無標度網(wǎng)絡下的人群分類傳染病傳播研究

劉 勇，楊淑姝，王 笑

(西安建筑科技大學 理學院， 西安 710055)

0 引言

自古以來傳染病給人類帶來了嚴重的威脅與災難，影響經(jīng)濟發(fā)展，阻礙社會穩(wěn)定運行，在傳染病傳播過程中清除感染源、阻斷其傳播途徑等可以有效控制疫情傳播，減輕其危害[1]。因此，分析傳染病的傳播規(guī)律、預測其發(fā)展趨勢對傳染病的控制有著重要意義。

傳染病動力學模型是對傳染病的流行傳播進行定性定量研究的一種模型方法，這種將傳染病和數(shù)學聯(lián)系起來的方法在傳染病研究中有重要作用。1760年，Bernoulli[2]創(chuàng)立了世界上最早的流行病數(shù)學倉室模型。Kermack等[3]研究了倫敦的黑死病及孟買瘟疫，建立了第一個SIR倉室模型，將人群分為易感者、感染者和移出者3類。隨后建立了SIS模型，提出了判斷傳染病是否會流行起來的閾值模型[4]。這些模型是經(jīng)典的傳染病動力學模型，之后的學者圍繞這些模型進行了深入的改進研究[5-8]。

傳染病的實際傳播情況十分復雜，上述模型難以精確地預測傳染病的發(fā)展動態(tài)，為了能夠更為合理地描繪傳染病傳播過程，有學者基于上述模型結(jié)合復雜網(wǎng)絡建立了新的傳染病模型。1998年，Watts等[9]構(gòu)建了WS小世界網(wǎng)絡；1999年，Barabasi等[10]建立了BA無標度網(wǎng)絡模型。其中無標度網(wǎng)絡中節(jié)點度分布符合冪律分布，更加貼合現(xiàn)實社會中傳染病的傳播規(guī)律，在復雜網(wǎng)絡上的傳染病研究也更加接近真實傳播狀況[11]。

然而現(xiàn)實生活中傳染病傳播多以家庭群居傳播為主，家庭作為社會中最基本的單位，成員間接觸密切，傳染病傳播過程中往往呈現(xiàn)高頻率的家庭傳播特征，在此次新冠肺炎疫情中這一特征尤為顯著。到目前為止，社會網(wǎng)絡傳染病研究多以個體為主體[12-14]，Goel等[15]考慮了個人網(wǎng)絡連通性，張溶萍等[16]提出結(jié)合疫苗接種和隔離的傳染病模型，但都是以個體作為研究對象，不能反應疫情下群聚傳播的特征，因此將人群重新分類，令一個節(jié)點為一個家庭在研究傳染病傳播方面具有重要的研究價值。在無標度網(wǎng)絡上的節(jié)點重要性也各不相同，對節(jié)點進行類別劃分有著重要意義[17]，首先利用圖的基本概念，構(gòu)建以家庭為主體的無標度網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，再通過圖結(jié)構(gòu)中的中心性概念對網(wǎng)絡中的節(jié)點進行分類，尋找傳染過程中的關鍵節(jié)點，通過SIRS模型在網(wǎng)絡上的傳播并結(jié)合此網(wǎng)絡中的關鍵節(jié)點，對傳染病傳播情況進行了仿真研究。

1 無標度網(wǎng)絡模型

1.1 無標度網(wǎng)絡理論

社會網(wǎng)絡是將行動者的社會關系進行連接組成一個復雜網(wǎng)絡，在圖論中可用邊和節(jié)點表示：設圖G=〈V,E〉,V稱為G的頂點集，其元素稱為頂點(節(jié)點)，E稱為G的邊集，其元素稱為邊[18]，與節(jié)點相關聯(lián)的邊數(shù)稱為度。1999年，Barabasi等[10]通過分析大量的數(shù)據(jù)提出了無標度網(wǎng)絡模型。

