以理驅法，體會運算一致性

侯燕妍

【摘? ?要】小數(shù)除法是小學階段除法教學的一個重要部分。教師通過梳理教材尋找支點、分析學情找準切入點。在梳理教材、分析學情的基礎上，圍繞“口算引入，感受認知沖突；多元表征，體會算理理解；遷移推理，感受運算本質；對比梳理，凸顯算理一致”展開教學實踐，促進學生感悟數(shù)學本質，體會運算的一致性。

【關鍵詞】小數(shù)除法；算理教學；運算一致性

小學階段關于“除法運算”的學習，是從整數(shù)除法到小數(shù)除法，再到分數(shù)除法。如此分學段、獨立成單元的螺旋式教材編排方式，容易在學生心中種下這樣的種子：除法有三種類型，分別是整數(shù)除法、小數(shù)除法以及分數(shù)除法，它們各有各的算理和算法。然而，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》十分強調運算教學的整體性與一致性，指出“數(shù)的運算重點在于理解算理、掌握算法，數(shù)與運算之間有密切的關聯(lián)”“感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識”。因為，教學小數(shù)除法時，教師應做到聯(lián)系整數(shù)除法，并為分數(shù)除法打下基礎，讓學生體會運算的一致性。

一、梳理教材尋找支點

“小數(shù)除法”單元教材原有編排分類細致，例題繁多。以人教版教材為例，主要內容有：除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法、一個數(shù)除以小數(shù)、商的近似數(shù)、循環(huán)小數(shù)、用計算器探索規(guī)律、解決問題。其中除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法、一個數(shù)除以小數(shù)就安排了五個例題。這樣安排難免會讓學生感到“小數(shù)除法”的類型很多，難度很大。教師通過對教材進行梳理后發(fā)現(xiàn)，小數(shù)除法計算方法的學習可分兩個步驟完成：“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”和“除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法”。前者是后者的基礎，利用商不變的性質，后者可以看作是前者的變式。同時，前者的算理和整數(shù)除法是一致的，就是將計數(shù)單位不斷細分。

因此，厘清小數(shù)除法的算理，是貫通整數(shù)除法和小數(shù)除法的支點，也是本單元教學的關鍵。統(tǒng)觀整個“小數(shù)除法”單元，可將這個單元進行整合（如圖1）。

其中“小數(shù)除法算理教學”和“商在生活中的取舍（解決問題）”為本單元兩個關鍵課時?？蓪⑿?shù)除法的算理放在除法算理的大概念中進行架構，用算理貫穿算法。通過這樣整合設計，可以使教材中教學內容的知識結構更簡潔，思路更清晰，脈絡更整體，更能使學生感悟小數(shù)除法與整數(shù)除法的一致性。

二、分析學情找準切入點

（一）去繁存簡，算式導入

人教版教材以“跑步的情境”引入，用千米和米之間的單位換算作為素材，讓學生理解商的含義，但并未結合情境滲透豎式的算理，導致千米和米之間的進率無法為理解算理提供支撐。那么，怎樣的導入更為合理呢？基于這樣的思考，筆者設計了兩份不同的前測問卷，前測1結合學生熟悉的買東西情境（如圖2）；前測2直接利用小數(shù)除以整數(shù)的算式。

小明用22.4元買了4支筆，每支筆要多少錢？

算式：

算出右邊算式的商：22.4÷4=（? ? ?）

對兩個水平相當?shù)陌嗉夁M行了前測。兩份前測的正確率分別為 100%和 95.6%，差異不大，這說明絕大多數(shù)學生已能正確計算22.4÷4。參考在前測1中學生寫出的思考或理由，發(fā)現(xiàn)借助“元、角、分的單位轉化”的學生僅占了8.9%。由此可見，多數(shù)學生已經(jīng)能將現(xiàn)實問題抽象到數(shù)學層面進行思考，他們已經(jīng)具備脫離具體情境進行運算、理解算理的能力。

