展佳 孫蘭
注:本文系蘇州市“十四五”規(guī)劃課題“基于優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的任務(wù)設(shè)計(jì)實(shí)踐研究”(項(xiàng)目編號:2022/LX/02/154/03)的研究成果。
作者簡介:展佳(1994—),女,漢族,江蘇太倉人,本科,中學(xué)二級,研究方向:高中數(shù)學(xué)。
孫蘭(1979—),女,漢族,江蘇太倉人,本科,中學(xué)高級,研究方向:高中數(shù)學(xué)。
在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教學(xué)過程多是由教師講解,學(xué)生被動接受信息。但從反饋回來的結(jié)果可以看到,課堂教學(xué)被局限在固定的模式中,學(xué)生的成績“不增反減”,思維品質(zhì)“停滯不前”,學(xué)生徹底成為課堂中的“木偶人”。針對這種情況,筆者嘗試將任務(wù)型教學(xué)融入課堂環(huán)境中,包括情境導(dǎo)學(xué)任務(wù)、驅(qū)動任務(wù)、作業(yè)任務(wù)等,不同任務(wù)的形式雖然有所差別,但核心依舊是圍繞學(xué)生,通過師生交流、生生交流,讓學(xué)生切實(shí)參與課堂,感受知識的發(fā)生、發(fā)展過程,最終使學(xué)生的思維品質(zhì)得到良好發(fā)展,為他們的成長打好基礎(chǔ)。
“數(shù)列的概念”是2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二第四章“數(shù)列”第一節(jié)第1課時內(nèi)容。作為章首課,“數(shù)列的概念”和“通項(xiàng)公式”在學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用。一方面,在數(shù)列概念的歸納、提煉過程中蘊(yùn)含著函數(shù)思想,通過學(xué)習(xí)數(shù)列,深化完善函數(shù)模型。另一方面,本節(jié)課也是學(xué)習(xí)后面等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)。但是在實(shí)際教學(xué)中,教師和學(xué)生往往忽視數(shù)列概念的形成過程及對概念內(nèi)涵的理解,更關(guān)注于后面的實(shí)際應(yīng)用,使得學(xué)生對數(shù)列的本質(zhì)“知其然而不知其所以然”。本節(jié)課,筆者設(shè)計(jì)了三個學(xué)習(xí)任務(wù),圍繞數(shù)列概念的教學(xué)進(jìn)行了精心設(shè)計(jì)與實(shí)踐,獲得了一定成效。
一、導(dǎo)入任務(wù),創(chuàng)設(shè)情境,經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程,培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性
請根據(jù)下面4個情境,回答問題。
情境1:傳說古希臘畢達(dá)哥斯拉學(xué)派的數(shù)學(xué)家在研究數(shù)的時候,喜歡用沙灘上的小石子表示數(shù)。石子能夠擺成不同的幾何形狀,就產(chǎn)生了一系列有形狀的數(shù),如三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)等。請從小到大依次寫出沙灘上的三角形數(shù)。
情境2:古語有云,“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”。若將起始長度理解為一個單位,那么每天所剩的長度依次為■,■,■,■……
情境3:從1984年至今,我國參加奧運(yùn)會各次參賽獲得的金牌總數(shù)依次為15,5,16,16,28,32,51,38,26,38。
情境4:-■的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪……依次排列成一列數(shù):-■,■,-■,■……
問題1:上面4個例子中的數(shù)據(jù),在排列上具有怎樣的共同特征?
學(xué)生經(jīng)過自主探究,還不能解決這個問題。這時教師可以順勢引導(dǎo),拋出問題:如果任意改變數(shù)據(jù)的位置,還能不能表示相同含義?
此時學(xué)生一致認(rèn)為,這四列數(shù)的排序都是有順序的,不能隨意改變位置,此時教師給出數(shù)列的概念,板書并強(qiáng)調(diào)有序性。
問題2:(1)情境1中數(shù)列1,3,6,10與數(shù)列1,6,
3,10一樣嗎?
(2)小明在高一階段的4次大型考試中成績排名分別為1,1,1,1,請問這組數(shù)據(jù)是數(shù)列嗎?你還能結(jié)合生活實(shí)際,給出一些數(shù)列的例子嗎?
(3)數(shù)列的概念與我們之前學(xué)習(xí)的集合概念有何區(qū)別與聯(lián)系?
