“雙減”背景下小學(xué)數(shù)學(xué)“應(yīng)教盡教”的思考

■錢中華，羊琴，錢陳俐

減輕學(xué)生過重學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)一直受到黨和國家的高度重視。2021年7月，中共中央辦公廳、國務(wù)院辦公廳印發(fā)的“雙減”意見，明確提出減輕學(xué)生過重學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的根本之策在于大力提升課堂教學(xué)質(zhì)量，嚴(yán)格按課程標(biāo)準(zhǔn)零起點教學(xué)，做到應(yīng)教盡教，確保學(xué)生學(xué)足學(xué)好，達(dá)到國家規(guī)定的學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)。那么，課堂教學(xué)應(yīng)教盡教與減輕學(xué)生過重學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)是什么？聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)，課堂上應(yīng)教什么？怎樣才能實現(xiàn)盡教？本文擬對這些問題進(jìn)行探討。

一、應(yīng)教盡教是減輕學(xué)生過重學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的突破口

學(xué)校教育落實“雙減”政策減負(fù)提質(zhì)的要求，第一要務(wù)是準(zhǔn)確把握減輕學(xué)生過重學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的突破口，為設(shè)計具有針對性的破解方案提供可靠依據(jù)。

從認(rèn)識論視角看，學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)是學(xué)校、家庭及自我要求下所承擔(dān)的所有學(xué)習(xí)任務(wù)，它是客觀性與主觀性的統(tǒng)一[1]。所以，學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)不能僅等同于學(xué)習(xí)時長，還應(yīng)考慮學(xué)習(xí)任務(wù)的量和對于學(xué)生來說的難度，可以看作單位時間內(nèi)學(xué)習(xí)任務(wù)的量和難度。當(dāng)單位時間內(nèi)學(xué)習(xí)任務(wù)的量過大或難度過高，造成學(xué)生需要更長時間完成學(xué)習(xí)任務(wù)，生活時間得不到保障，處于壓力過大的狀態(tài)，就是學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。從這個意義說，學(xué)校教育影響學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的因素包括教師課堂教學(xué)質(zhì)量及學(xué)生學(xué)習(xí)任務(wù)量、任務(wù)難度、時長及時間分配策略等。在這些影響因素中，教師課堂教學(xué)質(zhì)量制約并決定著學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)量、學(xué)習(xí)任務(wù)難度、學(xué)習(xí)時間長短等，是影響學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的核心因素。

從教學(xué)論視角看，課堂教學(xué)質(zhì)量是學(xué)生“學(xué)得如何”的表現(xiàn)，而決定“學(xué)得如何”的核心要素是“教”“學(xué)”。在教學(xué)活動中，“教”“學(xué)”辯證統(tǒng)一，“教”因“學(xué)”而存在，服務(wù)于“學(xué)”，沒有“學(xué)”的“教”是不存在的；沒有“教”的“學(xué)”只能是自學(xué)，而不是課堂意義下的“學(xué)”?！敖獭笔墙處煛巴ㄟ^信號或符號向某人說明某事，用信號或符號引起別人對事件、人物、觀察或研究的結(jié)果等作出反應(yīng)”[2]。也就是說“教”有特定的內(nèi)容，用于呈現(xiàn)并引起學(xué)生作出相關(guān)反應(yīng)?！皩W(xué)”是教師根據(jù)教材內(nèi)容、學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)，圍繞教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)活動中有目的地引起學(xué)生學(xué)習(xí)。可見，“教”“學(xué)”存在的根基是教學(xué)內(nèi)容，缺失了特定內(nèi)容的“教”“學(xué)”根本不存在。由此，教師課堂教學(xué)教什么決定學(xué)生學(xué)什么；教師應(yīng)教盡教，學(xué)生才能應(yīng)學(xué)盡學(xué)。課堂上應(yīng)教盡教，該教的教完、教活、教透，學(xué)生就會將該學(xué)的學(xué)足、學(xué)懂、學(xué)會，學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)必然減輕；反之，沒有應(yīng)教盡教，學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)必然加重。因此，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，減輕學(xué)生過重學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，突破口是課堂上應(yīng)教盡教。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)教的基本內(nèi)容

