以任務(wù)設(shè)計(jì)為載體培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的案例

展佳 孫蘭

注：本文系蘇州市“十四五”規(guī)劃課題“基于優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的任務(wù)設(shè)計(jì)實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號：2022/LX/02/154/03）的研究成果。

作者簡介：展佳（1994—），女，漢族，江蘇太倉人，本科，中學(xué)二級，研究方向：高中數(shù)學(xué)。

孫蘭（1979—），女，漢族，江蘇太倉人，本科，中學(xué)高級，研究方向：高中數(shù)學(xué)。

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教學(xué)過程多是由教師講解，學(xué)生被動接受信息。但從反饋回來的結(jié)果可以看到，課堂教學(xué)被局限在固定的模式中，學(xué)生的成績“不增反減”，思維品質(zhì)“停滯不前”，學(xué)生徹底成為課堂中的“木偶人”。針對這種情況，筆者嘗試將任務(wù)型教學(xué)融入課堂環(huán)境中，包括情境導(dǎo)學(xué)任務(wù)、驅(qū)動任務(wù)、作業(yè)任務(wù)等，不同任務(wù)的形式雖然有所差別，但核心依舊是圍繞學(xué)生，通過師生交流、生生交流，讓學(xué)生切實(shí)參與課堂，感受知識的發(fā)生、發(fā)展過程，最終使學(xué)生的思維品質(zhì)得到良好發(fā)展，為他們的成長打好基礎(chǔ)。

“數(shù)列的概念”是2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二第四章“數(shù)列”第一節(jié)第1課時內(nèi)容。作為章首課，“數(shù)列的概念”和“通項(xiàng)公式”在學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用。一方面，在數(shù)列概念的歸納、提煉過程中蘊(yùn)含著函數(shù)思想，通過學(xué)習(xí)數(shù)列，深化完善函數(shù)模型。另一方面，本節(jié)課也是學(xué)習(xí)后面等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)。但是在實(shí)際教學(xué)中，教師和學(xué)生往往忽視數(shù)列概念的形成過程及對概念內(nèi)涵的理解，更關(guān)注于后面的實(shí)際應(yīng)用，使得學(xué)生對數(shù)列的本質(zhì)“知其然而不知其所以然”。本節(jié)課，筆者設(shè)計(jì)了三個學(xué)習(xí)任務(wù)，圍繞數(shù)列概念的教學(xué)進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)與實(shí)踐，獲得了一定成效。

一、導(dǎo)入任務(wù)，創(chuàng)設(shè)情境，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

請根據(jù)下面4個情境，回答問題。

情境1：傳說古希臘畢達(dá)哥斯拉學(xué)派的數(shù)學(xué)家在研究數(shù)的時候，喜歡用沙灘上的小石子表示數(shù)。石子能夠擺成不同的幾何形狀，就產(chǎn)生了一系列有形狀的數(shù)，如三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)等。請從小到大依次寫出沙灘上的三角形數(shù)。

情境2：古語有云，“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。若將起始長度理解為一個單位，那么每天所剩的長度依次為■，■，■，■……

情境3：從1984年至今，我國參加奧運(yùn)會各次參賽獲得的金牌總數(shù)依次為15，5，16，16，28，32，51，38，26，38。

情境4：-■的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪……依次排列成一列數(shù)：-■，■，-■，■……

問題1：上面4個例子中的數(shù)據(jù)，在排列上具有怎樣的共同特征？

學(xué)生經(jīng)過自主探究，還不能解決這個問題。這時教師可以順勢引導(dǎo)，拋出問題：如果任意改變數(shù)據(jù)的位置，還能不能表示相同含義？

此時學(xué)生一致認(rèn)為，這四列數(shù)的排序都是有順序的，不能隨意改變位置，此時教師給出數(shù)列的概念，板書并強(qiáng)調(diào)有序性。

問題2：（1）情境1中數(shù)列1，3，6，10與數(shù)列1，6，

3，10一樣嗎？

（2）小明在高一階段的4次大型考試中成績排名分別為1，1，1，1，請問這組數(shù)據(jù)是數(shù)列嗎？你還能結(jié)合生活實(shí)際，給出一些數(shù)列的例子嗎？

