人行橋阻尼索減振研究

彭文林，禹見達(dá),2，胡 磊，孫洪鑫,2

(1.湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201；2. 湖南科技大學(xué) 結(jié)構(gòu)抗風(fēng)與振動(dòng)控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201)

隨著我國經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，城市道路的車流量越來越大，為了進(jìn)行人車分流，人行天橋的數(shù)量也越來越多。人行橋在城市立體交通網(wǎng)絡(luò)中發(fā)揮了巨大作用，其跨度隨著路面寬度的增加和高強(qiáng)材料技術(shù)的進(jìn)步而不斷增加，其固有頻率也隨之不斷降低。大跨度人行橋的基頻往往會(huì)降低到步行力的頻率范圍內(nèi)，從而發(fā)生人致振動(dòng)[1-2]，著名的案例有日本的T橋[3]、倫敦的千禧橋[4]、巴黎的Solférino橋等[5-6]。橋梁過大的振動(dòng)會(huì)導(dǎo)致行人行走困難，嚴(yán)重時(shí)可能導(dǎo)致行人恐慌，甚至引發(fā)踩踏事故，過度的人行橋振動(dòng)亟需解決。

現(xiàn)有橋梁振動(dòng)控制措施主要有增加結(jié)構(gòu)剛度的靜力學(xué)措施和調(diào)諧減振的動(dòng)力學(xué)措施兩種，增加結(jié)構(gòu)剛度是一種很直觀的方法，但其花費(fèi)的成本很高，目前主流方法還是調(diào)諧減振的動(dòng)力學(xué)措施。調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper, TMD)自Frahm提出、Den Hartog改進(jìn)以來，在抑制人行橋的人致振動(dòng)方面得到了深入研究。汪志昊等[7]使用剛度與阻尼參數(shù)分離的微型電渦流TMD對(duì)人行橋模型進(jìn)行減振試驗(yàn)；羅曉群等[8]采用TMD對(duì)國內(nèi)某單斜面索拱支承曲梁人行橋進(jìn)行人致振動(dòng)控制研究；Tubino等[9]對(duì)人行天橋在豎直方向的最優(yōu)TMD設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究；李曉瑋等[10]實(shí)測在相同人行荷載作用下安裝TMD系統(tǒng)前后的人行橋振動(dòng)響應(yīng)，驗(yàn)證了TMD對(duì)人行橋的減振效果；肖新標(biāo)等[11]研究了移動(dòng)荷載作用下的橋梁進(jìn)行TMD振動(dòng)控制效果。TMD在人行橋人致振動(dòng)控制方面得到了廣泛應(yīng)用，如日本T橋、日本蘆屋人行天橋[12]、倫敦的千禧橋、巴黎的Solférino橋等、綿陽一號(hào)人行橋[13]都采用TMD進(jìn)行減振。

人行橋在使用過程中，橋上行人與橋梁結(jié)構(gòu)存在相互作用，行人自身將作為一個(gè)動(dòng)態(tài)的質(zhì)量-彈簧-阻尼(mass spring damper，MSD)系統(tǒng)參與橋梁振動(dòng)[14-15]，這時(shí)耦合了行人的人行橋系統(tǒng)振動(dòng)頻率、阻尼等參數(shù)將會(huì)發(fā)生改變[16-18]，已經(jīng)調(diào)諧好的TMD可能失調(diào)[19]。針對(duì)人行橋振動(dòng)頻率在一定范圍內(nèi)變動(dòng)的特點(diǎn)，Klaus Lievens等[20]提出了一種考慮模態(tài)參數(shù)不確定的TMD魯棒優(yōu)化設(shè)計(jì)方法；霍林生等[21-22]研究表明多重調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(multiple tuned mass dampers,MTMD)具有更好的魯棒性，采用MTMD比TMD更適合用于人行橋減振；Wang等[23]通過現(xiàn)場實(shí)測和數(shù)值模擬研究發(fā)現(xiàn)MTMD比TMD對(duì)鋼結(jié)構(gòu)人行天橋有更好的減振效果。