小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)教什么似乎不需另作思考，因為已在課程標(biāo)準(zhǔn)和教材之內(nèi)了。但實際上，作為標(biāo)準(zhǔn)一般是最低或者是平均要求，還要給以標(biāo)準(zhǔn)為依據(jù)的人們留有空間。正因此，現(xiàn)行不同版本教材各有優(yōu)勢，極力表現(xiàn)出非?？粗氐囊螅煌瑫r，由于內(nèi)容、課時等也難免有顧及不夠的地方，并且教師的數(shù)學(xué)觀對應(yīng)教什么也會產(chǎn)生嚴(yán)重影響和制約。那么，小學(xué)數(shù)學(xué)到底應(yīng)教什么？從動態(tài)的、經(jīng)驗的、擬經(jīng)驗的數(shù)學(xué)觀，以及數(shù)學(xué)課程目標(biāo)和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來分析，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)教數(shù)學(xué)知識本質(zhì)、數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思維等內(nèi)容。

（一）應(yīng)教數(shù)學(xué)知識本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識是構(gòu)成數(shù)學(xué)大廈的“硬料”，數(shù)學(xué)知識本質(zhì)是數(shù)學(xué)知識的靈魂。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要記住數(shù)學(xué)知識，認(rèn)識表示的數(shù)學(xué)符號，更為重要的是真正理解掌握知識本質(zhì)。只有深刻理解知識本質(zhì)，在了解其產(chǎn)生、發(fā)展的過程中結(jié)合自己的已知和思維理解，才能深入淺出地表達(dá)其形成過程、內(nèi)在聯(lián)系等，在實際應(yīng)用中才能根據(jù)不同情境找到適合、可用的部分。這就意味著，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該關(guān)注和強(qiáng)調(diào)知識本質(zhì)，幫助學(xué)生深刻理解知識的本源意義。

譬如北師版五年級下冊“折紙”，內(nèi)容是異分母分?jǐn)?shù)加減法，本質(zhì)屬性是分?jǐn)?shù)單位相同才能實施加減法運算。教學(xué)應(yīng)突出異分母分?jǐn)?shù)加減法運算通分的必要性，幫助學(xué)生深刻理解異分母分?jǐn)?shù)加減法只有在分?jǐn)?shù)單位相同時才能運算的本源意義。

（二）應(yīng)教數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深刻理解包含“深度、寬度和貫通度”。“‘深刻地理解一個專題’就是將這個專題與該學(xué)科的更多的概念上很強(qiáng)大的思想聯(lián)系起來……‘廣泛地理解一個專題’就是與那些相似的或概念性較弱的專題相聯(lián)系……然而，深度和寬度依賴于完整度——貫穿某一領(lǐng)域所有部分的能力——把它們編織起來。”[3]也就是說學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要理解內(nèi)容的基本結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和邏輯結(jié)構(gòu)。學(xué)生受認(rèn)知程度的影響，接受材料能力必定有限。要在有限的接受中產(chǎn)生對以后思考的價值，必然選擇是使之在接受所學(xué)材料的過程中理解學(xué)科基本結(jié)構(gòu)?？梢?，數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展的重要價值。從這個意義上講，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)教基本結(jié)構(gòu)包括邏輯結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。

教師應(yīng)以課程標(biāo)準(zhǔn)、教材為依據(jù)，具體、明確地確立應(yīng)教課時或單元的基本結(jié)構(gòu)。如“折紙”應(yīng)教邏輯結(jié)構(gòu)：同分母分?jǐn)?shù)加減法則→異分母分?jǐn)?shù)加減法則；應(yīng)教課時知識結(jié)構(gòu)（圖1），即教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容或?qū)W習(xí)路徑。該課所在單元“分?jǐn)?shù)加減法”應(yīng)教邏輯結(jié)構(gòu)：同分母分?jǐn)?shù)加減法則→異分母分?jǐn)?shù)加減法則→分?jǐn)?shù)加減四則混合運算順序→分?jǐn)?shù)加減運算性質(zhì)和加法運算律。應(yīng)教知識結(jié)構(gòu)（圖2），也就是教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)的相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容或?qū)W習(xí)路徑，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立知識體系，實現(xiàn)觸類旁通、舉一反三提供可靠保障。

