尊重學(xué)生“感知”讓“建模”扎根思維的沃土之中
——以吳正憲老師執(zhí)教“乘法分配律”為例

●馬貞，韓淑嫻

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵中指出，模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑[1]。培養(yǎng)模型意識(shí)，發(fā)展“建?！蹦芰κ切W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)之一。近期，聽了全國(guó)知名特級(jí)教師吳正憲執(zhí)教的“乘法分配律”，她在課堂上充分尊重學(xué)生感知，學(xué)生大膽地說、創(chuàng)造地想、熱烈地辯，在充分感知的基礎(chǔ)上從算式到文字、到圖形、再到字母，逐步抽象概括，這樣的“建?！弊裱瓕W(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，是有“根”的教學(xué)。現(xiàn)摘錄其中的教學(xué)片段，與大家共享。

【課堂片斷】

師：同學(xué)們，今天吳老師和大家一起學(xué)數(shù)學(xué)，大家一起看屏幕（圖1）。

圖1

師：你們看到了什么？看到什么就說什么。

生：左邊花壇中每行有12朵花，總共有8行。

師：真好！不僅看到了花，還看到了重要的數(shù)據(jù)。你呢？

生：右邊的花壇中每行有8朵花，總計(jì)有8行。

師：真棒！你們發(fā)現(xiàn)了這么多的信息。如果吳老師把左邊的花壇覆蓋了（圖2），你們看到了什么？這個(gè)花壇的長(zhǎng)是多少？

圖2

生：這個(gè)花壇長(zhǎng)12米，寬7米。

師：那你再看看這兒，你又看到了什么？

生：這個(gè)花壇長(zhǎng)8米，寬7米。

師：同學(xué)們都睜大了眼睛，努力在情境中發(fā)現(xiàn)重要的數(shù)學(xué)信息。那你能提出什么數(shù)學(xué)問題嗎？你想求什么？好，這個(gè)男孩。

生：我想求紅花的寬跟長(zhǎng)。

師：寬跟長(zhǎng)已經(jīng)有了，有了寬跟長(zhǎng)可以求他們的什么？（周長(zhǎng)）還可以求什么？面積還沒學(xué)是不是?。坑袥]有會(huì)求的？你會(huì)求。

生：12乘以7。

師：哦，我明白了，你想求左邊的面積。還有嗎？你想求什么？

生：我想求黃花的面積，7乘以8。

師：有沒有再勇敢點(diǎn)的。你想求左邊，他想求右邊，你還想求什么？

生：我還想求兩塊并起來的面積。

師：可以嗎？除了面積，還可以求什么？

生1：我想求左邊的花壇有幾朵花。

生2：我想求右邊的花壇有幾朵花。

生3：我想求一共有多少朵花。

師：面對(duì)一個(gè)情境，我們從不同的角度可以提出很多問題?？梢郧笞筮吅陀疫呉还灿卸嗌俣浠?，還可以研究左邊面積和右邊面積一共有多少平方米。請(qǐng)你選擇其中一個(gè)問題，能列綜合式的盡量列綜合式，聽懂沒？

【賞析】

設(shè)置對(duì)話情景，讓學(xué)生站到課堂的中央，“你看到了什么”“你想求什么”“還可以求什么”，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)信息，讓學(xué)生提出問題，由學(xué)生尋找答案，有時(shí)學(xué)生的發(fā)言雖然不那么精確，但有著對(duì)數(shù)學(xué)質(zhì)樸的理解，充滿著濃濃的兒童味與生活味。吳老師的提問常常充滿商量的語氣，看似讓學(xué)生選擇，但學(xué)生實(shí)在無法拒絕吳老師期待與鼓勵(lì)的眼神。

【課堂片斷】

師：寫一種方法就好！他求共有多少面積，跟他方法不一樣的可以到前面來寫。誰求花把手舉起來，揮揮手。這是誰寫的？你求的是什么？

生：我求的是花，我是這樣想的。

師：不著急，上來就想當(dāng)老師。你是這樣想的，我們還沒讀懂呢！下面我們開始對(duì)話，誰來對(duì)他提問題？

圖3

生：12乘8是什么意思？

師：?jiǎn)柕谜婧?！我建議第一次掌聲響起來。生：12乘8，意思是左邊的花壇有96朵花。

師：誰支持他的觀點(diǎn)？有問題嗎？你們也是這么想的嗎？接著問。

生：韓程陽，8乘以8等于幾？哦，8乘以8是什么意思？

師：你這么一調(diào)整，問得就深刻了。還有嗎？接著問。

……

師：?jiǎn)柕谜婧?！為什么?6與64加在一起？

生：我把左邊和右邊的花先求出來，然后再加。

師：都同意嗎？這是誰寫的，也是160朵，和大家討論。

生：12加8什么意思？

師：?jiǎn)柕煤?！你們可睜大了眼睛好好看??！他說左邊12朵，右邊8朵，合在一起，這第一排是多少朵？還有問題嗎？

生：為什么要乘8？

生：因?yàn)槎加?行.

