大單元視域下的初中函數(shù)結(jié)構(gòu)化教學(xué)

孫 立

（山東省淄博市張店區(qū)第二中學(xué)，山東 淄博 255000）

函數(shù)是以變量的觀點(diǎn)研究現(xiàn)實(shí)世界的一種工具，是反映數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的直觀模型，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有舉足輕重的地位。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和數(shù)學(xué)學(xué)科“大概念”的思考，本文從制約函數(shù)學(xué)習(xí)的因素進(jìn)行剖析，提出了有效的函數(shù)結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略。以大概念為核心，以大單元主題為引領(lǐng)，促進(jìn)教學(xué)內(nèi)容情景化，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識橫向、縱向連接，促進(jìn)學(xué)生思維螺旋式上升，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，優(yōu)化初中數(shù)學(xué)課程改革。

一、制約初中生函數(shù)學(xué)習(xí)能力提升的因素

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)一個非常重要的學(xué)習(xí)模塊，也是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，可是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識是比較困難的，究其原因發(fā)現(xiàn)制約初中生函數(shù)學(xué)習(xí)能力提升的主要因素有以下幾點(diǎn)：

（一）函數(shù)的概念表達(dá)抽象

函數(shù)概念的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了漫長而復(fù)雜的過程，前后大概有200 年的歷史。中學(xué)數(shù)學(xué)課本對函數(shù)的概念采用變量說定義如下：一般的，在一個變化過程中有兩個變量x 和y，如果對于x 的每一個值y 都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么我們就稱y 是x 的函數(shù)。函數(shù)的定義是抽象的，學(xué)生很難理解，如果教學(xué)時對定義不做分析直接給出，這樣會導(dǎo)致學(xué)生對函數(shù)的認(rèn)知僅僅停留在識記層面，對函數(shù)本質(zhì)的理解是很不利的。

（二）函數(shù)教學(xué)的跨度過大

以魯教版數(shù)學(xué)教材為例，函數(shù)內(nèi)容分布在六年級下冊《變量之間的關(guān)系》、七年級上冊《一次函數(shù)》、九年級上冊《反比例函數(shù)》《銳角三角函數(shù)》與《二次函數(shù)》。從七年級到九年級，函數(shù)的學(xué)習(xí)中間斷開了兩年，可是難度卻上了一個大臺階，這些內(nèi)容對于學(xué)生而言是模糊的、抽象的、零散的?？墒墙滩挠植豢赡軐⑦@些函數(shù)湊到一起呈現(xiàn)，畢竟每種函數(shù)所需要的知識儲備是有梯度的。這就導(dǎo)致學(xué)生不僅在學(xué)習(xí)函數(shù)新知時前后知識銜接困難，而且在應(yīng)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題時更加困難。

（三）學(xué)生學(xué)習(xí)的思維局限

函數(shù)是用來刻畫變量之間關(guān)系的一種工具，數(shù)學(xué)中的極值問題、動點(diǎn)問題、存在性問題等等，都是在變化的過程中尋找一個靜態(tài)的瞬間來解決問題，而學(xué)生看到了問題中變化的量卻往往不會想到利用函數(shù)這一工具來解決。這是由于現(xiàn)階段學(xué)生的函數(shù)學(xué)習(xí)重點(diǎn)關(guān)注的是函數(shù)的定義、函數(shù)的圖象性質(zhì)，對于為什么要研究這些函數(shù)、如何去研究、從哪些方面去研究，學(xué)生并沒有理清這些問題的實(shí)質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)生的高階思維得不到很好的培養(yǎng)與發(fā)展。

