借助數(shù)學(xué)思想方法，解決幾何問(wèn)題

萬(wàn)飛

本章是在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”知識(shí)基礎(chǔ)上的進(jìn)一步探究，是初中幾何學(xué)習(xí)的入門(mén)知識(shí)。下面，我們以幾個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題為載體，借助數(shù)學(xué)思想方法的滲透，幫助同學(xué)們更好地攻克本章的幾個(gè)難點(diǎn)。

問(wèn)題一：與線段中點(diǎn)有關(guān)的分類(lèi)討論

例1 在一條直線上有A、B、C三個(gè)點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，若AB=a，BC=b，試用a、b的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)度。

【解析】因?yàn)轭}目沒(méi)有給出圖形，畫(huà)出線段AB后，點(diǎn)C的位置不明確，所以要分點(diǎn)C在線段AB上、點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上、點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上這三種情況進(jìn)行討論。

解：①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，MN=MB-NB=?（a-b）。

②如圖2，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，MN=MB+NB=?（a+b）。

③如圖3，點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上，MN=NB-MB=?（b-a）。

綜上：MN的長(zhǎng)度為?（a-b）或?（a+b）或?（b-a）。

問(wèn)題二：角度計(jì)算中的分類(lèi)討論

例2 已知∠AOB=60°，∠AOB=3∠AOC，射線OD平分∠BOC，求∠COD的度數(shù)。

【解析】本題同樣沒(méi)有給出圖形，因此不知道OC在∠AOB內(nèi)還是∠AOB外，所以需要分類(lèi)討論。

解：①如圖4，OC在∠AOB內(nèi)，此時(shí)，∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-20°=40°，所以∠COD=?∠BOC=20°。

②如圖5，OC在∠AOB外，此時(shí)，∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+20°=80°，所以∠COD=?∠BOC=40°。

綜上：∠COD的度數(shù)為20°或40°。

在沒(méi)有給出圖形的題目中，一般會(huì)有多種情況，需要分類(lèi)討論。上面兩題可放在一起用類(lèi)比的思想進(jìn)行研究，難點(diǎn)在于怎樣準(zhǔn)確地畫(huà)出所有圖形。

問(wèn)題三：互余、互補(bǔ)概念辨析

例3 下列說(shuō)法中，哪些是正確的？請(qǐng)說(shuō)明理由。

（1）互余且相等的兩個(gè)角各是45°；

（2）一個(gè)角的余角一定小于這個(gè)角的補(bǔ)角；

（3）如果∠1+∠2=∠3，那么∠1的余角與∠2的余角的和等于∠3的余角；

（4）如果∠1+∠2=∠3，那么∠1的余角與∠2的余角的和等于∠3的補(bǔ)角。

【解析】（1）45°+45°=90°，正確；

（2）設(shè)這個(gè)角為α，則它的余角為90°-α，補(bǔ)角為180°-α，補(bǔ)角比余角大90°，正確；

（3）∠1的余角為90°-∠1，∠2的余角為90°-∠2，∠1的余角與∠2的余角之和為180°-∠1-∠2=180°-（∠1+∠2）=180°-∠3，錯(cuò)誤；

（4）由（3）的解析可知結(jié)論正確。

綜上：（1）（2）（4）正確。

互為余角、互為補(bǔ)角是指兩個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，不涉及位置關(guān)系，所以只要借助數(shù)量關(guān)系判斷即可。緊扣定義還可以知道，1個(gè)角或超過(guò)2個(gè)角不存在互余或互補(bǔ)關(guān)系。

問(wèn)題四：時(shí)針、分針的夾角

例4 時(shí)鐘在9點(diǎn)20分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角為_(kāi)______°。

【解析】借助鐘的表面我們可以知道，分針每分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)0.5°。9點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為90°。20分鐘后，分針從數(shù)字12開(kāi)始轉(zhuǎn)了120°，時(shí)針從數(shù)字9開(kāi)始轉(zhuǎn)了10°。此題可借助圖形，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行研究。

解：9點(diǎn)時(shí)，時(shí)針和分針的夾角為90°，到9點(diǎn)20分時(shí)，分針轉(zhuǎn)了20×6°=120°，時(shí)針轉(zhuǎn)了20×0.5°=10°，此時(shí)它們的夾角為：360°-120°-90°+10°=160°。

華羅庚曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！彼裕诮鉀Q幾何問(wèn)題時(shí)，我們一定要多思考、多畫(huà)圖，借助數(shù)形結(jié)合或分類(lèi)討論等思想方法，做到不漏解、不多解。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市高新區(qū)金橋外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）