二維Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系統(tǒng)光滑解的全局存在性和L2衰減估計(jì)

劉燁芳,滕凱民

(太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 晉中 030600)

1.引言

本文研究如下的二維Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系統(tǒng)

其中u(x,t)=(u1(x,t),u2(x,t)表示平均速度,φ=φ(x,t)是與兩個(gè)流體濃度差有關(guān)的參數(shù),P表示壓力,該系統(tǒng)起源于兩相流擴(kuò)散界面模型[9]

其中g(shù)是與時(shí)間無(wú)關(guān)的外力,ν是正常數(shù),κ ≥0是與流體的毛細(xì)管應(yīng)力有關(guān)的正常數(shù),μ表示混合物的化學(xué)勢(shì)并且

特別地,取

則系統(tǒng)(1.2)簡(jiǎn)化為系統(tǒng)(1.1).本文我們賦予該系統(tǒng)初值條件

以及遠(yuǎn)場(chǎng)行為

近幾年來(lái),Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系統(tǒng)在不同背景假設(shè)下已經(jīng)被許多數(shù)學(xué)工作者做了大量的研究.[9?10,13,20]例如,文[6]中,在初始密度ρ0有正下界的假設(shè)下,DING和LI 考慮了一維有界域中可壓縮Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程,在粘性系數(shù)ν依賴(lài)于濃度φ的情況下,假設(shè)ρ0∈H3證明了強(qiáng)解的局部存在性及唯一性;在粘性系數(shù)ν=1 的情況下,分別假設(shè)ρ0∈C3,α,ρ0∈H1,ρ0∈H2,依次證明了該系統(tǒng)經(jīng)典解、弱解和強(qiáng)解的全局存在性.Abels在文[1]中研究了二維有界區(qū)域中具有光滑邊界

的不可壓縮Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系統(tǒng),取

假設(shè)u0∈H1(?)且divu0=0,φ0∈H2(?)且‖φ0‖L∞≤1,通過(guò)利用標(biāo)準(zhǔn)的伽遼金逼近方法,證明了該系統(tǒng)全局強(qiáng)解的存在性和唯一性.Gal和Grasselli在文[9]中,令

而言,當(dāng)遷移率參數(shù)ρ0和粘性系數(shù)ν是常數(shù)時(shí),存在常數(shù)M >0及α>0使得

其中(ue,φe)是Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系統(tǒng)的穩(wěn)定解,即證明了該系統(tǒng)的穩(wěn)定解是指數(shù)型衰減的.文[11]中,HE和WU研究了光滑有界區(qū)域? ?R2中Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系統(tǒng)的初邊值問(wèn)題.假設(shè)u0∈H1(?),φ0∈H2(?)且divu0=0,通過(guò)利用伽遼金逼近方法,證明了該系統(tǒng)強(qiáng)解的適定性.此外作者還證明了能量范數(shù)中強(qiáng)解對(duì)初始數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴(lài)性以及全局弱解的正則性.Deugoué和Medjo在文[8]中研究了三維有界區(qū)域?中具有光滑Dirichlet邊界

以及初始條件

的Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系統(tǒng).首先利用Riesz定理,Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理以及不等式技巧證明了該系統(tǒng)穩(wěn)定解的存在性和唯一性.之后證明了弱解指數(shù)型收斂到穩(wěn)定解,即存在常數(shù)M0(‖u0‖L2,‖φ0‖L2)>0及實(shí)數(shù)η ∈(0,ρ),使得

在文[2]中,Depner和Abels取

通過(guò)利用能量估計(jì)的方法,證明了二、三維有界區(qū)域中具有衰退流動(dòng)性不可壓縮Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程弱解的存在性.在文[20]中,ZHAO和WU考慮了具有相同密度的兩個(gè)粘性不可壓縮牛頓流體Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系統(tǒng),滿(mǎn)足初值條件

以及邊界條件

當(dāng)ν,ρ0適當(dāng)大時(shí),通過(guò)利用標(biāo)準(zhǔn)的伽遼金逼近方法,證明了在三維情況下該系統(tǒng)全局強(qiáng)解的存在性.此外,用′Lojasiewicz-Simon方法得到了二維和三維有界區(qū)域中,當(dāng)時(shí)間t →+∞時(shí),全局強(qiáng)解收斂到一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài),之后通過(guò)利用一些能量估計(jì)以及構(gòu)造微分不等式的方法證明了對(duì)于高低階范數(shù)而言這個(gè)收斂率都是成立的.Deugoué等人在文[7]中令雙肼勢(shì)

研究了具有剪切粘度的三維隨機(jī)非局部區(qū)域中的Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系統(tǒng),當(dāng)p ∈]時(shí),結(jié)合伽遼金逼近方法,緊性原理以及單調(diào)性證明了弱解的全局存在性.之后利用不等式的方法證明了當(dāng)時(shí)間t →+∞時(shí)弱解的大時(shí)間行為

其中C依賴(lài)于‖u0‖L2和‖φ0‖L2,且b ∈(0,θ).文[19]中,ZHAO在(u0,φ0)∈H1(R3),(u0,φ0)∈HN(R3)×HN+1(R3)的假設(shè)下,用能量估計(jì)方法證明了三維Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系統(tǒng)柯西問(wèn)題強(qiáng)解的局部適定性以及在臨界空間中經(jīng)典解的全局適定性,之后用基本不等式方法得出了解的高階空間導(dǎo)數(shù)的最優(yōu)衰減率

其中k=0,1,···,N ?1.