因此教學時，教師不需要再創(chuàng)設生硬的情境引出算式，可直接從整數(shù)除法算式引入，讓學生從數(shù)的意義、計數(shù)單位、數(shù)的運算等角度探索、理解算理。

（二）透析起點，構想策略

為全面了解學生的學習基礎，明確他們目前對算理的理解程度，以及可能存在的困難，筆者用算式“16÷5”另做前測3，前測對象另選一個水平相當?shù)陌嗉?。書面測試后，筆者對部分學生進行訪談。測試和訪談結束后，筆者對測試中能得到正確答案的情況進行水平分級，具體情況如表1所示。

前測3的正確率為77.8%。通過分析，用口算、想乘做除這兩種計算方法并不能幫助學生理解算理，因此教學時，要摒棄算法多樣化，直接引導學生用豎式計算16÷5，讓他們在豎式中理解算理。另外，在對學生的訪談中發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學生對算理理解存在一定的困難，因此在教學中不能像前測一樣，直接讓學生獨立表示整個思考過程，應注意給學生以一定的幫助，使他們能“跳一跳摘到桃子”。

三、教學實踐過程

（一）口算引入，感受認知沖突

前測3中有 22.2%的學生不能算出 16÷5 的商（小數(shù)），這些學生受二年級時學習整數(shù)除法的影響，將商用帶有余數(shù)的形式表示?；诖?，筆者在教學時從口答的整數(shù)除法入手，讓學生直面數(shù)學思考的對象，初步感受整數(shù)除法的商除了整數(shù)，也可以是小數(shù)。

【教學片段1】

口算16÷5，9÷4。

生：3……1 和 2……1。

質疑1：有余數(shù)除法已經(jīng)學習過了，今天還是探究到這里嗎？

質疑2：還有同學算出這個算式的得數(shù)是小數(shù)，到底對不對呢？

（設計意圖：由整數(shù)除法引入，通過對余下的“1”的質疑，啟發(fā)學生思考是否可以將余下的1繼續(xù)細分，讓學生主動聯(lián)系原有知識，建立新的認知結構，彰顯了學習小數(shù)除法的必要性。）

（二）多元表征，體會算理理解

學生主要的困惑點是不知道余數(shù) 1 怎么處理，在計算1÷5 的時候不知道得到的商是0.2，還是0.02。通過多元表征，學生理解其中算理，突破困惑點。

【教學片段2】

學生用豎式計算出商后，教師質疑。

師：豎式中，之前的余數(shù)都是1，怎么都變成了10？這個10表示什么意思，商的 2，又是什么意思？能把你的想法表示出來嗎？

讓學生展示作品并介紹想法（如圖4）。

對學生畫圓表示的作品，教師質疑：他畫的圓為什么大小不同？

……

師：原來和其他的同學一樣，他們都是把1看成了（10個0.1），那2呢？

生：10個0.1除以2，結果是2個0.1。所以，3后面點上小數(shù)點，2寫在十分位上，表示的是2個 0.1。

（設計意圖：教學時借助豎式，聚焦需探究的核心問題：1變成了10，10是什么意思，商中的2又是什么意思？引導學生調用已有知識與解決問題的經(jīng)驗，將小數(shù)除法轉化為已學的知識進行解答。學生用自己喜歡的表達方式表示對算理的理解，進行多元表征，直觀地理解小數(shù)除法是將一個計數(shù)單位轉化成較小的計數(shù)單位計算，是不斷細分的過程。）