二、初中數(shù)學(xué)函數(shù)結(jié)構(gòu)化教學(xué)策略

教師該如何幫助學(xué)生深刻地理解函數(shù)的本質(zhì)，提高學(xué)生對函數(shù)的理解與應(yīng)用，這是一個值得關(guān)注和研究的課題。法國數(shù)學(xué)家布爾巴基指出，“數(shù)學(xué)不是研究數(shù)量的，而是研究結(jié)構(gòu)的”。單元結(jié)構(gòu)化教學(xué)就是基于結(jié)構(gòu)化理論的一種教學(xué)方式，它可以將具有共性的一類知識模塊，把其最本質(zhì)的內(nèi)在邏輯關(guān)系抽象出來，將分散、零碎的知識條理化、系統(tǒng)化，幫助學(xué)生形成清晰、完整的知識結(jié)構(gòu)，最終內(nèi)化生成學(xué)生自身的知識體系。筆者在教學(xué)實(shí)踐中，對初中函數(shù)知識模塊進(jìn)行了結(jié)構(gòu)化教學(xué)的嘗試，通過三種課型引導(dǎo)學(xué)生整體建構(gòu)對函數(shù)的認(rèn)知體系，提升思維能力，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

（一）單元起始課——引導(dǎo)學(xué)生抽象和分類

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)得以發(fā)展的基石，但數(shù)學(xué)概念又比較抽象。初中生處于具體形象思維到形式邏輯思維過渡時期，抽象能力還比較弱。遵循《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》對學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)：會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。單元起始課承擔(dān)了兩個重要的任務(wù)：一是采用從特殊到一般的歸納思維，從大量的具體現(xiàn)實(shí)問題情境中讓學(xué)生學(xué)會分析、比較、概括，逐步抽象出對函數(shù)概念的認(rèn)知和理解；二是采用分類的數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生建立有序的學(xué)習(xí)路徑，分門別類地開展函數(shù)的探究與學(xué)習(xí)。

1.抽象函數(shù)概念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的抽象性，即“數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象，得到數(shù)學(xué)的研究對象及其關(guān)系”。這樣的表述不僅強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的研究對象是抽象的，還強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的研究對象是通過對現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象得到的。這意味著數(shù)學(xué)教育要關(guān)注數(shù)學(xué)的抽象，特別要關(guān)注數(shù)學(xué)如何對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系進(jìn)行抽象，如何得到和表達(dá)數(shù)學(xué)的研究對象。

函數(shù)單元起始課需要呈現(xiàn)大量實(shí)際問題，包含行程問題、購物問題、幾何問題、利潤問題、工程問題等等，例如，A、B兩地的路程為900km，求一輛汽車從A到B 地所需時間t（h）與汽車的平均速度v（km/h）之間的關(guān)系式；有一張長方形紙片，長、寬分別為8cm 和6cm，現(xiàn)在長、寬上分別剪去寬為xcm(x<6)的紙條，求剩余部分的面積y 與x 的關(guān)系式；已知某商品每箱盈利10 元，現(xiàn)每天可售出50 箱，如果每箱商品每漲價(jià)1 元，日銷售量就減少2 箱。設(shè)每箱漲價(jià)x 元時（其中x 為正整數(shù)），每天的總利潤為y 元，求y 與x 之間的關(guān)系式，等等。課堂中可以讓學(xué)生進(jìn)行大量的列關(guān)系式的練習(xí)。之所以在這個過程中強(qiáng)調(diào)大量列關(guān)系式的訓(xùn)練，是因?yàn)槊糠N新鮮事物的出現(xiàn)，必須要反復(fù)刺激學(xué)生的感知，學(xué)生有大量的感知積累后，可以發(fā)現(xiàn)這些關(guān)系式中的兩個量是在不斷變化的，在這個變化過程中，對于x 在某一范圍內(nèi)的每一個確定值，y 都有唯一的值與它對應(yīng)。知識不是講會的，而是做會的，所以一定要讓學(xué)生自己做，讓學(xué)生有機(jī)會獨(dú)立面對問題，經(jīng)歷觀察、分析、歸納、抽象等各種思維活動，形成概括概念所需要的素材(舍棄無關(guān)屬性,聚焦關(guān)鍵屬性,得到共同屬性等)，然后定義函數(shù)。學(xué)生獲得函數(shù)的概念后，為了鞏固加深對概念的理解，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對比發(fā)現(xiàn)變量與方程中的未知數(shù)是有區(qū)別的：方程中的未知數(shù)是可以確定具體值的，在對比過程中讓學(xué)生體會方程僅僅是函數(shù)的一個瞬間，從而體會到用函數(shù)研究現(xiàn)實(shí)世界是必然的。