生思考。

師：思考就行了嗎？還得親自動(dòng)手……說吧！

生：算一算。

師：我也特別喜歡你，真會(huì)聽講！

【賞析】

2.3.4 注意該區(qū)域范圍歷史沿革變化，重視口述文獻(xiàn)的收集。在收集湘西地區(qū)紅色文獻(xiàn)時(shí)，地域范圍不能局限于現(xiàn)在的行政區(qū)劃，而應(yīng)根據(jù)本地區(qū)的歷史沿革等實(shí)際情況來確定。注意與湘鄂西、湘鄂川黔各紅色紀(jì)念基地、老紅軍取得聯(lián)系，實(shí)地走訪，了解、記錄紅色口述文獻(xiàn)。

課堂追問既是教學(xué)手段，也是教學(xué)藝術(shù)?！罢l來對(duì)他提問題？”“還有嗎？接著問。”“還有什么問題呀？”學(xué)生的回答不可謂不精彩，但吳老師并不滿足，她總是不停地追問，讓學(xué)生的思維向更深處漫溯?！皢柕谜婧茫　薄罢鏁?huì)聽講！”吳老師善于用自己的眼神、手勢(shì)、笑容鼓勵(lì)學(xué)生、調(diào)動(dòng)學(xué)生、影響學(xué)生。在吳老師的課堂，學(xué)生想說、敢說、善說，師生之間、生生之間充滿溫情與智慧。

【課堂片斷】

師：好，該求面積的上來了，這是誰的？先說這個(gè)吧。

生：大家對(duì)我的算式有什么提問？

師：12乘7是先算出紅花的面積，你問他能聽懂嗎？找那些沒發(fā)言的人行嗎？我建議那個(gè)男孩還沒說過呢，很想聽到你的聲音！

生：7乘8是什么意思？

生：7乘8算出黃花的面積。

師：加是什么意思？

生：因?yàn)橐愠隹偯娣e，所以應(yīng)該把紅花和黃花的面積加起來。

師：給點(diǎn)掌聲吧！真挺好的，那這是誰寫的？

生：這是我寫的，有什么問題嗎？

生：12加8是什么意思？

生：12加8的意思是紅花的長(zhǎng)和黃花的長(zhǎng)相加總的長(zhǎng)。

師：合起來了，那這個(gè)長(zhǎng)就是幾米了？寬呢？

生：寬是7米。

師：那20乘7就是什么？

生：這兩塊地的總面積。

師：聽明白了嗎？左邊等于多少？右邊等于多少？那你說這兩個(gè)結(jié)果怎么樣？（相等）

師：謝謝你支持我啊。你是說這個(gè)式子和這個(gè)式子是相等的對(duì)不對(duì)？我們寫出幾組算式了？有點(diǎn)感覺了嗎？誰有感覺了把手舉起來，有點(diǎn)兒感覺但說不出來的也請(qǐng)舉手！

【賞析】

“很想聽到你的聲音！”“聽懂了嗎？”“給點(diǎn)掌聲吧！”“謝謝你支持我啊?！眳抢蠋熒朴凇傲脫堋睂W(xué)生的情緒，她的課堂語言很有親和力，學(xué)生愛聽。在吳老師的課堂，學(xué)生愛問、愛說、愛思考，這源于吳老師對(duì)孩子真誠無差別的愛與洞察，也源于吳老師對(duì)課堂與教材的深刻理解與把控。她的課看似平淡，但聽著聽著就有“感覺”了。

【課堂片斷】

師：我們繼續(xù)研究看看誰能再有新的感覺。你們看這兒，正面墻要貼瓷磚，側(cè)面墻也要貼瓷磚，現(xiàn)在要求一共貼瓷磚的面積，會(huì)求嗎？這次要求可高了，你能試著像剛才那樣用兩種方法來求嗎？