隨著學(xué)生的思考交流,以上問題接連解決。學(xué)生能從有序性和互異性兩個角度厘清數(shù)列和集合的區(qū)別,充分認(rèn)識到數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù),這些數(shù)可以相同,也可以不同,只要具備明確的意義。
師:數(shù)列中的每個數(shù)都稱為數(shù)列的項(xiàng),排在第一個位置上的數(shù),我們稱它為該數(shù)列的第一項(xiàng)(或首項(xiàng)),記作a1,排在第二個位置上的數(shù),我們稱它為該數(shù)列的第二項(xiàng),記作a2,以此類推,第n個位置上的數(shù),我們稱它為該數(shù)列的第n項(xiàng),記作an。由此,大家能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?
生1:一個數(shù)列中的每項(xiàng)都有一個位置序號與它一一對應(yīng)。
師:非常好,根據(jù)這種對應(yīng)關(guān)系,我們可以把數(shù)列寫成a1,a2,a3,…,an,簡寫為an。
學(xué)習(xí)和創(chuàng)造都離不開思維,思維是發(fā)展智力和能力的核心。因此,在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)是課堂教學(xué)的重要任務(wù)之一。在教學(xué)過程中,教師對教學(xué)策略的自控能對數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)起到積極作用,通過創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,引導(dǎo)學(xué)生往正確的思路上走,幫助學(xué)生解決思維沖突,及時總結(jié)規(guī)律、方法和技能。任務(wù)一中的四個情境不僅涉及歷史悠久的問題,還貼近我們的生活實(shí)際,在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時,更容易引起學(xué)生的共鳴,引導(dǎo)學(xué)生共同觀察、分析、總結(jié)歸納出數(shù)列的概念,從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。
二、驅(qū)動任務(wù),探索新知,感受數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延,培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性
請同學(xué)們將剛剛的幾組數(shù)列分別填入表1,并思考下面幾個問題:
問題3:對于這些豐富的數(shù)列,如何進(jìn)行分類?
問題4:項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)之間的“一一對應(yīng)”與之前哪個概念是一致的?
表1
■
起初,學(xué)生的分類五花八門,缺乏整體性和科學(xué)性,但在教師的引導(dǎo)下,很快能聯(lián)想到從項(xiàng)數(shù)和單調(diào)性兩方面來分類,并順利得到表2。
表2
■
通過完成表1,學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)項(xiàng)數(shù)n和項(xiàng)an之間存在一一對應(yīng)關(guān)系,聯(lián)想到之前學(xué)習(xí)的函數(shù)概念,發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。
問題5:數(shù)列是一種特殊的函數(shù),我們可以借助函數(shù)的研究路徑研究數(shù)列。一起回憶一下,我們研究了函數(shù)的哪些方面?
生2:定義域、值域、單調(diào)性。
生3:表示方法,最值,一些特殊函數(shù)的性質(zhì)。
師:數(shù)列的定義域,值域是什么?
生4:正整數(shù)集和實(shí)數(shù)集。
師:非常好!我們可以將數(shù)列理解為從正整數(shù)集N或其有限子集到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)。
問題6:函數(shù)有三種表示方法——列表法、圖象法、解析式法。請同學(xué)們嘗試用三種表示方法表示情境2中的數(shù)列。
學(xué)生很快完成列表,但在作圖過程中,部分學(xué)生先描點(diǎn)再連線,此時教師可以適時追問:數(shù)列的定義域是什么?可以連線嗎?學(xué)生恍然大悟,數(shù)列的圖象是由一些孤立的點(diǎn)構(gòu)成。所謂的函數(shù)解析式,在數(shù)列中稱為通項(xiàng)公式,用來刻畫數(shù)列中第n項(xiàng)an與它的序號n之間的關(guān)系,如情境2:an=■■
問題7:你能用3種表示方法來表示情境3、情境4中的數(shù)列嗎?