2.將函數(shù)進(jìn)行分類

代數(shù)函數(shù)的分類與代數(shù)式的分類類似，代數(shù)函數(shù)包括有理函數(shù)、無理函數(shù)，有理函數(shù)又包括整式函數(shù)和分式函數(shù)。在義務(wù)教育階段，不研究無理函數(shù)。初中階段主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，其中一次函數(shù)、二次函數(shù)屬于整式函數(shù)，反比例函數(shù)屬于分式函數(shù)。初中階段的函數(shù)是按照從最高次冪的角度進(jìn)行分類的，為了讓學(xué)生更好地體驗(yàn)分類標(biāo)準(zhǔn)，讓學(xué)生對抽取概念時獲得的大量的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行分類，并說明分類標(biāo)準(zhǔn)。

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了方程的分類、不等式的分類，他們具備從最高次冪的角度進(jìn)行分類的思維。將初中涉及到的幾類函數(shù)在解析式層次進(jìn)行分類建構(gòu)，一方面可以幫助學(xué)生梳理初中的函數(shù)類型，另一方面也利于橫向?qū)Ρ群涂v向勾連，在后續(xù)進(jìn)一步分門別類地研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)發(fā)揮重要的作用。當(dāng)學(xué)生了解了初中階段需要學(xué)習(xí)的函數(shù)類型有哪幾種之后，他就會在建立自己的知識結(jié)構(gòu)框架，就會在學(xué)習(xí)新函數(shù)時，不自覺地對比已經(jīng)學(xué)習(xí)過的函數(shù)類型，然后遷移研究方法，從而更好地幫助學(xué)生后續(xù)的函數(shù)學(xué)習(xí)，正所謂“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”。

（二）單元深化課——引導(dǎo)學(xué)生推理和建模

單元深化課要在初步感知函數(shù)概念、類型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步理解函數(shù)的三重表征方法，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；還要能夠通過學(xué)習(xí)建立研究函數(shù)的一般策略，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，通過建構(gòu)數(shù)學(xué)模型學(xué)會應(yīng)用。

1.引導(dǎo)學(xué)生推理

很早以前人類就有了函數(shù)的觀念，只是一直停留在關(guān)系式的層面，直到法國著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)明了平面直角坐標(biāo)系，他用一對有序數(shù)對刻畫點(diǎn)的位置，而有序數(shù)對恰好和函數(shù)定義中的自變量與因變量的一一對應(yīng)關(guān)系吻合起來，于是人們想到把每一組對應(yīng)的自變量和因變量的值列到表格里表達(dá)函數(shù)，函數(shù)的表格法形式就誕生了。之后人們又把自變量和因變量作為有序數(shù)對在平面直角坐標(biāo)系中描出位置，再用平滑的曲線連接起來，就獲得了函數(shù)的圖象。教師順勢拋出問題：函數(shù)的三種表征分別側(cè)重表達(dá)哪些方面？引導(dǎo)學(xué)生對比各自的優(yōu)缺點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)：圖象法的優(yōu)點(diǎn)是直觀，能夠形象地反映出當(dāng)自變量的值變化時函數(shù)值的變化趨勢，所以常用來研究函數(shù)的性質(zhì)和變化趨勢；不足之處是不能準(zhǔn)確地由已知自變量的值求出函數(shù)值。列表法的優(yōu)點(diǎn)是已知表中給出的部分自變量的值時，可以不通過計(jì)算直接查出對應(yīng)的函數(shù)值；不足之處是只能表示出自變量的有限個離散值及其函數(shù)值。解析法的優(yōu)點(diǎn)是全面、準(zhǔn)確、方便，對于自變量在可以取值的范圍內(nèi)任取一個確定的值，都可以通過表達(dá)式計(jì)算求出它的函數(shù)值；不足之處是不夠形象直觀，而且并不是每一個函數(shù)都可寫出它的表達(dá)式。比如心電圖，我們可以畫出它的圖象，但是卻無法用解析式表達(dá)；還有一些函數(shù)表達(dá)式存在，比如y=，但是我們很難描畫出它的圖象。因此在研究函數(shù)時，往往將三種表示方法聯(lián)合運(yùn)用，互相補(bǔ)充。

