探究圖形語(yǔ)言在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的作用

◎ 海南省海口市瓊山華僑中學(xué) 李 武

數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維看世界。同時(shí)從公平公正的人才選拔角度來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)目的也重在培養(yǎng)學(xué)生解題能力，所以提高數(shù)學(xué)的解題能力就成為了教學(xué)重要環(huán)節(jié)。而數(shù)學(xué)的解題過(guò)程其實(shí)就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化過(guò)程，所以培養(yǎng)學(xué)生圖形語(yǔ)言具有現(xiàn)實(shí)意義。

數(shù)學(xué)語(yǔ)言不是簡(jiǎn)單地描述數(shù)學(xué)知識(shí)，而是數(shù)學(xué)思維的一種載體和教學(xué)過(guò)程的交流工具。在教學(xué)活動(dòng)中，很多抽象的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)需要借助恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)呈現(xiàn)，課堂教學(xué)也需要借助數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)交流互動(dòng)。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)其實(shí)就是在教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的演變、轉(zhuǎn)化和應(yīng)用的思維形成過(guò)程。

數(shù)學(xué)圖形語(yǔ)言可以將數(shù)學(xué)研究對(duì)象、性質(zhì)、思想進(jìn)行直觀形象的描述。圖形語(yǔ)言包括幾何學(xué)中的各種平面和立體圖形模型；包括概率學(xué)中的頻率分布直方圖、分布列表等，以及初等函數(shù)、三角函數(shù)這樣函數(shù)的圖像?？梢哉f(shuō)這些內(nèi)容涉及的圖形語(yǔ)言的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化和應(yīng)用，即在理解對(duì)象概念、性質(zhì)的基礎(chǔ)上，按照特定的法則對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行加工，最后以形象直觀的圖式呈現(xiàn)。

一、圖形語(yǔ)言的教學(xué)價(jià)值

培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)圖形思考數(shù)學(xué)問(wèn)題符合高中數(shù)學(xué)直觀想象的核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)圖形可以將數(shù)學(xué)研究對(duì)象、性質(zhì)、思想進(jìn)行直觀形象的描述，有利于學(xué)生克服對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼、加深對(duì)知識(shí)的記憶，提高解題能力等，所以圖形語(yǔ)言具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1.將抽象概念形象化激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。筆者通過(guò)教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，高中生之所以對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生恐懼和排斥的心理，主要原因是因?yàn)閿?shù)學(xué)概念性質(zhì)過(guò)于抽象。而中學(xué)生的思維還只處于想象思維向抽象思維過(guò)渡階段，對(duì)于抽象概念很難直接通過(guò)自然語(yǔ)言去理解，而如果能借助圖形語(yǔ)言將抽象概念形象化可以在很大程度上讓學(xué)生很容易就從本質(zhì)上掌握數(shù)學(xué)抽象概念，降低學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼和排斥，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

如圖1，在“集合”這一小節(jié)中，我們可以利用韋恩圖或者數(shù)軸法的圖式語(yǔ)言來(lái)教學(xué)，運(yùn)用韋恩圖很顯然使得交集、并集的抽象概念直觀化，有利于幫助學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行理解和掌握。通過(guò)圖式語(yǔ)言（圖1）學(xué)生可以形象地發(fā)現(xiàn)補(bǔ)集、交集的準(zhǔn)確概念，不僅降低了難度，對(duì)學(xué)生記憶也有了形象直觀的幫助，在將來(lái)的解題過(guò)程中也能避免對(duì)概念的模糊記憶而做錯(cuò)題。

圖1

在講“函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性”等性質(zhì)時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察直觀的圖像入手，由淺入深，由具體到抽象層層遞進(jìn)展開。再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖像語(yǔ)言得到文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言，這在一定程度上大大地降低了學(xué)習(xí)的難度，有利于幫助學(xué)生理解和掌握。如圖2，學(xué)生很容易就可以從圖像中得到單調(diào)函數(shù)定義的自然語(yǔ)言：在x的某一范圍內(nèi)函數(shù)值y隨著x的增大而增大，或者在x的某一范圍內(nèi)函數(shù)值y隨著x的減小而減小。

