以任務設計為載體培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質(zhì)的案例

展佳 孫蘭

注：本文系蘇州市“十四五”規(guī)劃課題“基于優(yōu)化學生數(shù)學思維品質(zhì)的任務設計實踐研究”（項目編號：2022/LX/02/154/03）的研究成果。

作者簡介：展佳（1994—），女，漢族，江蘇太倉人，本科，中學二級，研究方向：高中數(shù)學。

孫蘭（1979—），女，漢族，江蘇太倉人，本科，中學高級，研究方向：高中數(shù)學。

在傳統(tǒng)的數(shù)學課堂教學中，教學過程多是由教師講解，學生被動接受信息。但從反饋回來的結果可以看到，課堂教學被局限在固定的模式中，學生的成績“不增反減”，思維品質(zhì)“停滯不前”，學生徹底成為課堂中的“木偶人”。針對這種情況，筆者嘗試將任務型教學融入課堂環(huán)境中，包括情境導學任務、驅(qū)動任務、作業(yè)任務等，不同任務的形式雖然有所差別，但核心依舊是圍繞學生，通過師生交流、生生交流，讓學生切實參與課堂，感受知識的發(fā)生、發(fā)展過程，最終使學生的思維品質(zhì)得到良好發(fā)展，為他們的成長打好基礎。

“數(shù)列的概念”是2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修二第四章“數(shù)列”第一節(jié)第1課時內(nèi)容。作為章首課，“數(shù)列的概念”和“通項公式”在學習中起著承上啟下的作用。一方面，在數(shù)列概念的歸納、提煉過程中蘊含著函數(shù)思想，通過學習數(shù)列，深化完善函數(shù)模型。另一方面，本節(jié)課也是學習后面等差、等比數(shù)列的基礎。但是在實際教學中，教師和學生往往忽視數(shù)列概念的形成過程及對概念內(nèi)涵的理解，更關注于后面的實際應用，使得學生對數(shù)列的本質(zhì)“知其然而不知其所以然”。本節(jié)課，筆者設計了三個學習任務，圍繞數(shù)列概念的教學進行了精心設計與實踐，獲得了一定成效。

一、導入任務，創(chuàng)設情境，經(jīng)歷數(shù)學概念的形成過程，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

請根據(jù)下面4個情境，回答問題。

情境1：傳說古希臘畢達哥斯拉學派的數(shù)學家在研究數(shù)的時候，喜歡用沙灘上的小石子表示數(shù)。石子能夠擺成不同的幾何形狀，就產(chǎn)生了一系列有形狀的數(shù)，如三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)等。請從小到大依次寫出沙灘上的三角形數(shù)。

情境2：古語有云，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。若將起始長度理解為一個單位，那么每天所剩的長度依次為■，■，■，■……

情境3：從1984年至今，我國參加奧運會各次參賽獲得的金牌總數(shù)依次為15，5，16，16，28，32，51，38，26，38。

情境4：-■的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪……依次排列成一列數(shù)：-■，■，-■，■……

問題1：上面4個例子中的數(shù)據(jù)，在排列上具有怎樣的共同特征？

學生經(jīng)過自主探究，還不能解決這個問題。這時教師可以順勢引導，拋出問題：如果任意改變數(shù)據(jù)的位置，還能不能表示相同含義？

此時學生一致認為，這四列數(shù)的排序都是有順序的，不能隨意改變位置，此時教師給出數(shù)列的概念，板書并強調(diào)有序性。

問題2：（1）情境1中數(shù)列1，3，6，10與數(shù)列1，6，

3，10一樣嗎？

（2）小明在高一階段的4次大型考試中成績排名分別為1，1，1，1，請問這組數(shù)據(jù)是數(shù)列嗎？你還能結合生活實際，給出一些數(shù)列的例子嗎？