受文[4-5]的啟發(fā),本文我們利用傳統(tǒng)的能量估計(jì)方法證明系統(tǒng)(1.1)柯西問(wèn)題光滑解的存在性及唯一性.此外,采用Schonbek在上個(gè)世紀(jì)90年代發(fā)展的Fourier分離方法[15?18],研究系統(tǒng)(1.1)光滑解及其高階空間導(dǎo)數(shù)的L2-衰減估計(jì).主要困難在于Cahn-Hilliard方程中的雙調(diào)和項(xiàng)?2?.為了克服上述困難,我們大量借助了不等式的技巧得到本文所需要的估計(jì).

我們的主要結(jié)果陳述如下:

定理1.1假設(shè)s ∈N是正整數(shù),(u0,φ0)∈Hs(R2)×Hs(R2),滿(mǎn)足divu0=0.那么系統(tǒng)(1.1)存在唯一的全局光滑解(u(x,t),φ(x,t)),滿(mǎn)足對(duì)于?T >0,有

其中C >0是只與u0,φ0有關(guān)的常數(shù).

定理1.2假設(shè)u0∈Hs(R2)∩L1(R2),φ0∈Hs(R2)∩L1(R2),?φ0∈Hs(R2)∩L1(R2),?u0∈Hs(R2)∩L1(R2),且divu0=0,則系統(tǒng)(1.1)的光滑解(u(x,t),φ(x,t))滿(mǎn)足下列L2-衰減估計(jì):

其中常數(shù)C僅依賴(lài)于‖u0‖L1,‖φ0‖L1,‖?φ0‖L1,‖?u0‖L1,‖u0‖H2,‖φ0‖H2.

定理1.3假設(shè)u0∈Hs(R2)∩L1(R2),φ0∈Hs(R2)∩L1(R2),?φ0∈L1(R2),?u0∈L1(R2),且divu0=0,其中s >1且s ∈N是正整數(shù),則系統(tǒng)(1.1)的光滑解(u(x,t),φ(x,t))滿(mǎn)足下列L2-衰減估計(jì):

其中常數(shù)C僅依賴(lài)于‖u0‖L1,‖φ0‖L1,‖?φ0‖L1,‖?u0‖L1,‖u0‖Hs,‖φ0‖Hs.

本文中,我們將使用如下的一些符號(hào):

本文的結(jié)構(gòu)安排如下: 第二節(jié)我們將給出一些先驗(yàn)估計(jì)并且證明了系統(tǒng)(1.1)全局光滑解的存在性以及唯一性.第三節(jié)利用Fourier分離方法給出了光滑解及其梯度的L2-衰減估計(jì).第四節(jié)同樣利用Fourier分離方法給出了光滑解高階空間導(dǎo)數(shù)的L2-衰減估計(jì).

2.全局正則性

引理2.1[14](Gagliardo-Nirenberg不等式) 令0≤l,α ≤m,n ∈N是維數(shù),則有

其中θ ∈[0,1]且滿(mǎn)足

當(dāng)p=∞時(shí),要求0<θ <1.

引理2.2[12](Kato-Ponce不等式) 令00.則存在一個(gè)正常數(shù)C滿(mǎn)足

其中p2,q1∈(1,∞),p1,q2∈[1,∞]滿(mǎn)足

定理1.1的證明本質(zhì)上由下面的先驗(yàn)估計(jì)可推導(dǎo)出,下面我們只給出先驗(yàn)估計(jì),存在性可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的證明方法得到,省略.

定理1.1的證明對(duì)系統(tǒng)(1.1)第一個(gè)方程左右同乘u,第三個(gè)方程的左右同乘φ,分別在R2上積分,利用分部積分,得

對(duì)系統(tǒng)(1.1)第三個(gè)方程的左右同乘?φ,在R2上積分,得

在上式兩端關(guān)于時(shí)間t>0積分,可得

對(duì)系統(tǒng)(1.1)第一個(gè)方程左右同乘?u,第三個(gè)方程的左右同乘?2φ,在R2上積分,由(2.2),Hlder不等式,Cauchy不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式,得

接下來(lái)我們估計(jì)Ii(i=1,2,3).

