基于隨機微分方程的易逝性高科技產(chǎn)品更新時機研究

魯 芳，王 芹，張 蓓

（1.中南林業(yè)科技大學(xué)智慧物流技術(shù)湖南省重點實驗室；2.中南林業(yè)科技大學(xué)物流與交通學(xué)院，湖南長沙 410004）

易逝性高科技產(chǎn)品的更新?lián)Q代既可以使得高新技術(shù)生產(chǎn)企業(yè)保持優(yōu)勢，又能夠用作獲得市場先機的手段。但高新技術(shù)生產(chǎn)企業(yè)換代過快會使消費者產(chǎn)生逆反心理，減弱消費者對易逝性高科技產(chǎn)品的忠誠度，從而影響了企業(yè)產(chǎn)品的銷售，無規(guī)則的更新?lián)Q代更會加大這種效應(yīng)。例如，在2019年iPhone11系列產(chǎn)品的推出，打破了蘋果公司史上季度最高出貨量，由于蘋果公司更新時機的問題，然而在2020年第一季度iPhone12的出貨量降幅達到10%。由此可見，企業(yè)要科學(xué)有效地規(guī)劃易逝性高科技產(chǎn)品的更新迭代。對于高新技術(shù)生產(chǎn)企業(yè)來說，投放于市場中易逝性高科技產(chǎn)品更新時機是企業(yè)進行科學(xué)更新迭代的關(guān)鍵一環(huán)，它對于易逝性高科技產(chǎn)品過時程度的把握和新產(chǎn)品的銷售具有重要影響，合適的更新時機可以平衡科技研發(fā)投入與產(chǎn)出的關(guān)系，更好地確定換代產(chǎn)品投放的大致時間，鞏固高新技術(shù)生產(chǎn)企業(yè)的市場份額，同時獲得長期利潤。因此，伴隨著互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù)的發(fā)展與成熟，高科技產(chǎn)品短暫的生命周期特性加之產(chǎn)品價值易逝的產(chǎn)品特性，高新技術(shù)生產(chǎn)企業(yè)要慎重考慮正在使用的易逝性高科技產(chǎn)品的更新時機問題，以搶占市場先機，避免更新?lián)Q代過快而產(chǎn)生的“泛替代障礙”問題，減少高新技術(shù)生產(chǎn)企業(yè)經(jīng)營的不確定性。

1 文獻述評

易逝性高科技產(chǎn)品的更新?lián)Q代問題已引起國內(nèi)外學(xué)者的高度關(guān)注。目前從易逝性與高新技術(shù)性的研究出發(fā)，在更新期、生命周期以及更新時機等3個方面細致分析，探討了更新?lián)Q代策略、企業(yè)收益管理以及庫存策略等相關(guān)問題，例如王永朵等[1]和包寧等[2]基于更新期對易逝性高科技產(chǎn)品的模糊更新策略進行了研究，官振中等[3]從易逝性高科技產(chǎn)品更新期的角度研究企業(yè)收益最大化時易逝性高科技產(chǎn)品最優(yōu)定價策略，徐飛[4]基于產(chǎn)品的更新期探討新產(chǎn)品的最佳庫存策略問題；Bass[5]則從易逝性高科技產(chǎn)品生命周期的角度進行研究，分析了易逝性高科技產(chǎn)品的特殊之處，提出了擴散和替代模型。劉靚晨等[6]和楊勇等[7]進一步研究易逝性高科技產(chǎn)品的成長期、衰退期的更新?lián)Q代策略。G?k?e等[8]和徐杰等[9]基于電子產(chǎn)品生命周期角度就回收時機對回收率的影響以及回收價格的影響分別進行探討；在對易逝性高科技產(chǎn)品更新時機的研究方面，趙曉旻等[10]和Huang等[11]探討了在合適的時機推出新產(chǎn)品以避免過早推出造成自噬效應(yīng)或過遲而延誤最佳銷售時機問題，但未進行定量分析新產(chǎn)品的最佳更新時機。雖然關(guān)于易逝性高科技產(chǎn)品更新?lián)Q代問題的研究取得了一些顯著成果，但是對于更新時機問題的解決，有的學(xué)者只是從新產(chǎn)品的推出時機的角度進行研究，對于正在使用的易逝性高科技產(chǎn)品更新?lián)Q代時機問題還有待進一步探究。