（3）數(shù)列的概念與我們之前學習的集合概念有何區(qū)別與聯(lián)系？

隨著學生的思考交流，以上問題接連解決。學生能從有序性和互異性兩個角度厘清數(shù)列和集合的區(qū)別，充分認識到數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)，這些數(shù)可以相同，也可以不同，只要具備明確的意義。

師：數(shù)列中的每個數(shù)都稱為數(shù)列的項，排在第一個位置上的數(shù)，我們稱它為該數(shù)列的第一項（或首項），記作a1，排在第二個位置上的數(shù)，我們稱它為該數(shù)列的第二項，記作a2，以此類推，第n個位置上的數(shù)，我們稱它為該數(shù)列的第n項，記作an。由此，大家能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生1：一個數(shù)列中的每項都有一個位置序號與它一一對應。

師：非常好，根據(jù)這種對應關系，我們可以把數(shù)列寫成a1，a2，a3，…，an，簡寫為an。

學習和創(chuàng)造都離不開思維，思維是發(fā)展智力和能力的核心。因此，在課堂教學中培養(yǎng)學生的思維能力、優(yōu)化學生的思維品質(zhì)是課堂教學的重要任務之一。在教學過程中，教師對教學策略的自控能對數(shù)學思維品質(zhì)的培養(yǎng)起到積極作用，通過創(chuàng)設合適的教學情境，引導學生往正確的思路上走，幫助學生解決思維沖突，及時總結規(guī)律、方法和技能。任務一中的四個情境不僅涉及歷史悠久的問題，還貼近我們的生活實際，在激發(fā)學生學習興趣的同時，更容易引起學生的共鳴，引導學生共同觀察、分析、總結歸納出數(shù)列的概念，從而提升學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。

二、驅(qū)動任務，探索新知，感受數(shù)學概念的內(nèi)涵與外延，培養(yǎng)思維的嚴謹性

請同學們將剛剛的幾組數(shù)列分別填入表1，并思考下面幾個問題：

問題3：對于這些豐富的數(shù)列，如何進行分類？

問題4：項數(shù)與項之間的“一一對應”與之前哪個概念是一致的？

表1

■

起初，學生的分類五花八門，缺乏整體性和科學性，但在教師的引導下，很快能聯(lián)想到從項數(shù)和單調(diào)性兩方面來分類，并順利得到表2。

表2

■

通過完成表1，學生可以發(fā)現(xiàn)項數(shù)n和項an之間存在一一對應關系，聯(lián)想到之前學習的函數(shù)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。

問題5：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，我們可以借助函數(shù)的研究路徑研究數(shù)列。一起回憶一下，我們研究了函數(shù)的哪些方面？

生2：定義域、值域、單調(diào)性。

生3：表示方法，最值，一些特殊函數(shù)的性質(zhì)。

師：數(shù)列的定義域，值域是什么？

生4：正整數(shù)集和實數(shù)集。

師：非常好！我們可以將數(shù)列理解為從正整數(shù)集N或其有限子集到實數(shù)集R的函數(shù)。

問題6：函數(shù)有三種表示方法——列表法、圖象法、解析式法。請同學們嘗試用三種表示方法表示情境2中的數(shù)列。

學生很快完成列表，但在作圖過程中，部分學生先描點再連線，此時教師可以適時追問：數(shù)列的定義域是什么？可以連線嗎？學生恍然大悟，數(shù)列的圖象是由一些孤立的點構成。所謂的函數(shù)解析式，在數(shù)列中稱為通項公式，用來刻畫數(shù)列中第n項an與它的序號n之間的關系，如情境2：an=■■

問題7：你能用3種表示方法來表示情境3、情境4中的數(shù)列嗎？

學生梳理知識點，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其圖象具有離散型，以及不是所有的數(shù)列都有通項公式。

