基于軸箱垂向振動(dòng)加速度的波磨谷深值估算方法及應(yīng)用

牛留斌，祖宏林，徐曉迪，王韞璐

（1.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 基礎(chǔ)設(shè)施檢測(cè)研究所，北京 100081；2.中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 機(jī)車車輛研究所，北京 100081）

波磨現(xiàn)象是困擾軌道交通的技術(shù)難題，波磨惡化輪軌關(guān)系，輻射噪聲污染環(huán)境，還降低線路質(zhì)量，增大車輛動(dòng)力損耗，加速車輛軌道部件疲勞傷損，增加工務(wù)部門維護(hù)工作量和維修成本。如不及時(shí)整治，波磨不僅影響旅客乘坐舒適度，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)誘發(fā)軌道結(jié)構(gòu)局部破壞進(jìn)而危及行車安全。國(guó)際上迄今為止尚未形成普適性的波磨成因理論和整治策略，但作為鐵路行業(yè)重點(diǎn)研究課題，特定類型波磨的萌生和發(fā)展已得到合理解釋，比如：Grassie等［1-3］在總結(jié)既有文獻(xiàn)及其個(gè)人研究成果的基礎(chǔ)上，按照波長(zhǎng)固定機(jī)理及損傷機(jī)理將波磨分為Pinned-Pinned 共振型、車轍槽型、重載型、輕軌型、P2 力共振型、其他特殊軌道結(jié)構(gòu)型6 大類型，并探討了各種類型波磨形成機(jī)理、預(yù)防對(duì)策及整治措施；Nielsen 等［4-6］綜述不同線路上25～80 mm短波長(zhǎng)波磨病害分布規(guī)律及特征參數(shù)，在對(duì)波磨成因進(jìn)行合理假設(shè)的基礎(chǔ)上，從理論和試驗(yàn)的角度解釋了波磨發(fā)展規(guī)律。在理論研究指導(dǎo)下，為改善輪軌關(guān)系、降低接觸應(yīng)力，減緩波磨生長(zhǎng)速率的抑制方法如提高鋼軌表面材料硬度［7］、增加摩擦調(diào)節(jié)器［8］、軌道吸振器及定期打磨作業(yè)等措施已用在工程實(shí)踐中。鋼軌打磨作業(yè)能夠顯著延緩波磨過快發(fā)展，已成為鐵路行業(yè)廣泛采用的維修手段［5，8］，打磨決策以軌面粗糙度水平［9］或谷深值［10］作為制定依據(jù)。