圖4

師：你們算出的面積是多少??？

生：10平方米。

師：能說說你的算式嗎？

生：2乘2等于4平方米，2乘3等于6平方米，加起來就等于10平方米。

師：你還想說點(diǎn)什么？你來說吧，還可以怎么樣？

生：借助一張長(zhǎng)方形紙和一張正方形紙，我把3米和2米墻合在一起，然后再乘那邊的寬就得10平方米。

師：你一口氣寫了兩個(gè)算式。你剛才在這兒猶豫了半天，你不回去，你想干嗎呀？

生：我想問同學(xué)有沒有不明白的地方。

師：掌聲送給他！好，那這邊跟這邊又相等了，睜大了眼睛好好看，此時(shí)此刻你有感覺了嗎？有感覺的人把手舉起來，這么多人??！

圖5

【賞析】

乘法分配律的算理很重要，吳老師沒有急于告訴或解釋，而是借助兩張紙，把兩面墻合在一處，就題論理，以形象來支撐和發(fā)展抽象。一個(gè)“合”字形象而生動(dòng)，自然貼切地“打通”了分步算式和綜合列式之間的算理，在這里，抽象獲得了形象的支撐?！按藭r(shí)此刻你有感覺了嗎？”開始學(xué)生的感覺也許是懵懂、模糊、不具象的，但這種朦朧的感覺正是“建模”的基礎(chǔ)。

【課堂片斷】

師：現(xiàn)在我們又提出了新的要求，沒有情境了，也不貼瓷磚了，也不數(shù)花朵了，也不求面積了。你有感覺了，你能遵從你的感覺再寫出一組這樣的式子嗎？（學(xué)生嘗試寫）

圖6

師：我們先看看這兩個(gè)同學(xué)的吧，3加5的什么？

生：3加5的和乘10就等于3乘10加5乘10。

師：你就這么輕易地畫了一個(gè)等號(hào)？你為什么用等號(hào)連接啊？

生：我是這么想的，3加上5等于8，再乘10就等于80。

師：明白了，他是真正去算了的。同學(xué)們我們過去學(xué)過乘法呀，誰能換個(gè)角度來解讀這個(gè)算式？有沒有從乘法意義的角度去理解的？

生：3個(gè)10加5個(gè)10等于8個(gè)10，左邊呢也是8個(gè)10。

師：掌聲還不響起來！他能用自己的經(jīng)驗(yàn)、過去的知識(shí)解讀今天遇到的新問題。我們看第五個(gè)式子。左邊幾個(gè)5？再看右邊，這是幾個(gè)5加幾個(gè)5？合在一起是幾個(gè)5？

師：這就是填等號(hào)的重要原因，對(duì)嗎？如果讓你們繼續(xù)寫下去，還能寫嗎？寫到今天下課？寫到明天上課？那能寫出多少啊？

【賞析】

學(xué)生“原生態(tài)”的思考彌足珍貴，看似五花八門、霧里看花，但仔細(xì)觀察，還是能看出端倪[2]?！澳阌懈杏X了，你能再寫出這樣的一組式子嗎？”“感覺”是什么東西，這還真不容易說清楚，但學(xué)生聽明白了，你們看，孩子們寫出來的“感覺”、說出來的“感悟”多好啊，這不僅是對(duì)乘法分配律的“模仿”，更是一種基于感性的“數(shù)學(xué)表達(dá)”。

【課堂片斷】

師：那好，這一類的問題，有沒有共同的規(guī)律？你能把這個(gè)共同的規(guī)律用你的語言寫出來嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)結(jié)果是一樣的，而且寫不完。

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)多了不起?。∥乙穯柫?，那我說3加5等于幾？7加1等于幾？這結(jié)果也一樣呀，它跟我們今天學(xué)的有什么不同？你得把這個(gè)過程用我們的語言表達(dá)出來。

生：我發(fā)現(xiàn)他們其中的一個(gè)數(shù)是一樣的。

師：你發(fā)現(xiàn)了他們其中的一個(gè)數(shù)是一樣的，這很重要。比如說第一題的哪個(gè)數(shù)是一樣的？

師：再來看這一題，就是兩個(gè)數(shù)的和都乘一個(gè)數(shù)是這意思嗎？你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)物體的長(zhǎng)加在一起再乘以寬就等于總面積。