教師在課堂中要根據(jù)學生層次設置問題串，搭建思維階梯，引導學生思考、感受知識的內(nèi)涵與外延，從而培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)。任務二就是通過問題串形式，引導學生聯(lián)系函數(shù)概念，揭示數(shù)列是一種特殊函數(shù)，從而類比函數(shù)，構建數(shù)列的研究路徑：事實—概念—表示—性質(zhì)—特殊數(shù)列。在獨立探究和小組合作中感受數(shù)列的三種表示方法，讓學生從表和圖中觀察該數(shù)列的圖象特征，數(shù)列的項隨序號變化出現(xiàn)的特點，引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)列圖象的離散以及它的單調(diào)性。

三、檢測任務，評價反饋，重視數(shù)學概念與其他相關知識的聯(lián)系，培養(yǎng)思維的靈活性與發(fā)散性

練習一：已知情境2通項公式an=■■

（1）求第5天的剩余量是多少？

（2）是否存在■的剩余量？為什么？

練習二：已知情境1沙灘上的三角形數(shù)前4項為1，3，6，10。

（1）寫出第5項、第6項、第100項。

（2）寫出該數(shù)列的通項公式。

（3）你覺得我們還能研究哪些問題？

學生思維品質(zhì)的培養(yǎng)還需要教師在課堂上給予時間和空間。尤其是課上的習題處理，應該給予學生充分的時間和話語權進行數(shù)學表達。練習一將情境2中的數(shù)列通項公式直接展示給學生，求解關于項的問題，直接而強有力地讓學生感受到通項公式對數(shù)列取值規(guī)律的精確刻畫。練習二的設計不僅是將數(shù)學史融入豐富的課堂內(nèi)容中，更是借鑒與重構，從歷史背景中抽象出具體問題，引導學生自主探究、合作交流，通過開展觀察、猜想、驗證、歸納、推理等數(shù)學活動，感受數(shù)列間的遞推關系，推導通項公式，提升思維的靈活性和深刻性。

四、總結與感悟

學生完成以上幾個任務，并不意味著他們已經(jīng)完全掌握了數(shù)列概念。概念教學是一個循序漸進的過程，學生認知發(fā)展具有連續(xù)性、發(fā)展性、差異性等特點。因此，教師在設計教學任務時要注重教學環(huán)節(jié)的環(huán)環(huán)相扣，不斷夯實基礎，鞏固提升。

從某種程度上講，數(shù)學教學實質(zhì)上就是學生在教師的指導下，通過思維活動，學習數(shù)學家思維活動的成果，同時發(fā)展個體的數(shù)學思維。高中生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學教師教學研究的中心，而數(shù)學思維發(fā)展的規(guī)律對數(shù)學教學具有重要的指導意義。

相比傳統(tǒng)教學，任務導向不僅注重培養(yǎng)學生對知識的掌握，還注重學生的學習方法與能力及數(shù)學思維品質(zhì)的發(fā)展，在一定程度上影響了“教”和“學”的方式，主要體現(xiàn)在以下三點。

第一，學生的學習方式發(fā)生了改變，改變了傳統(tǒng)教學中以教師講為主，學生聽、做筆記的狀態(tài)。教師創(chuàng)設的情境，使學生對概念的生成有一個分析、歸納、概括、數(shù)學表達和辨析的過程，在過程中建立對概念清晰、準確的認識，感受概念的發(fā)生、發(fā)展過程，促進學生主動地學習數(shù)學知識。

第二，提升學生解決問題的能力，通過任務驅(qū)動學生循序漸進的發(fā)展，思考任務，完成任務，完成預定教學目標的學習，層層遞進式推進教學，也符合學生的認知發(fā)展規(guī)律。

第三，對教師提出更高要求，轉變教的方法。教師教學前要做好充分的準備，以便課堂上更好地給學生傳授知識，避免出現(xiàn)“滿堂灌”的現(xiàn)象，教師在課中、課后要及時對學生進行學習追蹤。

（作者單位：江蘇省沙溪高級中學）

編輯：趙文靜