在人們的日常生活和科學(xué)研究中處處充滿了各種確定性或隨機性的現(xiàn)象。隨機微分方程作為研究隨機過程與預(yù)測分析中解決內(nèi)外部隨機因素的一種方法，具有很強的應(yīng)用價值，為時間以及成本的優(yōu)化問題的解決提供了有效研究手段，如李志民等[12]、畢俊娜等[13]用隨機微分方程中的布朗運動刻畫資金以及市場不確定性因素的變化，為金融行業(yè)進行風(fēng)險的控制提供了參考。Deng等[14]利用隨機微分方程構(gòu)建了連續(xù)時間模型，該模型考慮了市場環(huán)境不確定性以及產(chǎn)品的價格，該研究為我國高新技術(shù)企業(yè)的發(fā)展和工程應(yīng)用價值的實現(xiàn)提供了一定參考。以上研究表明最優(yōu)控制理論或方法對于隨機問題的解決具有重要借鑒價值。

鑒于此，本文將隨機控制問題的解決方法與易逝性高科技產(chǎn)品的更新時機問題相結(jié)合，綜合考慮技術(shù)進步與價值易逝等外部因素對易逝性高科技產(chǎn)品更新時機的干擾情況，構(gòu)建技術(shù)進步和價值易逝影響下易逝性高科技產(chǎn)品更新時機波動率模型，為企業(yè)對易逝性高科技產(chǎn)品更新時機進行決策分析時提供一定的參考。

2 問題描述與假設(shè)

對于高新技術(shù)生產(chǎn)企業(yè)來說，易逝性高科產(chǎn)品的更新時機不僅要考慮易逝性高科技產(chǎn)品的性能狀況，還要關(guān)注企業(yè)的技術(shù)進步情況以及價值的易逝程度等外部因素，通過綜合考慮產(chǎn)品的影響因素，才能更精準地預(yù)測易逝性高科技產(chǎn)品更新的最佳更新時機，做到科學(xué)有效地規(guī)劃易逝性高科技產(chǎn)品的更新?lián)Q代。在時機問題的解決方法中，隨機微分方程廣泛應(yīng)用于高新技術(shù)產(chǎn)品使用壽命的問題研究之中。對于時機的控制來說，傳統(tǒng)的微分方程只是解決易逝性高科技產(chǎn)品本身性能情況的更新時機，然而易逝性高科技產(chǎn)品的更新時機還受價值易逝性以及技術(shù)進步等外部因素的共同影響，并且技術(shù)與價值易逝程度對時機的影響具有不穩(wěn)定性。與傳統(tǒng)的微分方程所構(gòu)造的模型相比，隨機微分方程可以綜合考慮易逝性高科技產(chǎn)品性能狀況以及價值與技術(shù)的影響程度，做到更加準確地判斷更新時機。為此，本研究基于隨機微分方程來構(gòu)建易逝性高科技產(chǎn)品更新時機模型預(yù)測易逝性高科技產(chǎn)品的最佳更新時機。此外，為了突出該方法的不同之處，先基于傳統(tǒng)微分方程來解決易逝性高科技產(chǎn)品的時機問題，然后利用隨機過程來解決外部因素對易逝性高科技產(chǎn)品更新時機的影響。最后得到基于隨機微分方程的易逝性高科技產(chǎn)品更新時機模型?；趯ι鲜鰡栴}的分析，此更新問題解決的具體步驟如下：

（1）第一步是基于高新技術(shù)生產(chǎn)企業(yè)對一般產(chǎn)品更新?lián)Q代時機問題的考慮，先集中解決不考慮技術(shù)進步與價值易逝等外部因素干擾下的易逝性高科技產(chǎn)品使用壽命。在產(chǎn)品更新?lián)Q代問題的解決中，由于威布爾分布能夠很好地反映產(chǎn)品的狀態(tài)以及使用時間的情況。由此，易逝性高科技產(chǎn)品壽命問題的解決使用威布爾分布和多項式逼近來構(gòu)建產(chǎn)品使用壽命基準模型。