學(xué)生理解了函數(shù)的三種表征的優(yōu)缺點(diǎn)之后，我們遵循從簡單到復(fù)雜的原則，先研究一次函數(shù)。一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k，b 為常數(shù)，k≠0），教學(xué)中讓學(xué)生任取k 和b 的值得到一個具體的一次函數(shù)，然后列表格并畫圖，全班可獲得50多個一次函數(shù)的圖象，之后教師借助幾何畫板將大家繪制的一次函數(shù)放到一個坐標(biāo)系中，學(xué)生共同觀察發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)的圖象是一條直線，直線從左到右有兩種走向，k>0 上升，k<0 下降，b 決定了直線與y軸的交點(diǎn)位置。通過動手操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)的圖象受到k 和b 的影響。教師繼續(xù)啟發(fā)學(xué)生：從圖象中可以觀察這些規(guī)律，從解析式和表格中你能發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律嗎？在函數(shù)教學(xué)中，通過“形”研究“數(shù)”固然重要，但也不要忽視培養(yǎng)學(xué)生從“數(shù)”的角度觀察，分析、歸納、證明的能力，以此提高學(xué)生的代數(shù)推理他力。在教學(xué)中，要注重函數(shù)思想方法的滲透，因?yàn)楹瘮?shù)思想是解決初中數(shù)學(xué)問題的常用思想，可以有效地解決許多復(fù)雜的問題。

教師要及時將學(xué)生自然生發(fā)的研究過程進(jìn)行提升歸納。學(xué)生歸納的在同一類一次函數(shù)中穩(wěn)定不變的規(guī)律性的東西，稱之為是函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)就是研究它們的性質(zhì)，研究的方法就是系數(shù)討論法和圖象法。比如，研究一次函數(shù)，因?yàn)閗>0 與k<0 有兩種情況，b>0，b<0，b=0 有三種情況，將k 和b 結(jié)合起來，我們總共需要研究六種一次函數(shù)，分別是k>0 且b>0，k>0 且b=0，k>0 且b<0，k<0 且b>0，k<0 且b=0，k<0 且b<0，然后分別從每一類一次函數(shù)中選取具體的例子進(jìn)行研究就可以了。

有了一次函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，再研究其他函數(shù)比如反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生很自然就能考慮到對于解析式，只要分別研究k＞0 和k＜0 兩種情況就能夠分析圖象特點(diǎn)和性質(zhì)。再到學(xué)習(xí)二次函數(shù)的時候，學(xué)生就能順理成章地獨(dú)立剖析二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)的研究方法在各種函數(shù)探究過程中的遷移應(yīng)用。