1.1.1無標度網(wǎng)絡構(gòu)建

1) 增長：從只有2個點的網(wǎng)絡開始，每次加入一個新的節(jié)點，并且與已有節(jié)點連接，模擬現(xiàn)實中的網(wǎng)絡不斷增長。

2) 優(yōu)先連接：在加入新節(jié)點時優(yōu)先與度數(shù)高的節(jié)點連接。對于新加入的節(jié)點i與已存在的節(jié)點j相連的概率為：

(1)

式中：ki、kj表示節(jié)點i和節(jié)點j的度。

3) 重復以上步驟，直到達到目標點數(shù)和邊數(shù)，則網(wǎng)絡構(gòu)建完成。

1.1.2基本特征量

復雜網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)中的基本特征量可有效刻畫復雜網(wǎng)絡及其性質(zhì)，通常運用圖論和概率的知識來描述，為方便下文中模型的建立，引入復雜網(wǎng)絡中的幾個基本特征量：

1) 度分布

網(wǎng)絡中度分布表示選擇一個節(jié)點，其度為k的概率，等于網(wǎng)絡中度為k的節(jié)點數(shù)與總節(jié)點數(shù)的比值：

(2)

網(wǎng)絡中所有節(jié)點度的平均值稱為平均度，用〈k〉表示：

(3)

2) 介數(shù)

介數(shù)表示網(wǎng)絡中所有最短路徑中經(jīng)過該節(jié)點的數(shù)目占最短路徑總數(shù)的比例，反映了該節(jié)點在網(wǎng)絡中的影響力。

3) 中心性

無標度網(wǎng)絡中的點度數(shù)符合冪律分布：少部分的點度數(shù)很大，而大多數(shù)點的度數(shù)則比較小，可用度中心性來衡量網(wǎng)絡中節(jié)點的重要性，即點的度越大節(jié)點越重要。然而2個度相同的節(jié)點在網(wǎng)絡中的重要性也會有差別，因此引入介數(shù)中心性，以經(jīng)過某個節(jié)點的最短路徑數(shù)來刻畫節(jié)點的重要性。

1.1.3網(wǎng)絡關鍵節(jié)點

由1.1.2小節(jié)的中心性概念可得出2類在網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)中扮演重要角色的節(jié)點，就與外界接觸而言這2類節(jié)點在病毒傳播中起著至關重要的作用。① 中心節(jié)點：是整個網(wǎng)絡中連接其余節(jié)點數(shù)最多，度數(shù)最高的節(jié)點，這些節(jié)點在網(wǎng)絡中居于中心地位，對于病毒傳播有著很強的傳播能力，在整個網(wǎng)絡中占據(jù)著最核心的位置。由于這類節(jié)點與其余節(jié)點連接數(shù)量多，與外界接觸范圍廣，因此最容易受到感染，若中心節(jié)點被感染，與之接觸的大量的節(jié)點也會被感染，會造成感染數(shù)量的急劇增加。② 結(jié)構(gòu)洞點：是將網(wǎng)絡中2個沒有聯(lián)系的部分連接起來，形成一個結(jié)構(gòu)洞[19]。結(jié)構(gòu)洞點處于中間人的位置，這種節(jié)點最易把病毒從一部分人群傳染給另一個互不相關的人群，這類結(jié)構(gòu)洞點容易造成相對孤立范圍內(nèi)的感染。

1.2 無標度網(wǎng)絡上的SIRS傳染病模型

設Sk(t)、Ik(t)、Rk(t)表示k度節(jié)點在t時刻的易感個體、感染個體和免疫個體的數(shù)量在網(wǎng)絡中所占的比例，無標度網(wǎng)絡上的SIRS傳播過程如圖1所示。

圖1 SIRS模型傳播過程框圖

假設總?cè)丝诓蛔?，則

Sk(t)+Ik(t)+Rk(t)=1

(4)

設Θ(t)表示網(wǎng)絡中染病邊的比例，即度為k的易感者所連接的邊的另一端是感染者的概率：

(5)

則可得無標度網(wǎng)絡上SIRS模型微分方程為：

(6)

