利用數(shù)學(xué)技巧處理斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)

作者簡(jiǎn)介：陳婧（1991—），女，漢族，江蘇鹽城人，本科，中小學(xué)二級(jí)，高中物理教師，研究方向：物理教學(xué)。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律和解題思路，理解平拋運(yùn)動(dòng)的概念、特點(diǎn)及三種基本模型的解題思路。

2.讓學(xué)生自主總結(jié)平拋運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)使用數(shù)學(xué)技巧處理斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)，理解斜面角度與運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系，提高學(xué)生自主歸納知識(shí)和總結(jié)梳理的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

3.通過(guò)小組合作探究，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度、團(tuán)隊(duì)合作與創(chuàng)新的意識(shí)。

二、教學(xué)重點(diǎn)

理解平拋運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)及解題思路；利用數(shù)學(xué)技巧處理斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)。

三、教學(xué)難點(diǎn)

將平拋運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)運(yùn)用到三種模型中去解決相關(guān)問(wèn)題。了解斜面傾角、初速度、拋出點(diǎn)高度等因素對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)軌跡的影響。

四、教材分析

本節(jié)知識(shí)是高一物理必修二的內(nèi)容，為了提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，特意把平拋運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)和三種常用的模型放在一起進(jìn)行講解，讓學(xué)生理解平拋運(yùn)動(dòng)的基本概念和規(guī)律。然后再逐個(gè)講解相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)先有整體上的認(rèn)識(shí)，從而學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)技巧處理斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)，包括三角函數(shù)、解析幾何等。

五、學(xué)情分析

高一年級(jí)的學(xué)生具有一定的理論推導(dǎo)能力，且之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)直線運(yùn)動(dòng)，這節(jié)課的基本方法也就是化曲為直，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度不大，通過(guò)以小組為合作單位，學(xué)生可以在互相幫助中完成學(xué)習(xí)目標(biāo)。

六、教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)一：課堂導(dǎo)入（5分鐘）

師：同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了平拋運(yùn)動(dòng)的基本概念和規(guī)律，今天我們將學(xué)習(xí)如何利用數(shù)學(xué)技巧處理斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)。那么大家能否簡(jiǎn)單描述一下平拋運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)呢？

生：平拋運(yùn)動(dòng)是指物體以一定的初速度沿水平方向拋出，在重力的作用下沿著曲線軌跡運(yùn)動(dòng)。其軌跡是一段拋物線，初速度越大，飛行距離越遠(yuǎn)。

師：非常好，那么今天我們要學(xué)習(xí)如何利用數(shù)學(xué)技巧處理斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)。首先，我們來(lái)探討一下斜面上平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

（設(shè)計(jì)意圖：溫故而知新。這一環(huán)節(jié)既是對(duì)之前所學(xué)知識(shí)的鞏固，又為新知識(shí)的學(xué)習(xí)做了一定的鋪墊，貼合學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，有利于提高學(xué)生的上課效率，從而激發(fā)學(xué)生的物理學(xué)習(xí)熱情和探究欲望。）

環(huán)節(jié)二：新課講解（20分鐘）

師：對(duì)于斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)，我們可以將其分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)。要解決這類(lèi)問(wèn)題，我們需要使用一些數(shù)學(xué)技巧，如我們?cè)诔踔袝r(shí)就學(xué)過(guò)的三角函數(shù)和解析幾何，大家還有印象嗎？

生（齊）：有。

師：首先，三角函數(shù)的應(yīng)用：在處理斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們需要使用角度和長(zhǎng)度之間的關(guān)系。例如，我們知道角度的正切值等于位移與速度的比值。通過(guò)這個(gè)關(guān)系，我們可以找到物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。其次，解析幾何的應(yīng)用：解析幾何是一種用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的方法。在處理斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們可以使用解析幾何的方法來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。例如，我們可以使用參數(shù)方程來(lái)表示物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，其中參數(shù)可以是時(shí)間、速度等。

生：老師，我明白了，但是我還是不太清楚如何具體應(yīng)用這些數(shù)學(xué)技巧來(lái)處理問(wèn)題。

師：沒(méi)關(guān)系，接下來(lái)我們看一個(gè)具體的例子，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)進(jìn)一步理解如何使用數(shù)學(xué)技巧處理斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)。

（設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)通過(guò)引入數(shù)學(xué)技巧，有助于增加學(xué)生的思維深度，開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，提高學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力。）

