科氏振動陀螺全角模式阻尼誤差與補償

樊 琦，潘覃毅，陳家偉，趙萬良，成宇翔

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2.上海慣性工程技術(shù)中心，上海 201109）

科氏振動陀螺是一種利用科氏效應(yīng)敏感基座相對慣性空間旋轉(zhuǎn)角速率或角度的慣性傳感器。根據(jù)工作模式的不同，科氏振動陀螺可分為角速率陀螺[1]和全角陀螺[2-4]。其中角速率陀螺將諧振子的一個工作模態(tài)激勵至穩(wěn)定的幅度，當(dāng)陀螺旋轉(zhuǎn)時利用另一個工作模態(tài)的位移輸出或抑制該位移的反饋力表征角速率的大小。而全角陀螺同時激勵諧振子兩個工作模態(tài)，產(chǎn)生自由進動的駐波，當(dāng)陀螺旋轉(zhuǎn)時駐波能量在兩個工作模態(tài)上重新分配，根據(jù)駐波方位角表征基座旋轉(zhuǎn)的角度。相對于角速率陀螺，全角陀螺具有直接輸出角度信息、大動態(tài)范圍、高測量帶寬及穩(wěn)定的標度因數(shù)等優(yōu)勢，因此受到國內(nèi)外科研工作者的關(guān)注。

但是高性能全角陀螺對諧振子剛度對稱性、極板間距一致性、阻尼對稱性及檢測電路增益一致性有嚴格要求。英國紐卡斯特大學(xué)團隊提出利用擴展卡爾曼濾波方案[5]對全角陀螺模態(tài)增益誤差參數(shù)進行離線處理，降低了因極板間距誤差、檢測電路增益誤差等因素引起的角速率漂移。美國加州大學(xué)歐文分校團隊針對全角陀螺增益誤差提出開環(huán)掃頻法進行參數(shù)確定及補償[6]。增益誤差自校準[7]及單路復(fù)用法[8]可實時消除全角陀螺的增益誤差。英國紐卡斯特大學(xué)團隊針對全角陀螺剛度非對稱提出利用粗調(diào)和精調(diào)模態(tài)頻率調(diào)諧方案[9]，將頻率降低至10 mHz。南京理工大學(xué)團隊提出一種利用虛擬旋轉(zhuǎn)進行實時頻率匹配的方案[11]，將角度輸出誤差在全溫范圍從6.1 °降低至1 °。上海航天控制技術(shù)研究所團隊在主軸失準條件下，對半球諧振陀螺進行了電剛度補償[11]。目前針對全角陀螺阻尼誤差的相關(guān)研究相對缺乏，阻尼誤差是通過工作模態(tài)間的振動速度進行耦合，而科氏效應(yīng)也是基于工作模態(tài)間的振動速度進行駐波能量的轉(zhuǎn)化，因此阻尼誤差很難與科氏效應(yīng)進行區(qū)分。Horsley 等人針對阻尼誤差提出了電學(xué)反饋補償方案[12]，對能量分布矩陣進行了差異化調(diào)整，將角度輸出誤差降低了30 倍。中國國防科技大學(xué)團隊提出基于阻熱消散法對陀螺的非對稱阻尼進行了抑制[13]，并應(yīng)用在全角陀螺中，實驗結(jié)果表明非對稱阻尼降低了87%。蘇州大學(xué)團隊基于傅里葉擬合技術(shù)及多次迭代技術(shù)[14]，對MEMS 蜘蛛網(wǎng)狀陀螺誤差參數(shù)進行辨識，經(jīng)補償后的最小速率閾值為0.05 °/s。但以上研究成果表明，目前全角陀螺阻尼誤差抑制主要是通過虛擬旋轉(zhuǎn)以及對阻尼誤差的離線辨識，但缺乏有效的自動阻尼誤差補償方案。

本文針對全角陀螺的阻尼誤差，提出在阻尼主軸坐標系中采用能量衰減法對阻尼誤差的影響進行研究，確定了全角陀螺的速率死區(qū)指標，并得到了在不同外界角速率下全角陀螺的進動特性。提出全角陀螺自適應(yīng)阻尼補償方案，建立了Simulink 模型并仿真驗證了方案的有效性。最終實驗結(jié)果表明，采用自適應(yīng)阻尼補償法對全角陀螺阻尼誤差進行抑制，將MEMS多環(huán)陀螺的速率漂移從2 °/s 降低至0.25 °/s，性能提高了8 倍。

1 能量衰減法及全角陀螺速率死區(qū)

目前，國內(nèi)外大多數(shù)全角陀螺控制方案及角度誤差研究都是基于D.D.Lynch 的平均法，有關(guān)公式及定義可參考文獻[15]，在此不再贅述。我們利用旋轉(zhuǎn)矩陣對全角陀螺阻尼誤差矩陣進行研究，提出利用能量衰減法確定阻尼誤差對全角陀螺駐波進動的影響，并確定了阻尼誤差引起的速率死區(qū)。