（2）第二步將易逝性高科技產(chǎn)品的特性融入產(chǎn)品使用壽命基準模型之中，分析技術(shù)性與易逝性等外部因素對易逝性高科技產(chǎn)品更新時機的影響。在此，本文通過將隨機微分方程布朗運動引入到易逝性高科技產(chǎn)品更新時機模型之中，利用隨機過程構(gòu)建外部因素影響下的易逝性高科技產(chǎn)品更新時機波動率模型。由于技術(shù)研發(fā)具有高度的不確定性，使得易逝性高科技產(chǎn)品的技術(shù)進步程度以及價值易逝程度具有隨機性，技術(shù)性與價值易逝性都是外部因素對更新時機的影響。在此為了簡化模型，對易逝性高科技產(chǎn)品更新時機的外部影響強度記為σ，即易逝性高科技產(chǎn)品更新時機波動的強度系數(shù)。綜合上述兩部分得到最終易逝性高科技產(chǎn)品更新時機模型?；谘芯康那榫埃疚淖魅缦录僭O(shè)：

假設(shè)1：易逝性高科技產(chǎn)品的性能狀況基于易逝性高科技產(chǎn)品維護費用進行判斷。

假設(shè)2：借鑒Deng等人[14]研究，技術(shù)進步水平和價值易逝性程度對更新時機的影響程度系數(shù)認為是在一個均值點附近隨機波動，且波動始終是獨立和穩(wěn)定的。

假設(shè)4：技術(shù)性和價值易逝性對易逝性高科技產(chǎn)品更新時機的影響期望為零。

3 基于隨機微分方程的易逝性高科技產(chǎn)品更新時機模型構(gòu)建與分析

3.1 易逝性高科技產(chǎn)品更新時機模型構(gòu)建

3.2 易逝性高科技產(chǎn)品更新時機模型求解與分析

4 案例分析

4.1 案例背景

近年來，蘋果公司在高新技術(shù)行業(yè)處于領(lǐng)先地位。蘋果公司的產(chǎn)品科技含量高、種類繁多以及更新?lián)Q代頻繁，與本研究的高新技術(shù)生產(chǎn)企業(yè)背景相符。因此，從數(shù)據(jù)的可獲得性以及實際問題出發(fā)，以iPad 9內(nèi)存256 GB為研究對象，利用本文所構(gòu)建的易逝性高科技產(chǎn)品更新時機模型對更新時機進行研究以驗證模型的應(yīng)用價值。

4.2 數(shù)據(jù)來源

采購價格來源于蘋果官方網(wǎng)站（https://www.apple.com/shop/iPad），購置后維護費用來源于此網(wǎng)站（http://www.squaretrade.com/pages/iPadreliability-1109），經(jīng)計算后所得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表1所示。

表1 iPad 9性能衰退值

（1）利用MATLAB對上述收集的數(shù)據(jù)進行仿真計算，求得參數(shù)值為同時，為了避免外部因素對易逝性高科技產(chǎn)品更新時機結(jié)果的影響，現(xiàn)將波動強度系數(shù)賦值為 ，下面將對不同波動強度對更新時機的影響進行具體分析，將以上數(shù)據(jù)代入易逝性高科技產(chǎn)品更新時機模型式子（5）從而求得 iPad 9更新時機模型為：

同樣地，將數(shù)據(jù)帶入性能可靠度函數(shù)式子（8）可進一步求得：

（2）借助MATLAB對式（12）和（13）仿真分析，得到結(jié)果如下圖1所示。

圖1 iPad 9的性能可靠度曲線

（3）從圖1中的性能可靠度曲線可以看出，當(dāng)性能可靠度閾值取0.92時，此時iPad 9的使用壽命為2～3年，在此之后iPad 9的性能可靠度出現(xiàn)了急劇下降。基于此可以判定當(dāng)iPad 9性能可靠度閾值低于0.92時，可考慮更換新產(chǎn)品。

