一類具有特殊區(qū)域的橢圓型方程奇攝動(dòng)問(wèn)題

馮茂春,肖佳妮,王淼坤

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院,浙江 湖州 313000)

1.引言

帶有小參數(shù)的微分方程在許多理論和應(yīng)用領(lǐng)域都會(huì)經(jīng)常出現(xiàn),對(duì)這類問(wèn)題的研究許多學(xué)者表現(xiàn)出很大的興趣.如Nave[1]和Chashechkin[2]分別研究了奇異攝動(dòng)問(wèn)題在渦輪增壓器發(fā)動(dòng)機(jī)模型上與在流體力學(xué)問(wèn)題上的應(yīng)用;而Abdelhakem[3]與Lukyanenko[4]則各自討論了奇攝動(dòng)問(wèn)題的譜勒讓德導(dǎo)數(shù)算法和數(shù)值模擬;Priyadarshana[5]探究具有大時(shí)滯的奇攝動(dòng)半線性拋物型問(wèn)題;馮[6]探討了對(duì)二次方程Robin問(wèn)題奇攝動(dòng)群的估計(jì);王愛(ài)峰[7]和周克浩[8]分別研究了具有積分邊界條件的二階半線性奇攝動(dòng)方程脈沖狀對(duì)照結(jié)構(gòu)與一類奇攝動(dòng)非線性邊值問(wèn)題的角層現(xiàn)象;歐陽(yáng)成[9],吳欽寬[10]和朱紅寶[11]各自討論了分?jǐn)?shù)階微分方程的奇攝動(dòng)問(wèn)題,等等.

本文討論帶有小參數(shù)的擬線性橢圓型方程.由于方程是帶有一階偏導(dǎo)的橢圓型方程,它的解有比較復(fù)雜的情形,非線性問(wèn)題更顯難度,所以研究的人并不太多.Il’in在他的專著[12]中的第四章討論了高階導(dǎo)數(shù)帶小參數(shù)的橢圓型方程,但他討論的是線性方程.本文的獨(dú)創(chuàng)之處在于,其一,參考了文[12]的原本應(yīng)用于線性方程的方法,將它應(yīng)用于非線性問(wèn)題;其二,針對(duì)非線性偏微分方程出現(xiàn)的難以求漸近解的困難,第一次配合使用求奇攝動(dòng)解的兩種不同方法,完美求得漸近解;其三,證明了求得的漸近解的一致有效性,以此證明了前述方法的合理性.

2.問(wèn)題與外部解

考慮如下擬線性橢圓型方程邊值問(wèn)題:

這里ε>0為小參數(shù),?為拉普拉斯算子,?{(x,y):00.為方便,我們記

方程(2.1)的奇異特征[12]為線段{(x,y) : 0≤x ≤1,y ≤0},這是三角形??的下面的一條邊.

定義2.1在適用極限方程P(x,y)Q(x,y,u)的區(qū)域的邊界上,如果有不光滑的點(diǎn)和邊界曲線的切線斜率等于0的點(diǎn),過(guò)這些點(diǎn)作平行于x軸的直線,如果直線中有一段包含在該區(qū)域內(nèi)部或邊界,則把這些直線段都稱為方程(2.1)的奇異特征.邊界曲線中如果也含一段平行于x軸的直線段,則也稱此直線段為方程(2.1)的奇異特征.

線段{(x,y) : 0≤x ≤1,y ≤0}為方程(2.1)的奇異特征,所以邊界條件會(huì)在線段右端處留給漸近解中的外部解,邊界層在線段的左端點(diǎn)產(chǎn)生.這是我們下文求外部展開(kāi)式和邊界層內(nèi)部解時(shí)確定邊界條件,使之相容的依據(jù).

記問(wèn)題(2.1)-(2.2)的外部展開(kāi)式(the outer expansion)為

再將Q(x,y,R)按ε展開(kāi):

將uR和(2.4)代入(2.1),并令等式兩邊ε的同次冪系數(shù)相等,得

現(xiàn)將(2.8)代入(2.6),則可由(2.6),(2.7)依次求出R2,R4,···,R2m,其中m為任意正整數(shù).取A2m,x,y為關(guān)于ε的冪級(jí)數(shù)的截?cái)嗪瘮?shù),意為級(jí)數(shù)中ε的次數(shù)不超過(guò)2m的項(xiàng)之和,且變量為x,y.于是上述過(guò)程說(shuō)明我們可以求得

3. y=0處的內(nèi)部解

上述求得的外部解會(huì)在三角形??的除{(x,y)|x1,0≤y ≤1}外的另外兩條邊和頂點(diǎn)上產(chǎn)生奇異性,所以我們需要設(shè)置內(nèi)部解(the inner solution).先考慮邊{(x,y)|y0,0≤x ≤1}.