相對(duì)于“天窗”時(shí)段內(nèi)人工上道測(cè)試軌道不平順或粗糙度查找波磨的作業(yè)模式，車載設(shè)備能夠高效、客觀地評(píng)價(jià)軌面狀態(tài)而廣泛地應(yīng)用于線路監(jiān)測(cè)中。常見車載技術(shù)如基于慣性基準(zhǔn)法［11-12］通過測(cè)試車體振動(dòng)加速度反演軌道不平順，濾波得到不同波長(zhǎng)區(qū)段的軌面粗糙度，以軌面粗糙度水平［9］評(píng)價(jià)軌面狀態(tài)及是否需要打磨作業(yè)；激光攝像技術(shù)［13］通過高精度攝像機(jī)采集軌面廓形圖像，采用激光峰值檢測(cè)信號(hào)提取技術(shù)重構(gòu)三維空間曲線并轉(zhuǎn)換軌道不平順，利用正弦函數(shù)擬合軌道不平順獲得波磨特征參數(shù)；超聲波和渦流檢測(cè)［14］則通過分析異常超聲脈沖或渦流時(shí)頻域響應(yīng)信號(hào)的頻譜分布，實(shí)現(xiàn)不同深度波磨缺陷的檢測(cè)與識(shí)別；軸箱振動(dòng)加速度傳感器［15-17］和測(cè)力輪對(duì)［18-19］等設(shè)備能夠?qū)崟r(shí)測(cè)試軌道激勵(lì)的車輛動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，借助信號(hào)特征提取和數(shù)據(jù)處理技術(shù)挖掘波磨區(qū)段表征指標(biāo)進(jìn)而評(píng)價(jià)軌面狀態(tài)。軸箱振動(dòng)加速度傳感器易于安裝、便于維護(hù)、經(jīng)濟(jì)適用性強(qiáng)，因而被廣泛地應(yīng)用于軌道短波狀態(tài)監(jiān)測(cè)［20］中。軸箱垂向振動(dòng)加速度幅值因具有離散性不能直接用于評(píng)價(jià)波磨狀態(tài)，工程上常用其衍生指標(biāo)量化波磨嚴(yán)重程度，如Tanaka 等［16］擬合了波磨區(qū)段檢測(cè)車導(dǎo)向軸位上軸箱垂向振動(dòng)加速度有效值與軌面平均粗糙度之間的函數(shù)關(guān)系，再依據(jù)波磨整治時(shí)軌面粗糙度門檻值得到軸箱垂向振動(dòng)加速度有效值的閾值，以此閾值為基礎(chǔ)提出了實(shí)測(cè)軸箱振動(dòng)加速度有效值歸一化算法；為抑制車輛運(yùn)行速度對(duì)波磨評(píng)價(jià)的影響，Bocciolone 等［15］以軸箱振動(dòng)加速度的滑動(dòng)有效值除以車輛運(yùn)行速度為修正指標(biāo)，通過曲線段軸箱振動(dòng)加速度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合下股鋼軌波磨谷深值與修正指標(biāo)之間的表達(dá)式；Caprioli等［21］利用軸箱垂向振動(dòng)加速度，將連續(xù)小波變換系數(shù)表征為頻域的能量，采用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立頻域能量與曲線波磨區(qū)段軌道不平順之間對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)波磨狀態(tài)的評(píng)價(jià)；為消除檢測(cè)車輛性能差異對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響，劉金朝等［22-23］將時(shí)域軸箱垂向振動(dòng)加速度經(jīng)希爾伯特-黃變換［24］至頻域，引入能量因子識(shí)別波磨周期性的顯著程度，以歸一化鋼軌波磨指數(shù)量化波磨狀態(tài)的嚴(yán)重程度。以上既有文獻(xiàn)主要研究了波長(zhǎng)相對(duì)固定時(shí)軸箱垂向振動(dòng)加速度衍生指標(biāo)與波磨谷深值之間在時(shí)頻域上的映射關(guān)系，考慮波長(zhǎng)因素對(duì)映射關(guān)系的影響較少。波磨波長(zhǎng)是影響輪軌相互作用的敏感因素［25-26］，直接影響著軸箱垂向振動(dòng)加速度的頻率和幅度，因此開展波長(zhǎng)與軸箱垂向振動(dòng)加速度之間關(guān)聯(lián)性研究有助于深入認(rèn)識(shí)波磨激勵(lì)車輛振動(dòng)的響應(yīng)特性，從而摸索出基于軸箱垂向振動(dòng)加速度評(píng)價(jià)鋼軌波磨狀態(tài)的科學(xué)方法。

本文基于CRTS Ⅱ型板式軌道及CRH3型動(dòng)車組拖車參數(shù)構(gòu)建輪軌動(dòng)力學(xué)模型，仿真研究300 km·h-1速度時(shí)波磨激勵(lì)下軸箱垂向振動(dòng)加速度時(shí)頻域特征，以拉依達(dá)準(zhǔn)則選取軸箱垂向振動(dòng)加速度3σ大值為波磨狀態(tài)表征指標(biāo)，采用非線性最小二乘法和非理式方程擬合波長(zhǎng)40～180 mm 表征指標(biāo)與波長(zhǎng)谷深之間的函數(shù)關(guān)系，分析擬合參數(shù)的物理意義及影響因素。在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)波磨谷深值評(píng)估算法，高鐵波磨現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用效果說明了該方法可為我國(guó)高鐵線路波磨狀態(tài)的評(píng)價(jià)和打磨整治決策提供科學(xué)支撐。

1 輪軌動(dòng)力學(xué)模型構(gòu)建

1.1 模型構(gòu)建

車輛通過鋼軌波磨區(qū)段時(shí)輪軌垂向相互作用的頻率為

式中：f為波磨激勵(lì)頻率，Hz；v為車輛運(yùn)行速度，mm· s-1；λ為波長(zhǎng)，mm。

由式（1）可知，波長(zhǎng)λ在40～180 mm、車輛運(yùn)行速度v大于250 km·h-1時(shí)波磨激勵(lì)頻率大于385.8 Hz，該頻段軸箱垂向振動(dòng)響應(yīng)特性與車輛一系懸掛裝置、構(gòu)架、車體等部件運(yùn)動(dòng)關(guān)系較小［27］，因此，在研究直線工況下鋼軌波磨區(qū)段輪軌垂向振動(dòng)特性時(shí)可將車輛一系懸掛以上部件簡(jiǎn)化為質(zhì)量塊m，而車輛一系懸掛簡(jiǎn)化為橫向剛度K0、阻尼C0和垂向剛度K1、阻尼C1的彈簧單元施加在輪對(duì)兩側(cè)端部，彈條、軌下墊板、緩沖墊板等扣件系統(tǒng)對(duì)鋼軌垂向支承作用由剛度K2、阻尼C2的彈簧單元模擬。輪軌動(dòng)力學(xué)模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 輪軌動(dòng)力學(xué)模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