（三）遷移推理，感受運算本質

在小數(shù)除法算理教學中，教師不能只關注到把幾個一轉化成幾十個十分之一，要進一步貫通所有的小數(shù)除法算理。

【教學片段3】

（1）通過遷移，理解9÷4=2.25豎式的算理。

師：這里的10和20又表示什么？

……

師：原來0.1這個計數(shù)單位不夠分了，變成一個新的計數(shù)單位繼續(xù)分。

（2）通過推理，感受運算的一致性。

師：如果還余幾個0.01，怎么辦？

生：添0，變成幾十個0.001。

師：還有余呢？……你有什么感受？

生：越除越小了。

生：計數(shù)單位越來越小了。

生：一個計數(shù)單位不夠分了，就變成幾十個更小的計數(shù)單位繼續(xù)分。

生：小數(shù)除法和整數(shù)除法是一樣的，就是不斷的在分，原來是幾個十變成幾十個一，先在是幾個一變成幾十個0.1，一次一次不斷分。

（設計意圖：筆者基于直觀形象的小數(shù)除法豎式，結合數(shù)學推理，使學生體會到小數(shù)除法的算理就是就計數(shù)單位不斷細分。學生在小數(shù)的意義學習時已經(jīng)積累了細分計數(shù)單位的經(jīng)驗，小數(shù)除法的計算過程真正體現(xiàn)了“數(shù)的意義”與“數(shù)的運算”之間的關聯(lián)，即“數(shù)的意義”是“數(shù)的運算”的基礎，“數(shù)的運算”是對“數(shù)的意義”的再應用。學生體會數(shù)的表示與運算方法的一致性，再聯(lián)系整數(shù)除法，體會到除法的算理都是一致的，即不斷細分計數(shù)單位。）

（四）對比梳理，凸顯算理一致

除數(shù)是小數(shù)的除法，其算理就是利用商不變的性質將其轉化成除數(shù)是整數(shù)的除法，因此教學的關鍵是讓學生理解轉化的原理。如果學生理解了算理，那么計算小數(shù)除法時，小數(shù)點位置的確定，就不再是難題了。

【教學片段4】

（1）一次對比，理解商不變的性質在豎式中的應用，感悟小數(shù)除法算理。

師：1.6÷0.5和16÷5的商怎么是一樣的？

……

生：根據(jù)商不變的性質，被除數(shù)和除數(shù)同時乘10，商不變。

師生小結：除數(shù)是小數(shù)的除法，只要把它轉化成整數(shù)除法就可以了。

（2）二次對比，體會商不變性質的應用方法，理解除法算理的一致性。

教師展示學生的各種作品，組織學生進行辨析（如圖5）。

師：怎么想到把9÷0.4，看成90÷4去算呢？

生：9÷0.4沒有學過，利用商不變的性質，把除數(shù)0.4轉化成4，就可以做了。

（3）總結概況，歸納小數(shù)除法與整數(shù)除法的一致性。

師：你對小數(shù)除法有什么感受？

生：小數(shù)除法其實和整數(shù)除法一樣，如果遇到除數(shù)是小數(shù)，只要轉化成除數(shù)是整數(shù)，就變成整數(shù)除法了。

（設計意圖：教師組織學生在不斷對比、辨析、歸納中，溝通知識間的聯(lián)系，初步感知整數(shù)除法、小數(shù)除法的意義、算法、算理的一致性。教師利用學生的學習資源，捕捉學生的錯誤資源，對出現(xiàn)的典型錯例進行集中分析，讓學生在辨析中，明算理，清算法。在學生理解算理后，教師梳理、提煉小數(shù)除法的計算方法，看似歸納計算方法，實則是幫助學生溝通整數(shù)除法和小數(shù)除法，聚焦轉化，讓學生體會除法運算的一致性。）

以上整個內容用算理貫穿始終，力求在滲透運算一致性的基礎上，讓學生理解并掌握小數(shù)除法的算理，后續(xù)在加強小數(shù)除法計算練習的基礎上，進行生活中的應用。筆者通過整合小數(shù)除法單元，進行系統(tǒng)化建構，使學生形成完整的知識體系。整合的過程有利于學生在變中找不變，感悟數(shù)學的本質，從而體會運算的一致性。