基于馬爾科夫鏈對廣州市各區(qū)的房價(jià)分析和預(yù)測

胡冰冰 劉衛(wèi)國 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院

引言

我國房地產(chǎn)市場交易金額數(shù)量龐大，對我國的宏觀經(jīng)濟(jì)有重要意義，然而商品房價(jià)格一直居高不下，尤其是在一線大城市，對于在一線大城市打拼的“打工人”而言購房形勢困難，各大城市想要留下人才也不可避免地要考慮住宅商品房的價(jià)格問題，嚴(yán)峻的房價(jià)壓力同樣也影響了年輕人的結(jié)婚生育計(jì)劃，城市房價(jià)問題與社會民生問題緊密相關(guān)，房價(jià)問題一直以來備受關(guān)注，城市房價(jià)未來走勢的預(yù)測對政府和社會都具有重要意義。

對于城市房價(jià)增長趨勢的預(yù)測，有多位學(xué)者用不同的方法進(jìn)行研究分析。武秀麗等[1]通過時(shí)間序列法預(yù)測房價(jià)；谷秀娟等[2]，胡振寰等[3]通過把商品房價(jià)格分為幾個狀態(tài)來根據(jù)馬爾科夫鏈預(yù)測房價(jià)狀態(tài)；侯普光等[4]把小波分析理論與時(shí)間序列ARMA模型結(jié)合來做房價(jià)預(yù)測；李圓圓[5]通過灰色關(guān)聯(lián)度分析選取合適的房價(jià)影響因素，通過構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來做預(yù)測，并得到較高的擬合優(yōu)度。

隨著時(shí)間的推移，針對房價(jià)問題政府也出臺了一系列政策去做調(diào)控，2019年8月央行提出完善貸款市場報(bào)價(jià)利率形成機(jī)制，將住房貸款利率與LPR掛鉤，所以針對2019年8月之后的房價(jià)的波動進(jìn)行時(shí)間序列分析，以馬爾科夫理論為基礎(chǔ)，構(gòu)建馬爾科夫轉(zhuǎn)移矩陣可以更好地對房價(jià)未來狀態(tài)做出預(yù)測，為房地產(chǎn)投資決策提供一定的理論借鑒，對宏觀經(jīng)濟(jì)和社會民生問題的解決都有很好的輔助作用。

一、理論與方法

（一）貸款基礎(chǔ)利率

貸款基礎(chǔ)利率簡稱LPR，由我國境內(nèi)最主要的18家銀行每個月的最優(yōu)質(zhì)客戶貸款利率的平均值，分為一年期與五年期以上兩種，從2019年8月起，央行發(fā)布公告將個人住房貸款利率以最近一個月相應(yīng)期限的貸款市場報(bào)價(jià)利率為定價(jià)基準(zhǔn)加點(diǎn)形成，即浮動利率。由于我國經(jīng)濟(jì)的增長速度比較快，所以當(dāng)前的利率水平較高，選擇與LPR掛鉤的浮動利率更有利于購房者，隨著政策的提出，越來越多人選擇LPR去替代以前4.9%的房貸基礎(chǔ)年利率。

（二）馬爾科夫法[6]

1.馬爾科夫鏈定義

有一類隨機(jī)過程具備“無后效性”，即要確定過程將來的狀態(tài)，知道它此時(shí)的情況就足夠了，不需要認(rèn)識它以前的狀況，這類過程稱為馬爾科夫過程。馬爾科夫法把時(shí)間序列看做是隨機(jī)過程，主要通過研究事物在不同初始狀態(tài)下的狀態(tài)之間轉(zhuǎn)換的概率，從而判斷該事物狀態(tài)變化的情況，作出預(yù)測和判斷。

2.狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

3.n步轉(zhuǎn)移概率

根據(jù)馬爾科夫過程的無后效性及Bayes條件概率公式有：

三、馬爾科夫鏈在廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)房價(jià)預(yù)測的應(yīng)用分析