前輪起始位置o點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，鋼軌中部ab段為波磨區(qū)段，c點(diǎn)為仿真結(jié)束位置。車輛沿z軸方向運(yùn)行，沿y軸方向沉浮運(yùn)動(dòng)。輪對(duì)、鋼軌、道床均采用真實(shí)尺寸建模，其中車輪為CRH380B 型動(dòng)車組采用的LMB型踏面的拖車車輪，鋼軌為CN60型鋼軌、1∶40 軌底坡。輪軌動(dòng)力學(xué)模型實(shí)體單元構(gòu)成如圖2 所示。圖2 中軌道長(zhǎng)度為26.65 m，軌枕間距為650 mm。輪軌材料彈塑性本構(gòu)關(guān)系采用雙線性硬化模型模擬，軸箱垂向振動(dòng)加速度數(shù)據(jù)來自前輪仿真結(jié)果。

圖2 輪軌動(dòng)力學(xué)實(shí)體單元構(gòu)成

在輪軌接觸面法線方向采用“面-面”硬接觸算法計(jì)算輪軌法向接觸力，切線方向采用干燥條件下輪軌相互作用時(shí)的庫倫摩擦系數(shù)0.3［28］，后輪與鋼軌端部的距離不小于3 m，并在軌道端部施加面對(duì)稱約束以減少有限長(zhǎng)度鋼軌端部反射波對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

為縮減輪軌動(dòng)力學(xué)模型規(guī)模和計(jì)算時(shí)間，實(shí)體單元網(wǎng)格尺寸與其受關(guān)注程度有關(guān)，靠近輪軌接觸區(qū)域單元網(wǎng)格尺寸較小，在鋼軌底部、非鋼軌波磨區(qū)段、輪軸、車輪幅板、砂漿層、道床等遠(yuǎn)離關(guān)注區(qū)域的單元網(wǎng)格尺寸較大。輪軌接觸面上單元設(shè)置為2 mm×2 mm×2 mm 正六面體網(wǎng)格，如圖3（b）右上方放大圖所示，每組扣件由55 根彈簧組成的面彈簧模擬如圖3（b）右下方放大圖所示。圖中：M為牽引扭矩［29］。

圖3 輪軌動(dòng)力學(xué)網(wǎng)格模型

為減少輪軌動(dòng)力學(xué)模型在oa段鋼軌達(dá)到動(dòng)態(tài)平衡所需時(shí)間，先采用隱式算法計(jì)算重力載荷下模型靜平衡狀態(tài)，將其作為顯式計(jì)算的初始邊界條件，輪對(duì)施加速度載荷運(yùn)行至鋼軌a點(diǎn)時(shí)模型處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)。為確保輪對(duì)勻速運(yùn)行，在車輪上施加牽引扭矩M以減少輪軌摩擦力對(duì)運(yùn)行速度的影響，即有

式中：Fz為輪軌力F沿z軸方向分量，kN；R為車輪滾動(dòng)圓半徑，430 mm；J為輪對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；ε為輪對(duì)角加速度，車輛勻速運(yùn)行時(shí)ε=0。

在不考慮輪對(duì)橫向運(yùn)動(dòng)前提下，F(xiàn)z為

式中：Fn為輪軌力F沿輪軌接觸面法向分量，kN；μ為牽引系數(shù)，取0.03［30］。

在ABAQUS 軟件顯式模塊中采用中心差分法求解輪軌實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和接觸力，每個(gè)時(shí)間增量步結(jié)束時(shí)刻狀態(tài)完全由該增量步開始時(shí)刻的位移、速度、加速度計(jì)算得到［31］。最大積分時(shí)間步長(zhǎng)Δt由輪軌動(dòng)力學(xué)模型最高固有角頻率ωmax決定，滿足

式中：ζ為輪軌系統(tǒng)的臨界阻尼比；Le為模型單元長(zhǎng)度，mm；cd為模型材料特性決定的波速，m ·s-1；E為輪軌材料彈性模量，GPa；ρ為輪軌材料的密度，mg· mm-3。

由式（4）可知，最小網(wǎng)格尺寸為2 mm 時(shí)最大積分時(shí)間步長(zhǎng)Δt為10-7s 數(shù)量級(jí)，說明圖3 輪軌動(dòng)力學(xué)模型能夠計(jì)算極短時(shí)間內(nèi)輪軌接觸力、位移等物理量，模擬波磨激勵(lì)下輪軌間高頻動(dòng)力學(xué)行為。

1.2 波磨施加

鋼軌波磨區(qū)段軌道不平順由多種隨機(jī)波長(zhǎng)成分疊加而成，其激勵(lì)的軸箱振動(dòng)加速度中也包含多種頻率成分，但在特定高鐵線路上運(yùn)行車輛型式、車輛運(yùn)營(yíng)速度、軌道類型等相對(duì)穩(wěn)定，易形成固定波長(zhǎng)的鋼軌波磨［1-3］。輕型及重型波磨區(qū)段鋼軌頂部呈現(xiàn)等波長(zhǎng)連續(xù)分布特征如圖4 所示。圖中：b1和b2分別為波磨區(qū)段軌面光帶最小和最大寬度半值。