環(huán)節(jié)三：探索規(guī)律（15分鐘）

師：（如圖1）假設(shè)有一個(gè)斜面，其傾斜角為θ，一個(gè)物體從該斜面的頂端以一定的初速度水平拋出。我們要找出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡和落地點(diǎn)離斜面的距離，該怎么求？

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圖1

生：我們可以將這個(gè)問(wèn)題分解為水平方向和豎直方向的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)。在水平方向上，物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)；在豎直方向上，物體做自由落體運(yùn)動(dòng)。

師：對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，我們經(jīng)常會(huì)和斜面結(jié)合起來(lái)，求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是挖掘其中隱含的幾何關(guān)系，常見(jiàn)的模型有：順著斜面平拋和對(duì)著斜面平拋。大家都見(jiàn)過(guò)滑雪吧？滑雪時(shí)經(jīng)常是從一個(gè)山坡騰空而起最后落到斜面上，這樣的問(wèn)題里，落地的時(shí)間、位移和速度該如何計(jì)算呢？

這個(gè)問(wèn)題可以抽象來(lái)看，考慮有一個(gè)足夠長(zhǎng)的斜面，傾斜角為θ，物體從斜面上某點(diǎn)以初速度v0平拋出去，最后落到斜面上，求物體在空中的時(shí)間t，位移s和落地速度v。這個(gè)和之前的垂直落到地面上不同，水平位移和豎直位移都是未知的，但是知道水平位移和豎直位移的關(guān)系，只要這個(gè)人或者物體可以落在斜面上，那么他們的位移方向就是相同的，也就是說(shuō)位移偏轉(zhuǎn)角都等于底角θ，那么我們的方法就是分解位移，水平方向上的位移即x=v0 t，豎直方向的位移即y=1/2gt2，那么位移偏轉(zhuǎn)角的正切值tanθ=y/x，由此可得：t=2v0tanθ/g。（其中，g是重力加速度）也就是說(shuō)，只要人或者物可以落在斜面上，那么時(shí)間t和小球平放的初速度v0是成正比的。除了這個(gè)位移方向相同，很顯然速度和水平方向的夾角也是相同的，因?yàn)樗俣绕D(zhuǎn)角的正切值是位移偏轉(zhuǎn)角正切值的2倍，進(jìn)而我們可以推出速度和斜面之間的夾角也是相同的，也就是說(shuō)所有速度方向都平行。（如圖2所示）

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圖2

第二種是對(duì)著斜面平拋。最?？嫉囊话闶谴怪贝蛟谛泵嫔希敲次覀兊姆椒ň褪欠纸馑乃俣龋核椒较虻膙x=v0，豎直方向的vy=gt，tanθ=v0 /gt，由此可得：t=v0 /gtanθ。（其中，g是重力加速度）

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圖3

第三種是切入斜面。這個(gè)斜面的傾角就是速度偏角。水平方向的速度vx=v0，豎直方向的速度vy=gt，合速度v=■=vy /vx，由tanθ=vy/v0=gt/v0可得：t=v0tanθ/g。（其中，g是重力加速度）

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圖4

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)畫(huà)圖，讓學(xué)生觀察，從而將之前學(xué)習(xí)過(guò)的相關(guān)數(shù)學(xué)解題方法和思路自然地引進(jìn)來(lái)，幫助學(xué)生更好地得出斜面上平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，同時(shí)便于其輕松解決物理問(wèn)題。）

環(huán)節(jié)四：鞏固提高

例1：［2018全國(guó)三卷，17，6分］在一斜面頂端，將甲、乙兩個(gè)小球分別以v和v/2的速度沿同一方向水平拋出，兩球都落在該斜面上。甲球落至斜面時(shí)的速率是乙球落至斜面時(shí)速率的（? ）

A.2倍

B.4倍

C.6倍

D.8倍

師：誰(shuí)來(lái)幫大家分析一下這道題的解題思路？

生：這個(gè)題的關(guān)鍵是已經(jīng)落在了斜面上，也就是說(shuō)位移方向都是相同的，那它速度的偏轉(zhuǎn)角也是一樣的，我們就可以把速度分解為水平方向和豎直方向，那么乙的初速度是甲的一半，乙的合速度也應(yīng)該是甲的一半，所以甲落到斜面上的速度是乙落到斜面時(shí)的2倍。因此，選擇A。

