帶有分?jǐn)?shù)階耗散項(xiàng)的Magneto-Micropolar方程組的整體適定性

石婷,張輝

(安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院,安徽 安慶 246133)

1.引言及主要結(jié)果

其中u(u1,u2,u3)表示流體的速度,ω(ω1,ω2,ω3)是微旋轉(zhuǎn)速度場(chǎng),b(b1,b2,,b3)是磁場(chǎng),p(t,x)R表示流體的壓力,μ,κ,σ,χ,ν是各種粘性系數(shù),(u0,ω0,b0)是給定的初始值,且在分布意義下滿足?·u0?·b00.

分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子Λ可以通過(guò)傅里葉變換定義,即

磁場(chǎng)微極流方程組已經(jīng)被許多學(xué)者所研究,ZHANG,YAO與WANG[1]建立了Triebel-Lizorkin空間中三維磁場(chǎng)微極流方程組的正則性準(zhǔn)則.Gala[2]建立了Morrey-Campanto空間中在三維情況下不可壓磁場(chǎng)微極流方程組的正則性準(zhǔn)則.YUAN[3]研究了三維不可壓磁場(chǎng)微極流方程組弱解的正則性準(zhǔn)則和光滑解的爆破準(zhǔn)則.LIU,SUN和MENG[4]證明了在三維情形下帶阻尼的磁場(chǎng)微極流方程組的整體適定性.

磁場(chǎng)微極流方程組是不可壓縮流體力學(xué)方程組中一個(gè)相當(dāng)完整的系統(tǒng).在一定條件下,可以退化成一些經(jīng)典的方程組.如NS方程組(ωb0;χ0),MHD方程組(ω0;χ0)和微極流方程組(b0).由于上述流體模型在數(shù)學(xué)和物理上有很重要的應(yīng)用,數(shù)學(xué)研究者關(guān)于上述流體模型產(chǎn)生了濃厚的興趣,其整體適定性問題受到了廣泛的關(guān)注.對(duì)于MHD方程組的一些結(jié)果可參考文[5-9],微極流方程組的一些結(jié)果可參考文[10-14].對(duì)于二維情形下的磁場(chǎng)微極流方程組(1.1)其適定性問題已經(jīng)得到了廣泛的研究,如Yamazaki[15]利用方程組的特殊結(jié)構(gòu)和Littlewood-Paley分解技術(shù),成功得到了方程組解的整體正則性(σ0).SHANG和WU[16]研究了不同耗散情況下的二維廣義不可壓磁場(chǎng)微極流體方程組的整體正則性.

本文考慮三維情形下帶有分?jǐn)?shù)階耗散項(xiàng)的廣義磁場(chǎng)微極流方程組解的的整體適定性問題.最近,文[17]建立了當(dāng)

時(shí)解的整體適定性.

受到上述研究的啟發(fā),本文通過(guò)對(duì)方程組的結(jié)構(gòu)進(jìn)行細(xì)致分析并結(jié)合能量方法建立了如下的結(jié)論：

5) 加強(qiáng)控制系統(tǒng)的密碼管理，對(duì)操作系統(tǒng)、應(yīng)用軟件、控制設(shè)備等密碼制訂定期更改計(jì)劃。加強(qiáng)口令強(qiáng)度，密碼要求設(shè)置口令長(zhǎng)度至少8位，由非純數(shù)字或字母組成。

定理1.1假設(shè)(u0(x),ω0(x),b0(x))3(R3)且?·u0?·b00,則對(duì)帶有分?jǐn)?shù)階耗散項(xiàng)的磁場(chǎng)微極流方程組

若α ≥則對(duì)任意的T>0,有(u,ω,b)(0,T;H3(R3))是方程組(1.3)唯一的整體解.

注1.1相對(duì)于文[17],本文的微旋度場(chǎng)和磁場(chǎng)沒有耗散項(xiàng),得到的結(jié)果可以看成是文[17]關(guān)于分?jǐn)?shù)階磁場(chǎng)微極流方程解的適定性結(jié)論的一個(gè)補(bǔ)充,即使對(duì)于分?jǐn)?shù)階微極流方程組(b0),定理1.1也是一個(gè)新的結(jié)果.

注1.2為了使計(jì)算簡(jiǎn)便,本文假設(shè)方程組(1.3)中的粘性系數(shù)μχ;κ1,函數(shù)的Lp-范數(shù)用∥·∥Lp表示,Hs-范數(shù)用∥·∥Hs表示.

2.定理1.1的證明

為了獲得更高的能量估計(jì),需要如下的交換子估計(jì)[18]:

引理2.1令s>0,1

其中q1,p2(1,∞)和p1,q2[1,∞]且滿足

定理1.1的證明證明分成三步,第一步是對(duì)(u,ω,b)做H1估計(jì);第二步是對(duì)(u,ω,b)做H2估計(jì);第三步是對(duì)(u,ω,b)做H3估計(jì).為了簡(jiǎn)便,令α

第一步：為了獲得H1-估計(jì),首先做L2估計(jì),將方程組(1.3)的第一個(gè)方程乘上u,第二個(gè)方程乘上ω,第三個(gè)方程乘上b,在R3上積分,并結(jié)合分部積分方法,有

其次,對(duì)(u,ω,b)做H1-估計(jì),將方程組(1.3)的第一個(gè)方程乘上?u,第二個(gè)方程乘上?ω,第三個(gè)方程乘上?b,在R3上積分,并通過(guò)分部積分得到

下面利用?·u0,并結(jié)合H?lder不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,Young不等式等對(duì)(2.6)式右邊分別進(jìn)行逐項(xiàng)估計(jì)

聯(lián)立上面所有的結(jié)果代入(2.6),有

第二步:H2-估計(jì),用算子?作用于方程組(1.3)的前三個(gè)方程,然后將方程組(1.3)的第一個(gè)方程乘上?u,第二個(gè)方程乘上?ω,第三個(gè)方程乘上?b,在R3上積分,并通過(guò)分部積分有

利用引理2.1,并結(jié)合H?lder不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,Young不等式等對(duì)(2.12)式右邊分別進(jìn)行逐項(xiàng)估計(jì)

綜合上面的各項(xiàng)估計(jì),代入(2.12)可得

第三步:H3-估計(jì),用算子??作用到方程組(1.3)的前三個(gè)方程,然后將方程組(1.3)的第一個(gè)方程乘上??u,第二個(gè)方程乘上??ω,第三個(gè)方程乘上??b,在R3上積分,并通過(guò)分部積分得到

注意到?·u0,利用引理2.1,并結(jié)合H?lder不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,Young不等式等對(duì)(2.20)式右邊分別進(jìn)行逐項(xiàng)估計(jì)

將上述不等式(2.21)-(2.25)都加到一起,代入(2.20)有

綜合估計(jì)式(2.5)、(2.11)、(2.19)和(2.26),可得到

由經(jīng)典的對(duì)數(shù)型Sobolev不等式[19]有

代入(2.27)可得到

由Gronwall不等式和基本能量估計(jì)(2.5),有

從而完成了定理1.1的證明.