圖4 不同程度的鋼軌表面狀態(tài)

波磨區(qū)段軌道不平順采用余弦函數(shù)曲線模擬，通過修改鋼軌模型單元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的方式施加波磨。波磨區(qū)段某節(jié)點(diǎn)n（x，y，z）的坐標(biāo)修改量Δ(x，y，z)與其坐標(biāo)有關(guān)，為

式中：d為谷深值，mm；za和zb分別為波磨區(qū)段起止位置在z軸上的坐標(biāo)，mm。

由圖4（b）可知，波磨區(qū)段某一軌道橫剖面上的谷深值并不是沿x軸方向均一分布的，為此采用xoy平面內(nèi)拋物線函數(shù)形式修正Δ(x，y，z)，修改量δ（x，y，z）為

式中：b為波磨寬度的半值，mm。

由圖4（b）還可知，波磨寬度沿z方向呈現(xiàn)周期性變化，其波長(zhǎng)與波磨波長(zhǎng)一致，構(gòu)造余弦函數(shù)表征波磨沿x軸方向上寬度變化特性，為

根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試結(jié)果，正常光帶寬度約為25 mm，波磨寬度大于正常光帶寬度，約在30～40 mm之間。因此，式（7）中b1和b2分別取15和20 mm。

為避免單元網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)過度修改引起單元畸形從而影響仿真精度，在施加波磨時(shí)僅修改ab段鋼軌全部的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。施加波磨時(shí)節(jié)點(diǎn)n（x，y，z）修正為修正過程示意圖如圖5所示。修正后坐標(biāo)為

圖5 波磨施加時(shí)單元網(wǎng)格坐標(biāo)修正過程示意圖

其中，

式中：θ為鋼軌1∶40 軌底坡的角度；h為CN60 型鋼軌高度，176 mm；dn為節(jié)點(diǎn)n處波磨的谷深值。

施加軌道不平順后輪軌動(dòng)力學(xué)模型波磨區(qū)段鋼軌表面形狀如圖6 所示。圖中：藍(lán)色表示正常軌面，由藍(lán)色至紅色表示谷深值依次增大。由圖6 可知：波磨區(qū)段在yoz平面內(nèi)沿z軸方向呈現(xiàn)多波余弦曲線形狀分布；在xoz平面內(nèi)波磨谷深值沿x軸呈現(xiàn)拋物線形狀分布，越靠近鋼軌頂部中心線波磨谷深值越大，而遠(yuǎn)離鋼軌頂部中心線波磨谷深值逐漸減小，與圖4中波磨現(xiàn)場(chǎng)軌面形狀分布規(guī)律一致。

圖6 輪軌動(dòng)力學(xué)模型波磨區(qū)段軌面形狀示意圖

除了特別標(biāo)注外，圖3 所建輪軌動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)取值見表1。

表1 輪軌動(dòng)力學(xué)模型主要參數(shù)列表

1.3 模型驗(yàn)證

采用高速綜合檢測(cè)列車以300 km·h-1速度運(yùn)行時(shí)在波磨區(qū)段的軸箱垂向振動(dòng)加速度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證圖3所建模型的準(zhǔn)確性。該波磨區(qū)段持續(xù)長(zhǎng)度約20 m，30～300 mm 帶通濾波后軌道不平順及其頻譜曲線如圖7 所示。由圖7 可知：波磨區(qū)段軌道不平順幅值在±0.07 mm范圍內(nèi)波動(dòng)；頻譜曲線在空間頻率12.46 m-1處存在能量集中，說明波磨主要的波長(zhǎng)成分為80 mm，而其他波長(zhǎng)成分所占比重較小。波磨現(xiàn)場(chǎng)復(fù)核時(shí)軌面狀態(tài)如圖7（b）右上側(cè)照片所示，復(fù)核結(jié)果表明左股鋼軌表面存在波長(zhǎng)約為80 mm 的波磨，且由式（1）可知該波磨區(qū)段激勵(lì)軸箱振動(dòng)加速度的主頻約為1 041.3 Hz。

圖7 某波磨區(qū)段實(shí)測(cè)軌道不平順數(shù)據(jù)