TMD減振頻帶窄的缺點(diǎn)，在輕鋼人行橋減振方面變得特別突出。輕鋼人行橋本身質(zhì)量小，橋面人群質(zhì)量可能超過結(jié)構(gòu)本身[24]，在不同的人群密度下，人行橋的振動(dòng)頻率變化范圍較大。為了保證調(diào)諧減振的效果，倫敦千禧橋除安裝TMD進(jìn)行減振外，還采用巨型剛臂、長連桿安裝了黏滯阻尼器輔助減振；華旭剛等針對(duì)綿陽一號(hào)人行橋結(jié)構(gòu)特點(diǎn)首先應(yīng)用連桿提高了結(jié)構(gòu)剛度，然后結(jié)合TMD進(jìn)行了人行橋減振。

黏滯阻尼器等液壓流體阻尼器具有巨大的耗能能力，且其減振效果受結(jié)構(gòu)頻率變化的影響小，但其必須利用阻尼器兩端的相對(duì)運(yùn)動(dòng)才能耗能，目前未有應(yīng)用液壓流體阻尼器抑制橋梁彎曲大幅振動(dòng)的報(bào)道。禹見達(dá)等[25]提出了一種復(fù)合阻尼索減振技術(shù)，以較小的成本極大地提高了阻尼器的支撐桿長度，并通過模型試驗(yàn)驗(yàn)證了復(fù)合阻尼索利用黏滯阻尼器抑制高聳結(jié)構(gòu)的減振效果，遺憾的是其未進(jìn)行深入的復(fù)合阻尼索減振理論分析。

以最常見的輕鋼簡支梁人行橋?yàn)檠芯繉?duì)象，針對(duì)其豎彎第一階模態(tài)的大幅振動(dòng)，本文設(shè)計(jì)了一種自錨式阻尼索。首先建立了阻尼索-簡支梁振動(dòng)方程，獲得了人行橋附加阻尼比解析計(jì)算公式，然后以理想黏性的電渦流阻尼器為耗能元件[26]，通過模型試驗(yàn)驗(yàn)證了阻尼比解析計(jì)算公式的正確性。為了分析人行橋頻率大幅變化時(shí)阻尼索的減振效果是否會(huì)削弱，本文還設(shè)置了一組對(duì)照試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果表明結(jié)構(gòu)頻率大幅變化對(duì)阻尼索的減振效果影響小。最后開展了簡支梁橋的阻尼索減振參數(shù)理論分析，獲得了主梁附加阻尼比與阻尼索各參數(shù)的關(guān)系。

1 人行天橋-復(fù)合阻尼索系統(tǒng)

人行橋下方為車行道，因此在橋下空間安裝阻尼索可能妨礙交通而很難被采納，但人行橋上方較為空曠，為阻尼索安裝提供了可利用空間。人行橋型式多種多樣，為方便起見，本文僅以簡支梁橋模擬人行橋研究阻尼索的減振效果。在橋梁跨度范圍內(nèi)適當(dāng)位置安裝兩立柱(后期可以裝飾為燈柱)，阻尼索張拉方法如圖1所示，在兩端距離支座x1處分別對(duì)稱豎立兩根高為H的立柱，在立柱頂點(diǎn)與支座間張拉阻尼索，阻尼索由阻尼器、復(fù)位彈簧并聯(lián)后再與主索串聯(lián)而成，復(fù)位彈簧預(yù)先張拉，并保證彈簧彈性力遠(yuǎn)大于阻尼器阻尼力，這樣就能使阻尼索時(shí)刻處于拉緊狀態(tài)；在張拉阻尼索的同時(shí)在兩根立柱之間連接抗拉索，抗拉索需要能夠能提供較大的弦向剛度。當(dāng)主梁發(fā)生第一階豎彎振動(dòng)時(shí)，兩根阻尼索拉力的水平分量可以互相平衡，豎向分量通過立柱傳遞作用于主梁，由其中的阻尼器阻尼力消耗主梁動(dòng)能。

圖1 人行橋-阻尼索結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of footbridge with damping cable

