次線性期望空間下精確漸近性的一般定律

黃麗楨,吳群英

(桂林理工大學理學院,廣西 桂林 541004)

1.引言

傳統(tǒng)概率空間中的經(jīng)典極限定理具有可加性的概率和期望,只適用于確定性的模型.然而現(xiàn)實生活中面臨的很多問題都具有很大不確定性,比如對風險及保險等行業(yè)產(chǎn)生不確定的隨機數(shù)據(jù)進行估計時,傳統(tǒng)概率空間的經(jīng)典極限定理已不再適用.因此,彭實戈院士[1-2]提出了次線性期望空間的概念,并將傳統(tǒng)概率空間(?,F,P)的概率拓展為次線性期望空間(?,H,)上的容度,從而拓展了概率極限理論模型的實際運用.目前,線性期望空間上的概率極限定理有中心極限定理[3]、大數(shù)定律[4]和完全收斂定理[5]等.但是,由于在次線性期望空間中,次線性期望和容度沒有可加性,這導致很多用在傳統(tǒng)概率空間中的方法和工具,并不適用到次線性期望空間,這就加大了研究次線性期望空間的難度.因此,將傳統(tǒng)概率空間相關(guān)的經(jīng)典極限定理推廣到次線性期望空間更具有研究價值的意義.

假設(shè){X,Xn;n ≥1}是在概率空間(?,F,P)上的隨機變量序列,φ(x)和f(x)是定義在[n0,∞)上的正函數(shù),n0Z+,∞,f(x)↑∞,.記

其中,φ(x)和f(x)分別稱為加權(quán)函數(shù)和邊界函數(shù).

1947年,Hsu和Robbins[6]首次提出了隨機變量序列完全收斂的概念.在此基礎(chǔ)上,許多學者在(1.1)中討論某階矩存在的條件下,不斷研究φ(n)與f(n)之間的關(guān)系,證明P(φ,f,ε)<∞,ε>0.類似的結(jié)果,我們可以參考Hsu和Robbins[6]、Erds[7-8]和Baum以及Katz[9]等的成果,他們分別研究了φ(n)1,f(n)n和φ(n)nr/p-2,f(n)n1/p,其中0

其中,0≤δ<1,N是標準正態(tài)隨機變量.令δ0,h(x)log logx,則(1.2)是文[15]的定理2.令h(x)logx,則(1.2)是文[13]的定理3.因此,研究φ(x)和f(x) 之間關(guān)系的一般式變得更有意義.

2.預備知識

在本文中,我們使用彭實戈院士[1-2]所構(gòu)建的次線性期望空間的基本概念和框架,假設(shè)(?,F)是給定的可測度空間,H是定義在(?,F)上由實函數(shù)構(gòu)成的線性空間,如果X1,···,XnH,則對,Lip(Rn),有φ(X1,···,Xn),其中Cl,Lip(Rn)表示局部Lipschitz函數(shù),即對任意,Lip(Rn),存在常數(shù)c>0,Z+取決于φ,使得對任意x,yRn都有:

此時,稱H是由隨機變量所構(gòu)成的空間,并記.

從定義得出,對于所有的X,,則有:

定義2.2[2]令G ?F,一個函數(shù)V:[0,1]稱為容度,如果下式成立:

2) V(A)≤V(B),?A ?B,A,.

其中,Ac為A的補集.根據(jù)定義,則有:

定義2.3[2]定義Choquet積分為:

其中,V可由上容度V和下容度V替換.

為證本文的結(jié)論,本文需要用到以下引理:

引理2.3[16]假設(shè){X,Xn;n ≥1}是次線性期望空間(?,H,)上的獨立隨機變量序列,α為實數(shù),且0<α<1.如果存在實常數(shù)βn,k滿足:

3.主要結(jié)果及其證明

定理3.1假設(shè)h(x)是定義在[n0,∞)上單調(diào)上升的可微慢變化函數(shù),且xh′(x)單調(diào)下降.假設(shè){X,Xn;n ≥1}是次線性期望空間(?,H,)上獨立同分布的隨機變量序列,V具有可數(shù)次可加性,且滿足:

反之,如果

且當n>k時,(Sn ?Sk)與Sn-k同分布,以及hδ(x)h′(x)x ≥c(xh(x))′,則(3.1)成立.