基本再生數(shù)R0表示一個病例在全部都是易感者的人群中能夠感染新的感染者的平均人數(shù)[20]，當R0>1時，疾病在網(wǎng)絡中終會擴散開來，當R0<1時，疾病會在有限時間內(nèi)停止傳播; 除基本再生數(shù)外，有效再生數(shù)Re對于傳染病的傳播研究也有著重要意義，有效再生數(shù)Re表示一個病例在有部分免疫者存在的人群中造成新的感染者的平均人數(shù)[21]，類似地，當Re>1時，疾病會繼續(xù)擴散，當Re<1時，疾病傳播會逐漸減慢。在此利用下一代矩陣法計算基本再生數(shù)。

1)將Sk、Ik、Rk分為感染類Ik和非感染類Sk、Rk，則感染類中的感染個體比例Rk(x)=βkSkΘ，轉(zhuǎn)移比例hk(x)=γIk。

2) 求解方程(6)對應的無病平衡點，令式(6)右端等于0且Ik=0，解得無病平衡點為E0=(1,0,0)。

3) 在無病平衡點E0處求解：

(7)

(8)

4) 計算基本再生數(shù)：

(9)

有效再生數(shù)：

Re=Rt=R0(St)

(10)

式中：St表示t時刻群體中易感者數(shù)量在總體人群中的比例。

由公式可看出若要降低基本再生數(shù)R0使其小于1，可減小感染率、增大治愈率，因此可針對治愈率和感染率采取相應的措施來控制傳染病的傳播。由公式可知群體內(nèi)免疫人數(shù)增多可減慢疾病的傳播，因此早期的預防干預很有必要，其中疫苗的接種可有效增加社會人群中的免疫群體，減少易感人群數(shù)量，有效地控制傳染病傳播。

2 數(shù)值仿真模擬

使用多主體建模軟件NetLogo[22]進行傳染病傳播過程的仿真模擬。一般小區(qū)人數(shù)為2 000人左右，為便于觀察研究，設置其1/3規(guī)模的網(wǎng)絡進行模擬，故生成一個節(jié)點總數(shù)為700的無標度網(wǎng)絡，在此網(wǎng)絡中的點表示一個個體，個體網(wǎng)絡如圖2所示。

圖2 個體網(wǎng)絡示意圖

根據(jù)衛(wèi)生和計劃生育委員會2021年發(fā)布的《中國家庭發(fā)展報告》顯示，我國家庭平均規(guī)模為3.35人，在此設平均每戶家庭人口為3人，將圖2中的個體網(wǎng)絡轉(zhuǎn)化為家庭網(wǎng)絡：將圖中相互連接的3個點合并為一點，則可轉(zhuǎn)化為家庭網(wǎng)絡，如圖3所示，每個節(jié)點表示1個家庭，共有234個節(jié)點，以下研究均在圖3所示的網(wǎng)絡中進行。

圖3 家庭網(wǎng)絡示意圖

2.1 關鍵節(jié)點對傳染病傳播的影響

在圖3所示的網(wǎng)絡中進行傳染病傳播模擬，隨機選擇2個點作為感染源，根據(jù)新冠肺炎疫情數(shù)據(jù)，設置感染率為0.51[23]，治愈率為0.5，治愈后免疫率為0.68，傳播過程及結(jié)果如圖4所示。

圖4 家庭網(wǎng)絡中傳染病傳播過程曲線

由圖4可看出傳染初期即時間步為2.0到4.0時感染人數(shù)迅速增加，在時間步4.0之后斜率更大，即增加速率更快，直到時間步為7.0時感染人數(shù)達到峰值，整體感染率從11.5%迅速增加至35.7%，之后感染人數(shù)逐步減少，最后變成0，說明傳染病得到了控制，最終消失。