根據(jù)式（8），將圖7（a）所示軌道不平順施加到輪軌動(dòng)力學(xué)模型，在300 km·h-1速度下軸箱垂向振動(dòng)加速度仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)程曲線對(duì)比如圖8（a）所示。圖中：g為重力加速度；虛豎線左側(cè)表示軸箱垂向振動(dòng)加速度存在振幅約為±5g的周期性波動(dòng)，是由軌枕對(duì)鋼軌不連續(xù)支承作用引起的。由圖8（a）可知：實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與仿真結(jié)果的時(shí)域波形均呈現(xiàn)由小增大再減小的拍振特征，幅值波動(dòng)范圍為±190g，仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在時(shí)域上幅值吻合良好、變化趨勢(shì)一致。

仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)過時(shí)頻轉(zhuǎn)換技術(shù)［24］，得到其在頻域上的分布特征如圖8（b）和圖8（c）所示。圖中：顏色由藍(lán)色到紅色表征了軸箱垂向振動(dòng)加速度能量依次增大。由圖8（b）和圖8（c）可知：仿真結(jié)果和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在頻域具有相似的分布特征；紅色頻段為軸箱垂向振動(dòng)加速度最大能量所在的頻段，約為1 041.3 Hz，與圖7（b）所示波磨在300 km· h-1時(shí)的激勵(lì)頻率一致。

由圖8 中實(shí)測(cè)軸箱振動(dòng)加速度與仿真結(jié)果的時(shí)頻域?qū)Ρ瓤芍獌烧叻迪喈?dāng)，頻域分布一致，驗(yàn)證了輪軌動(dòng)力學(xué)模型仿真結(jié)果的正確性。

圖8 軸箱垂向振動(dòng)加速度時(shí)程波形和時(shí)頻分布仿真與實(shí)測(cè)對(duì)比

2 波磨與軸箱垂向振動(dòng)加速度映射關(guān)系

2.1 仿真步驟

繪制軸箱垂向振動(dòng)加速度上包絡(luò)線數(shù)據(jù)的累積概率分布曲線，以拉依達(dá)準(zhǔn)則選取該曲線上99.73百分位數(shù)值記作A，并將其作為衡量波磨狀態(tài)的表征量。

軸箱垂向振動(dòng)加速度及其上包絡(luò)線累積概率分布曲線及A值選取示意圖如圖9所示。圖中：紅色五角星對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值即為圖7（b）所示波磨狀態(tài)的表征量A。

圖9 軸箱垂向振動(dòng)加速度包絡(luò)線及A值選取示意圖

波磨的谷深值和波長(zhǎng)均影響A值的大小，下文采用輪軌動(dòng)力學(xué)模型研究300 km·h-1速度時(shí)波磨與A值之間的映射關(guān)系，從而推導(dǎo)得到估算波磨谷深值的表達(dá)式，采用的仿真步驟和數(shù)據(jù)處理方法等如下。

（1）建立輪軌動(dòng)力學(xué)模型，根據(jù)仿真工況參數(shù)及式（8）在鋼軌ab段上施加12 個(gè)整周期余弦型軌道不平順，其中波磨起始位置點(diǎn)a與坐標(biāo)原點(diǎn)o相距12 m。

（2）隱式計(jì)算重力載荷作用下輪軌動(dòng)力學(xué)模型位移場(chǎng)，作為顯式計(jì)算的初始邊界狀態(tài)。

（3）在輪對(duì)上施加運(yùn)行速度和牽引扭矩載荷，仿真輸出輪對(duì)經(jīng)過鋼軌波磨區(qū)段工況下的軸箱垂向振動(dòng)加速度、運(yùn)行距離等，輸出頻率為10 kHz。

（4）統(tǒng)計(jì)該工況下軸箱垂向振動(dòng)加速度上包絡(luò)線累積概率99.73百分位數(shù)，即A值。

（5）在鋼軌ab區(qū)段上施加新的仿真工況，并按步驟（2）—步驟（4）統(tǒng)計(jì)新工況下波磨表征量A。

（6）按照步驟（5）依次計(jì)算所有工況下的波磨表征量A。

（7）擬合波磨波長(zhǎng)、谷深值等參數(shù)與A值之間映射關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式。

（8）由式（1）及軸箱垂向加速度主頻計(jì)算波磨波長(zhǎng)，得到A值與谷深值之間的關(guān)系式。

2.2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

谷深值較大時(shí)波磨與軸箱垂向振動(dòng)響應(yīng)之間不再是近似線性傳遞。為了厘清兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在仿真數(shù)值計(jì)算時(shí)谷深值取值范圍較大而波長(zhǎng)設(shè)置范圍為40～180 mm。300 km·h-1車速下波磨波長(zhǎng)為40，100 和180 mm，谷深值分別為0.02，0.06，0.10，0.14，0.18 和0.20 mm 時(shí)軸箱垂向振動(dòng)加速度波形如圖10所示。