對(duì)于主梁的第一階彎曲模態(tài)振動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性取橋梁-阻尼索系統(tǒng)左半邊進(jìn)行分析，如圖2所示，設(shè)主梁的抗彎剛度為EI，長度為L，質(zhì)量線密度為ρ，主梁撓曲線為u(x,t)，則主梁豎彎振動(dòng)方程為

(1)

式中:f(x,t)為人行橋所受橋面分布荷載；Fp為阻尼索動(dòng)張力；δ(x-x1)為δ函數(shù)。

圖2 簡支梁-阻尼索力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of simply supported beam with damping cable

阻尼索由主索、阻尼器和復(fù)位彈簧組成而成，力學(xué)參數(shù)包括：主索剛度k3、阻尼器阻尼黏性系數(shù)c和復(fù)位彈簧剛度k2。當(dāng)主梁發(fā)生第一階模態(tài)豎彎微幅振動(dòng)時(shí)，忽略立柱、抗拉索及AB段主索的軸向變形，同時(shí)考慮復(fù)位彈簧、阻尼器和BC段主索變形，則阻尼索動(dòng)張力為

(2)

根據(jù)模態(tài)分析法，主梁振動(dòng)可表示為振型函數(shù)φ(x)=sin(πx/L)與時(shí)間函數(shù)z(t)的乘積：u(x,t)=φ(x)·z(t)，將其代入式(1)，在方程兩邊同乘以振型φ(x)并積分得到

(3)

由式(2)、式(3)聯(lián)立可得到主梁-阻尼索振動(dòng)方程

(4)

式中，η=2φ(x1)2sin2θ為阻尼索影響系數(shù)。

2 人行橋-阻尼索系統(tǒng)自由振動(dòng)解析解

As3+Bs2+Cs+D=0

(5)

式中：A=cm1；B=(k2+k3)m1；C=(ck1+ck3η)；D=[(k2+k3)k1+k2·k3η]。

對(duì)于式(5)的解，可由三次方程求根公式求解, 設(shè)α=B2-3AC,β=BC-9AD,γ=C2-3BD。當(dāng)Δ=β2-4αγ>0時(shí)，式(5)的三個(gè)根s1，s2和s3分別為

(6)

z(t)=X1es1t+eRe(s2)t(X2eIm(s2)it+X3e-Im(s2)it)

(7)

式中，X1,X2,X3由初始條件確定，其中第一項(xiàng)為實(shí)數(shù)解，在主梁振動(dòng)過程中迅速衰減，因此主梁自由振動(dòng)的特性主要由后面兩項(xiàng)所決定，系統(tǒng)振動(dòng)的圓頻率

(8)

主梁自由衰減振動(dòng)附加阻尼比為

(9)

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)知識(shí)可知，結(jié)構(gòu)附加阻尼比越大，則結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的衰減速度越快，相同外加激勵(lì)作用下結(jié)構(gòu)的振幅越小，因此，附加阻尼比可以直觀描述阻尼索對(duì)主梁的減振效果。

3 模型試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

為了驗(yàn)證附加阻尼比解析解式(9)的正確性，本文采用簡支鋼梁模擬人行橋，采用增加配重方式模擬行人對(duì)橋梁固有頻率的影響，在人行橋兩端對(duì)稱安裝阻尼索進(jìn)行減振試驗(yàn)，試驗(yàn)?zāi)Ｐ妥蟀氩糠秩鐖D3所示，實(shí)際模型圖如圖4所示。簡支鋼梁采用兩根相同的槽鋼并排布置，每端立柱采用兩根直徑12 mm的螺桿，與槽鋼之間采用夾具連接，立柱與阻尼器距離為x1。

圖3 試驗(yàn)裝置原理圖Fig.3 Schematic diagram of experimental device

圖4 試驗(yàn)現(xiàn)場照片F(xiàn)ig.4 Experimental site photo

阻尼索包含主索、復(fù)位彈簧和管式電渦流阻尼器，主索為直徑1 mm的鋼絲繩；電渦流阻尼器由銅管、磁鐵組成，如圖3所示，銅管通過夾具固定在主梁支座處，磁鐵由下端復(fù)位彈簧和上端主索牽引與銅管發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)從而產(chǎn)生電渦流阻尼力。試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷母魑锢韰?shù)如表1所示。