結(jié)合實際生活中傳染病的傳播情況，疫情初期會出現(xiàn)增長爆發(fā)的情況，感染人數(shù)在某一時期內(nèi)呈現(xiàn)井噴式增長，在圖4的傳播過程中，為探究時間步2.0和4.0時傳播速率迅速增加的原因，觀察這2個時刻網(wǎng)絡中傳染病的傳播情況，如圖5(a)所示，可看出在此時間步時一個中心點被感染，由于其連接的節(jié)點眾多，當這些中心點被感染時會迅速感染其相連的節(jié)點，造成大量的節(jié)點被感染；在圖5(b)中除中心點被感染外，也存在著結(jié)構(gòu)洞點被感染，這類節(jié)點將2個互不相關的部分連接起來，因此可通過此節(jié)點將病毒傳播到另一部分無關的人群中，造成相對孤立的人群被感染。因此在時間步4.0之后感染人數(shù)迅速增加。此外，多數(shù)中心點也是結(jié)構(gòu)洞點，這些節(jié)點一旦被感染且未對其采取相應措施將會造成網(wǎng)絡感染人數(shù)急劇增加、病毒大幅度擴散。

圖5 關鍵時刻傳播過程示意圖

上述2類節(jié)點在網(wǎng)絡上占據(jù)著重要的位置，對于傳染病傳播起著關鍵作用，因此有疫情出現(xiàn)時，及時排查這些關鍵節(jié)點，采取相應的隔離措施以及盡早接種疫苗可迅速有效地控制傳染病傳播。在圖3所示的家庭網(wǎng)絡中選擇一關鍵節(jié)點將其隔離，即去掉該點與周邊的所有連線，其余條件不變，可發(fā)現(xiàn)感染人數(shù)顯著減少，傳染過程如圖6所示；選擇度數(shù)大于20的中心點(結(jié)構(gòu)洞點)使其免疫，其余條件不變，傳染過程如圖7所示。

圖7 關鍵節(jié)點免疫

相較于圖4，可看到圖6中感染峰值的時間步延遲，感染人數(shù)也顯著減少，相應的圖7中傳染病得到了很好的控制，說明這些關鍵節(jié)點在網(wǎng)絡傳染病傳播過程中有著舉足輕重的作用，當疫情爆發(fā)時首先檢查這些家庭并對其采取相應的管控措施，在疫苗研發(fā)成功后也優(yōu)先對這些家庭進行接種，從而達到防止病毒擴散的目的，快速高效地控制社會中傳染病的傳播。

2.2 模型參數(shù)對傳染病傳播的影響

由式(9)可得，基本再生數(shù)小于1需降低感染率，增大治愈率。因此采取控制變量法，令其他參數(shù)保持不變，分別設置不同的感染率/治愈率進行仿真。通過對比不同值下的結(jié)果研究該參數(shù)對傳染病傳播的影響。事實上當疫情爆發(fā)后政府開始采取一系列措施，比如禁止大型集會、采取隔離措施、外出時要求戴口罩以及保持安全距離等，這些措施都可有效地控制家庭與外界的接觸，從而降低節(jié)點間的感染率。圖8表示控制治愈率不變，將感染率分別設置為0.2、0.5、0.8的感染人數(shù)情況，與預期結(jié)果相同，感染率降低后感染人數(shù)比例降低；除降低感染率外，增大治愈率也可有效降低再生數(shù)，從而達到控制傳染病傳播的效果。圖9給出了控制感染率不變，將治愈率分別設置不同值時的感染人數(shù)情況，可看出隨著治愈率增大感染人數(shù)顯著減少。

圖8 不同感染率的感染人數(shù)變化

如圖8所示，可發(fā)現(xiàn)當感染率降低時感染人數(shù)顯著減少，且在達到感染峰值后感染人數(shù)增加更為緩慢；相應地，圖9中隨著治愈率的提高，感染人數(shù)明顯減少，且清零時間顯著縮短。由此可見降低感染率、增加治愈率可有效減少感染人數(shù)，故疫情發(fā)生時采取一系列的應對措施對傳染病傳播有一定的控制作用。