學(xué)生梳理知識點(diǎn),數(shù)列是一種特殊的函數(shù),其圖象具有離散型,以及不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式。
教師在課堂中要根據(jù)學(xué)生層次設(shè)置問題串,搭建思維階梯,引導(dǎo)學(xué)生思考、感受知識的內(nèi)涵與外延,從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)。任務(wù)二就是通過問題串形式,引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系函數(shù)概念,揭示數(shù)列是一種特殊函數(shù),從而類比函數(shù),構(gòu)建數(shù)列的研究路徑:事實(shí)—概念—表示—性質(zhì)—特殊數(shù)列。在獨(dú)立探究和小組合作中感受數(shù)列的三種表示方法,讓學(xué)生從表和圖中觀察該數(shù)列的圖象特征,數(shù)列的項(xiàng)隨序號變化出現(xiàn)的特點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列圖象的離散以及它的單調(diào)性。
三、檢測任務(wù),評價反饋,重視數(shù)學(xué)概念與其他相關(guān)知識的聯(lián)系,培養(yǎng)思維的靈活性與發(fā)散性
練習(xí)一:已知情境2通項(xiàng)公式an=■■
(1)求第5天的剩余量是多少?
(2)是否存在■的剩余量?為什么?
練習(xí)二:已知情境1沙灘上的三角形數(shù)前4項(xiàng)為1,3,6,10。
(1)寫出第5項(xiàng)、第6項(xiàng)、第100項(xiàng)。
(2)寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式。
(3)你覺得我們還能研究哪些問題?
學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)還需要教師在課堂上給予時間和空間。尤其是課上的習(xí)題處理,應(yīng)該給予學(xué)生充分的時間和話語權(quán)進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。練習(xí)一將情境2中的數(shù)列通項(xiàng)公式直接展示給學(xué)生,求解關(guān)于項(xiàng)的問題,直接而強(qiáng)有力地讓學(xué)生感受到通項(xiàng)公式對數(shù)列取值規(guī)律的精確刻畫。練習(xí)二的設(shè)計(jì)不僅是將數(shù)學(xué)史融入豐富的課堂內(nèi)容中,更是借鑒與重構(gòu),從歷史背景中抽象出具體問題,引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流,通過開展觀察、猜想、驗(yàn)證、歸納、推理等數(shù)學(xué)活動,感受數(shù)列間的遞推關(guān)系,推導(dǎo)通項(xiàng)公式,提升思維的靈活性和深刻性。
四、總結(jié)與感悟
學(xué)生完成以上幾個任務(wù),并不意味著他們已經(jīng)完全掌握了數(shù)列概念。概念教學(xué)是一個循序漸進(jìn)的過程,學(xué)生認(rèn)知發(fā)展具有連續(xù)性、發(fā)展性、差異性等特點(diǎn)。因此,教師在設(shè)計(jì)教學(xué)任務(wù)時要注重教學(xué)環(huán)節(jié)的環(huán)環(huán)相扣,不斷夯實(shí)基礎(chǔ),鞏固提升。
從某種程度上講,數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)上就是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下,通過思維活動,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思維活動的成果,同時發(fā)展個體的數(shù)學(xué)思維。高中生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)教師教學(xué)研究的中心,而數(shù)學(xué)思維發(fā)展的規(guī)律對數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義。
相比傳統(tǒng)教學(xué),任務(wù)導(dǎo)向不僅注重培養(yǎng)學(xué)生對知識的掌握,還注重學(xué)生的學(xué)習(xí)方法與能力及數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展,在一定程度上影響了“教”和“學(xué)”的方式,主要體現(xiàn)在以下三點(diǎn)。
第一,學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了改變,改變了傳統(tǒng)教學(xué)中以教師講為主,學(xué)生聽、做筆記的狀態(tài)。教師創(chuàng)設(shè)的情境,使學(xué)生對概念的生成有一個分析、歸納、概括、數(shù)學(xué)表達(dá)和辨析的過程,在過程中建立對概念清晰、準(zhǔn)確的認(rèn)識,感受概念的發(fā)生、發(fā)展過程,促進(jìn)學(xué)生主動地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。
第二,提升學(xué)生解決問題的能力,通過任務(wù)驅(qū)動學(xué)生循序漸進(jìn)的發(fā)展,思考任務(wù),完成任務(wù),完成預(yù)定教學(xué)目標(biāo)的學(xué)習(xí),層層遞進(jìn)式推進(jìn)教學(xué),也符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。
第三,對教師提出更高要求,轉(zhuǎn)變教的方法。教師教學(xué)前要做好充分的準(zhǔn)備,以便課堂上更好地給學(xué)生傳授知識,避免出現(xiàn)“滿堂灌”的現(xiàn)象,教師在課中、課后要及時對學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)追蹤。
(作者單位:江蘇省沙溪高級中學(xué))
編輯:趙文靜