2022 年高考浙江卷解析幾何題的定性分析與變式探究

湖北省恩施州教育科學(xué)研究院(445000) 周威

湖南省長沙市雷鋒學(xué)校(410217) 童繼稀 鄧捷敏

一、試題呈現(xiàn)

(1) 求點P到橢圓上點的距離的最大值;

(2)求|CD|的最小值.

二、定性分析

受性質(zhì)1 與性質(zhì)2 的啟發(fā),當(dāng)橢圓為一般情形時,第(2)問中|CD|的最小值是否總是存在呢? 雖然這個最小值的表達(dá)形式可能不一定簡潔,但從定性的角度考慮卻總是存在的!結(jié)合信息技術(shù),經(jīng)過探究有如下一般結(jié)論:

從(**)式來看,可知|CD|的表達(dá)式中被開方式是關(guān)于的二次項系數(shù)為正數(shù)的二次式;結(jié)合(*)式來看,被開方式恒大于0,從而|CD|有最小值.

我們自然會思考,結(jié)論1 在雙曲線與拋物線中的情形是怎樣的? 因雙曲線情形異常復(fù)雜,本文不再討論,以下將結(jié)論拓展到拋物線.

性質(zhì)3已知拋物線y2=2px(p ＞0).設(shè)A,B是拋物線上異于P(0,0)的兩點,且點Q(x0,0)在線段AB上,其中x0＞0,直線PA,PB的斜率之積為定值.

結(jié)論2已知拋物線y2=2px(p ＞0).設(shè)A,B是拋物線上異于P(0,0)的兩點,且點Q(x0,0)在線段AB上,其中x0＞0,直線PA,PB分別交直線y=k0x+m(k0/=0,m/=0)于C,D兩點,則|CD|有最小值.

三、變式探究

(1)證明直線PA,AB,PB的斜率成等差數(shù)列;

設(shè)計意圖例2 依然是例1 中的橢圓方程,第(1) 問是常規(guī)的定值問題,體現(xiàn)的是性質(zhì)2 的結(jié)論,簡單考查了直線代入橢圓方程的一般計算步驟,同時也為第(2) 問計算奠定基礎(chǔ),減少運算量.根據(jù)推論中的計算過程,可求得k=例3 中改變了橢圓的方程與直線方程,命題立意與前文的探究結(jié)論保持一致,若設(shè)直線AB:y=kx,那么且

例4(2013 年浙江文科卷) 已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1).

(1)求拋物線C的方程;

(2)過F作直線交拋物線于A、B兩點.若直線OA、OB分別交直線l:y=x-2 于M、N兩點,求|MN|的最小值.

說明拋物線C的方程為x2=4y;|MN|的最小值為.該題是結(jié)論2 中的參數(shù)特殊化,與例1 是一對不同曲線背景的姊妹題.

4 結(jié)語

基于核心素養(yǎng)的考試命題與教師專業(yè)素養(yǎng)的提升都離不開對高考試題的探究.從探究高考試題的結(jié)論出發(fā)進行命題與解題教學(xué),既能把握命題邏輯的正確性,也能調(diào)整計算結(jié)果的簡潔性,還能保證解題方法的可遷移性,是實現(xiàn)“遷移數(shù)學(xué)知識,類比解題方法,幫助學(xué)生從具體的數(shù)學(xué)情境中抽象出數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系,積累從具體到抽象再到具體活動經(jīng)驗”的有效途徑,更能從數(shù)學(xué)的本質(zhì)出發(fā),呈現(xiàn)知識的生成過程,真正意義上指導(dǎo)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.