攀爬機(jī)器人動力學(xué)建模與分析

王學(xué)軍, 張帆

(昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,云南省先進(jìn)裝備智能制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,云南省先進(jìn)裝備智能維護(hù)工程研究中心,昆明 650500)

采用攀爬機(jī)器人代替人工處理發(fā)生在人員密集環(huán)境下的緊急事故,如火災(zāi),地震,爆炸等,而通常人員密集的地方建筑物比較多,且比較高。因此,研發(fā)一種能夠在這類環(huán)境下攀爬墻面的移動機(jī)器人勢在必行,該類機(jī)器人能夠用來完成救援和探測任務(wù)[1-2]。為了城市高樓大廈的整潔和美化,通常需要對墻面進(jìn)行清潔、維護(hù)和噴涂,還有一些如管道類狹小空間,用機(jī)器人代替工人將會極大的減少人員和財物的安全隱患[3-5]。在以上這兩種主要需求的驅(qū)動下,各式各樣的爬墻類移動設(shè)備應(yīng)運(yùn)而生,諸如爬墻機(jī)器人也是其中一部分。

市面上現(xiàn)有攀爬機(jī)器人吸附裝置主要分為負(fù)壓吸附、磁吸附、靜電吸附、仿生爪式[6-7]。移動裝置主要分為輪式、履帶式、輪足混合式。目前市面上的攀爬機(jī)器人越障功能不完備,因此如何應(yīng)對不同墻面上及移動過程中的越障功能是近年來的研究熱點(diǎn)[8-10]。對于攀爬機(jī)器人來說,建立精準(zhǔn)的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)模型是完成所有預(yù)定目標(biāo)的基礎(chǔ)[11]。Du等[12]基于D-H法在靜力系下建立了越障運(yùn)動學(xué)模型。秦基偉等[13]介紹了一種滾動密封式爬壁機(jī)器人,分析了其密封與運(yùn)動機(jī)理。提出了一種多履帶協(xié)調(diào)運(yùn)動的爬壁機(jī)器人動力學(xué)建模方法,推導(dǎo)出該機(jī)器人直線運(yùn)動及轉(zhuǎn)向動力學(xué)方程。徐亞茹和劉榮[14]基于Udwadia-Klaba方程建立了雙腔體吸附、輪式移動爬壁機(jī)器人的解析動力學(xué)模型。Nam等[15]推導(dǎo)出磁吸附柔性多體爬壁機(jī)器人的動力學(xué)模型。董偉光等[16]基于牛頓-歐拉法對一種可以交叉面過渡的爬壁機(jī)器人進(jìn)行動力學(xué)建模,并以運(yùn)動失效為約束構(gòu)建不同傾角壁面上的吸附力學(xué)模型,但并未考慮機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動對吸附力影響。以上動力學(xué)建模方法中隨著廣義變量與廣義力的增加,計(jì)算中包含有大量的微分與偏微分使得算法復(fù)雜度較高[17]。

隨著機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人學(xué)的發(fā)展,挪威數(shù)學(xué)家Marius Sophus Lie和愛爾蘭數(shù)學(xué)家Ball創(chuàng)立的旋量理論與李群-李代數(shù)被應(yīng)用于運(yùn)動幾何學(xué)中。Lee、Wang和Chirikjian[18]運(yùn)用旋量代數(shù)研究串聯(lián)機(jī)構(gòu)與多肽鏈。旋量代數(shù)和李群、李代數(shù)以其對空間直線運(yùn)動及相關(guān)代數(shù)運(yùn)算描述的幾何直觀性與代數(shù)抽象性而成為機(jī)器人學(xué)研究中重要的數(shù)學(xué)工具。目前主要運(yùn)用于工業(yè)機(jī)器人[19-20]、仿生機(jī)器人[21]、醫(yī)療康復(fù)機(jī)器人[22-23]、四面體可展機(jī)構(gòu)[24]、并聯(lián)機(jī)器人[25-26]。

本文設(shè)計(jì)一種依附于真空吸附的越障攀爬機(jī)器人,基于李群李代數(shù)與旋量理論建立攀爬機(jī)器人的動力學(xué)模型,物理意義明確、計(jì)算復(fù)雜度較低。分別分析攀爬機(jī)器人吸附運(yùn)動與越障運(yùn)動過程中各關(guān)節(jié)力學(xué)關(guān)系,從而尋求攀爬機(jī)器人真空吸附產(chǎn)生的吸附力與運(yùn)動過程中產(chǎn)生的傾覆力矩之間的平衡關(guān)系。