圖1

圖2

（三）應(yīng)教數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)是“思維的科學(xué)”[4]，“在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)人智力發(fā)展中發(fā)揮著不可替代的作用”[5]。數(shù)學(xué)表達(dá)人類的思想，反映人們的意志、縝密的推理、對完美的追求，其基本要素是邏輯和直覺、分析和構(gòu)造、一般性和個性?！半S著社會進(jìn)步，人類思想、對完美的追求等也隨之改變，所以作為反映形式的數(shù)學(xué)也不是靜態(tài)的、絕對的，而是動態(tài)的、經(jīng)驗的與擬經(jīng)驗的；是人類的一種創(chuàng)造性活動，即是一種包含有猜測、錯誤和嘗試、證明與反駁、檢驗和改進(jìn)的復(fù)雜過程”[6]?；谝陨狭?，數(shù)學(xué)不等同于具體的數(shù)學(xué)知識（包括概念、命題、法則等），不是無可懷疑的真理，而是人類的一種思維方式[7]。

數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，即通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步養(yǎng)成“三會”。在此過程中能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的“四基”；體會數(shù)學(xué)內(nèi)部知識之間、數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，在探索真實情境所蘊含的關(guān)系中發(fā)展“四能”[5]。“四基”“四能”是“三會”的有效載體，“三會”是“四基”“四能”的更高要求。因此，從根本上說，數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的“四基”“四能”就是在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成過程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)會數(shù)學(xué)思維，并逐步學(xué)會思考得更清晰、更全面、更深、更合理。從這個意義上說，學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得“四基”、發(fā)展“四能”，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，本質(zhì)是發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以數(shù)學(xué)知識為載體，以數(shù)學(xué)問題為對象，按照一定形式和方法進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的過程中，理解把握不同數(shù)學(xué)思維形式和方法發(fā)生的機(jī)理、應(yīng)用的范圍及遵守的規(guī)則，改進(jìn)、完善、發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升靈活性、深刻性、批判性、創(chuàng)造性、辯證性等數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[8]。

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是一種創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維活動，根本目的是改變、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；小學(xué)數(shù)學(xué)不僅應(yīng)教數(shù)學(xué)思維形式、方法，還應(yīng)培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)教數(shù)學(xué)知識本質(zhì)、基本結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思維；這樣，學(xué)生才有可能實現(xiàn)富有深度的學(xué)習(xí)，想得透、學(xué)得多、學(xué)得足，聞一知十，從而減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)盡教的基本思路

那么，小學(xué)數(shù)學(xué)如何才能實現(xiàn)該教的教盡、教活、教懂呢？下面結(jié)合北師版三上“什么是周長”的教學(xué)進(jìn)行闡釋。

（一）提供數(shù)學(xué)變式，學(xué)生通過比較、判斷、推理、解釋，深度理解知識本質(zhì)

數(shù)學(xué)變式是在保持知識本質(zhì)特征不變的前提下，從多角度、多側(cè)面呈現(xiàn)數(shù)學(xué)對象或數(shù)學(xué)問題。在教學(xué)中，教師設(shè)計的教學(xué)材料應(yīng)提供水平變式、垂直變式，推動學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在比較與辨別中對其情況、類別、事理進(jìn)行分析、推理、判斷，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)變式中的變化與差異，分類、評估、解釋“變”與“不變”，深度理解數(shù)學(xué)知識本質(zhì)。