圖10 波長(zhǎng)40，100和180 mm 不同谷深值時(shí)軸箱垂向振動(dòng)加速度波形

由圖10 可知：相同波長(zhǎng)時(shí)軸箱垂向振動(dòng)加速度波動(dòng)范圍均隨著谷深值的增加而增大，但增大的幅度與波長(zhǎng)有關(guān)，如谷深值由0.02 mm 增至0.20 mm 時(shí)40 mm 波長(zhǎng)波磨激勵(lì)的軸箱垂向振動(dòng)加速度波動(dòng)值由28.79g增至157.52g、增大約5.5 倍，100 mm波長(zhǎng)的由41.04g增至240.30g、增大約5.8倍，100 mm 波長(zhǎng)的由31.49g增至180.73g、增大約5.7 倍；100 mm 波長(zhǎng)時(shí)，軸箱垂向振動(dòng)加速度的波動(dòng)范圍明顯比40 和180 mm 波長(zhǎng)時(shí)大。因此，相同谷深值時(shí)不同波長(zhǎng)的波磨激勵(lì)A(yù)值也存在差異。

圖10中3組波長(zhǎng)條件下，A值隨谷深值變化的柱狀圖如圖11 所示。圖中：虛線為谷深值與A值之間趨勢(shì)線。

圖11 波長(zhǎng)40，100 和180 mm 時(shí)軸箱垂向振動(dòng)加速度A 值統(tǒng)計(jì)結(jié)果

由圖11 可知：相同谷深值時(shí)波磨表征量A值與波長(zhǎng)關(guān)系較為復(fù)雜，但整體上在谷深值相同時(shí)100 mm 波長(zhǎng)波磨激勵(lì)的A值最大；在谷深值小于0.14 mm 時(shí)，40 mm 波長(zhǎng)波磨激勵(lì)的A值大于180 mm 波長(zhǎng)時(shí)，而在谷深值大于0.14 mm 時(shí)，40 mm波長(zhǎng)波磨激勵(lì)的A值小于180 mm波長(zhǎng)時(shí)。

當(dāng)谷深值繼續(xù)增加時(shí)，A值隨谷深值變化的散點(diǎn)圖如圖12所示。

圖12 不同波長(zhǎng)條件下A值隨谷深值變化散點(diǎn)圖

由圖12可知：3組波長(zhǎng)條件下，均為谷深值較小時(shí)A值隨谷深值近似線性增大，在谷深值較大時(shí)A值隨谷深值增大變化趨于平緩。這是因?yàn)殡S著谷深值增加，輪軌在波谷附近發(fā)生脫離，接觸位置集中在波峰附近，導(dǎo)致A值與谷深值關(guān)聯(lián)性較弱。

在100 mm 波長(zhǎng)、不同谷深值波磨激勵(lì)下輪軌垂向力波形及對(duì)應(yīng)的輪軌接觸狀態(tài)如圖13 所示。圖中：紅色為輪軌脫離區(qū)，灰色為輪軌接觸區(qū)。

圖13 波長(zhǎng)100 mm時(shí)輪軌垂向力及輪軌接觸狀態(tài)示意圖

由圖13 可知：谷深值小于0.20 mm 時(shí)，輪軌垂向力最小值均大于0 kN，輪軌不脫離接觸；谷深值≥0.20 mm 時(shí)，輪軌垂向力最小值為0 kN，此時(shí)輪軌脫離接觸，但脫離位置較少；谷深值增加到0.30 mm 時(shí)，輪軌垂向力為0 kN 的位置增多，輪軌脫離接觸區(qū)域逐步擴(kuò)大；谷深值≥0.50 mm時(shí)，輪軌垂向力為0 kN 的區(qū)域不再明顯變化，相應(yīng)地輪軌脫離接觸位置的數(shù)量不再增加，說明此時(shí)輪軌脫離區(qū)域相對(duì)固定，不隨谷深值的增加而明顯改變；隨著谷深值由0.10 mm 增加至0.90 mm，輪軌在波谷附近逐漸發(fā)生脫離而接觸區(qū)集中在波峰附近。在車輛運(yùn)行速度固定時(shí)，輪軌接觸狀態(tài)變化較小，導(dǎo)致波磨激勵(lì)軸箱垂向加速度波動(dòng)范圍趨于平緩。

定義軌面變化率ξ為波磨谷深值與波長(zhǎng)的比值，為

圖12 中300 km·h-1速度下波磨波長(zhǎng)為40，100 和180 mm 仿真工況下波磨表征量A值與軌面變化率ξ之間散點(diǎn)和擬合曲線如圖14所示。