全角陀螺阻尼誤差模型如圖1 所示，其阻尼主軸所在坐標系為x1-y1，陀螺兩工作模態(tài)阻尼系數(shù)分別為c1和c2，阻尼系數(shù)的不同將導(dǎo)致駐波能量在陀螺兩個工作模態(tài)上的衰減速率不同，此坐標系下陀螺的阻尼矩陣C' 如式(1)所示。

圖1 全角陀螺阻尼誤差模型Fig.1 The damping error model of the WA gyro

而x-y坐標系是陀螺驅(qū)動、檢測電極所在位置，由于與坐標系x1-y1之間相差角度β，因此導(dǎo)致陀螺兩個工作模態(tài)間存在能量耦合，干擾科氏效應(yīng)引起的駐波能量耦合。由于阻尼誤差引起的駐波能量耦合與科氏效應(yīng)引起的駐波能量耦合相位一致，因此很難將二者進行區(qū)分，加大了阻尼誤差補償?shù)碾y度。

利用如式(2)所示的旋轉(zhuǎn)矩陣R，用于x-y 坐標系下阻尼矩陣C及x1-y1坐標系下阻尼矩陣C' 的互相轉(zhuǎn)換，坐標旋轉(zhuǎn)過程如式(3)所示。

最終得到x-y 坐標系下陀螺的阻尼矩陣C為：

根據(jù)式(4)，阻尼矩陣中的對角元cxx和cyy引起全角陀螺兩軸振動幅值的衰減，而非對角元cxy和cyx引起全角陀螺兩軸之間能量的耦合。

即使陀螺阻尼主軸所在坐標系與激勵、檢測電極所在坐標系不重合，采用式(2)及式(3)，可以將阻尼矩陣C轉(zhuǎn)換為阻尼矩陣C'，即在陀螺阻尼主軸坐標系下研究陀螺駐波進動特性，這樣可以不考慮兩阻尼軸之間的阻尼耦合。在該坐標系下，陀螺兩個工作模態(tài)的振動位移x1(t)、y1(t)分別為：

其中A為駐波的幅值，θin是駐波相對阻尼主軸的初始角度，τx和τy分別是阻尼軸x1、y1的自由衰減時間常數(shù)。

當(dāng)陀螺兩個工作模態(tài)的阻尼不相等時，即τx≠τy，駐波能量在x1、y1軸上的衰減速度不同，因此導(dǎo)致駐波方位角的漂移，如式(6)所示。

對式(6)相對于時間進行微分，可以得到駐波漂移速率：

并將式(5)帶入式(7)中，便可以得到駐波漂移速率關(guān)于駐波方位角θ的函數(shù)，如式(8)所示。

其中 Δ(1/)τ是陀螺兩個工作模態(tài)之間的阻尼誤差：

由于式(8)中，駐波的漂移速率是在阻尼主軸所在坐標系中求得，考慮阻尼主軸坐標系與陀螺激勵、檢測電極坐標系之間的角度β，并考慮標度因數(shù)κ的作用，根據(jù)能量衰減法得到駐波受到阻尼誤差的影響在電極坐標系下的漂移速率，如式(10)所示。

根據(jù)式(10)，得到全角陀螺受到阻尼誤差導(dǎo)致的速率死區(qū)，如式(11)所示，即陀螺若想工作于全角模式下，必須突破該速率死區(qū)Ωth的限制。

2 阻尼誤差對全角陀螺駐波進動的影響

（1）Ω=0 時

為了驗證阻尼誤差對駐波方位角漂移的影響，令τx=1s 且τy=2s，當(dāng)無外界角速率輸入時，不同初始方位角駐波的漂移如圖2 所示。

圖2 陀螺駐波受阻尼誤差影響產(chǎn)生漂移Fig.2 Gyro standing wave drift due to damping error

由圖2 可以發(fā)現(xiàn)，由于陀螺兩個工作模態(tài)存在阻尼誤差，初始方位角不同的駐波最終都漂移至陀螺阻尼主軸。

為了研究不同阻尼誤差大小對陀螺駐波漂移的影響，設(shè)置τx=1s，而τy比τx大10%～100%，駐波初始方位角為89 °，駐波漂移如圖3 所示。

圖3 陀螺駐波受不同阻尼誤差影響產(chǎn)生漂移Fig.3 Gyro standing wave drift under different damping errors

