具有記憶的非線性波方程解的存在唯一性及衰減率

秦娜娜,馬巧珍

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

1.引言

我們考慮下面的粘彈性波方程:

假設(shè)核函數(shù)g:R+→R+是C1的且滿足下列條件

其中R+={α|α ≥0}.進(jìn)一步假設(shè)存在一個(gè)正值的C1函數(shù)H: R+→R+,使得對(duì)于任意的ξ ≥0,下面的條件成立:

在類似的假設(shè)下,一些學(xué)者已經(jīng)對(duì)問題(1.1)進(jìn)行了一些研究.例如,Kafini在文[1]和Lasiecka等人在文[2]中分別得到了問題(1.1)中沒有多項(xiàng)式非線性項(xiàng)時(shí)解的全局存在性,衰減率,以及解的爆破性.對(duì)于(1.1)中g(shù)=0的情況,在文[3]中作者證明了全局解的存在性和解的漸近行為,以及解的爆破性.當(dāng)(1.1)中a=1,? ≡1 時(shí),LI和HE在文[4]中研究了有界域上解的全局存在性,衰減率,以及解分別在正的初始能量和負(fù)的初始能量下的爆破性.Miyasita和Zennir在文[7]中考慮了(1.1)的局部解的存在性結(jié)論但是沒有給出完整證明,此外他們還獲得了全局解的存在唯一性和能量的最優(yōu)衰減率,特別給出了一個(gè)由凸性計(jì)算衰減率的簡化方法.我們知道,解的適定性對(duì)進(jìn)一步研究解的演化性態(tài)至關(guān)重要,然而,在大部分研究解的狀態(tài)的文獻(xiàn)中,作者一般只給出解的存在性定理,但沒有嚴(yán)格的理論證明.就我們所知,有些問題的適定性結(jié)果并不是容易能得到的,甚至在現(xiàn)有條件下不一定存在,正是基于這種理由,我們將對(duì)文[7]中的適定性結(jié)果進(jìn)行嚴(yán)格的證明.我們在恰當(dāng)?shù)臈l件下證明了文[7]中的引理4,也就是本文中的引理3.3.對(duì)于解的存在唯一性定理的證明,分為兩個(gè)過程研究,首先,利用Faedo-Galerkin逼近方法獲得了具有記憶的線性非齊次微分方程解的存在唯一性,然后再應(yīng)用Banach壓縮映射定理證明了原方程局部解的存在唯一性.定義,其中[ ]表示空間的閉包,并賦予如下內(nèi)積與范數(shù)

根據(jù)H的定義可知

對(duì)于一般的q ∈[1,+∞),的加權(quán)范數(shù)定義為

為了區(qū)分通常的Lq空間和加權(quán)的Lq空間,我們定義如下標(biāo)準(zhǔn)的Lq范數(shù)

設(shè){(λj,ωj)}j∈N?R×H為特征方程

的特征值和對(duì)應(yīng)的特征函數(shù).由文[5]有下面的事實(shí)成立,即

2.預(yù)備知識(shí)

引理2.1[3]設(shè)ρ滿足(1.2).則存在僅依賴于ρ和n的正常數(shù)Cs和Cp,使得對(duì)任意v ∈H,成立

引理2.2[6]設(shè)ρ滿足(1.2).則對(duì)任意v ∈H,成立:

3.主要結(jié)論與證明

下面將在條件(1.2)-(1.4)下證明問題(1.1)的解的存在性.對(duì)于給定的T >0,考慮空間,并賦予它如下范數(shù)

首先給出局部解的存在性定理.

定理3.1假設(shè)條件(1.2)-(1.4)成立,且

其中λ1是算子???的第一特征值,則對(duì)充分小的T>0,問題(1.1)存在唯一的局部解u,并且

值得注意的是,在文[7]中,當(dāng)(3.1)成立時(shí),只要令引理2.1中的,就有下列不等式成立,即

后面的研究就是在(3.2)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.為了證明定理3.1,先給出下面的引理.

引理3.2假設(shè)(u(t),ut(t))∈C([0,T];H(Rn))∩C1([0,T];),則問題(1.1)的能量泛函

證用ρut和(1.1)做乘積,并在整個(gè)Rn上積分,則有

對(duì)于(3.3)式左邊的最后一項(xiàng),有下面的估計(jì):

這就說明E(t)是非增的.

由(3.2)和引理2.1,即得下面的引理.

引理3.3假設(shè)條件(1.2)和(3.1)成立,則對(duì)任意的u ∈H,‖u‖?和‖u‖H是等價(jià)的,即存在兩個(gè)正常數(shù)c1和c2,使得

證對(duì)任意的u ∈H(Rn),當(dāng)a>0 時(shí),

另一方面

另一方面綜上所述,對(duì)于所有的a ∈R,引理3.3成立.

引理3.4對(duì)每個(gè)T >0,設(shè)u ∈XT,假設(shè),條件(1.2),(1.3),(1.4)成立,則問題

存在唯一解v,滿足

證用Faedo-Galerkin近似方法來證明問題(3.6)解的存在性.首先構(gòu)造解的近似序列

這里的CT >0且不依賴于n.由(3.11),(3.12)和下面的事實(shí)

于是,對(duì)所有的n>0有下面的結(jié)論

則(3.13)式證明了V=v1?v2=0,即問題(3.6)的解是唯一的.

對(duì)于(3.14)式的最后一項(xiàng),用與(3.12)相同的討論方法得到下面不等式,即對(duì)于所有的t ∈[0,T]有

對(duì)(3.14)式的左邊取最大值,結(jié)合(3.15),則有

選擇充分小的T,就可以得到,這就表明S(Z(M,T))?Z(M,T).接下來,證明映射S是壓縮的.設(shè)u1,u2∈Z(M,T),使得v1=S(u1),v2=S(u2).令V=v1?v2,對(duì)所有的η ∈H(Rn)和t ∈[0,T]幾乎處處,考慮下面的問題

由(3.16)和(3.17)得

其中θ=CTM2(p?1),當(dāng)T充分小時(shí),θ <1,這就表明S是壓縮的.由壓縮映射定理得(1.1)在[0,T]上有一個(gè)唯一解,定理3.1得證.根據(jù)前面已經(jīng)討論的內(nèi)容,利用與文[3]和[7]相同的能量估計(jì)方法,得到與文[7]相同的解的全局存在唯一性結(jié)果和能量衰退速率.

定理3.2設(shè)定理3.1的假設(shè)成立,則對(duì)于充分小的,問題(1.1)有唯一的全局解u,并且

并且存在僅依賴于g,a,ω,λ1和H′(0)的t0>0,使得對(duì)所有的t ≥t0,E(t)的衰減滿足