在上式兩端關(guān)于時(shí)間t>0積分,可得

利用Gronwall不等式,得

聯(lián)合(2.2)(2.3),得

下面作高階估計(jì).算子Λs(其中s>1)作用于系統(tǒng)(1.1)第一個(gè)方程和第三個(gè)方程,分別左右同乘Λsu和Λsφ,并在R2上積分,得

接下來(lái)分別估計(jì)Ji(i=1,2,3,4).由(2.4),利用Hlder不等式,Cauchy不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式和Kato-Ponce不等式,得

因此,聯(lián)合(2.5)-(2.8),推得

利用Gronwall不等式,根據(jù)(2.4),得

把(2.4)和(2.10)相加,得

其中C >0是只與u0和φ0有關(guān)的常數(shù).

下證唯一性.

利用分部積分,得

下面分別估計(jì)Ki(i=1,2,3,4): 利用Hlder不等式,Cauchy不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式和Kato-Ponce不等式,計(jì)算得

聯(lián)合上面四個(gè)估計(jì),推得

對(duì)上式利用Gronwall不等式,得

因此u1=u2,φ1=φ2,唯一性得證.

3.衰減性

下面我們假設(shè)系統(tǒng)(1.1)的光滑解u(x,t)和φ(x,t)在無(wú)窮遠(yuǎn)處滿(mǎn)足消失性質(zhì).下面的推導(dǎo)都是形式上成立,可通過(guò)逼近解方法和取極限獲得嚴(yán)格的證明.

引理3.1假設(shè)φ0∈L1(R2),則有下列估計(jì)成立

證 對(duì)(1.1)的第三個(gè)方程的空間變量x取傅里葉變換,得

結(jié)論得證.

引理3.2假設(shè)u0∈L1(R2),則有下列估計(jì)成立

證對(duì)(1.1)的第一個(gè)方程的空間變量x取傅里葉變換,得

解上述常微分方程初值問(wèn)題,有

利用Fourier變換的性質(zhì)以及Cauchy不等式,得

對(duì)(1.1)的第一個(gè)方程的空間變量x取散度,得

對(duì)上式取Fourier變換,由(3.5)(3.6)(3.7),推得

上式蘊(yùn)含

因此,聯(lián)合上面四個(gè)估計(jì),可得

代入(3.4),計(jì)算得

結(jié)論得證.

引理3.3假設(shè)?φ0∈L1(R2),則有下列估計(jì)成立

證對(duì)(1.1)的第三個(gè)方程求?,得

對(duì)上式的空間變量x取傅里葉變換,利用數(shù)量函數(shù)?和?可交換的性質(zhì),得

聯(lián)合上述兩個(gè)不等式,推得

由(3.10),得

結(jié)論得證.

結(jié)合引理3.1-3.3,可得

對(duì)上述方程的空間變量x取傅里葉變換,得

聯(lián)合上面四個(gè)不等式,推得

結(jié)論得證.

定理1.2的證明由(2.1),可得

利用Plancherel定理,得

設(shè)f(t)是關(guān)于t ≥0的連續(xù)可微函數(shù),滿(mǎn)足f(0)=1,f(t)≥1,f′(t)>0,?t >0.在上式左右同乘f(t),可得

根據(jù)(3.15)以及球坐標(biāo)變換,得

最后,我們估計(jì)?u的L2-衰減估計(jì).對(duì)系統(tǒng)(1.1)的第一個(gè)方程左右同乘?u,并在R2上積分,利用∫R2u·?u·?udx,得

利用Plancherel 定理,得

上式左右同乘(t+1)2,得

根據(jù)引理3.4與(3.18),可推得

上式兩端關(guān)于t>0積分,利用Hlder不等式,可得

綜上,定理1.2得證.

4.高階空間導(dǎo)數(shù)的衰減

定理1.3的證明將算子Λs(其中s >1且s ∈N)作用于系統(tǒng)(1.1)的第一個(gè)方程和第三個(gè)方程,分別左右同乘Λsu和Λsφ,并在R2上積分,得

接下來(lái)分別估計(jì)Mi(i=1,2,3,4): 由(2.4),利用Hlder不等式,Cauchy不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式和Kato-Ponce不等式,得

因此,聯(lián)合上面四個(gè)估計(jì),推得

根據(jù)定理1.2結(jié)果,推得

上式左右同乘(t+1)p,得

關(guān)于時(shí)間t>0積分,得

下面利用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證結(jié)論.

假設(shè)s=m ∈N時(shí),下述結(jié)果成立

當(dāng)s=(m+1)∈N時(shí)

綜上所述,對(duì)于?s>1且s ∈N,下述結(jié)果成立

定理1.3得證.