定理3.2假設(shè)h(x)是定義在[n0,∞)上單調(diào)上升的可微慢變化函數(shù),且xh′(x)單調(diào)下降.假設(shè){X,Xn;n ≥1}是次線性期望空間(?,H,)上獨立同分布的隨機變量序列,V具有可數(shù)次可加性,且滿足(3.1),則對任意的0≤δ<1有:

其中,N是標準正態(tài)隨機變量.

注3.1定理3.1中分別取δ0,h(x)log logx和h(x)logx時,則將文[15]的定理2和文[13]的定理3從概率空間推廣到了次線性空間,同時研究了定理3.1的必要性,而且定理3.2將定理3.1拓展到了最大值.

定理3.1的證明注意到:

再證(3.6).

先假設(shè)M ≥64,記AM,ε:h-1(Mε-2),其中,h-1是h的反函數(shù).注意到:

因此,要證(3.6),只需證:

關(guān)于ε一致成立.

先證(3.7).

注意到F(y)是單調(diào)遞減函數(shù),因此它的不連續(xù)點是可數(shù)的.所以,(3.10)式對除了某個Lebesgue測度為零的集合以外的所有y都成立,再結(jié)合

根據(jù)Lebesgue有界收斂定理,由(3.10)得出:

因此,在(3.9)式中,首先令0,再令0,則(3.7)成立.

繼續(xù),證(3.8)關(guān)于j2成立.

對于0<μ<1,假設(shè)φμ(x),Lip(R)是一個偶函數(shù),使得對所有的x,有0≤φμ(x)≤1,當|x|≤μ時,φμ(x)0.當|x|>1時,φμ(x)1,則有:

根據(jù)(2.3),(3.11)以及X與Xi的同分布,對于?x>0,0<μ<1,有:

因此,要證(3.8)關(guān)于j2成立,只需證:

關(guān)于ε一致成立.以及

關(guān)于ε一致成立.

先證(3.14).

由于0≤δ<1,因此δ ?1<0,則有:

再證(3.15).

由xh′(x)是單調(diào)下降的,則存在著一個正常數(shù)l,使得xh′(x)

不妨假設(shè)ε2<1,結(jié)合(3.17)和(3.18)可知:

因此,從(3.17)到(3.19)可知,(3.15)成立.

由于{?X,?Xi}也滿足定理3.1的條件,因此用{?X,?Xi}代入(3.14),(3.15),對于(?Sk)我們也得到同樣的收斂性,又因為

因此,結(jié)合(3.16),(3.19)以及(3.20)可知: (3.8)關(guān)于j2成立.

再證,(3.8)關(guān)于j3成立.

所以,(3.8)關(guān)于j3成立.

因此,分別證明了(3.7)和(3.8),則(3.6)成立.所以,我們完成了定理3.1的證明.

必要性的證明先證: (3.3)蘊含著CV(X2)<∞.

定理3.2的證明注意到:

因此,要證定理3.2,只需證:

因此,(3.27)成立.

再證(3.28).注意到:

由(3.8)關(guān)于j2成立,因此,要證(3.28),只需證:

關(guān)于ε一致成立.

先證(3.29).

類似于(3.7)的證明過程,在(3.9)中用2G(y)替換F(y),由(2.7),則有:

因此,在(3.31)中,首先令0,再令0,則J21(ε)0,(3.29)成立.

再證(3.30).

類似于(3.8)關(guān)于j3的證明過程,在(3.21)中用2G(y)替換F(y),又因為E|N|2δ+2<∞,則有:

所以,(3.30)成立.

因此,結(jié)合(3.31)和(3.32)可知,(3.28)成立.所以,我們完成了定理3.2的證明.