強(qiáng)b-距離空間中的Ekeland變分原理

劉萱,賀飛

(內(nèi)蒙古大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

1.引言

1974年,Ekeland[1]給出了極小問(wèn)題近似解的存在性,即著名的Ekeland變分原理.該原理應(yīng)用于數(shù)學(xué)諸多領(lǐng)域,例如優(yōu)化理論、控制理論、不動(dòng)點(diǎn)理論.Ekeland變分原理表明在完備的距離空間下,下半連續(xù)且下有界的泛函f在某點(diǎn)的取值接近極小值.許多學(xué)者將Ekeland變分原理推廣到不同的空間中或者給出變分原理的不同形式及其等價(jià)命題.[2-14]

另一方面,Czerwik[15]提出b-距離空間的概念,這類空間是比距離空間更廣泛的空間框架.許多學(xué)者在這類空間中考慮了不動(dòng)點(diǎn)定理.[16-20]在2011年,Bota等人[11]將Ekeland變分原理首次推廣到了b-距離空間,同時(shí)證明了該空間中的Caristi型不動(dòng)點(diǎn)定理.2020年,黃帥等人[13]和XIE[14]分別證明了矩形b-距離空間和偏b-距離空間中的Ekeland變分原理.我們發(fā)現(xiàn)上述幾種b-距離空間中Ekeland變分原理形式中含有級(jí)數(shù),與距離空間中變分原理形式差別很大,并且也不是距離空間中相應(yīng)結(jié)果的推廣.

本文在強(qiáng)b-距離空間中建立Ekeland變分原理,其形式與距離空間中結(jié)果形式一致,其結(jié)果是距離空間相應(yīng)結(jié)果的推廣.同時(shí),在強(qiáng)b-距離空間中獲得了Caristi型不動(dòng)點(diǎn)定理和Takahashi非凸極小化定理以及均衡形式Ekeland變分原理的等價(jià)命題.

2.預(yù)備知識(shí)

下面回顧一些基本概念.

定義2.1[2,12,15]設(shè)X是非空集合,s ≥1是常數(shù).若映射d:X×[0,+∞)滿足,對(duì)于任意x,y,,

1)d(x,y)0當(dāng)且僅當(dāng)xy;

2)d(x,y)d(y,x);

3)d(x,y)≤s[d(x,z)+d(z,y)],

則稱d是X上的b-距離,稱(X,d)是b-距離空間.進(jìn)一步,若用

3′)d(x,y)≤sd(x,z)+d(z,y),

代替3),則稱d是X上的強(qiáng)b-距離,稱(X,d)是強(qiáng)b-距離空間.

距離空間,強(qiáng)b-距離空間,b-距離空間之間的關(guān)系是

它們之間的蘊(yùn)含關(guān)系是三角不等式形式上的蘊(yùn)含關(guān)系,下面給出例子說(shuō)明上述蘊(yùn)含關(guān)系的反向是不成立的.

首先給出例子說(shuō)明強(qiáng)b-距離空間不一定是距離空間.

例2.1設(shè)X{a,b,c},d:X×R+定義為

由于d(b,c)4>d(a,b)+d(a,c)1+2,故(X,d)不是距離空間.對(duì)于任意的x,y,,則

因此(X,d)是s2的強(qiáng)b-距離空間.

下面給出例子說(shuō)明b-距離空間不一定是強(qiáng)b-距離空間.

例2.2設(shè)XR,d:X×R定義為d(x,y)d(y,x)|x ?y|2.

對(duì)于任意的s ≥1,取x0,y1,z,則

因此,(X,d)不是強(qiáng)b-距離空間.

下證(X,d)是b-距離空間.對(duì)于任意的x,y,,

因此,(X,d)是s2的b-距離空間.

1) 稱{xn}收斂,如果d(xn,x)0();

2) 稱{xn}是Cauchy列,如果d(xn,xm)0(n,);

3) 稱(X,d)是完備的,如果X中的所有Cauchy列都收斂.