由圖14可知：3組波長(zhǎng)工況下A值整體上隨著軌面變化率ξ的增加而增大，但A值增幅隨ξ增加而變緩。

利用有理式和非線性最小二乘方法［32］擬合圖14中A值與ξ之間的函數(shù)關(guān)系，得

圖14 不同波長(zhǎng)條件下波磨表征量A值與軌面變化率ξ散點(diǎn)和擬合曲線

式中：c1，c2和c3為待定擬合參數(shù)。

在擬合優(yōu)度不小于0.995 時(shí)，40～180 mm 波長(zhǎng)條件下擬合參數(shù)c1，c2和c3取值見表2。

表2 不同波長(zhǎng)條件擬合參數(shù)取值

波磨程度輕微時(shí)軌面變化率ξ較小，由式（10）可知在ξ≈0 時(shí)A值近似等于擬合參數(shù)c2與c3的比值c2/c3，其值應(yīng)接近于0g，波動(dòng)范圍如圖8（a）虛線左側(cè)未施加波磨時(shí)軸箱振動(dòng)加速度仿真結(jié)果；波磨程度嚴(yán)重時(shí)軌面變化率ξ較大，由式（10）知ξ取值越大A值越趨近于擬合參數(shù)c1。擬合參數(shù)c1及比值c2/c3與波長(zhǎng)之間關(guān)系如圖15 所示。由圖15 可知，擬合參數(shù)c1整體上隨著波長(zhǎng)增加而增大，在上下限虛線內(nèi)波動(dòng)；擬合參數(shù)c1上存在2個(gè)局部峰值點(diǎn)，其中局部峰值點(diǎn)ck1對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)范圍為56～72 mm，局部峰值點(diǎn)ck2對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)范圍為120～136 mm。局部峰值的產(chǎn)生與鋼軌Pinned-Pinned共振頻率fpp有關(guān)。

圖15 擬合參數(shù)隨波磨波長(zhǎng)變化

鋼軌Pinned-Pinned 共振是軌道振動(dòng)駐波節(jié)點(diǎn)位于軌枕支承位置，n階fpp計(jì)算式［33］為

式中：Lr為軌枕間距，0.65 m；mr為單位鋼軌質(zhì)量，60.643 kg· m-1；EI為鋼軌抗彎剛度，6.62×106N· m2。

由式（11）可知，當(dāng)n=1 時(shí)鋼軌1 階Pinned-Pinned 頻率fpp約為1 227.8 Hz。圖2 所示輪軌動(dòng)力學(xué)模型中鋼軌1階Pinned-Pinned共振頻率為1 215.1 Hz，與式（11）計(jì)算得到的數(shù)值較為接近，也驗(yàn)證了所建模型數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性。

速度為300 km·h-1時(shí)，由式（1）可知圖15（a）中局部峰值點(diǎn)所在60～72 和120～136 mm 波長(zhǎng)波磨引起輪軌振動(dòng)的激勵(lì)頻率對(duì)應(yīng)為1 157.4～1 388.9 和612.7～694.4 Hz，該頻帶接近圖3 中鋼軌1 階Pinned-Pinned 共振頻率及其半頻，是造成擬合參數(shù)c1曲線上局部偏大的原因。圖15 中Ck1和Ck2對(duì)應(yīng)頻段附近鋼軌的模態(tài)振型如圖16所示。

圖16 鋼軌模型的振動(dòng)模態(tài)振型

3 谷深值估算

由圖12 及圖14 可知，A表征了波磨激勵(lì)軸箱垂向振動(dòng)的程度但與波磨特征參數(shù)不存在對(duì)應(yīng)關(guān)系。式（10）揭示了A與軌面變化率ξ之間的映射關(guān)系并分析了擬合參數(shù)物理特性。在波磨波長(zhǎng)估算基礎(chǔ)上可利用A值估算谷深值，由式（10）可知

我國(guó)高鐵線路對(duì)波磨谷深值管理較為嚴(yán)格，軌面變化率ξ值較小。由圖15（b）可知此時(shí)擬合參數(shù)c2/c3的取值近似等于0，式（12）可寫為

聯(lián)合式（9）可得由A及波長(zhǎng)λ估算波磨谷深值的估算值的計(jì)算式為

由式（15）可知第i個(gè)波長(zhǎng)成分對(duì)應(yīng)的谷深估計(jì)值為

式中：i為波長(zhǎng)個(gè)數(shù)；c1，i和c3，i為波磨表征量Ai與波長(zhǎng)λi之間的擬合參數(shù)。

波磨區(qū)段波長(zhǎng)成分及對(duì)應(yīng)的谷深值均較多，在應(yīng)用式（17）計(jì)算時(shí)僅考慮有限個(gè)波長(zhǎng)成分結(jié)果，即m取值滿足下式

前述表2 給出了300 km·h-1時(shí)部分波長(zhǎng)條件下A與ξ之間的擬合參數(shù)，40～180 mm范圍內(nèi)其他波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的擬合參數(shù)可通過表2中結(jié)果插值得到。

