非齊型度量測(cè)度空間上Calder′on-Zygmund算子與Campanato函數(shù)的交換子

姜偉偉,趙凱

(1.青島黃海學(xué)院大數(shù)據(jù)學(xué)院,山東 青島 266427;2.青島大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,山東 青島 266071)

1.引言

雖然雙倍條件在實(shí)調(diào)和分析中是非常重要的,但許多作者在非雙倍條件下得到了Rn上函數(shù)空間理論以及奇異積分算子有界性理論的相應(yīng)結(jié)論.[1?5]2010年,Hytnen在文[6]中引入了一類既滿足上雙倍條件又滿足幾何雙倍條件的非齊型度量測(cè)度空間,這類空間同時(shí)包含了文[7]的齊型空間和文[2]的非雙倍測(cè)度空間.此后,文[8-10]的作者研究了非齊型度量測(cè)度空間上的Hardy空間和一些等價(jià)刻畫,并討論了幾類奇異積分算子的有界性等.一些關(guān)于非齊型度量測(cè)度空間的結(jié)論以及奇異積分算子在其上的有界性問(wèn)題被許多作者關(guān)注.[11?15]

上世紀(jì)九十年代始,Herz型空間理論及其上許多奇異積分算子的有界性問(wèn)題得到了迅速發(fā)展.[16?20]2018年,作者在文[21]中引進(jìn)了非齊型度量測(cè)度空間上的Herz空間和Herz型Hardy空間,并討論了一些等價(jià)刻畫、以及Calder′on-Zygmund算子的有界性.自然的問(wèn)題是繼續(xù)探討Calder′on-Zygmund算子與某些函數(shù)構(gòu)成的交換子的有界性問(wèn)題,基于此,又因?yàn)镃ampanato空間的特別情形包含了Lebesgue空間、RBMO空間和Lipschitz函數(shù)空間,本文主要討論非齊型度量測(cè)度空間上Calder′on-Zygmund算子與Campanato空間中函數(shù)生成的交換子在非齊型度量測(cè)度空間上Herz空間和Herz型Hardy空間的有界性,得到了Calder′on-Zygmund算子與Campanato函數(shù)生成的交換子在非齊型度量測(cè)度空間上Herz空間和Herz型Hardy空間的有界性結(jié)果.

2.基本概念和引理

定義2.1[6]如果μ是X上的Borel測(cè)度,并存在一個(gè)控制函數(shù)λ:X ×(0,∞)→(0,∞),使得對(duì)每一個(gè)x ∈X,λ(x,r)關(guān)于r都單調(diào)不減,且存在一個(gè)依賴于λ的正常數(shù)C(λ),使得對(duì)任意的x ∈X和r ∈(0,∞),有

則稱度量測(cè)度空間(X,d,μ)是上雙倍的.記ν=log2C(λ).

(i) suppb ?B(x0,r),r >0,其中B(x0,r)={x ∈X:d(x0,x)

非齊型度量測(cè)度空間上齊次Herz空間的分解定理是下面的結(jié)果.

作者在文[21]中引進(jìn)了Herz型Hardy空間,并給出了其分解.

定義2.8[21]設(shè)(X,d,μ)是一個(gè)非齊型度量測(cè)度空間,0

非齊型度量測(cè)度空間上的Calder′on-Zygmund算子定義如下.

定義2.12[11]如果存在一個(gè)正常數(shù)C(K),使得

引理2.6[11]假設(shè)(X,d,μ)是一個(gè)非齊型度量測(cè)度空間,T是一個(gè)Calder′on-Zygmund算子,則以下三個(gè)條件是等價(jià)的: (i)T在L2(μ)上是有界的;(ii) 對(duì)于q >1,T在Lq(μ)上是有界的;(iii)T是L1(μ)到弱-L1(μ)有界的.

3.主要結(jié)果及證明

本文的主要結(jié)果是兩個(gè)定理.

這樣,當(dāng)0

當(dāng)1

對(duì)于I1,注意到j(luò) ≤ l ?2,x ∈ Cl,y ∈ Bj,則x ∈ X 2Bj,意味著λ(x,d(x,y))～λ(x0,d(x,x0)).因此,由式(2.4)知

同樣,當(dāng)0

當(dāng)1

至此,定理3.1證畢.

其中c4是不依賴于b和k的正常數(shù).

這就完成了定理3.2的證明.