定義2.3[12]設(shè)(X,d)是強(qiáng)b-距離空間,稱A ?X是閉的,如果對(duì)于每個(gè){xn}?A且{xn}收斂于,有.

設(shè)(X,d)是強(qiáng)b-距離空間,A ?X,記A的直徑為diam(A)

定理2.1[1-2](Ekeland變分原理) 設(shè)(X,d)是完備的距離空間,f:R∪{+∞}是下半連續(xù)泛函,不恒等于+∞且下有界.對(duì)于任意給定的ε>0以及x0使得

定理2.2[11](b-距離空間中Ekeland變分原理) 設(shè)(X,d)是完備的b-距離空間,s>1是實(shí)數(shù),b-距離d是連續(xù)的,f:R∪{+∞}是下半連續(xù)泛函,不恒等于+∞且下有界.對(duì)于任意的ε>0以及x0使得f(x0)≤infx∈X f(x)+ε,則存在序列{xn}n∈N?X和xεX使得

3.主要結(jié)果

引理3.1設(shè)(X,d)是完備強(qiáng)b-距離空間,{Sn}n≥1是X的非空閉子集滿足,

通過(guò)隔離開(kāi)SNS中用戶共享性需求與表達(dá)性需求的實(shí)現(xiàn)區(qū)域，將隱私信息分離并保護(hù)起來(lái)。并且通過(guò)權(quán)限設(shè)置以及有償獲取在不影響用戶使用的情況下增加獲取難度。增加攻擊者自動(dòng)化攻擊SNS的成本，增加了攻擊者進(jìn)行社會(huì)工程學(xué)攻擊的難度，從而保護(hù)了用戶的信息安全。

1) 單調(diào)遞減,即S1?S2···?Sn ?··· ;

證對(duì)于每個(gè)N+,任取xnSn.由于diam(Sn)0(),故對(duì)于任意的ε>0,存在正整數(shù)n0使得diam(Sn0)<ε.對(duì)于m,n>n0,由于{Sn}單調(diào)遞減,故xm,xnSn0,從而

定理3.1(Ekeland變分原理) 設(shè)(X,d)是完備的強(qiáng)b-距離空間(s ≥1),f:R∪{+∞}是下半連續(xù)泛函,不恒等于+∞且下有界.對(duì)于任意給定的ε>0和x0使得

由于f是下半連續(xù)的且x0(x0),故E(x0)是(X,d)中的非空閉集.

取x1(x0)滿足

則E(x1)是(X,d)中的非空閉集.繼續(xù)下去,歸納可得{xn}滿足xnE(xn-1)且

則由f的下半連續(xù)性可知{E(xn)}是X中的非空閉集列.

對(duì)于任意的(xn),由(3.2)和(3.3)可知

注3.1由于距離空間是s1的強(qiáng)b-距離空間,故定理2.1是定理3.1的特殊情形.

定理3.2(Caristi型不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)(X,d)是完備的強(qiáng)b-距離空間(s ≥1),映射T:滿足,對(duì)于任意的,

定理3.3(Takahashi非凸極小化定理)設(shè)(X,d)是完備的強(qiáng)b-距離空間(s ≥1),f:R∪{+∞}是下半連續(xù)泛函,不恒等于+∞且下有界.假設(shè)對(duì)于任意的且f()>infx∈X f(x),存在}滿足

下面給出均衡形式Ekeland變分原理的若干等價(jià)命題.

定理3.4設(shè)(X,d)是完備的強(qiáng)b-距離空間,F:X×R∪{+∞}是X上的二元函數(shù)且滿足對(duì)于任意x,y,,

1)F(x,·)下半連續(xù);

2)F(x,x)0;

3)F(x,y)≤F(x,z)+F(z,y).

則下列結(jié)論等價(jià)

(b) (擴(kuò)展的Takahashi非凸極小化定理)設(shè)

(c) (Caristi-Kirk不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)T:2X是集值映射滿足

(d)?(b): 設(shè)(3.10)成立.定義集合

(c)?(d): 定義集值映射T:2X,

(d)?(c): 定義集合