1 機(jī)構(gòu)與運(yùn)動分析

本文所設(shè)計(jì)的攀爬機(jī)器人由兩個真空模塊與一個越障模塊組成:其中真空模塊由2自由度的履帶移動件與一個真空吸附件組成,越障模塊由一個3自由度的機(jī)械臂組成,機(jī)構(gòu)原理如圖1所示。真空模塊中底盤置于真空腔內(nèi)部,攀爬機(jī)器人吸附于墻壁的吸附力通過真空泵抽取真空腔中的空氣產(chǎn)生。其中真空腔底面粘貼有密封性好摩擦系數(shù)低的材料,以確保攀爬機(jī)器人有足夠吸附力的情況下可以進(jìn)行移動。真空模塊內(nèi)部安裝有一個2同步帶驅(qū)動裝置,同步帶驅(qū)動裝置由主動同步帶輪、從動同步帶輪、張緊輪組成,兩個同步帶驅(qū)動裝置各自單獨(dú)驅(qū)動。真空模塊吸附壁面時,依靠同步帶驅(qū)動裝置可以實(shí)現(xiàn)攀爬機(jī)器人的直線移動、轉(zhuǎn)向等運(yùn)動。

圖1 攀爬機(jī)器人設(shè)計(jì)

越障模塊由4個轉(zhuǎn)臂通過旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)連接,形成一開鏈三軸機(jī)械臂,由3個伺服電機(jī)驅(qū)動。越障模塊兩端與兩個真空模塊連接固接。

根據(jù)上述機(jī)構(gòu)分析可知,攀爬機(jī)器人運(yùn)動可分為3種模式:平移吸附運(yùn)動模式、交替吸附運(yùn)動模式、越障運(yùn)動模式。當(dāng)攀爬機(jī)器人在平坦壁面上工作時,采用平移吸附運(yùn)動,可以發(fā)揮其快速靈活的特點(diǎn);當(dāng)攀爬機(jī)器人在遇到障礙或者過渡墻面的時候,采用越障運(yùn)動,由一個真空模塊吸附壁面作為支撐,越障模塊運(yùn)動越過障礙或者運(yùn)動至過渡墻面;當(dāng)攀爬環(huán)境較為復(fù)雜,無法使用履帶移動時,采用交替吸附運(yùn)動模式,類尺蠖般蠕動,以應(yīng)對復(fù)雜環(huán)境。圖2為攀爬機(jī)器人平移運(yùn)動模式和越障運(yùn)動模式下的步態(tài)圖。

圖2 攀爬機(jī)器人運(yùn)動步態(tài)

針對攀爬機(jī)器人越過直角墻面的步態(tài)分析為例解釋攀爬機(jī)器人運(yùn)動模塊功能:

1) 整個攀爬機(jī)器人依靠真空腔產(chǎn)生負(fù)壓吸附于壁面;

2) 下方真空模塊內(nèi)同步帶驅(qū)動皮帶使真空模塊移動靠近上方真空模塊,做好越障準(zhǔn)備;

3) 上方真空模塊斷開吸附,越障模塊四根轉(zhuǎn)臂配合驅(qū)動上方真空模塊移動至直角墻面并緊密配合,上方真空模塊產(chǎn)生負(fù)壓吸附直角墻面;

4) 下方真空模塊斷開吸附,越障模塊四根轉(zhuǎn)臂配合驅(qū)動下方真空模塊移動至直角墻面并緊密配合,下方真空模塊產(chǎn)生負(fù)壓吸附直角墻面,實(shí)現(xiàn)直角墻面越障。

2 動力學(xué)建模與分析

2.1 空間速度雅可比矩陣

(1)

由式(1)可以看出,攀爬機(jī)器人末端的空間速度與其每個關(guān)節(jié)的速度呈線性關(guān)系。記為

(2)

其雅可比矩陣表示為

以指數(shù)積的形式表示空間雅可比矩陣為

gst(θ)=eθ1E1eθ1E2…eθ1Engst(0)

(3)