（3）數(shù)列的概念與我們之前學(xué)習(xí)的集合概念有何區(qū)別與聯(lián)系？

隨著學(xué)生的思考交流，以上問題接連解決。學(xué)生能從有序性和互異性兩個角度厘清數(shù)列和集合的區(qū)別，充分認(rèn)識到數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)，這些數(shù)可以相同，也可以不同，只要具備明確的意義。

師：數(shù)列中的每個數(shù)都稱為數(shù)列的項(xiàng)，排在第一個位置上的數(shù)，我們稱它為該數(shù)列的第一項(xiàng)（或首項(xiàng)），記作a1，排在第二個位置上的數(shù)，我們稱它為該數(shù)列的第二項(xiàng)，記作a2，以此類推，第n個位置上的數(shù)，我們稱它為該數(shù)列的第n項(xiàng)，記作an。由此，大家能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生1：一個數(shù)列中的每項(xiàng)都有一個位置序號與它一一對應(yīng)。

師：非常好，根據(jù)這種對應(yīng)關(guān)系，我們可以把數(shù)列寫成a1，a2，a3，…，an，簡寫為an。

學(xué)習(xí)和創(chuàng)造都離不開思維，思維是發(fā)展智力和能力的核心。因此，在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)是課堂教學(xué)的重要任務(wù)之一。在教學(xué)過程中，教師對教學(xué)策略的自控能對數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)起到積極作用，通過創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生往正確的思路上走，幫助學(xué)生解決思維沖突，及時總結(jié)規(guī)律、方法和技能。任務(wù)一中的四個情境不僅涉及歷史悠久的問題，還貼近我們的生活實(shí)際，在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時，更容易引起學(xué)生的共鳴，引導(dǎo)學(xué)生共同觀察、分析、總結(jié)歸納出數(shù)列的概念，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

二、驅(qū)動任務(wù)，探索新知，感受數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

請同學(xué)們將剛剛的幾組數(shù)列分別填入表1，并思考下面幾個問題：

問題3：對于這些豐富的數(shù)列，如何進(jìn)行分類？

問題4：項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)之間的“一一對應(yīng)”與之前哪個概念是一致的？

表1

■

起初，學(xué)生的分類五花八門，缺乏整體性和科學(xué)性，但在教師的引導(dǎo)下，很快能聯(lián)想到從項(xiàng)數(shù)和單調(diào)性兩方面來分類，并順利得到表2。

表2

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通過完成表1，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)項(xiàng)數(shù)n和項(xiàng)an之間存在一一對應(yīng)關(guān)系，聯(lián)想到之前學(xué)習(xí)的函數(shù)概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。

問題5：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，我們可以借助函數(shù)的研究路徑研究數(shù)列。一起回憶一下，我們研究了函數(shù)的哪些方面？

生2：定義域、值域、單調(diào)性。

生3：表示方法，最值，一些特殊函數(shù)的性質(zhì)。

師：數(shù)列的定義域，值域是什么？

生4：正整數(shù)集和實(shí)數(shù)集。

師：非常好！我們可以將數(shù)列理解為從正整數(shù)集N或其有限子集到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)。

問題6：函數(shù)有三種表示方法——列表法、圖象法、解析式法。請同學(xué)們嘗試用三種表示方法表示情境2中的數(shù)列。

學(xué)生很快完成列表，但在作圖過程中，部分學(xué)生先描點(diǎn)再連線，此時教師可以適時追問：數(shù)列的定義域是什么？可以連線嗎？學(xué)生恍然大悟，數(shù)列的圖象是由一些孤立的點(diǎn)構(gòu)成。所謂的函數(shù)解析式，在數(shù)列中稱為通項(xiàng)公式，用來刻畫數(shù)列中第n項(xiàng)an與它的序號n之間的關(guān)系，如情境2：an=■■

問題7：你能用3種表示方法來表示情境3、情境4中的數(shù)列嗎？

學(xué)生梳理知識點(diǎn)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其圖象具有離散型，以及不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式。

