相互轉(zhuǎn)化證明對(duì)稱與輪換對(duì)稱不等式

山東省鄒平雙語(yǔ)學(xué)校(256200) 姜坤崇

我們知道,對(duì)于一個(gè)不等式,如果任意交換其中的兩個(gè)變?cè)玫牟坏仁脚c原不等式相同,則稱此不等式關(guān)于所有變?cè)菍?duì)稱的不等式(簡(jiǎn)稱對(duì)稱不等式).如果一個(gè)不等式中的所有變?cè)茨撤N次序輪換后得到的不等式與原不等式相同,則稱此不等式關(guān)于所有變?cè)獮檩啌Q對(duì)稱的不等式(簡(jiǎn)稱輪換對(duì)稱不等式).對(duì)稱不等式一定是輪換對(duì)稱不等式,反之不然.證明對(duì)稱不等式可以轉(zhuǎn)化為輪換對(duì)稱不等式進(jìn)行,證明輪換對(duì)稱不等式也可以轉(zhuǎn)化為對(duì)稱不等式進(jìn)行,這為對(duì)稱不等式和輪換對(duì)稱不等式的證明開辟了一條途徑.

一、將輪換對(duì)稱不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)稱不等式進(jìn)行證明

對(duì)于某些輪換對(duì)稱不等式,可以轉(zhuǎn)換為對(duì)稱不等式進(jìn)行證明.

例1(2002 年巴爾干數(shù)學(xué)奧林匹克試題,文獻(xiàn)[1]例1)若a,b,c均為正數(shù),求證:

分析這是一個(gè)關(guān)于a,b,c的輪換對(duì)稱不等式,但不是關(guān)于a,b,c的對(duì)稱不等式,不能直接使用排序不等式證明,但我們可將其轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)關(guān)于a,b,c的對(duì)稱不等式.

證明先證明一個(gè)對(duì)稱不等式:

由(1),(2)式即得所證不等式.

說明(i)以上證明的可貴之處是得到了一不等式鏈:設(shè)a,b,c ＞0,求證:

由(3),(4)式即得所證不等式.

說明(i)由以上證明可得不等式鏈:設(shè)a,b,c ＞0,求證:

于是由(5),(6)式可知要證的不等式成立.

說明(i) 由以上證明可得不等式鏈:設(shè)a,b,c ＞0,且abc=1,求證:

綜合(9),(10),所證不等式得證.

下面的三例,則是通過代換,將輪換對(duì)稱不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)稱不等式進(jìn)行證明.

說明(i)例7 中,若令x+y=b,y+z=c,z+x=a或x+y=c,y+z=a,z+x=b,則同樣可將所證不等式化為(11)式.

(ii)類似的可證明:設(shè)x,y,z ＞0,求證:于是,不等式(18)是不等式(19)的加權(quán)推廣.

(iii)仿不等式(13)可證如下兩個(gè)變式(證明從略):

二、將對(duì)稱不等式轉(zhuǎn)化為輪換對(duì)稱不等式進(jìn)行證明

對(duì)于某些對(duì)稱不等式,也可以轉(zhuǎn)化為輪換對(duì)稱不等式進(jìn)行證明.

例10(2005 年羅馬尼亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題) 已知a,b,c ＞0,證明:

分析這是一個(gè)關(guān)于a,b,c的對(duì)稱不等式,其證明方法很多,這里我們利用排序不等式轉(zhuǎn)化(分拆)為證明兩個(gè)輪換對(duì)稱不等式(以下的(20)式與(21)式),然后相加即可獲證.