（一）數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

分別選取2019年8月至2022年8月廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)商品房價(jià)格的月度數(shù)據(jù)，通過構(gòu)建馬爾科夫預(yù)測模型，預(yù)測未來幾個月的商品房價(jià)格的狀態(tài)轉(zhuǎn)移變化。文中數(shù)據(jù)來自安居客網(wǎng)站。

由于大多數(shù)的時(shí)間序列是不平穩(wěn)的，如果直接進(jìn)行分析，會有很大誤差，因此在建立預(yù)測模型前，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，即檢驗(yàn)序列是否具有平穩(wěn)性和純隨機(jī)性。序列的平穩(wěn)性是指當(dāng)序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不隨著時(shí)間而改變[7]。

序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)包括根據(jù)時(shí)序圖和自相關(guān)圖作出判斷。通過R軟件，畫出廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)房價(jià)數(shù)據(jù)的時(shí)序圖和自相關(guān)系數(shù)圖，如圖1所示?？梢愿鶕?jù)圖1看到天河區(qū)前期整體呈現(xiàn)增長趨勢，2020年11月起商品房價(jià)格波動較大，從整體來看，該序列不在一個常數(shù)值附近波動，可以認(rèn)為該序列不具有平穩(wěn)性；白云區(qū)呈現(xiàn)先下降后增長的趨勢，也不平穩(wěn)；從化區(qū)整體上是呈現(xiàn)下降趨勢，說明這幾個區(qū)的房價(jià)序列都是非平穩(wěn)序列。

圖1 2019.8-2022.8年廣州市天河區(qū)（左）、白云區(qū)（中）、從化區(qū)（右）商品房價(jià)格時(shí)序圖

雖然一些時(shí)序圖可以判斷序列是否平穩(wěn)，但為嚴(yán)謹(jǐn)還可采用單位根ADF檢驗(yàn)來檢驗(yàn)結(jié)果的真實(shí)可靠性。通過單位根ADF檢驗(yàn)，天河區(qū)的P值為0.683，白云區(qū)P值為0.586，從化區(qū)P值為0.0769，三個區(qū)房價(jià)序列的P值大于顯著性水平0.05，拒絕序列所有特征根在單位圓內(nèi)的原假設(shè)，即可認(rèn)為序列是非平穩(wěn)序列。

（二）差分平穩(wěn)

通過差分運(yùn)算提取序列中蘊(yùn)含的確定性信息，通過對原序列進(jìn)行一階差分，如圖2所示，可以看出一階差分后序列更平穩(wěn)，再通過單位根ADF檢驗(yàn)，檢驗(yàn)得P值均為0.01，小于0.05，不拒絕序列所有特征根在單位圓內(nèi)的原假設(shè)，即差分后的序列為平穩(wěn)序列。因此，把一階差分?jǐn)?shù)據(jù)即數(shù)據(jù)的變化作為馬爾科夫狀態(tài)。

圖2 2019.8-2022.8年廣州市天河區(qū)（左）、白云區(qū)（中）、從化區(qū)（右）商品房價(jià)格一階差分后時(shí)序圖

（三）房價(jià)變化狀態(tài)劃分

在應(yīng)用馬爾科夫鏈前，需要對事物的狀態(tài)進(jìn)行分類，如果該事物沒有明確的狀態(tài)類別，則需要根據(jù)一定的規(guī)則進(jìn)行狀態(tài)分類。由于以前的房貸基準(zhǔn)利率不夠市場化，因此從2019年8月開始，央行推行利率市場化改革，采用房貸與LPR掛鉤的政策。鑒于住房貸款一般年限較長，使用LPR五年期以上利率作為劃分標(biāo)準(zhǔn)，2019年8月至2022年8月LPR的變化如圖5所示，取三年的平均值為4.65%，月利率為0.39%。我國央行存款的基準(zhǔn)利率時(shí)間最久為三年期利率2.75%，月利率為0.229%。

圖3 2019.8-2022.8年LPR走勢圖

因此，根據(jù)央行存款利率與LPR利率將廣州市商品房價(jià)格月度變化分類4個狀態(tài)，為上升且高于LPR月利率，上升但不高于LPR月利率，平穩(wěn)，下降，分別記為1，2，3，4。即月度價(jià)格變化高于0.39%的作為上升且高于LPR月利率的狀態(tài)1，將月度價(jià)格變化幅度在0.229%至0.39%之間的作為上升但不高于LPR月利率的狀態(tài)2，變化幅度在-0.229%至0.229%之間的作為平穩(wěn)狀態(tài)3，變化幅度低于-0.229%的作為下降狀態(tài)4。