圖2

學(xué)生通過(guò)圖形觀察歸納共同性質(zhì)從而得出數(shù)學(xué)概念，符合高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)要求，也符合學(xué)生思維的發(fā)展規(guī)律。這種通過(guò)圖像歸納概念的方法不僅讓學(xué)生掌握了概念，而且也讓學(xué)生簡(jiǎn)單明了地在視覺上感受了數(shù)學(xué)直觀的美感。

2.促進(jìn)形象記憶。圖形語(yǔ)言是種形象語(yǔ)言，它不但可以像文字語(yǔ)言那樣具有記錄的作用，而且相對(duì)于文字語(yǔ)言而言圖形語(yǔ)言更直觀和形象，有利于培養(yǎng)學(xué)生形成直觀記憶，當(dāng)然也更符合新課程改革中的數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生探索解題思路，符合課程改革所提倡的直觀想象核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。通過(guò)圖形來(lái)記憶數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)不僅在一定程度上降低了數(shù)學(xué)本身的抽象性，還在很大程度上提高學(xué)生記憶數(shù)學(xué)重要知識(shí)的效率。

在講解“指數(shù)函數(shù)性質(zhì)”這節(jié)課時(shí)，通過(guò)圖3學(xué)生會(huì)很容易發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的共同特征，而老師也能輕松引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察圖像歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。從圖3中學(xué)生能很快得知當(dāng)a＞0，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)恒過(guò)（0，1）點(diǎn)，以及函數(shù)非奇非偶。當(dāng)a＜0，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，函數(shù)恒過(guò)（0，1）點(diǎn)，以及函數(shù)非奇非偶。這個(gè)圖直觀形象，對(duì)于學(xué)生而言更便于觀察與聯(lián)想，讓學(xué)生很輕松就能記住指數(shù)函數(shù)的基本性，同時(shí)因?yàn)閳D像形象直觀的特點(diǎn)促進(jìn)學(xué)生深刻記憶，這是其他數(shù)學(xué)語(yǔ)言所沒有的優(yōu)越性。

圖3

3.提高解題能力。數(shù)學(xué)解題本質(zhì)就是邏輯推理，就是要在題目的抽象文字中篩選出研究對(duì)象，并尋找對(duì)象間的邏輯關(guān)系。對(duì)學(xué)生來(lái)講尋找題目的邏輯關(guān)系并不是很容易，因?yàn)榇蟛糠謱W(xué)生很難直接通過(guò)題目的語(yǔ)言去理解題目意思，但是如果能培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)用圖形語(yǔ)言重新表達(dá)題目的意思，那么往往就能降低難度，獲取解題的思路。所以，從語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的視角研究提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，不僅有利于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，還能讓他們學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

例1：解決零點(diǎn)問(wèn)題。

（1）函數(shù)y=log2|x|-2x零點(diǎn)有多少個(gè)？

從題目中學(xué)生要能從求零點(diǎn)問(wèn)題的幾種等價(jià)關(guān)系出發(fā)分析題干信息：①題目含義相當(dāng)于求函數(shù)y=log2|x|-2x跟x軸的交點(diǎn)到底有多少個(gè)；②題目含義相當(dāng)于求y=log2|x|-2x=0根的個(gè)數(shù)；③題目含義相當(dāng)于求方程組的解，即y=log2|x|與y=2x交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

對(duì)于這三種情況來(lái)說(shuō)，第①種情況顯然不是初等函數(shù)的簡(jiǎn)單變化，所以如果不借助多媒體軟件很難直接作圖；第②種情況是超越方程，求解這類方程已經(jīng)超出了中學(xué)生的能力水平；第③種情況中顯然y=log2|x|和y=2x都是可以用圖像（圖4）表示的，所以問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成為了用圖像語(yǔ)言來(lái)解決零點(diǎn)問(wèn)題。