表1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)Tab.1 Parameters of experimental model

電渦流阻尼器低速運(yùn)動(dòng)時(shí)是一種理想的黏性阻尼器，試驗(yàn)采用鐵銣硼高強(qiáng)磁鐵，每片磁鐵外徑48 mm、內(nèi)徑10 mm、厚度20 mm，磁鐵采用同極相斥方式逐級(jí)增加，磁鐵間采用15 mm厚塑料螺母分隔；紫銅管內(nèi)徑55 mm、外徑65 mm。阻尼器磁鐵數(shù)量與電渦流阻尼器的黏性阻尼系數(shù)關(guān)系經(jīng)試驗(yàn)測得如表2所示。

表2 電渦流阻尼器阻尼系數(shù)Tab.2 Damping constant of eddy current damper

3.2 主梁附加阻尼比的試驗(yàn)值與理論值對(duì)比

對(duì)主梁施加人工共振激勵(lì)，當(dāng)主梁振幅達(dá)到設(shè)定值時(shí)撤除激勵(lì)，主梁隨后進(jìn)入自由振動(dòng)狀態(tài)，采集主梁振動(dòng)加速度，得到其加速度振動(dòng)衰減曲線。由加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值擬合得到衰減包絡(luò)線，從而獲得不同阻尼索參數(shù)下的主梁阻尼比ζE。

在阻尼索未安裝時(shí)，主梁振動(dòng)加速度時(shí)程曲線如圖5(a)所示，然后在結(jié)構(gòu)上安裝阻尼索，改變電渦流阻尼器中的磁鐵數(shù)量，獲得主梁加速度時(shí)程。典型加速度時(shí)程曲線如圖5所示，圖5(b)為不加裝磁鐵，即阻尼器黏性系數(shù)為0時(shí)的加速度時(shí)程，此時(shí)拉索預(yù)張力作用于定滑輪上，定滑輪摩擦力可以消耗結(jié)構(gòu)振動(dòng)的部分能量，圖5(c)、圖5(d)分別為阻尼索安裝2級(jí)、5級(jí)磁鐵電渦流阻尼器時(shí)主梁振動(dòng)的加速度時(shí)程，由圖5可以看出，隨著阻尼索阻尼器磁鐵數(shù)量的增加，即黏性系數(shù)的增大，結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)衰減越來越快，表明阻尼索能夠快速地消耗結(jié)構(gòu)振動(dòng)的能量。

圖5 主梁振動(dòng)加速度典型時(shí)程Fig.5 Typical acceleration time history of main girder

對(duì)加速度衰減段采用最小二乘法擬合，為避免振幅對(duì)阻尼比分析結(jié)果的影響，除無阻尼索的裸梁自由振動(dòng)外，計(jì)算阻尼比時(shí)選取加速度峰值從2.0 m/s2衰減至0.5 m/s2左右區(qū)間進(jìn)行擬合，如圖5所示。由擬合結(jié)果獲得：主梁結(jié)構(gòu)(裸梁)本身阻尼比為0.12%；阻尼索阻尼器黏性系數(shù)為0時(shí)主梁阻尼比為0.48%，說明滑輪軸承內(nèi)滾珠受內(nèi)、外鋼圈預(yù)壓力產(chǎn)生的摩擦力可以消耗主梁振動(dòng)動(dòng)能。

(10)

表3 附加阻尼比試驗(yàn)值和理論值Tab.3 Experimental value and theoretical value of additional damping ratio

圖6 附加阻尼比試驗(yàn)值和理論值對(duì)比Fig.6 Comparison of experimental value and theoretical value of additional damping ratio