由圖3 可以發(fā)現(xiàn)，陀螺阻尼誤差的大小影響駐波漂移的速率，且阻尼誤差越大，駐波漂移至阻尼主軸所用時間越短，即駐波漂移的速度越快。

設(shè)置陀螺諧振頻率為8800 Hz，陀螺的品質(zhì)因數(shù)Qx=40000，Qy=30000，在陀螺阻尼主軸坐標系中，在不同方位角下駐波受阻尼誤差產(chǎn)生的漂移如圖4 所示，其中最大漂移速率發(fā)生在45 °，為6.6 °/s，該駐波最大漂移速率便是由于阻尼誤差導(dǎo)致的速率死區(qū)Ωth。

圖4 陀螺駐波在不同位置處的漂移速率Fig.4 Gyro standing wave drift at different positions

因此當(dāng)外界沒有角速率輸入時，陀螺的駐波便朝著阻尼主軸進行漂移，并停留在該軸所在方位角。

（2）0＜Ω≤Ωth時

當(dāng)外界角速率輸入大于零而小于速率死區(qū)Ωth時，駐波雖然可以產(chǎn)生進動，當(dāng)進動到某一方位角，且在該方位角駐波的漂移速率與外界角速率產(chǎn)生的駐波進動速率相等時，駐波便停留在此位置，不再進動。此時陀螺無法工作于全角模式下。

當(dāng)只考慮阻尼誤差對駐波進動的影響，當(dāng)駐波無法進動時，駐波的進動速率為零，即=0，帶入式(10)即可得到此時駐波所在方位角θlock。

設(shè)置阻尼誤差引起的速率死區(qū) 0.5×Δ(1/τ)=15 °/s，角度增益為κ=0.8，阻尼主軸方位角β=0，當(dāng)外界角速率Ω為1 °/s、5 °/s、10 °/s和15 °/s 時，陀螺駐波產(chǎn)生的進動如圖5 所示。

圖5 陀螺駐波未突破速率死區(qū)在不同角速率下的進動Fig.5 Precession of gyro standing wave at different angular rates without breaking through rate dead zone

由圖5 可知，當(dāng)外界角速率輸入小于陀螺速率死區(qū)時，駐波能夠離開阻尼主軸產(chǎn)生進動，然而由于無法突破速率死區(qū)的限制，最終駐波被鎖定在對應(yīng)的方位角，且此時由于阻尼誤差產(chǎn)生的駐波漂移與外界角速率相抵消。因此陀螺若想工作于全角模式下，必須突破速率死區(qū)的限制。

（3）Ω＞Ωth時

當(dāng)外界角速率輸入大于此速率死區(qū)，且假設(shè)陀螺不受增益誤差及剛度誤差的影響，駐波便可以突破速率死區(qū)的限制，工作于全角模式下。然而陀螺駐波進動速率-κΩ還是受到阻尼誤差周期性的干擾，只有當(dāng)κΩ?0.5×Δ(1/τ)時，駐波進動速率所受干擾才可以忽略。

外界角速率輸入突破速率死區(qū)限制后，陀螺便可以直接輸出駐波方位角，將陀螺的理想輸出θ=κΩt代入式(10)，得到：

將式(13)相對于時間進行積分，便可以得到陀螺的角度輸出，如式(14)所示。

因此從式(14)可以發(fā)現(xiàn)，全角陀螺雖然完成了對角速率輸入的積分，得到了角度輸出-κtΩ，但是該角度輸出受到周期性角度誤差的干擾，此周期性角度誤差幅值即為全角陀螺的角度分辨率θdamping：

設(shè)置外界角速率輸入為Ω=40 °/s，阻尼誤差導(dǎo)致的速率死區(qū)為18.75 °/s，角度增益κ=0.8，陀螺的角度輸出在理想條件和非理想條件下如圖6(a)所示，非理想條件下的角度輸出誤差如圖6(b)所示。

圖6 陀螺駐波在非理想及理想條件下的進動Fig.6 Precession of gyro standing wave under non-ideal and ideal conditions

從式(15)可以發(fā)現(xiàn)，阻尼誤差導(dǎo)致的陀螺角度輸出誤差與角速率輸入成反比關(guān)系，角速率輸入越大，陀螺角度輸出誤差越小，如圖7 所示，說明全角陀螺更擅長于檢測大角速率輸入。

圖7 全角陀螺角度輸出誤差與輸入角速率的關(guān)系Fig.7 Relationship between angle output error and input angular rate of WA gyro

從式(15)可以看出增大外界輸入角速率的好處，因此可以在實際角速率輸入Ωin上疊加已知的虛擬角速率Ωvir，使總角速率輸入Ωtotal滿足：

這樣即便角速率Ωin＜Δ(1/τ)/2κ，此時也可以進行全角工作模式，最終只需要在陀螺的最終角度輸出減去虛擬角速率輸入部分便可。

3 自適應(yīng)阻尼補償

速率死區(qū)是全角陀螺的一個重要性能指標，當(dāng)陀螺只受到阻尼誤差的干擾，其角度輸出如式(17)所示。

其中fqs可用于產(chǎn)生虛擬轉(zhuǎn)速，當(dāng)其滿足式(18)時，便可以消除阻尼誤差引起的駐波方位角的漂移。

因此需要對陀螺的角度輸出信號中的阻尼誤差項進行自適應(yīng)參數(shù)辨識，以產(chǎn)生所需虛擬轉(zhuǎn)速fqs。針對式(17)，暫時忽略虛擬轉(zhuǎn)速項，其可以表達為：