（4）為了更清晰地分析高技術(shù)性與價值易逝性等外部因素對易逝性高科技產(chǎn)品更新時機的影響關(guān)系，用MATLAB仿真分析外部因素對易逝性高科技產(chǎn)品更新時機的影響情況，仿真結(jié)果如下圖2所示。

圖2 外部因素對iPad 9更新時機的影響

4.3 案例分析結(jié)果

根據(jù)上述案 例分析得到如下結(jié)果:

（1）根據(jù)圖中曲線可以看出，當(dāng)閾值為0.92時iPad 9的可靠度發(fā)生顯著變化，基于此可得到iPad 9的最佳更新時機為2023—2024年，蘋果公司可選擇此時推出新產(chǎn)品以獲得市場份額。

（2）在前2年的使用時間內(nèi)，iPad 9的性能狀況沒有顯著變化，此研究結(jié)果表明，iPad 9的更新不宜太頻繁；否則，會使得過度更新的情況發(fā)生而導(dǎo)致企業(yè)的利潤受損。

（3）從圖1中曲線可以看出，iPad 9性能可靠度的變化不是一條光滑曲線，而是一條上下波動的曲線，這充分反映了外部因素對iPad 9更新時機的影響波動情況，顯然影響程度取決于波動系數(shù)的大小，企業(yè)可根據(jù)新一代產(chǎn)品的創(chuàng)新程度來判斷易逝性高科技次產(chǎn)品的更新時機。

（4）從圖2可以看出，外部因素影響下的更新時機波動強度系數(shù)σ是一個關(guān)于時間的遞減函數(shù)。同時，外部因素的影響程度越大，產(chǎn)品性能衰退的速度越快，進而導(dǎo)致iPad 9產(chǎn)品的更新時機會越提前，這與式（11）易逝性高科技產(chǎn)品更新時機波動的強度系數(shù)σ與易逝性高科技產(chǎn)品性能狀況變化所反映的關(guān)系相一致。

5 結(jié)論與展望

本文 以易逝性高科技產(chǎn)品為研究對象，從高新技術(shù)生產(chǎn)企業(yè)的角度首先建立了易逝性高科技產(chǎn)品使用壽命模型，而后在此基礎(chǔ)上建立考慮外部因素影響下的易逝性高科技產(chǎn)品更新時機波動率模型，最終確定了易逝性高科技產(chǎn)品更新時機模型，該模型準確地刻畫了易逝性高科技產(chǎn)品性能狀況以及時間的變化關(guān)系，可為企業(yè)在解決易逝性高科技產(chǎn)品的更新時機問題時提供科學(xué)的思路與方法。對于高新技術(shù)生產(chǎn)企業(yè)來說，易逝性高科技產(chǎn)品何時更換的問題，回歸本源還是取決于易逝性高科技產(chǎn)品的性能狀況以及外部因素的干擾程度情況。這一研究結(jié)果表明，企業(yè)可在合適的時機進行更新產(chǎn)品的更新?lián)Q代以充分利用企業(yè)自己的資源和技術(shù)優(yōu)勢，如企業(yè)的新產(chǎn)品創(chuàng)新程度較大且新產(chǎn)品的價格又較低時，可盡早推出新產(chǎn)品加快易逝性高科技產(chǎn)品更新?lián)Q代的步伐，以更換正在使用的產(chǎn)品來獲取收益，同時保持產(chǎn)品在市場上的技術(shù)優(yōu)勢。此外，研究易逝性高科技產(chǎn)品更新時機問題不僅豐富了電子電器產(chǎn)品的生命周期理論，還有 助 于企業(yè)更加準確地了解消費者的需求，同時獲得市場競爭優(yōu)勢，搶占市場先機。本文研究的不足之處在于對更新時機問題的影響因素考慮不夠全面。現(xiàn)實生活中，競爭環(huán)境日益激烈，可進一步探究高新技術(shù)企業(yè)相互競爭時的更新時機。此外，本研究在構(gòu)建模型時未考慮政府的市場監(jiān)管行為對更新時機的影響，下一步可考慮政府補貼或懲罰展開更深入的探究，更好地揭示經(jīng)濟社會中的現(xiàn)象。