主題式教學(xué)和智慧教學(xué)在離散數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

梁錦浩

（南京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京 210037）

離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)類專業(yè)和計(jì)算機(jī)類專業(yè)的一門核心基礎(chǔ)課，在教學(xué)中備受重視。該課程在相關(guān)專業(yè)培養(yǎng)方案中起承上啟下的作用：一方面，該課程需要高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)等課程作為基礎(chǔ)，有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)邏輯性；另一方面，該課程有著廣泛的應(yīng)用背景，是計(jì)算機(jī)類課程的理論基礎(chǔ)[1]。正因如此，離散數(shù)學(xué)的課程教學(xué)，既要注重?cái)?shù)學(xué)上的嚴(yán)格邏輯推導(dǎo)，也要關(guān)注在實(shí)際應(yīng)用上的舉例和實(shí)踐。但是，我們在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)諸多問題：現(xiàn)有教材、課件和教案注重?cái)?shù)學(xué)推導(dǎo)，但忽略實(shí)際應(yīng)用，與實(shí)際問題脫節(jié)；該課程理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象且概念較多，傳統(tǒng)教學(xué)手段難以形象地表達(dá)，導(dǎo)致課堂教學(xué)較為枯燥乏味；學(xué)生上課積極性不高，有畏難情緒，對知識的理解不夠深刻，無法聯(lián)系實(shí)際。因此，我們亟需改變教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)理論性與應(yīng)用實(shí)踐性相結(jié)合。而主題式教學(xué)和線上線下智慧教學(xué)恰好可以解決實(shí)際教學(xué)中的這些問題。

一、主題式教學(xué)的引入

離散數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容高度抽象，強(qiáng)調(diào)理論證明和邏輯推導(dǎo)；另一方面，課程內(nèi)容又與實(shí)際問題和應(yīng)用緊密關(guān)聯(lián)。課程特點(diǎn)決定了在實(shí)際教學(xué)過程中，既要注重?cái)?shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)，也要關(guān)注實(shí)際應(yīng)用[2-4]。為此，我們將主題式教學(xué)方法引入離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程，將艱深的理論知識形象化，也將課本知識和實(shí)際問題有機(jī)結(jié)合在一起。根據(jù)課程內(nèi)容的差異，我們將課程的四個部分引入相應(yīng)的章節(jié)主題，見圖1。其中前兩章內(nèi)容偏理論重推導(dǎo)，但與很多有趣的數(shù)學(xué)歷史和數(shù)學(xué)故事關(guān)聯(lián)，因此引入歷史主題和故事主題；而后兩章內(nèi)容側(cè)重應(yīng)用，故引入相關(guān)的應(yīng)用性主題。具體陳述如下：

圖1 課程章節(jié)的主題設(shè)計(jì)

1.第一章“集合論基礎(chǔ)”引入“古近代數(shù)學(xué)史主題”

集合論章節(jié)注重邏輯推導(dǎo)，內(nèi)容較為枯燥，應(yīng)用性不強(qiáng)，但該部分的知識線索蘊(yùn)涵著近現(xiàn)代數(shù)學(xué)史的發(fā)展：微積分的創(chuàng)立、微積分發(fā)明權(quán)之爭、康托爾建立集合論、三次數(shù)學(xué)危機(jī)等等。主題化教學(xué)模式將相關(guān)的數(shù)學(xué)故事與集合知識有機(jī)結(jié)合在一起，增強(qiáng)了知識的趣味性，寓教于樂，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性和積極性，同時加深學(xué)生對知識的印象，使得學(xué)生對知識的理解更加深刻。

2.第二章“代數(shù)系統(tǒng)”引入“一元高次方程求解故事主題”

一元高次方程求解問題是近代數(shù)學(xué)史上的一顆燦爛的明星。從古代希臘和古代中國求解出一元二次方程，到歐洲文藝復(fù)興時期求解一元三次方程和一元四次方程的兩次公開比賽，再到十九世紀(jì)初意大利學(xué)者魯菲尼和挪威天才阿貝爾證明一元五次方程無求根公式，最終由法國悲情數(shù)學(xué)家伽羅瓦建立群論完美解決一元高次方程求解問題。在講授式的教學(xué)過程中穿插數(shù)學(xué)故事，將學(xué)生帶入引人入勝的數(shù)學(xué)歷史中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)群論知識的同時，了解知識產(chǎn)生的背景，激發(fā)學(xué)生探索真理的熱情，鼓勵學(xué)生將來投身科學(xué)研究事業(yè)。

3.第三章“圖論”引入“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和優(yōu)化應(yīng)用主題”

圖論與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、優(yōu)化應(yīng)用等問題密切關(guān)聯(lián)，是聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用最多的章節(jié)，因而適宜采用問題為導(dǎo)向的教學(xué)方法。例如，通過哥尼斯堡七橋問題引出圖論的起源，通過計(jì)算機(jī)存儲圖表的問題引出圖的矩陣表示，通過數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的遍歷問題引出二叉樹的概念，通過中國郵遞員問題引出歐拉圖和漢密爾頓圖，通過對地圖著色的實(shí)際問題引入四色定理等。以問題為導(dǎo)向的教學(xué)方式，從實(shí)際問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用圖論的知識進(jìn)行建模，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，鍛煉解決實(shí)際問題的能力。