因此，2019年8月至2022年8月廣州市天河區(qū)月度狀態(tài)數(shù)據(jù)為：

2019年8月至2022年8月廣州市白云區(qū)月度狀態(tài)數(shù)據(jù)為：

1，3，3，4，3，4，3，1，4，4，1，4，1，3，4，4，4，3，4，4，1，4，3，1，2，4，4，4，1，4，3，1，3，1，1，1

2019年8月至2022年8月廣州市從化區(qū)月度狀態(tài)數(shù)據(jù)為：

1，1，4，3，3，4，3，4，3，3，3，3，2，3，1，4，3，3，1，4，4，4，3，2，4，4，3，4，3，4，1，1，4，1，3，4

（四）基于馬爾科夫模型預(yù)測廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)房價(jià)狀態(tài)

由上述的轉(zhuǎn)移概率可以得到天河區(qū)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：

由于2022年8月天河區(qū)房價(jià)為狀態(tài)4，因此將2022年8月的房價(jià)狀態(tài)記為π=（0）=[0，0，0，1]，根據(jù)公式3可得2022年8月的房價(jià)狀態(tài)概率：

所以2022年9月天河區(qū)房價(jià)可以根據(jù)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行預(yù)測，房價(jià)為上升且高于LPR月利率的概率為0.2000，房價(jià)上升但是不高于LPR月利率的概率為0，房價(jià)保持平穩(wěn)狀態(tài)的概率為0.4000，房價(jià)下跌的概率為0.4000。因此可以看到9月廣州市天河區(qū)房價(jià)保持平穩(wěn)和下降的可能性更大。

根據(jù)公式4，同樣可以預(yù)測未來幾個月的房價(jià)狀態(tài)，如表1所示：

董仲舒認(rèn)為，人主的政事活動，必須要依照陰陽、四時(shí)、五行的更替運(yùn)行來安排和處理。天道決定人事，人事反過來也會對天發(fā)生影響，正是由于對這種互動關(guān)系的確認(rèn)，董氏才能在政治文化層面構(gòu)建災(zāi)異譴告論。[25]44-45,56

表1 廣州市天河區(qū)2022年9月至2022年12月房價(jià)狀態(tài)概率預(yù)測值

假設(shè)廣州市天河區(qū)最終的房價(jià)狀態(tài)概率為π=[π1，π2，π3，π4]，由平穩(wěn)方程和規(guī)范性條件可以得到解得π1=0.2524，π2=0.0267，π3=0.4005，π4=0.3204

因此，矩陣經(jīng)過n次轉(zhuǎn)移后，達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，且可以看出π3的概率最高，為0.4005，說明將來廣州市天河區(qū)的房價(jià)處于平穩(wěn)狀態(tài)的可能性最大，且高于π1與π2的總和，即未來房價(jià)平穩(wěn)的可能性比房價(jià)上漲的轉(zhuǎn)移概率要高。說明對于一直以來政府想要降低房價(jià)增速，控制房價(jià)的相關(guān)政策制度有了一定的可行性。

同理，根據(jù)廣州市白云區(qū)月度狀態(tài)數(shù)據(jù)可以得到白云區(qū)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：

由于2022年8月白云區(qū)房價(jià)為狀態(tài)1，因此將2022年8月的房價(jià)狀態(tài)記為π（0）=[1，0，0，0]，所以2022年9月白云區(qū)房價(jià)可以根據(jù)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行預(yù)測，房價(jià)為上升且高于LPR月利率的概率為0.2000，房價(jià)上升但是不高于LPR月利率的概率為0.1000，房價(jià)保持平穩(wěn)狀態(tài)的概率為0.3000，房價(jià)下跌的概率為0.4000。因此可以看到9月廣州市白云區(qū)房價(jià)保持下降的可能性更大。