令x不變,用ξε-λy去代替y,這里λ>0為待定常數(shù).我們根據(jù)O’Malley的方法[13]來(lái)構(gòu)造漸近解,令u(x,y,ε)≡R(x,y)+εI(x,ξ,ε)為原方程的解,代入(2.1)得

顯然,特異極限(the distinguished limit)[14]取λ1.在內(nèi)變量ξε-1y和x下,方程變?yōu)?/p>

由假設(shè)[H2],Qu(x,0,R0)0,所以

再設(shè)內(nèi)展開(kāi)式為

將P(x,εξ)在y0處展開(kāi)成ε的級(jí)數(shù):

由此得到遞推關(guān)系式

其中ti(x,ξ),i1,2,···為已求得的函數(shù).

由于R+εI必須滿足邊界條件(2.2),所以上述方程應(yīng)滿足條件

方程(3.4),(3.5),(3.6)是左邊形式相同的拋物型方程.我們作變換:

再記方程(3.5),(3.6)的右端為Hi(x1,ξ),即(3.5),(3.6)記為

在條件I0(0,ξ)I0(x1,0)0下,其解為

但這樣求得的Ii的一階偏導(dǎo)在(1,0)點(diǎn)并不連續(xù),所以(1,0)點(diǎn)是奇異點(diǎn).其次,將(3.8)代入(3.5),(3.6)后,Hi(x1,ξ)出現(xiàn)分母為x的正整數(shù)冪,從而Ii也出現(xiàn)分母為x的正整數(shù)冪的式子,并且隨著i的增大,奇異性的階數(shù)(次數(shù))也增大,所以(0,0)也是奇異點(diǎn).這些問(wèn)題下文都必須加以解決.

顯然,從(3.8),(3.9)可以看出,當(dāng)時(shí),Ii(i1,2,···)是指數(shù)型衰減的.所以我們有

其中M1,γ1為某正數(shù),?1? ?{(x,y)|0≤x ≤εα,0≤y ≤εα},α為某個(gè)小的正數(shù).

這樣我們求得了在直線{(x,y)|x1,0≤y ≤1}和{(x,y)|y0,0≤x ≤1}上滿足邊界條件(2.2)的方程(2.1)的漸近展開(kāi)式A2m,x,yR+A2m,x,ξI.但在三角形??頂點(diǎn)處會(huì)出現(xiàn)奇異性.

現(xiàn)在還需考慮三角形??的第三條邊{(x,y)|0≤x ≤1,yx}.

4.(x,y)|0 ≤x ≤1,y=x}處的內(nèi)部解

比較兩端ε的同次冪系數(shù),得到遞推關(guān)系式

其中si(σ,y),i1,2,···,為已依次求得的函數(shù).邊界條件為

由P(x,y)>0可知,當(dāng)時(shí),Si(σ,y)指數(shù)型衰減.關(guān)于對(duì)u(x,y,ε)≡R(x,t) +εI(x,ξ,ε)+εS(σ,y,ε)誤差的估計(jì),考慮到(4.2),(4.3),(4.4),所以我們有

其中M2,γ2為某正數(shù).

這樣我們求得了三角形??的三條邊上滿足邊界條件(2.2)的方程(2.1)的漸近展開(kāi)式

5.點(diǎn)(0,0)處的內(nèi)層解

我們?cè)邳c(diǎn)(0,0)處引入變量ηε-2x,ζε-2y.現(xiàn)在跟上面做法不同,我們只求單一滿足方程(2.1)的處的邊界層函數(shù).所以將u(x,y,?)≡J(η,ζ,ε)代入方程(2.1)得

在上式中代入級(jí)數(shù)

及變換η1?η,并令ε的同次冪系數(shù)之和等于零,為方便,假設(shè)P(0,0)≡P01,則可得到

其中qi(η1,ζ),i1,2,···,為依次已求得的函數(shù).由于方程

其中δ(η1?s,ζ ?t)δ(η1?s)δ(ζ ?t)為2維δ函數(shù),K0為Macdonald函數(shù)(參看文[15]140頁(yè)),則方程(5.3)在邊界條件

是方程(5.3)在邊界條件J0(0,ζ)0和J0(η1,0)0下邊值問(wèn)題的格林函數(shù).類似地,(5.4)有解

其中它滿足的邊界條件為

我們假設(shè)函數(shù)qi(η1,ζ)和J0(η1,0)在無(wú)窮遠(yuǎn)處沒(méi)有比+ζ2增長(zhǎng)快,則(5.3),(5.4)的解是慢增長(zhǎng)函數(shù).為得出解的漸近性,我們需要下面的引理:

引理5.1[12]方程(5.3),(5.4)和邊界條件(5.5),(5.8)存在慢增長(zhǎng)函數(shù)的解J2i(η,ζ)≡J2i(η1,ζ).函數(shù)J2i(η,ζ)和它們所有導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)M3exp(?γ3η),η ≥Aζ+1.這里A是任意正數(shù),γ3由A決定,M3由i和導(dǎo)數(shù)的階數(shù)決定.

