矩陣分解思想解題意義探究
——高等代數(shù)北大第五版

孫銘均

(遼寧師范大學(xué) 116000)

數(shù)學(xué)家在探索線性方程時(shí)曾發(fā)現(xiàn)解方程的規(guī)律，即方程組的解只跟未知量系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)有關(guān)，與其它的內(nèi)容無關(guān)，于是提出將方程組的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)單獨(dú)提煉出來，寫成一個(gè)整齊的數(shù)據(jù)表，而這一數(shù)據(jù)表用括號(hào)表示出來，就是矩陣分解的來源.本次研究首先從矩陣分解的思想角度說明它如何簡(jiǎn)化了大型線性方程組的計(jì)算，然后從矩陣的和式分解及應(yīng)用和矩陣的乘積分解及應(yīng)用說明如何有針對(duì)性地應(yīng)用矩陣分解的思想解決特定約束條件下大型線性方程組問題的方法.

1 矩陣分解概述

定義：設(shè)

將這兩個(gè)s×n矩陣相加，則可得

C=(cij)=(aij+bij)sn

兩個(gè)矩陣相加的和可以記為C=A+B.

矩陣的和式分解就是將以上相加的過程逆推過來，呈現(xiàn)C=A+B的矩陣分解后的矩陣和原矩陣是相同的.

2 矩陣的和式分解及應(yīng)用

2.1 矩陣的和式分解

定理1：任意一個(gè)n×n矩陣都可表示為一對(duì)稱矩陣與一反對(duì)稱矩陣之和.

定理2：秩等于r的對(duì)稱矩陣可以表成r個(gè)秩等于1的對(duì)稱矩陣之和.

證明：設(shè)A是秩為r的n階實(shí)對(duì)稱矩陣，那么存在可逆矩陣P，使得

2.2 矩陣和式分解的應(yīng)用

現(xiàn)在假設(shè)一個(gè)矩陣A可以分解成兩個(gè)或兩個(gè)以上矩陣的和的形式，那么就能夠應(yīng)用這種方式來計(jì)算與該矩陣A可交換的矩陣，及矩陣A的方冪等.

3 矩陣的乘積分解及應(yīng)用

3.1 矩陣的LU分解及應(yīng)用

LU分解：設(shè)A=(aij)是n階可逆矩陣，假設(shè)A的對(duì)角線下(上)方的元素全為零，那么即可視為當(dāng)i>j時(shí)，aij=0(當(dāng)i

定理3：LU分解定理

設(shè)A是n階可逆矩陣，那么可知存在唯一的單位下三角矩陣L和上三角矩陣U，A=LU的充分必要條件是A的所有順序主子式均非零，那么可得：

解1應(yīng)用上面的定理對(duì)矩陣(A?E)作初等行變換可得

由以上的案例可以看到矩陣的和式分解的應(yīng)用思想，就是把一個(gè)較為復(fù)雜的線性方程，以把它變成矩陣的方式，把方程結(jié)構(gòu)變得簡(jiǎn)單，讓它降冪降次以令數(shù)學(xué)計(jì)算簡(jiǎn)化；而矩陣的乘積分解的思路，就是利用矩陣分解過程中條件的約束和計(jì)算的關(guān)系來構(gòu)建新的矩陣，而這個(gè)矩陣是一個(gè)簡(jiǎn)化了的，能夠反映出已知條件和解關(guān)聯(lián)特征的方程.