圖9 不同治愈率的感染人數(shù)變化

為增加治愈率，除各種疾病治療的醫(yī)療手段之外，接種疫苗也可以有效地提高治愈率，甚至可將易感者直接轉(zhuǎn)變?yōu)槊庖哒?。在網(wǎng)絡中設置10%的易感人群直接轉(zhuǎn)化為免疫人群，其余條件保持不變，傳播過程如圖10所示。

圖10 存在部分免疫人群的傳染病傳播過程曲線

將圖10與圖4進行對比可發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)絡中存在部分免疫人群可有效減少感染人數(shù)，結(jié)合式(10)可表明群體中免疫人數(shù)增多會減慢傳染病的傳播。因此可大范圍推廣疫苗接種，降低網(wǎng)絡中傳染病擴散程度從而抑制傳染病傳播。

3 傳染病控制策略

控制傳染病傳播并最終使其消失，就要使再生數(shù)小于1，由上述第2節(jié)分析可得到如下相應的傳染病控制策略：

1) 降低感染率。一方面降低與感染者接觸的幾率，外出時戴口罩，保持安全距離，減少堂食等，減少家庭間接觸機會；一方面加強對家庭中免疫力較低的老年和嬰幼兒群體的保護，減少到公共場所活動。

2) 增加治愈率、疫苗接種率。除通過醫(yī)療手段提高治愈率外，增大疫苗接種率也可有效增加治愈率，因此可推廣疫苗接種，增加疫苗接種率。

3) 關鍵群體防控。由上文所示，網(wǎng)絡中的關鍵家庭在傳染病傳播過程中占據(jù)著重要位置，因此在疫情初期對這些家庭采取相應的措施可有效控制傳染病傳播，聯(lián)系日常生活可發(fā)現(xiàn)外賣員家庭、商鋪職員等服務類行業(yè)人員及家庭占據(jù)著這些關鍵節(jié)點的位置，不僅和外界有著眾多的聯(lián)系，還容易成為結(jié)構(gòu)洞點，將一些沒有關系的節(jié)點連接起來，因此在疫情爆發(fā)后及時地注意這些人員家庭并對其采取相應的防控措施，可有效抑制傳染病的傳播。

通常傳染病爆發(fā)初期疫苗資源緊缺，對于接種人群的選擇尤為重要，因此可以優(yōu)先選擇關鍵節(jié)點的家庭進行接種，可有效防止傳染病的大范圍傳播，因此當疫情發(fā)生時對關鍵的家庭首先做好防護并率先接種疫苗可以快速且有效地對傳染病傳播起到控制作用。

4 結(jié)論

探究無標度網(wǎng)絡上的SIRS模型，利用NetLogo進行數(shù)值仿真，發(fā)現(xiàn)網(wǎng)絡中心點和結(jié)構(gòu)洞點在傳染病的傳播中占據(jù)著舉足輕重的位置，對這些節(jié)點采取及時的隔離能夠有效抑制網(wǎng)絡中傳染病的傳播發(fā)展，對于關鍵節(jié)點的隔離可以在短時間內(nèi)迅速地切斷傳播鏈條，達到精準防控的要求；當疫情發(fā)生時可優(yōu)先接種這些關鍵家庭，有效防止傳染病的進一步擴散；此外，通過對模型中參數(shù)定量研究，可發(fā)現(xiàn)政府為降低感染率所采取的措施是有效且重要的，在實際生活中當一個家庭內(nèi)有成員被感染時，因同一棟單元樓內(nèi)居民處于統(tǒng)一封閉空間且日常接觸較多，因此其他家庭感染概率極大，所以當疫情發(fā)生時對于單元樓的及時封控是行之有效的，但根據(jù)上文的分析，對于封控區(qū)與管控區(qū)的劃分可以更加細化，縮小到家庭及周邊范圍即可有效防控疫情傳播。

在整體社會網(wǎng)絡中考慮了家庭結(jié)構(gòu)，后續(xù)可以進一步考慮家庭規(guī)模、年齡結(jié)構(gòu)等因素，在模型中增加這些因素，探究這些因素對于疫情傳播的影響，不斷完善無標度網(wǎng)絡上的傳播機制。