在“什么是周長”教學(xué)中，教師提供如下教學(xué)材料：

第一組教學(xué)材料：

（1）請用彩筆描出你桌上那片樹葉的邊線。

（2）誰來演示一下是怎樣描的？要用筆指著，說清楚描的過程和需要注意的地方。

（3）三只螞蟻急不可待地想表演應(yīng)怎樣描，請看。

（4）動畫展示。三只螞蟻表演爬樹葉的路線如圖3所示，哪只螞蟻是沿著邊線爬的？理由是什么？

圖3

（5）像螞蟻A這樣，爬過一周的長度就是樹葉表面的周長。同學(xué)們描的樹葉邊線的長度是樹葉表面的周長。

（6）除了樹葉表面有周長外，我們身邊還有許多物體表面也有周長，請找一找；同桌交流時指著說“一周的邊線”“起點、終點及其關(guān)系”“方向”。

第二組教學(xué)材料：

（1）用彩筆在A4紙上描出教科書封面的邊線，將書拿走得到什么圖形？它有周長嗎？為什么？

（2）下面這些圖形有周長嗎？為什么？

圖4

第三組教學(xué)材料：

（1）既然周長有長度，你有哪些方法得到樹葉表面的周長？

（2）如何測量樹葉表面的周長？

（3）如何測量在A4紙上描出的長方形的周長？

（4）測量樹葉表面周長和測量長方形周長有哪些相同和不同？

第四組教學(xué)材料：

（1）不用測量，你能求出下面各圖形的周長分別是多少厘米嗎？需要注意什么？

圖5

（2）兩只蝸牛賽跑，他們的跑道一樣長嗎？

圖6

（3）一片長方形草地被分成A、B兩部分，鼴鼠和大象分別繞A、B邊線跑一圈，跑的路一樣長嗎？

圖7

分析上述教學(xué)材料，水平變式有四組：一是物體表面周長。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，通過描樹葉邊線、說描的過程及注意事項和對三只螞蟻的判斷，發(fā)現(xiàn)螞蟻想要通過爬行得到樹葉表面周長，“變”的是起點和終點，“不變”的是起點與終點重合、物體表面“一周的長度”，了解了周長能“度量”；后通過列舉身邊實例，在相互交流中加深理解“周長”。二是規(guī)則與不規(guī)則圖形的周長。從描教科書邊線得到長方形入手，經(jīng)分析、比較、類比、概括出長方形一周的長度是長方形周長；在對六個規(guī)則及不規(guī)則圖形的觀察、分析、比較、分類、概括、解釋中，發(fā)現(xiàn)圖形（1）（3）（4）（5）都有周長，與形狀無關(guān)。三是測量周長。通過測量樹葉表面、長方形的周長，體會根據(jù)物體表面或圖形的形狀，選擇適合的方法測量，理解周長可“度量”。四是解決與周長相關(guān)的問題。通過解決數(shù)圖形的周長、蝸牛賽跑跑道長、鼴鼠和大象跑路長，加深理解周長的意義和度量的可能性。四組水平變式構(gòu)成垂直變式，即物體表面→圖形→測量周長→求周長，學(xué)生通過學(xué)習(xí)不僅分析發(fā)現(xiàn)“變”與“不變”，理解周長概念“物體表面或圖形一周的長度”的描述性表述，更為重要的是逐步深入、層層遞進(jìn)，深刻理解周長的本質(zhì)“度量”。

（二）提供根植知識演進(jìn)的教學(xué)材料，學(xué)生學(xué)習(xí)簡約地經(jīng)歷人類認(rèn)識過程，建立數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)

教學(xué)材料是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對象，既是思維的載體，也是知識的載體，還是數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)的載體。在教學(xué)中，教師提供的教學(xué)材料，根植數(shù)學(xué)知識演進(jìn)的歷史流變。學(xué)生學(xué)習(xí)典型地、簡約地經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、形成、發(fā)展的人類認(rèn)識過程，深刻地“去理解知識最初發(fā)現(xiàn)時人們面臨的問題、解決問題的思路，采用的思維方式、思考過程，理解知識發(fā)現(xiàn)者可能有的情感，判斷評價知識的價值”[6]，建立起包括邏輯結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)在內(nèi)的基本結(jié)構(gòu)，感悟蘊含在知識背后的數(shù)學(xué)基本思想。