4 方法驗(yàn)證

由圖17 可知：50 組對(duì)比樣本中大部分散點(diǎn)集中在虛線d=附近，兩者均方誤差約為22 μm，相關(guān)系數(shù)約為0.95，說明兩者數(shù)值上較為接近且存在較強(qiáng)的線性相關(guān)性。在大于0.08 mm時(shí)兩者之間均方誤差約為16 μm，此時(shí)說明采用軸箱垂向振動(dòng)加速度及式（17）的估算結(jié)果精度進(jìn)一步提高。

圖17 50組波磨谷深值與谷深估算值關(guān)系

采用誤判率Ep分析式（17）所得谷深估算值用于輔助波磨整治決策的可行性，誤判率Ep越小表明式（17）的實(shí)用性越強(qiáng)，為

高速鐵路無砟軌道線路維修規(guī)則［10］規(guī)定了波磨整治限值為谷深值d大于0.08 mm。因此，式（19）中p取0.08 mm，由圖16 所示50 組對(duì)比數(shù)據(jù)及式（17）和式（19）得到的谷深估算值輔助波磨整治決策時(shí)的誤判率E0.08為9.73%。而當(dāng)p為0.07 mm 時(shí)誤判率E0.07為2.97%，谷深限度值的適當(dāng)降低有助于減少波磨誤判的風(fēng)險(xiǎn)，因此在軸箱垂向振動(dòng)加速度評(píng)價(jià)波磨狀態(tài)時(shí)建議選取大于0.07 mm作為上道復(fù)核預(yù)警值。

5 結(jié)論

（1）在波長(zhǎng)不變時(shí)波磨激勵(lì)的軸箱垂向振動(dòng)加速度隨著谷深值增大而非線性增大。在谷深值較大時(shí)，輪軌在波谷位置發(fā)生脫離，輪軌接觸區(qū)域趨于波峰附近，軸箱垂向振動(dòng)加速度隨谷深值的變化較小且逐漸接近某一定值；在谷深值不變時(shí)，受軌道固有振動(dòng)模態(tài)的影響軸箱垂向振動(dòng)加速度與波磨波長(zhǎng)之間映射關(guān)系較為復(fù)雜，因此在評(píng)價(jià)波磨狀態(tài)時(shí)應(yīng)重點(diǎn)考慮波長(zhǎng)對(duì)軸箱垂向振動(dòng)加速度幅值的影響。

（2）在擬合優(yōu)度大于0.995 時(shí)，采用非線性最小二乘法及有理式方程得到軸箱垂向振動(dòng)加速度99.73 百分位數(shù)與軌面變化率之間函數(shù)曲線。擬合參數(shù)c1的物理意義為該波長(zhǎng)條件下軸箱垂向振動(dòng)加速度的最大趨近值。受鋼軌Pinned-Pinned 振動(dòng)模態(tài)的影響，c1值在部分波長(zhǎng)上呈現(xiàn)局部峰值特征，在300 km·h-1時(shí)受鋼軌Pinned-Pinned共振頻率及其半值影響較大的波長(zhǎng)范圍分別為60～72 和120～136 mm。

（3）利用軸箱垂向振動(dòng)加速度能量主頻及車輛運(yùn)行速度估算波磨主要成分的波長(zhǎng)，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了谷深估算值計(jì)算式。該方法在高鐵線路波磨狀態(tài)監(jiān)測(cè)中得到試用，結(jié)果表明：實(shí)測(cè)谷深值與谷深估算值之間相關(guān)系數(shù)為0.95 時(shí)均方誤差為0.022 mm。說明兩者具有較強(qiáng)的相關(guān)性和較小數(shù)值誤差。采用谷深估算值輔助打磨整治決策時(shí)誤判率E0.08約為9.73%，E0.07小于3%。為降低波磨狀態(tài)的漏判，在軸箱垂向振動(dòng)加速度評(píng)價(jià)軌道狀態(tài)時(shí)建議選取谷深估算值大于0.07 mm 作為上道復(fù)核預(yù)警值。

（4）我國(guó)高鐵線路、車輛型式和運(yùn)營(yíng)條件復(fù)雜多樣，而軸箱振動(dòng)加速度受到軌道幾何不平順、輪軌匹配、車輪不圓順度、測(cè)試精度、信號(hào)信噪比等多種因素影響，研究結(jié)果數(shù)據(jù)主要來自高速綜合檢測(cè)列車特定工裝下的測(cè)試數(shù)據(jù)，下一步結(jié)合實(shí)踐應(yīng)用和仿真技術(shù)研究不同軌道類型和車輛型式組合下軸箱垂向振動(dòng)加速度與波磨谷深值之間的映射規(guī)律，進(jìn)而豐富和完善基于軸箱垂向振動(dòng)加速度評(píng)價(jià)鋼軌波磨狀態(tài)的方法。