教師在課堂中要根據(jù)學(xué)生層次設(shè)置問題串，搭建思維階梯，引導(dǎo)學(xué)生思考、感受知識的內(nèi)涵與外延，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。任務(wù)二就是通過問題串形式，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系函數(shù)概念，揭示數(shù)列是一種特殊函數(shù)，從而類比函數(shù)，構(gòu)建數(shù)列的研究路徑：事實(shí)—概念—表示—性質(zhì)—特殊數(shù)列。在獨(dú)立探究和小組合作中感受數(shù)列的三種表示方法，讓學(xué)生從表和圖中觀察該數(shù)列的圖象特征，數(shù)列的項(xiàng)隨序號變化出現(xiàn)的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列圖象的離散以及它的單調(diào)性。

三、檢測任務(wù)，評價反饋，重視數(shù)學(xué)概念與其他相關(guān)知識的聯(lián)系，培養(yǎng)思維的靈活性與發(fā)散性

練習(xí)一：已知情境2通項(xiàng)公式an=■■

（1）求第5天的剩余量是多少？

（2）是否存在■的剩余量？為什么？

練習(xí)二：已知情境1沙灘上的三角形數(shù)前4項(xiàng)為1，3，6，10。

（1）寫出第5項(xiàng)、第6項(xiàng)、第100項(xiàng)。

（2）寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（3）你覺得我們還能研究哪些問題？

學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)還需要教師在課堂上給予時間和空間。尤其是課上的習(xí)題處理，應(yīng)該給予學(xué)生充分的時間和話語權(quán)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。練習(xí)一將情境2中的數(shù)列通項(xiàng)公式直接展示給學(xué)生，求解關(guān)于項(xiàng)的問題，直接而強(qiáng)有力地讓學(xué)生感受到通項(xiàng)公式對數(shù)列取值規(guī)律的精確刻畫。練習(xí)二的設(shè)計(jì)不僅是將數(shù)學(xué)史融入豐富的課堂內(nèi)容中，更是借鑒與重構(gòu)，從歷史背景中抽象出具體問題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流，通過開展觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納、推理等數(shù)學(xué)活動，感受數(shù)列間的遞推關(guān)系，推導(dǎo)通項(xiàng)公式，提升思維的靈活性和深刻性。

四、總結(jié)與感悟

學(xué)生完成以上幾個任務(wù)，并不意味著他們已經(jīng)完全掌握了數(shù)列概念。概念教學(xué)是一個循序漸進(jìn)的過程，學(xué)生認(rèn)知發(fā)展具有連續(xù)性、發(fā)展性、差異性等特點(diǎn)。因此，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)任務(wù)時要注重教學(xué)環(huán)節(jié)的環(huán)環(huán)相扣，不斷夯實(shí)基礎(chǔ)，鞏固提升。

從某種程度上講，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，通過思維活動，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動的成果，同時發(fā)展個體的數(shù)學(xué)思維。高中生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教師教學(xué)研究的中心，而數(shù)學(xué)思維發(fā)展的規(guī)律對數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義。

相比傳統(tǒng)教學(xué)，任務(wù)導(dǎo)向不僅注重培養(yǎng)學(xué)生對知識的掌握，還注重學(xué)生的學(xué)習(xí)方法與能力及數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展，在一定程度上影響了“教”和“學(xué)”的方式，主要體現(xiàn)在以下三點(diǎn)。

第一，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了改變，改變了傳統(tǒng)教學(xué)中以教師講為主，學(xué)生聽、做筆記的狀態(tài)。教師創(chuàng)設(shè)的情境，使學(xué)生對概念的生成有一個分析、歸納、概括、數(shù)學(xué)表達(dá)和辨析的過程，在過程中建立對概念清晰、準(zhǔn)確的認(rèn)識，感受概念的發(fā)生、發(fā)展過程，促進(jìn)學(xué)生主動地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

第二，提升學(xué)生解決問題的能力，通過任務(wù)驅(qū)動學(xué)生循序漸進(jìn)的發(fā)展，思考任務(wù)，完成任務(wù)，完成預(yù)定教學(xué)目標(biāo)的學(xué)習(xí)，層層遞進(jìn)式推進(jìn)教學(xué)，也符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。

第三，對教師提出更高要求，轉(zhuǎn)變教的方法。教師教學(xué)前要做好充分的準(zhǔn)備，以便課堂上更好地給學(xué)生傳授知識，避免出現(xiàn)“滿堂灌”的現(xiàn)象，教師在課中、課后要及時對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)追蹤。

（作者單位：江蘇省沙溪高級中學(xué)）

編輯：趙文靜