根據(jù)公式4，同樣可以預(yù)測未來幾個月的房價(jià)狀態(tài)，如表2所示：

表2 廣州市白云區(qū)2022年9月至2022年12月房價(jià)狀態(tài)概率預(yù)測值

假設(shè)廣州市白云區(qū)最終的房價(jià)狀態(tài)概率為π=[π1，π2，π3，π4]，由平穩(wěn)方程和規(guī)范性條件可以解得π1=0.2857，π2=0.0286，π3=0.2751，π4=0.4286

因此，矩陣經(jīng)過n次轉(zhuǎn)移后，達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，且可以看出π4的概率最高，為0.4283，說明將來廣州市白云區(qū)的房價(jià)處于下降狀態(tài)的可能性最大，其次π1和π3的概率都低于狀態(tài)4的概率，但兩者相差不大，說明未來白云區(qū)房價(jià)上漲的可能性與房價(jià)平穩(wěn)狀態(tài)的可能性相差不大。

同理，根據(jù)廣州市從化區(qū)月度狀態(tài)數(shù)據(jù)可以得到從化區(qū)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣：

由于2022年8月從化區(qū)房價(jià)為狀態(tài)3，因此將2022年8月的房價(jià)狀態(tài)記為π=（0）=[0，0，1，0]，所以2022年9月從化區(qū)房價(jià)可以根據(jù)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行預(yù)測，房價(jià)為上升且高于LPR月利率的概率為0.1429，房價(jià)上升但是不高于LPR月利率的概率為0.1429，房價(jià)保持平穩(wěn)狀態(tài)的概率為0.3571，房價(jià)下跌的概率為0.3571。因此可以看到9月廣州市從化區(qū)房價(jià)保持平穩(wěn)與下降的可能性相同。

根據(jù)公式4，同樣可以預(yù)測未來幾個月的房價(jià)狀態(tài)，如表3所示：

表3 廣州市從化區(qū)2022年9月至2022年12月房價(jià)狀態(tài)概率預(yù)測值

假設(shè)廣州市從化區(qū)最終的房價(jià)狀態(tài)概率為π=[π1，π2，π3，π4]，由平穩(wěn)方程和規(guī)范性條件可以解得π1=0.1670，π2=0.0588，π3=0.4117，π4=0.3625

因此，矩陣經(jīng)過n次轉(zhuǎn)移后，達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)，且可以看出的概率最高，為0.4117，說明將來廣州市從化區(qū)的房價(jià)處于平穩(wěn)狀態(tài)的可能性最大，且概率略高于下降的可能性。

結(jié)語

本文主要對采取LPR后這三年的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)為例，首先通過R軟件分析原始數(shù)據(jù)和一階差分?jǐn)?shù)據(jù)的時(shí)序圖，使用ADF檢驗(yàn)進(jìn)行平穩(wěn)性分析，再通過馬爾科夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)行預(yù)測分析，預(yù)測房價(jià)未來一段時(shí)間內(nèi)的轉(zhuǎn)移概率。結(jié)果顯示廣州市天河區(qū)未來房價(jià)處于平穩(wěn)的概率最大，且高于兩種增長狀態(tài)的概率之和；白云區(qū)下降的概率最大，增長與平穩(wěn)狀態(tài)的可能性差不多；從化區(qū)平穩(wěn)狀態(tài)的概率最大。這在一定程度上體現(xiàn)出LPR的提出，一定程度上控制了房價(jià)增速快的問題。

文中僅對未來的房價(jià)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，并沒有準(zhǔn)確的變化幅度的分析。馬爾科夫鏈的運(yùn)用需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行明確的狀態(tài)劃分，而不同的劃分依據(jù)可能會有不同的轉(zhuǎn)移概率。通過對廣州市天河區(qū)、白云區(qū)、從化區(qū)房價(jià)分析，表明了達(dá)到了穩(wěn)房價(jià)、穩(wěn)預(yù)期的想法，在解決好大城市住房問題上、年輕人購房困難的難題、房地產(chǎn)市場平穩(wěn)健康發(fā)展上有了進(jìn)步。