師：有沒(méi)有不同的意見(jiàn)？大家都聽(tīng)懂了嗎？

生（齊）：聽(tīng)懂了。

師：好，那么我們接著看第二題。

例2：（2016·沈陽(yáng)一模）如圖5所示，斜面固定在水平面上，兩個(gè)小球分別從斜面底端O點(diǎn)正上方A、B兩點(diǎn)向右水平拋出，B為AO連線的中點(diǎn)，最后兩球都垂直落在斜面上，A、B兩球擊中斜面位置到O點(diǎn)的距離之比為（? ）

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圖5

A.■∶1 B.2∶1

C.4∶■ D.4∶1

師：這是一道平拋與斜面組合題，大家看完題后有什么好的思路請(qǐng)說(shuō)一說(shuō)。

生：我用的是幾何方法，利用速度、位移與x方向夾角的正切值成2∶1關(guān)系，得出相似三角形，最后得出B答案。

生：我借助三角函數(shù)和一次函數(shù)解出來(lái)也是2∶1。

師：看來(lái)大家都認(rèn)真思考了，真不錯(cuò)！這種好的學(xué)習(xí)狀態(tài)繼續(xù)保持！根據(jù)剛才的計(jì)算結(jié)果和數(shù)學(xué)模型，同學(xué)們已經(jīng)成功得出了斜面上平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律以及解題方法?，F(xiàn)在我們來(lái)總結(jié)一下本節(jié)課的內(nèi)容。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)歷年的典型試題引導(dǎo)學(xué)生積極思考、大膽探究，從而鍛煉學(xué)生的物理觀察能力、分析能力和歸納能力，進(jìn)一步鞏固和加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的理解。）

環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)及作業(yè)

課堂小結(jié)：本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了利用數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)以及圓的知識(shí)來(lái)解決斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)，誰(shuí)能給大家說(shuō)說(shuō)你有什么收獲？

生：對(duì)于斜面上的平拋運(yùn)動(dòng)這種問(wèn)題，如果是垂直打到斜面上，我們一般可以通過(guò)分解速度、構(gòu)建速度矢量三角形的方法來(lái)解決；如果是落回斜面上，就是先分解位移，然后構(gòu)建位移矢量三角形。

生：若想求初速度或者高，可以先設(shè)置未知數(shù)，根據(jù)物體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)，分別在垂直和豎直方向、沿斜面方向列出表達(dá)式，從而建立三元一次方程組來(lái)使問(wèn)題迎刃而解。

作業(yè)：請(qǐng)大家課后收集一些生活中有關(guān)平拋運(yùn)動(dòng)的例子，下節(jié)課在課堂上分享。

（設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生形成系統(tǒng)的物理知識(shí)體系，加深學(xué)生對(duì)斜面上平拋運(yùn)動(dòng)的理解，同時(shí)也能夠提高學(xué)生收集信息與整理歸納的能力，幫助學(xué)生養(yǎng)成勤于思考的好習(xí)慣。）

七、教學(xué)反思

首先在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我通過(guò)多媒體課件播放生活中常見(jiàn)的滑雪現(xiàn)象，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到什么是平拋運(yùn)動(dòng)，在學(xué)習(xí)平拋運(yùn)動(dòng)的基本概念時(shí)，我通過(guò)展示實(shí)物和圖片使學(xué)生感知到生活處處有物理，進(jìn)而也激發(fā)了學(xué)生的物理學(xué)習(xí)興趣。

其次，在學(xué)習(xí)斜面上平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律時(shí)，我通過(guò)帶領(lǐng)大家觀察，讓他們思考、討論，從而進(jìn)一步理解斜面平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。在總結(jié)斜面平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律和解題方法時(shí)，我通過(guò)具體的例題讓學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)，從而進(jìn)一步提升他們的學(xué)習(xí)能力。

最后，在課堂鞏固和提高環(huán)節(jié)，學(xué)生親自動(dòng)手觀察和分析，從而更好地鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)。同時(shí)通過(guò)小組合作提高學(xué)生的物理學(xué)習(xí)熱情以及團(tuán)隊(duì)合作能力和探究能力，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到物理知識(shí)的魅力。在今后的物理教學(xué)中，我還需要進(jìn)一步做好教學(xué)反思，認(rèn)真鉆研新的教學(xué)方法，從而幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)物理，激發(fā)他們的物理學(xué)習(xí)興趣。

（作者單位：江蘇省南京市雨花臺(tái)中學(xué)）

編輯：趙飛飛