有8個(gè)、7個(gè)、6個(gè)、5個(gè)、4個(gè)和3個(gè)位置組合。2種方法在不同數(shù)據(jù)點(diǎn)及不同位置組合下的不確定度評(píng)定結(jié)果見(jiàn)圖3。

圖2 不同數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的位置組合示意圖Fig.2 Schematic diagram of the location combination of different data points

圖3 不同數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)和位置對(duì)不確定度的影響Fig.3 The influence of different data points and locations on uncertainty

從圖3可以看出，最小二乘法線性度不確定度隨數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的增加而增加，其主要原因是不確定度計(jì)算公式為求和過(guò)程，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)越多其不確定度值越大。相對(duì)于最小二乘法，端基直線法線性度不確定度評(píng)定結(jié)果受數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)影響較小，雖然不確定度的理論公式相同，但從靈敏系數(shù)可以看出，實(shí)際有效點(diǎn)數(shù)為3個(gè)值累加，因此其受數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的影響較小。

對(duì)于最小二乘法線性度不確定度而言，數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)越多，對(duì)數(shù)據(jù)位置越不敏感；選取的數(shù)據(jù)越靠?jī)蓚?cè)，不確定度越小，說(shuō)明靠邊的數(shù)據(jù)對(duì)不確定度的影響較大。端基直線法線性度不確定度均在末位位置組合處發(fā)生突變，這是因?yàn)槌┪晃恢媒M合外，其他位置組合的最大殘差均在1 V點(diǎn)處出現(xiàn)，因此不確定度未發(fā)生任何變化，而末位位置組合已剔除1 V點(diǎn)，最大殘差點(diǎn)發(fā)生變化，因此出現(xiàn)不確定度不同程度的突變。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)地震數(shù)據(jù)采集器線性度不確定度進(jìn)行評(píng)定，分析目前常用的最小二乘法和端基直線法線性度不確定度的差別。多種型號(hào)的地震數(shù)據(jù)采集器線性度不確定度評(píng)定結(jié)果表明，2種方法線性度不確定度評(píng)定結(jié)果在同一數(shù)量級(jí)，可以滿足地震數(shù)據(jù)采集器線性度不確定度評(píng)定的要求，但最小二乘法線性度不確定度受測(cè)試點(diǎn)數(shù)的影響較大，端基直線法線性度受測(cè)試點(diǎn)數(shù)的影響較小。