引理5.2[12]方程(5.3),(5.4)和邊界條件(5.5),(5.8)的解,當(dāng)η<ζ時(shí)能被展開(kāi)為漸近級(jí)數(shù)

這里Φi,j(t)充分光滑,且在無(wú)窮遠(yuǎn)處指數(shù)型衰減.

這樣我們可求得具有漸近性態(tài)的A2m,η,ζJ(η,ζ).

現(xiàn)在我們將第4節(jié)中求得的漸近解與u(x,y,?)≡J(η,ζ,ε)進(jìn)行匹配.根據(jù)匹配條件,下式成立:

其中k,n1,2,···,2m.此式能完全確定I2i.由此得到(0,0)點(diǎn)近旁符合條件的復(fù)合漸近解:

6.點(diǎn)(1,0)和(1,1)處的內(nèi)層解

點(diǎn)(1,0)和(1,1)處的內(nèi)層解與第4節(jié)完全類似.在點(diǎn)(1,0)處,引入變量κε-2(1?x)和ζε-2y分別去代替x和y,將u(x,y,ε)≡U(κ,ζ,ε)代入方程(2.1)可得

令Uε2iU2i(κ,ζ),代入上式,并展開(kāi)Q(1?ε2κ,ε2ζ,J),再比較ε的同次冪系數(shù),可得與(5.3),(5.4)相同的方程和與(5.5),(5.8)類似的邊界條件,利用與前述幾乎相同的方法可求得

將第4節(jié)中求得的漸近解與U(κ,ζ,ε)進(jìn)行匹配.令匹配條件

成立,由此可得到(1,0)點(diǎn)近旁符合條件的復(fù)合漸近解

在點(diǎn)(1,1)處,引入變量κε-2(1?x),με-2(1?y),并設(shè)相應(yīng)邊界層函數(shù)u(x,y,ε)≡V(κ,μ,ε),則它滿足方程

再將第4節(jié)中求得的漸近解與V(κ,μ,ε)進(jìn)行匹配.令匹配條件

成立,最后可得到符合條件的最終復(fù)合漸近解

我們?cè)僭?0,0)附近,將A2m,x,yR與A2m,η,ζJ匹配,令

得點(diǎn)(0,0)附近的匹配復(fù)合解

7.結(jié)論

至此,我們可以敘述本文的主要結(jié)論了,約定以下結(jié)果都是在前述假設(shè)下成立的.

定理7.1由(6.3)定義的復(fù)合漸近展開(kāi)式是方程(2.1)的近似解,它滿足邊界條件

且存在常數(shù)M4,δ>0,使得

證回顧R(x,y),I(x,ξ),S(σ,y),J(η,ζ),U(κ,ζ),V(κ,μ)的構(gòu)造過(guò)程和滿足的相應(yīng)邊界條件,由(2.7),(5.8)及I(x,ξ),S(σ,y)當(dāng)x1時(shí)為指數(shù)型小項(xiàng),J(η,ζ)當(dāng)x1,y1時(shí)為指數(shù)型小項(xiàng),當(dāng)x1,y1時(shí)再由(5.8),可得(7.1)的第一式成立.由(4.5),(5.8)及指數(shù)型小項(xiàng)的理由可得(7.1)的第二式和第三式也成立.

由(2.5),(2.6),和(3.1),(3.4),(3.5),(3.6),及(4.2),(4.3),(4.4),可得

由A2m,η,ζJ與A2m,x,yR+A2m,x,ξI+A2m,σ,yS的匹配條件及當(dāng)x,y>0時(shí),A2m,η,ζJ為指數(shù)型小項(xiàng),再考慮到引理5.2,我們有

在上式中將A2m,η,ζJ ?A2m,x,y(A2m,η,ζJ)替換成它的偏導(dǎo)數(shù),則同樣成立.于是,

其中δ>0為某常數(shù).類似可證得

所以(7.2)成立.證畢.

證證明很容易,利用定理7.1,再對(duì)方程(2.1)應(yīng)用最大值原理即得.證畢.

內(nèi)問(wèn)題(2.1)-(2.2)的一致有效的漸近解.

證由于在離開(kāi)點(diǎn)(0,0)處,I,S,J,U,V都是指數(shù)型小項(xiàng),由定理7.1和定理7.2即得第一個(gè)結(jié)論.關(guān)于第二個(gè)結(jié)論,由于排除了I,無(wú)界性不會(huì)出現(xiàn),邊界層只有(0,0)處附近的一個(gè),所以R與J的匹配解能符合要求.至于對(duì)的估計(jì),與定理7.1的證明完全類似即可證得.