4.第四章“數(shù)理邏輯”引入“計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)主題”

數(shù)理邏輯是算法程序設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，將數(shù)理邏輯知識與算法程序設(shè)計(jì)結(jié)合在一起，可以使枯燥的概念與編程聯(lián)系起來，讓知識“活”起來。探索并實(shí)踐“情節(jié)教學(xué)法”，采用“五步教學(xué)”：提出問題，引出概念，展開知識點(diǎn)，算法設(shè)計(jì)，程序?qū)崿F(xiàn)。通過引入算法設(shè)計(jì)主題，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更有側(cè)重點(diǎn)和針對性，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算機(jī)程序思維，為學(xué)習(xí)后續(xù)的計(jì)算機(jī)編程類課程打好基礎(chǔ)。

主題教學(xué)的形式，摒棄了原有教學(xué)模式抽象、枯燥的知識灌輸形式，增強(qiáng)了知識本身的故事性、趣味性和實(shí)用性，建立起學(xué)生的求知欲和探索欲，充分調(diào)動起學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動性和參與性，提升課堂內(nèi)外的學(xué)習(xí)氛圍。

二、線上線下智慧教學(xué)輔助主題式教學(xué)

隨著信息化課堂的普及，智慧教學(xué)在現(xiàn)代課堂中發(fā)揮越來越重要的作用[5-7]。為了更好地實(shí)施主題式教學(xué)，我們采用清華大學(xué)在線教育辦公室研發(fā)的“雨課堂”線上線下智慧教學(xué)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)多種智慧教學(xué)手段和課程的全數(shù)據(jù)記錄。同時，我們引入“中國大學(xué)MOOC”國家在線精品課程，作為線上的選講內(nèi)容，進(jìn)一步提升課程內(nèi)容的廣度。具體實(shí)施手段如下：

1.線下多媒體教學(xué)手段，更好地將課程融入主題式教學(xué)

離散數(shù)學(xué)中概念眾多且高度抽象，傳統(tǒng)教學(xué)方式無法直觀地表達(dá)抽象概念，致使學(xué)生對概念理解不夠深刻。利用多媒體線下教學(xué)手段，讓學(xué)生看到概念更直觀的展示，加深學(xué)生的印象和理解。同時，通過動畫、課件、視頻等手段，可以讓課堂教學(xué)內(nèi)容更加生動，教學(xué)信息量更大，將學(xué)生帶入形象的課程主題中，讓學(xué)生感受主題教學(xué)的樂趣，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

2.線下翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)手段，實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為主體的主題式教學(xué)

在應(yīng)用型章節(jié)中，巧設(shè)問題導(dǎo)向的主題教學(xué)模式，引入相關(guān)主題后，讓學(xué)生分組討論并走上講臺介紹相關(guān)章節(jié)內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)翻轉(zhuǎn)課堂。這種形式可以增加學(xué)生的課堂參與度，鍛煉學(xué)生的創(chuàng)新思維，并強(qiáng)化了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識和合作精神。

3.利用雨課堂記錄課內(nèi)外全數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)注重過程的成績評價方式

利用雨課堂智慧教學(xué)工具，實(shí)現(xiàn)實(shí)施課前線上預(yù)習(xí)、課堂快捷測驗(yàn)、課內(nèi)課外師生互動等功能，同時收集學(xué)生課堂簽到、課堂習(xí)題和課堂測驗(yàn)等數(shù)據(jù)，以此作為過程性評價的依據(jù)；實(shí)時掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時調(diào)整和完善教學(xué)計(jì)劃。同時，信息化的數(shù)據(jù)收集，可以極大地減少教學(xué)過程中的重復(fù)性工作量，提高教學(xué)效率。

4.建立線上習(xí)題庫和線上習(xí)題課庫，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和教師的教學(xué)效率

離散數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的一門核心基礎(chǔ)課，有非常多的基本概念和邏輯推導(dǎo)，因此適量的習(xí)題是必不可少的。利用雨課堂線上作業(yè)功能，建立線上習(xí)題庫，將習(xí)題推送到學(xué)生的微信程序，作為課后作業(yè)，并通過后臺數(shù)據(jù)了解學(xué)生的作業(yè)情況；同時，根據(jù)作業(yè)情況，針對性地錄制習(xí)題講解課，作為線上資源推送，讓學(xué)生根據(jù)自身情況觀看相應(yīng)的錯題解答。線上習(xí)題的方式，適應(yīng)當(dāng)今社會碎片化時間的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和教師的教學(xué)效率。