“周長”起源于古代人們發(fā)現(xiàn)樹葉、獸皮等物體表面的邊線有長度，人們所畫的長方形、平行四邊形等圖形一圈有長度；先賢們不斷努力發(fā)現(xiàn)“周長”；后探索測量周長的方法及運用。教師以此為依據(jù)，結(jié)合教材設(shè)計提供了以上四組教學(xué)材料：第一組描樹葉邊線，旨在通過學(xué)生“描、指、說、判斷、舉例”等，理解“物體表面一周的長度就是物體表面的周長”，把握周長的特征。第二組材料旨在通過學(xué)習(xí)，理解“圖形一周的長度就是圖形的周長”，把握圖形周長的特征。第三組材料通過探索測量周長的方法，理解“一周的長度”，把握周長本質(zhì)。第四組材料應(yīng)用拓展，意圖通過數(shù)圖形的周長、賽跑跑道、跑草地一圈等三個問題，進(jìn)一步理解周長是“一周的長度”，可“度量”，與形狀無關(guān)，為后續(xù)學(xué)習(xí)“長方形的周長”做好鋪墊。由此幫助學(xué)生建立起“周長”的基本結(jié)構(gòu)，邏輯結(jié)構(gòu)是：前概念（邊線）→物體表面的周長→封閉圖形的周長→測量周長→求周長→銜接長方形的周長。本課知識結(jié)構(gòu)如圖8所示。在這個過程中，感悟抽象（分類、概括、數(shù)形結(jié)合、變中不變、符號化等）、推理（歸納、演繹、化歸、特殊與一般等）、模型（簡化、量化、優(yōu)化）等基本思想[6]；幫助學(xué)生形成發(fā)展量感、空間觀念、幾何直觀等核心素養(yǎng)。

圖8

（三）提供引發(fā)深度思考的問題，學(xué)生在解決問題過程中，改進(jìn)、完善、發(fā)展數(shù)學(xué)思維

問題是思維的靈魂和起點，是學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的關(guān)鍵。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師根據(jù)教學(xué)任務(wù)、教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計提供引發(fā)深度思考的問題。學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，運用概念、判斷、推理等基本思維形式和觀察、比較、分類、分析、綜合、歸納、概括等思維操作方法，展開對問題的全面、細(xì)致、深刻探索。在這個過程中，學(xué)生不僅運用數(shù)學(xué)思維基本形式、方法進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，解決數(shù)學(xué)問題；更為重要的是通過解決問題，理解把握不同數(shù)學(xué)思維形式、方法遵守的規(guī)則及適用范圍，改進(jìn)、完善、發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)[6]。

本課教學(xué)教師提供的四組教學(xué)材料，實質(zhì)是四組問題，旨在開啟學(xué)生的思維操作。學(xué)生在解決問題過程中，根據(jù)問題指向，基于客觀事實和數(shù)學(xué)理性，對思維材料嚴(yán)格評估；調(diào)動并運用已有生活、認(rèn)知經(jīng)驗進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，采用操作、觀察、分析、比較、分類、判斷、推理、歸納、概括等思維方法，對問題進(jìn)行解釋或說明，在深刻理解“什么是周長”的同時，把握周長的本質(zhì)“度量”，改進(jìn)、完善已有思維形式、方法，從而使思維活動更有廣度、深度，數(shù)學(xué)思維和思維品質(zhì)獲得發(fā)展。

總之，學(xué)校教育減輕學(xué)生過重學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)的突破口是課堂上應(yīng)教盡教。小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)教數(shù)學(xué)知識本質(zhì)、數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思維。教師通過提供數(shù)學(xué)變式、根植數(shù)學(xué)知識演進(jìn)的教學(xué)材料、開啟學(xué)生思維操作的問題，將該教的教活、教透、教深，學(xué)生將該學(xué)的學(xué)足、學(xué)深，掌握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，建立數(shù)學(xué)基本結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，從而實現(xiàn)課堂教學(xué)“減負(fù)提質(zhì)”。