阻尼索為主梁提供的附加阻尼比與阻尼器黏性系數(shù)的關(guān)系，如圖6所示。由圖6可知：①當(dāng)電渦流阻尼器的阻尼系數(shù)從0增加到145 N·s/m時(shí)，主梁模型試驗(yàn)實(shí)測阻尼比由0.48%增加到4.28%，由阻尼器黏性阻尼力產(chǎn)生的附加阻尼比由0增大到3.80%，由式(9)計(jì)算得到的附加阻尼比理論值從0增大到3.75%，理論值與實(shí)測值吻合；②隨著阻尼器黏性系數(shù)的增大，主梁附加阻尼比近似線性增大。

3.3 主梁頻率改變時(shí)附加阻尼比理論值與試驗(yàn)值對(duì)比

輕鋼人行橋本身質(zhì)量小，橋面人群質(zhì)量可能超過結(jié)構(gòu)本身，在不同的人群密度下，人行橋的振動(dòng)頻率變化范圍較大，該狀況對(duì)阻尼索減振效果的影響值得討論。為此，在主梁跨中增加一個(gè)10 kg的砝碼作為配重，主梁豎彎頻率由2.42 Hz(模型一)變?yōu)?.01 Hz(模型二)，同樣通過主梁衰減振動(dòng)加速度時(shí)程曲線擬合得到主梁附加阻尼比理論值和試驗(yàn)值如表4所示。

表4 模型二附加阻尼比試驗(yàn)值和理論值Tab.4 Experimental value and theoretical value of additional damping ratio of modeII

對(duì)比表3、表4可知：與主梁未增加配重相比，增加配重后阻尼索為主梁提供的附加阻尼比有所降低，這是因?yàn)橄到y(tǒng)質(zhì)量增加，振動(dòng)能量增加，而相同振幅條件下阻尼器單周耗能不變，導(dǎo)致阻尼器單周耗能與系統(tǒng)總動(dòng)能比值降低。

主梁增加配重后阻尼索提供的主梁附加阻尼比與阻尼器黏性系數(shù)的關(guān)系如圖7所示，同樣可看出，試驗(yàn)測得的主梁附加阻尼比與理論解吻合，并隨著阻尼器黏性系數(shù)的增大而近似線性增大。

圖7 模型二主梁附加阻尼比試驗(yàn)值與理論值對(duì)比Fig.7 Comparison of experimental value and theoretical value of additional damping ratio of mode II

由圖6、圖7可知：①結(jié)構(gòu)阻尼索減振附加阻尼比計(jì)算式(9)與模型試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，驗(yàn)證了附加阻尼比理論計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性；②通過增加配重模擬人行橋固有頻率改變時(shí)，阻尼索同樣可以為主梁提供較大的附加阻尼比；③阻尼索為主梁提供的附加阻尼比隨阻尼器黏性系數(shù)的增大而近似線性增大，并且受主梁固有頻率變化的影響小，通過增大阻尼器黏性系數(shù)可以方便地獲得理想的減振效果。

4 阻尼索減振效果參數(shù)分析

上述試驗(yàn)已驗(yàn)證了阻尼索為不同質(zhì)量主梁提供的附加阻尼比解析解的準(zhǔn)確性，為了更好地了解阻尼索對(duì)橋梁的減振性能，需要對(duì)阻尼索減振進(jìn)行參數(shù)分析。影響阻尼索附加阻尼比ζa的主要參數(shù)包括阻尼索材料參數(shù)：主索剛度k3、復(fù)位彈簧剛度k2、阻尼器黏性系數(shù)c，阻尼索幾何參數(shù)：立柱安裝位置x1與高度H。為探究各參數(shù)對(duì)阻尼索附加阻尼比的影響，以未加配重的試驗(yàn)梁為研究對(duì)象，分析阻尼索附加阻尼比ζa與各參數(shù)的關(guān)系。

4.1 主索剛度與復(fù)位彈簧剛度對(duì)減振效果的影響

當(dāng)立柱安裝位置x1=0.25L,H=0.15L，復(fù)位彈簧剛度k2=0.2k1，不同阻尼器黏性系數(shù)下的主索剛度k3與附加阻尼比的關(guān)系，如圖8所示。