2.引導(dǎo)學(xué)生建模

一次函數(shù)是初中函數(shù)知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，其知識內(nèi)容與探究方法對后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)具有參考價(jià)值。教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩大數(shù)學(xué)思想：一是對應(yīng)思想，二是數(shù)形結(jié)合思想。其中對應(yīng)思想體現(xiàn)在解析式的列表計(jì)算中，即變量之間的一一對應(yīng)；而數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)在繪圖的過程中，即解析式、坐標(biāo)、點(diǎn)、線四者之間的關(guān)聯(lián)構(gòu)建過程。教學(xué)中還要突出“什么是函數(shù)的性質(zhì)”“如何研究函數(shù)性質(zhì)”等問題，既要注意研究數(shù)學(xué)性質(zhì)的一般思路，又要注意函數(shù)性質(zhì)的特殊性——變化中的規(guī)律性、不變性。研究方法上，要加強(qiáng)通過代數(shù)運(yùn)算和圖象直觀揭示函數(shù)性質(zhì)的引導(dǎo)；要構(gòu)建從具體到抽象、從特殊到一般的過程，歸納概括出精確刻畫單調(diào)性的方法，從而提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng)，提升學(xué)生的抽象思維水平，促使學(xué)生學(xué)會思考，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力?？傊?jīng)過一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生要建構(gòu)起研究函數(shù)的思路和方法，把我研究函數(shù)的思想精髓。

三、單元延伸課——引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用和創(chuàng)新

研究函數(shù)的目的是為了用變化的觀點(diǎn)研究現(xiàn)實(shí)世界，因此教師需注重滲透函數(shù)模型思想，讓學(xué)生學(xué)會構(gòu)建函數(shù)模型，能夠站在數(shù)學(xué)的角度對問題進(jìn)行思考與解決，從而提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力，實(shí)現(xiàn)“三會”的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

1.引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用

函數(shù)是刻畫變量之間關(guān)系的有效數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)實(shí)生活中的許多問題都可以通過建立函數(shù)模型得以解決。函數(shù)的應(yīng)用題已經(jīng)滲透到日常生活的各個方面，比如經(jīng)濟(jì)問題、購買問題、運(yùn)輸問題、信息收費(fèi)問題、水產(chǎn)品加工問題等，因此教師要注重提高學(xué)生利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的能力。

2.引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新

除了已經(jīng)學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，在函數(shù)大家庭中還有很多其他成員，比如腦電波圖、分段函數(shù)，通過單元延伸課讓學(xué)生走近函數(shù)大家庭。函數(shù)大家庭的成員盡管都個性十足，但它們卻能夠和諧相處，因?yàn)樗鼈兌挤从沉撕瘮?shù)隨自變量的變化而變化這一共性。盡管學(xué)生對這些函數(shù)比較陌生，但是通過應(yīng)用建構(gòu)起來的研究函數(shù)的模型，學(xué)生采用系數(shù)討論法和圖象法完全可以描繪圖象并總結(jié)性質(zhì)，然后展開相應(yīng)的研究學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)知識遷移，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。

比如要求學(xué)生設(shè)計(jì)一個方案：用籬笆圍一塊面積為1m2的長方形土地，要求所用籬笆的長度最省。

通過單元起始課、單元深化課、單元延伸課三種課型，開展數(shù)學(xué)函數(shù)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，強(qiáng)調(diào)了函數(shù)知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，探尋結(jié)構(gòu)化的知識體系，重視通性通法的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中從整體上把握函數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容，積累學(xué)習(xí)的一般方法和基本思維經(jīng)驗(yàn)，并遷移到后續(xù)的學(xué)習(xí)中，達(dá)到問題解決的目的。

三、結(jié)語

隨著新課標(biāo)的頒布，核心素養(yǎng)培養(yǎng)的關(guān)注度不斷提高，結(jié)構(gòu)化教學(xué)得到了廣泛應(yīng)用。結(jié)構(gòu)化教學(xué)要求教師在備課過程中一定要站在高位，整體把握教學(xué)內(nèi)容，對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化整合，教師還要引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注知識本身轉(zhuǎn)向關(guān)注知識生成過程中所涉及的研究路徑與方法，運(yùn)用有效的教學(xué)方式幫助學(xué)生形成屬于自身的知識網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)將分散的知識連珠成串、結(jié)串成網(wǎng)的目的，最終達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。