引入觀察向量A和參數(shù)向量B，滿足式(20)：

陀螺阻尼誤差自適應(yīng)算法就是不斷采集陀螺駐波輸出角度和角速率，采用遞歸最小二乘法不斷調(diào)整參數(shù)向量B，利用現(xiàn)有參數(shù)向量B計算出陀螺角度輸出，并使該輸出不斷接近采集得到的角度輸出，最終參數(shù)向量B中的參數(shù)逐漸收斂于其真值。自適應(yīng)阻尼誤差補償方案如圖8 所示。

圖8 全角陀螺自適應(yīng)阻尼誤差補償方案Fig.8 Adaptive damping error compensation for WA gyro

4 阻尼誤差自適應(yīng)補償驗證

首先在Simulink 中對全角陀螺阻尼誤差自適應(yīng)補償算法進行仿真驗證，設(shè)置外界角速率輸入為50 °/s，角度增益κ=0.8，阻尼誤差 Δ(1/τ)/2=15°/s，阻尼主軸方位角θτ為60 °，采樣時間ts為1 ms。陀螺阻尼誤差參數(shù)辨識仿真結(jié)果如圖9 所示。

圖9 全角陀螺阻尼誤差參數(shù)自適應(yīng)仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results of adaptive damping error compensation for WA gyro

仿真結(jié)果表明，該陀螺阻尼自適應(yīng)補償算法能夠在2 s 內(nèi)完成對外界角速率輸入、阻尼誤差參數(shù)ad及bd的辨識。得到相關(guān)參數(shù)后，利用式(18)產(chǎn)生補償虛擬旋轉(zhuǎn)，抵消阻尼誤差引起的角度輸出誤差。如圖10所示仿真結(jié)果表明，利用阻尼自適應(yīng)補償能夠有效降低阻尼誤差導(dǎo)致的角度輸出誤差，其角度輸出誤差從未補償?shù)?1.2 °降低至補償后的0.009 °。

圖10 阻尼誤差補償前后全角陀螺角度誤差Fig.10 Simulation results of WA gyro angle error before and after damping error compensation

利用MEMS 多環(huán)陀螺搭建全角陀螺原理樣機，如圖11 所示，諧振子由40 個同心圓環(huán)組成，這些同心圓環(huán)通過分布的輻條相互連接，并最終連接到中心固體圓盤，諧振子的直徑為2 mm。采用圓片級真空封裝后，陀螺的品質(zhì)因數(shù)約為40000。該MEMS 多環(huán)陀螺采用2θ工作模態(tài)，具有8800 Hz 的標稱諧振頻率。該多環(huán)陀螺具有16 個平行板電容電極，電極的間距為3 μm。進行模態(tài)間增益誤差及剛度誤差的抑制后，增益誤差小于0.2%，頻差小于0.1 Hz。由于角度誤差與角速率輸入成反比，在此測試更能反映阻尼誤差的速率漂移值。

圖11 MEMS 多環(huán)全角陀螺原理樣機及測試設(shè)備Fig.11 Principle prototype and test equipment of MEMS multi-ring WA Gyro

此時陀螺駐波漂移主要受到阻尼誤差的影響，利用阻尼自適應(yīng)補償法對陀螺阻尼誤差進行補償，陀螺駐波的角速率漂移如圖12 所示，可見速率漂移從阻尼誤差補償前的2 °/s 降低為補償后的0.25 °/s，性能提高了8 倍。

圖12 全角陀螺阻尼誤差補償前后的速率漂移Fig.12 Test results of WA gyro rate drift before and after damping error compensation

5 結(jié)論

本文針對全角陀螺的阻尼誤差，提出在阻尼主軸坐標系中采用能量衰減法對阻尼誤差的影響進行研究，確定了全角陀螺的速率死區(qū)指標，進而在不同外界角速率輸入情況下研究了阻尼誤差對陀螺駐波進動的影響。針對阻尼誤差的補償提出了阻尼自適應(yīng)補償法，通過Simulink 理論仿真，結(jié)果表明陀螺角度輸出誤差從未補償?shù)?1.2 °降低至補償后的0.009 °；采用MEMS 多環(huán)陀螺進行實驗測試，結(jié)果表明駐波速率漂移從阻尼誤差補償前的2 °/s 降低為補償后的0.25 °/s，性能提高了8 倍，證明了阻尼誤差補償方案的有效性。