由圖8可以看出：當(dāng)阻尼索其他參數(shù)一定時(shí)，阻尼索對(duì)結(jié)構(gòu)附加阻尼比隨著主索剛度k3與復(fù)位彈簧剛度k2之比的增大而增大，但當(dāng)剛度比大于10以后，繼續(xù)提高主索剛度k3對(duì)提高阻尼索減振效果不明顯，此時(shí)，增大阻尼器黏性系數(shù)對(duì)提高阻尼索減振效果明顯。

圖8 附加阻尼比與剛度比k3/k2的關(guān)系Fig.8 The relationship between additional damping ratio andstiffness ratio k3/k2

4.2 阻尼器阻尼系數(shù)對(duì)減振效果的影響

確定阻尼索的安裝位置x1=0.25L,H=0.15L和拉索彈簧的剛度k2=0.06k1,k3=3k1，改變阻尼索的阻尼黏性系數(shù)，由式(9)計(jì)算得到阻尼器阻尼黏性系數(shù)c與附加阻尼比ζa的關(guān)系，如圖9所示。

圖9 附加阻尼比與阻尼系數(shù)c的關(guān)系Fig.9 The relationship between additional damping ratio and damping constant c

由圖9可以看出，在阻尼器黏性系數(shù)較小的情況下，結(jié)構(gòu)附加阻尼比與阻尼器黏性系數(shù)的增大而增大，二者近似成正比。但當(dāng)阻尼器黏性系數(shù)超過最優(yōu)值時(shí)，結(jié)構(gòu)附加阻尼比隨阻尼器黏性系數(shù)的增大而減小，其間存在一最優(yōu)阻尼器黏性系數(shù)。

4.3 立柱高度及安裝位置對(duì)阻尼索減振效果的影響

當(dāng)復(fù)位彈簧剛度k2=0.08k1,主索剛度k3=3k1，阻尼器黏性系數(shù)c=100 N·s/m，不同立柱高度和安裝位置的主梁附加阻尼比如圖10所示。

圖10 附加阻尼比與安裝位置的關(guān)系Fig.10 The relationship between additional damping ratio and installation position

由圖10可知：①立柱高度H越大，阻尼索對(duì)主梁的減振效果越好；②選定立柱高度后，阻尼索對(duì)主梁的減振效果隨立柱安裝位置x1的增大先增大后減小，x1存在一個(gè)與立柱高度有關(guān)的一個(gè)最優(yōu)安裝位置。

(11)

求解式(11)可得到立柱最優(yōu)安裝位置，即在相同的阻尼索材料參數(shù)和立柱高度條件下獲得主梁最大的附加阻尼比。

5 結(jié) 論

本文采用阻尼索抑制人行橋第一階豎彎振動(dòng)，首先建立了人行橋-阻尼索結(jié)構(gòu)的三階微分方程，獲得了人行橋的自由衰減振動(dòng)附加阻尼比解析解，隨后通過模型試驗(yàn)驗(yàn)證了該解析解的正確性；并對(duì)阻尼索減振性能進(jìn)行了參數(shù)影響分析，得到了如下結(jié)論：

(1)采用阻尼索可以有效地抑制人行橋第一階模態(tài)豎彎振動(dòng)，增加主梁附加質(zhì)量改變主梁頻率時(shí)，基本上不影響阻尼索的減振效果。

(2)在阻尼索阻尼器黏性系數(shù)較小的情況下，主梁附加阻尼比與阻尼系數(shù)呈正比，但隨著黏性系數(shù)的增大，主梁附加阻尼比達(dá)到最大值后出現(xiàn)下降趨勢。

(3)主索剛度k3與復(fù)位彈簧剛度k2之比較小時(shí)，主梁附加阻尼比隨剛度比的增大而近似成正比增大；當(dāng)剛度比較大時(shí)，主梁附加阻尼比隨剛度比的增大僅稍有增大，此時(shí)，主梁附加阻尼比隨阻尼器黏性系數(shù)的增大而近似成正比增大。

(4)隨立柱安裝位置x1的增加，即立柱由兩端向跨中移動(dòng)過程中，主梁附加阻尼比先增大、后減小，因此，存在最優(yōu)立柱安裝位置。