5.利用中國大學(xué)MOOC國家在線精品課程，增強(qiáng)學(xué)生自學(xué)意識和能力

傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)課程涉及的應(yīng)用和案例非常多，但由于課時限制，線下教學(xué)難以覆蓋課程范圍的全部內(nèi)容。因此，我們利用中國大學(xué)MOOC在線國家級精品課程《離散數(shù)學(xué)》（劉鐸主講）的部分章節(jié)，作為本課程的線上選講內(nèi)容。線上課程避免占用線下課時，讓課堂教學(xué)節(jié)奏更加緊湊；同時也擴(kuò)大學(xué)生的知識面，并增強(qiáng)學(xué)生的自學(xué)能力。

三、主題式教學(xué)引入課程思政元素，全方位培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)

專業(yè)課與思政元素的恰當(dāng)融合，不僅可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，豐富專業(yè)課的教學(xué)內(nèi)容，讓課程內(nèi)容變得更加有深度，而且還能夠讓學(xué)生將思政內(nèi)容與實(shí)際生活聯(lián)系起來，真正達(dá)到“育人”的目的，這也是新時代背景下穩(wěn)步推進(jìn)思想政治教育改革以形成大思政育人體系的一個重要方向[8-10]。離散數(shù)學(xué)的專業(yè)課知識與傳統(tǒng)思政教學(xué)距離較遠(yuǎn)，因此在實(shí)施課程思政過程中更需要巧妙的設(shè)計(jì)，將思想政治教育內(nèi)容恰當(dāng)?shù)厝谌腚x散數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，使專業(yè)知識內(nèi)容與思政教育內(nèi)容相得益彰，才可以實(shí)現(xiàn)專業(yè)課中“潤物細(xì)無聲”的思政教育。

采用主題式教學(xué)方法，我們可以很好地將思政元素潛移默化地融入專業(yè)課程的教學(xué)中，見圖2。在“古近代數(shù)學(xué)史主題”中，通過螺旋式的數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程，凸顯科學(xué)研究是曲折前行并在實(shí)踐中不斷地修正的，激勵學(xué)生樹立不折不撓、堅(jiān)持不懈的科學(xué)精神；在“一元高次方程求解故事主題中，通過講述塔塔利亞、阿貝爾、伽洛瓦等數(shù)學(xué)家的事跡，展示數(shù)學(xué)家們追求真理、為真理奉獻(xiàn)的精神，啟發(fā)學(xué)生要堅(jiān)持真理，勇于創(chuàng)新；在“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和優(yōu)化算法應(yīng)用主題”中，通過問題引導(dǎo)式的教學(xué)手段，展示離散數(shù)學(xué)在應(yīng)用實(shí)踐中的強(qiáng)大力量，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)以致用的能力；在“計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)主題”中，通過介紹我國近年在大數(shù)據(jù)計(jì)算和人工智能等方面的重大進(jìn)展，展現(xiàn)大國重器背后的工匠精神，激勵學(xué)生不忘初心牢記使命，為我國社會主義現(xiàn)代化建設(shè)貢獻(xiàn)力量。

圖2 主題式教學(xué)引入的思政元素

四、注重過程性評價的成績評價方式

離散數(shù)學(xué)課程成績由期末考試成績和平時成績兩部分構(gòu)成，見表1。期末考試成績作為學(xué)生掌握課程知識的標(biāo)尺，是必不可少的；而平時成績則需要能夠反映學(xué)生平時的學(xué)習(xí)態(tài)度、知識積累和掌握情況、自主學(xué)習(xí)能力等。如果僅憑借書面作業(yè)來評價平時學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，此時就需要結(jié)合課程具體情況加強(qiáng)過程性考核。而雨課堂智慧教學(xué)系統(tǒng)的全數(shù)據(jù)記錄，就為過程性考核提供了主要依據(jù)。譬如，課堂簽到和課堂習(xí)題的數(shù)據(jù)作為課堂表現(xiàn)的評價依據(jù)，課后作業(yè)的完成數(shù)據(jù)作為平時作業(yè)的評價依據(jù)。另一方面，離散數(shù)學(xué)是一門既注重基礎(chǔ)概念和數(shù)學(xué)邏輯推導(dǎo)，又注重應(yīng)用實(shí)踐的專業(yè)基礎(chǔ)課，理論成績與應(yīng)用實(shí)踐成績同樣重要。譬如，將翻轉(zhuǎn)課堂的表現(xiàn)納入總評成績的范圍，布置課后算法設(shè)計(jì)實(shí)踐作業(yè)作為課外實(shí)踐的考核依據(jù)。通過多元化的考核方式，既鞏固了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，也培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)際應(yīng)用能力，同時還強(qiáng)化了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)意識和合作精神。

表1 課程考核成績構(gòu)成

結(jié)語

本文打破傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)模式，引入主題式教學(xué)模式和線上線下智慧教學(xué)模式，充分體現(xiàn)以學(xué)生為發(fā)展中心的教學(xué)理念，是信息時代教育的大勢所趨。這兩種教學(xué)模式的引入改變以往學(xué)生的被動的學(xué)習(xí)狀態(tài)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、主動性、積極性和課堂參與度；同時保證了教學(xué)過程的信息化、數(shù)據(jù)化，提高了教學(xué)效率。因此，這兩種教學(xué)模式在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中值得推薦。