圖4

4.培養(yǎng)動(dòng)態(tài)思維能力。數(shù)學(xué)其他語(yǔ)言向圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)變本質(zhì)上就是學(xué)生思維從抽象到直觀，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)變。特別是在求參量問(wèn)題上，如果能讓學(xué)生根據(jù)題意構(gòu)造圖形，則在很大程度上就能降低求參量問(wèn)題這種題型的解題難度，使思維變成可操作的數(shù)學(xué)演算，使思路從復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)潔，讓思維變得快捷，思維由靜態(tài)向動(dòng)態(tài)化轉(zhuǎn)變，思維活動(dòng)清晰明了。

圖5

二、加強(qiáng)圖形語(yǔ)言教學(xué)的培養(yǎng)途徑

上面我們分析了圖形語(yǔ)言在教學(xué)中具有實(shí)用的現(xiàn)實(shí)意義，所以如何培養(yǎng)學(xué)生作好圖就成為了我們?cè)诮虒W(xué)中要解決的問(wèn)題。筆者在多年的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生作圖隨意，特別是一些涉及到平移和對(duì)稱變化后的題目學(xué)生在作圖時(shí)往往過(guò)于隨意而導(dǎo)致最后出現(xiàn)錯(cuò)誤，當(dāng)然造成這種錯(cuò)誤一定程度上是由于學(xué)生粗心，但同時(shí)也反映出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)概念掌握不扎實(shí)，所以我們?cè)谝龑?dǎo)學(xué)生作圖時(shí)既要要求圖像的準(zhǔn)確完整，也要注重學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)定義定理的理解和掌握。

1.重視學(xué)生作圖的準(zhǔn)確性和完整性。圖形語(yǔ)言雖然不能作為解題的步驟，但它為學(xué)生尋找解題方法和技巧提供了方向?？墒窃诮虒W(xué)中我們經(jīng)常發(fā)現(xiàn)學(xué)生因?yàn)樽鲌D時(shí)候過(guò)于隨意最后出現(xiàn)了錯(cuò)誤，所以在日常的作圖訓(xùn)練中一定要重視學(xué)生作圖的準(zhǔn)確性和完整性。

例3：如圖6，已知f(x)=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是多少？

圖6

分析：這個(gè)題目是零點(diǎn)問(wèn)題，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生雖然能把大概的圖形畫出來(lái)，但由于畫得不準(zhǔn)確，部分學(xué)生在畫圖過(guò)程中忽略了圖形不能穿過(guò)y=-2，所以在x＜1關(guān)于x對(duì)稱以后在x＜1部分的圖形高度就超過(guò)了y=2的圖形高度，得到的結(jié)果是b∈(0,+∞)。通過(guò)這個(gè)題目可以看出學(xué)生在畫圖時(shí)容易因?yàn)樽约旱牟粐?yán)謹(jǐn)使得畫出的圖形不夠準(zhǔn)確導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，所以在加強(qiáng)圖形語(yǔ)言教學(xué)的培養(yǎng)中要重視學(xué)生作圖的準(zhǔn)確性和完整性。

2.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中隱藏的幾何意義。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)注重的是邏輯思維的轉(zhuǎn)換，而圖形語(yǔ)言就是將抽象思維向形象思維轉(zhuǎn)變的載體，培養(yǎng)學(xué)生這種思維轉(zhuǎn)變可以通過(guò)題目進(jìn)行引導(dǎo)和解讀，比如有些題目表面上是代數(shù)問(wèn)題，可是其中卻隱藏了豐富的幾何意義，而引導(dǎo)學(xué)生挖掘其中的幾何意義可以在一定程度上簡(jiǎn)化解題的過(guò)程，豐富解題技巧。

常規(guī)解法1：在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCCOSC，所以3=AC2+4-4AC·COSC，即AC2-4AC·COSC+1=0。

由題，關(guān)于AC的一元二次方程應(yīng)該有解，令△ABC=(4COSC)2-4≥0得，或舍去，因?yàn)锳B＜AC），所以，即角C的取值范圍是

幾何意義解法2：如圖7，點(diǎn)A處在以點(diǎn)B為圓心以線段AB為半徑的圓上，且不與CB處在同一條直線上。顯然當(dāng)AC與AB垂直時(shí)可得最大角∠C，此時(shí)所以