式中：gst(θ)∈SE(3);Ei表示關(guān)節(jié)i旋轉(zhuǎn)表示的運(yùn)動旋量,Ei∈se(3)。

三維歐氏群SE(3)記法為

式中:Z為變換矩陣;R為旋轉(zhuǎn)矩陣;d為平移向量。se(3)為與SE(3)對應(yīng)的李代數(shù)。

可以得到

eθ1E1…eθi-1Ei-1Eieθ1E1…eθi-1Ei-1

(4)

將其改為旋量坐標(biāo)的形式,即

(5)

式中Ad(*)為李代數(shù)的伴隨表示。

則雅可比矩陣可寫為:

(6)

E′i=Ad(eθ1E1…eθi-1Ei-1)Ei

(7)

根據(jù)單位運(yùn)動旋量坐標(biāo)的相關(guān)定義,與旋轉(zhuǎn)運(yùn)動副相對應(yīng)的運(yùn)動副旋量坐標(biāo)為

(8)

式中:ω′i為當(dāng)前位姿下旋轉(zhuǎn)軸線的方向;r′i為當(dāng)前位姿下軸線上一點(diǎn)的矢量。

ω′i=eθ1[ω1×]eθ2[ω1×]…eθi-1[ω1×]ωi

(9)

(10)

圖3 攀爬機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡圖

ω′2=e-[x×]θ1ω2=[I-sinθ1[x×]+(1-cosθ1)×

(11)

式中[x×]為李代數(shù)元素。

同理,可得軸3、4的運(yùn)動方向?yàn)?

(12)

軸2、3、4的軸線位置為:

(13)

式中:s1=sinθ1;c2-3=cos(θ2-θ3);s3-2=sin(θ3-θ2)。

攀爬機(jī)器人雅可比矩陣為

(14)

從以上求解過程中可知,不同于常用的基于D-H坐標(biāo)法,不需要對運(yùn)動學(xué)正解映射進(jìn)行求導(dǎo)即可得到攀爬機(jī)器人的完整雅可比矩陣形式,利用這種參數(shù)化的方法避免了由于奇異性使得攀爬機(jī)器人在某些特殊位形或速度取得錯誤結(jié)論。

2.2 動力學(xué)模型

通過基于李群李代數(shù)的旋量理論對攀爬機(jī)器人拉格朗日方程進(jìn)行了推導(dǎo),物理意義明確,更加清楚的描述了物體空間運(yùn)動的力學(xué)關(guān)系。編程算法中無須再進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算,對于n自由度機(jī)器人算法計(jì)算效率為O(n)。

為得出拉格朗日動力學(xué)模型,基于李群李代數(shù)理論中運(yùn)動旋量的定義寫出連桿速度:

(15)

連桿i的質(zhì)心處的動能為

(16)

式中Mi為連桿i的廣義慣性矩陣。

因攀爬機(jī)器人勢能中僅存在重力勢能,因此勢能為

(17)

hi為連桿重心高度矩陣。則其拉格朗日函數(shù)為

(18)

各關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩為

(19)

則得攀爬機(jī)器人動力學(xué)方程的李群李代數(shù)表示為:

(20)

2.3 真空模塊力學(xué)模型

爬壁機(jī)器人吸附力的選擇需兼顧真空腔內(nèi)驅(qū)動力、真空腔與壁面摩擦力與越障模塊對真空腔造成的傾覆力矩之間的平衡。吸附力過大會造成真空腔與壁面摩擦力過大,無法驅(qū)動。吸附力過小會無法承受越障模塊對真空腔的傾覆力矩。最佳吸附力定義為防止各種運(yùn)動失效下的吸附力。

構(gòu)建真空模塊力學(xué)模型,利用求解出的動力學(xué)方程中機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動的驅(qū)動力矩,構(gòu)建以各運(yùn)動失效為條件約束機(jī)器人本身關(guān)節(jié)運(yùn)動影響下的真空模塊力學(xué)模型,其中運(yùn)動失效主要包括機(jī)器人掉落、傾覆、打滑、堵轉(zhuǎn)。真空模塊受力如圖4所示。

圖4 真空模塊受力示意圖

(21)

為了保證機(jī)器人吸附墻面的同時具備移動與越障能力,將其約束條件描述為:

(22)

則可求解得最佳吸附力Fk

Fk=max{Fk1,Fk2,Fk3}

(23)