師：挺好的，你發(fā)現(xiàn)兩個(gè)物體的長(zhǎng)合在一起乘寬就等于總面積。還可以怎么樣？

生：還可以先求一個(gè)物體的面積，再求另一個(gè)物體的面積，然后加起來。

師：越來越發(fā)現(xiàn)新東西了，誰能把這一類的題用一句話做總結(jié)？

生：分配率。

師：你說的？有戲！但不是你那個(gè)率啊。

生1：這一類問題兩組數(shù)既可以分開算，也可以一起算，而且結(jié)果一樣，寫不完。

生2：兩個(gè)算式有一個(gè)數(shù)肯定是一樣的。

師：有點(diǎn)兒意思。他說這一類的問題兩組數(shù)可以怎么樣？你來說。

生：可以分開算，也可以合起來算。最后的結(jié)果一定是一樣的。

圖7

師：真棒！真是越總結(jié)越完善。

【賞析】

“你能把這個(gè)共同規(guī)律用你的語言寫出來嗎？”自己的語言是學(xué)生聽得懂的語言，在這樣的課堂里，大家一起“聊”數(shù)學(xué)，有一種熟悉的“家”的味道。“我要追問了?！眳抢蠋煹淖穯柨偰茏プW(xué)生的“癢處”，引導(dǎo)學(xué)生的思維向更深處漫溯。“你能把這個(gè)過程表達(dá)出來嗎”“你還有什么發(fā)現(xiàn)？”“誰能把這一類題用一句話做總結(jié)？”兒童化、生活化的提問讓孩子們聽起來特別親切。數(shù)學(xué)語言的本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)模型，它是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁[3]。學(xué)生的回答雖不十分準(zhǔn)確，但核心要義達(dá)到了，這是孩子們對(duì)乘法分配律的“兒童化表達(dá)”。

【課堂片斷】

師：你們都是這么想的嗎？北京有一位同學(xué)是這樣寫的，爸爸和媽媽合在一起疼我，然后他說爸爸疼我，你們接著說，應(yīng)該怎么說？

圖8

生：媽媽也疼我。

師：他們一起疼我。這好記吧？那你說這個(gè)爸爸可不可以代表12？可以代表上式中的2嗎？代表3、4可以嗎？這個(gè)媽媽可以代表8嗎？代表3、5、6可以嗎？誰能比他寫得再好點(diǎn)？我不用文字表示，還可以用什么表示？

生：圖形。

師：接著寫，圖形怎么表示？〇表示誰？

生：表示爸爸。

師：爸爸表示誰？（其中的一個(gè)數(shù)）然后再加上一個(gè)△，三角形表示什么？（媽媽，也是其中的一個(gè)數(shù)）然后呢？

生：再乘☆。

師：五角星又表示什么？

生：就是兩個(gè)算式里面一模一樣的那個(gè)數(shù)。

師：你的意思就是這個(gè)7對(duì)不對(duì)？然后等于什么？這很關(guān)鍵。大家一起來說！

生：等于圓乘五角星，再加三角形乘五角星。

師：那你說你這個(gè)可以表示多少個(gè)式子？如果我不用圖形表示，還有新的表示方法嗎？你想用什么？

生：字母。

師：來，你就當(dāng)著大家一起來寫啊。好，不許你寫了，大家一起接著寫下去。

生：等于a×c加b×c。

師：我們能把這句話說出來嗎？跟著我試試說好嗎？?jī)蓚€(gè)數(shù)的什么？乘一個(gè)數(shù)等于什么？再把兩個(gè)結(jié)果怎么樣？他們的結(jié)果變不變？這就是什么？

圖9

生：乘法分配律。

師：我們今天學(xué)習(xí)了什么？乘法分配律能解決什么問題呀？讓我們帶著這一個(gè)個(gè)的問題和期待，回到生活中去找一找，看看在哪兒能用到它，好嗎？

【賞析】

數(shù)學(xué)在本質(zhì)上就是在不斷的抽象、概括和模式化的過程中發(fā)展、豐富起來的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”“建?！钡囊饬x上，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[4]?！氨本┯幸晃煌瑢W(xué)是這樣寫的”把孩子們的思維從具體算式引入到文字表述，它代表的不再是一道道算式了，而是一類現(xiàn)象，孩子們說得很好、很到位。“誰能寫得比他更棒點(diǎn)！”在吳老師的“撩撥”下，孩子們思維空前活躍，又想到了圖形、字母，它反過來驗(yàn)證了前面講到的所有算式。至此，乘法分配律的“模型”水到渠成，并深深扎根于學(xué)生的頭腦之中。