圖7

3.提高學(xué)生的構(gòu)圖能力。在某些數(shù)學(xué)題目中，如果條件和結(jié)論之間存在著某些特定的幾何意義，那么我們可以引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題并構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從而使得問(wèn)題簡(jiǎn)單化、形象化，做到化難為易。

例5：如圖8，計(jì)算19981998×19971997-19981997×19971998這個(gè)代數(shù)運(yùn)算其實(shí)就是兩個(gè)矩形面積的差，即SABHG-SEDGF。

圖8

從這個(gè)簡(jiǎn)單例子中我們發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)圖能力對(duì)有效促進(jìn)學(xué)生掌握?qǐng)D形語(yǔ)言，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思維具有重要的意義。

4.分層培養(yǎng)學(xué)生作圖。如何培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力已經(jīng)成為我們教學(xué)中要解決的重要問(wèn)題。在教學(xué)上我們要因材施教，根據(jù)不同的學(xué)生設(shè)置不同的問(wèn)題，從而提高課堂質(zhì)量。

課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生作圖能力可以是老師示范引導(dǎo)，亦可以是學(xué)生自己動(dòng)手。不論是采用什么方式，目的都是讓學(xué)生在課堂上掌握準(zhǔn)確的畫圖方式，哪怕是草圖也不能出現(xiàn)原則性錯(cuò)誤或者概念錯(cuò)誤，比如圖像的對(duì)稱平移要能準(zhǔn)確刻畫。雖然一節(jié)課的內(nèi)容和教學(xué)要求都是統(tǒng)一的，但作為教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的能力差異和認(rèn)知水平差異，對(duì)不同層次的學(xué)生進(jìn)行有針對(duì)性的教學(xué)。教師在培養(yǎng)學(xué)生作圖能力時(shí)，需充分考慮學(xué)生的知識(shí)掌握水平來(lái)將問(wèn)題按難、適中和容易三個(gè)層次進(jìn)行設(shè)計(jì)。先是站在激發(fā)學(xué)生興趣的角度設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生層層深入，幫助學(xué)生理清基本概念性質(zhì)，再適時(shí)、適量地設(shè)計(jì)出若干問(wèn)題，讓不同層次的學(xué)生解答。其中，針對(duì)性強(qiáng)、鞏固知識(shí)類的常見的圖形提問(wèn)，以基礎(chǔ)差的學(xué)生為主，讓全體學(xué)生回憶所學(xué)過(guò)的知識(shí)，提醒學(xué)生加強(qiáng)理解和記憶重點(diǎn)知識(shí)；比較復(fù)雜的不常見的圖形提問(wèn)，以優(yōu)生回答為主，一方面可以拓展優(yōu)生的能力，另一方面讓優(yōu)生帶動(dòng)其他學(xué)生拓寬思路。也可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)內(nèi)容相互提問(wèn)，會(huì)讓課堂更具趣味性與拓展性。只有在課堂中分層設(shè)置問(wèn)題，靈活地運(yùn)用提問(wèn)技能，才有助于把課堂真正構(gòu)建為師生互動(dòng)的課堂，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性從而使其更加牢固地掌握數(shù)學(xué)基本知識(shí)，為提高數(shù)學(xué)作圖能力奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

總之，圖形語(yǔ)言最大的特點(diǎn)就是直觀性強(qiáng)，它可以讓抽象思維具體化、繁瑣問(wèn)題簡(jiǎn)潔化，幫助學(xué)生分析題目、記憶知識(shí)點(diǎn)。此外，雖然圖式語(yǔ)言不能作為解題或證明的依據(jù)，但它很多時(shí)候能給我們啟發(fā)，而且我們大多數(shù)時(shí)候都要結(jié)合圖像、圖表等來(lái)分析題目。正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說(shuō)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分開萬(wàn)事非。”