式中Fki為式(22)中不同約束條件下的吸附力。

3 動力學(xué)仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文所介紹的爬壁機(jī)器人根據(jù)結(jié)構(gòu)特性可以進(jìn)行平面障礙物越障、過渡面越障、交叉面越障、直角面越障,綜合越障難度與實(shí)際應(yīng)用,選取直角面越障過程進(jìn)行分析。利用coppeliasim動力學(xué)仿真軟件對攀爬機(jī)器人進(jìn)行仿真分析。如圖5所示,為獲得動力學(xué)參數(shù),對攀爬機(jī)器人直角墻面越障過程進(jìn)行動力學(xué)仿真。

圖5 攀爬機(jī)器人仿真模型

為了獲得較為精確的結(jié)果,在仿真空間中構(gòu)造一條相同時間間隔路程不同的環(huán)形路徑路徑,選取環(huán)形路徑中對應(yīng)的直角面越障中的一段即7～11 s段,通過coppeliasim中inverse kinematics逆運(yùn)動學(xué)求解模塊獲得7～11 s段匹配直角面越障路徑不同的速度與加速度激勵,進(jìn)而獲得攀爬機(jī)器人各個關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩以驗(yàn)證攀爬機(jī)器人動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

攀爬機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示,其中轉(zhuǎn)臂1與轉(zhuǎn)臂4、轉(zhuǎn)臂2與轉(zhuǎn)臂3、上下真空腔結(jié)構(gòu)參數(shù)完全一致。攀爬機(jī)器人各關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)速度如圖6所示。

表1 攀爬機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)

圖6 攀爬機(jī)器人仿真速度曲線

攀爬機(jī)器人各關(guān)節(jié)仿真驅(qū)動力矩如圖7所示。為了驗(yàn)證動力學(xué)模型(20)準(zhǔn)確性,將仿真時采用的角度、速度、加速度激勵代入式(20)中,利用MATLAB進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,將理論力矩與仿真力矩進(jìn)行對比結(jié)果如圖8所示。通過圖6～圖8可以看出前述動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

圖7 攀爬機(jī)器人仿真力矩曲線

圖8 仿真與理論結(jié)果對比

因?yàn)樗狡矫媪ο祵ξ搅τ绊戄^小,為簡化計(jì)算,僅對豎直平面力系影響下的最佳吸附力進(jìn)行求解。將關(guān)節(jié)O2運(yùn)動力矩,通過最小二乘法進(jìn)行4階擬合,擬合方程為

τ2=at4+bt3+ct2+dt+e

(24)

式中：a=-0.014 4；b=0.009 1；c=6.549 1；d=-76.704 4；e=268.706 9。

將擬合方程(24)與式(23)聯(lián)立,得到不同摩擦因數(shù)吸附材料在7～11 s的直角面越障運(yùn)動中隨著越障模塊各轉(zhuǎn)臂轉(zhuǎn)動角度、角速度、角加速度變化時所需的最佳吸附力如圖9所示。

圖9 理論最佳吸附力

通過對真空腔體進(jìn)行吸附實(shí)驗(yàn)，如圖10所示,驗(yàn)證式(23)求解出的最佳吸附力。

圖10 吸附實(shí)驗(yàn)

吸附實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示,經(jīng)過與圖9對比,大致與理論符合,試驗(yàn)結(jié)果表明真空模塊提供的吸附能力可以滿足攀爬機(jī)器人進(jìn)行直角面越障。

表2 吸附實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

4 結(jié)論

1) 介紹了一種基于真空吸附的攀爬機(jī)器人,該機(jī)器人可以進(jìn)行直角壁面越障。

2) 通過基于李群李代數(shù)的旋量理論,從位姿變換的指數(shù)積方程入手,推導(dǎo)了攀爬機(jī)器人越障過程中空間速度雅可比矩陣,用參數(shù)化的方法避免了計(jì)算過程中特殊位置奇點(diǎn)。

3) 推導(dǎo)了拉格朗日動力學(xué)方程的李群李代數(shù)表示形式,物理意義明確,相較傳統(tǒng)的建模方法計(jì)算復(fù)雜度由O(n4)降為O(n)。并通過仿真驗(yàn)證了李群李代數(shù)法建立動力學(xué)模型的正確性。

4) 建立真空模塊力學(xué)模型,求解在關(guān)節(jié)越障運(yùn)動下為防止運(yùn)動失效,真空腔所需最佳吸附力,并通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。