三維時間片最大糾纏態(tài)的最優(yōu)檢測

曹睿, 袁晨智, 沈思, 張子昌, 范云茹,李加睿, 李浩, 尤立星, 周強, 王子竹?

(1 電子科技大學(xué)基礎(chǔ)與前沿研究院, 四川 成都 610054;2 中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所, 上海 200050)

0 引 言

隨著量子信息理論的發(fā)展,量子糾纏被認為是一種重要資源[1,2],在量子密鑰分發(fā)[3]、量子隱形傳態(tài)[4]和量子密集編碼[5]等研究領(lǐng)域都有潛在的應(yīng)用價值。近年來,高維糾纏態(tài)的制備與應(yīng)用為量子信息科學(xué)的發(fā)展注入了新的活力[6?9]。相較于二維糾纏態(tài),高維糾纏態(tài)能夠提供更強的容錯能力與信息編碼密度[10],還可以顯著提高量子密鑰分發(fā)協(xié)議的成碼率[11]和信道容量[10,12]。得益于光量子技術(shù)的不斷改進與非線性光學(xué)晶體制備技術(shù)的新進展,在光子系統(tǒng)中實現(xiàn)高維糾纏態(tài)的方法可以利用光子的空間路徑[13?16]、軌道角動量[15,17]、時間片自由度[8,18],以及它們之間的組合來實現(xiàn)[9,19]。

如何實現(xiàn)高維糾纏的最優(yōu)檢測是量子信息領(lǐng)域的熱門課題,其中一種較為高效的檢驗方法是糾纏見證[20?23],其能用比量子態(tài)層析更少的測量設(shè)置和測量次數(shù)來實現(xiàn)對量子態(tài)糾纏性質(zhì)的認證。已報道的高維糾纏檢測的實驗方法主要基于保真度的糾纏見證算符來實現(xiàn),但該方案仍存在無法對所有糾纏態(tài)進行檢測的困難[24]。即使針對能夠利用該方案認證糾纏的量子態(tài),其實驗過程中所要完成的測量組合也可能不是最優(yōu)的[22],隨著糾纏態(tài)的糾纏維度逐漸增加,針對糾纏見證算符的分解也將越來越困難[25]。另一方面,在糾纏源的保真度不夠高或者不穩(wěn)定的情況下,利用基于保真度的糾纏見證算符檢測目標(biāo)量子態(tài)的糾纏是非常困難的。為了解決高維量子態(tài)的糾纏檢測問題,文獻[26,27]提出一種新的高維糾纏檢測方法,給定任意目標(biāo)態(tài)以及測量基,同時以最小出錯概率認證目標(biāo)態(tài)糾纏維度。

1 糾纏與糾纏見證

成立,那么稱ρ 完全可分,是一個可分離態(tài);否則,稱ρ 是糾纏態(tài)。將所有可分態(tài)組成的集合用S表示。

另一方面,一個n體純態(tài)ψ ∈H 如果能被分解成

的形式,則稱其糾纏維度為D。用SD代表所有可以表示為D維糾纏純態(tài)凸組合的量子態(tài)的集合。如果一個態(tài)ρ ?SD,那么它的糾纏維度至少為D+1。

此外,如果一個可觀測量W 滿足兩個條件:1)對于所有的可分離態(tài)都有Tr(Wρs) ≥0;2)至少對一個糾纏態(tài)有Tr(Wρe)<0,那么它被稱為是一個糾纏見證[23]。每一個糾纏態(tài)ρe都存在一個與其對應(yīng)的糾纏見證算符。如果通過對可觀測量W 的測量得到Tr(Wρ) < 0,那么依據(jù)該糾纏見證算符W 得以確定量子態(tài)ρ 是糾纏的。糾纏見證算符最常用的一種基于局部投影算符的分解形式為

實驗裝置示意圖如圖1 所示,制備糾纏光子對的實驗光路如圖1(a)所示。目標(biāo)量子態(tài)的制備主要分為兩部分:泵浦激光信號的產(chǎn)生與糾纏光子對的制備。實驗設(shè)置中PPLN 波導(dǎo)模塊詳細性能參數(shù)見文獻[32]。利用任意波形發(fā)生器(AWG)輸出脈沖間隔為625 ps、重復(fù)頻率為100 MHz 的三脈沖電信號與重復(fù)頻率為25 MHz 的同步信號,將AWG 輸出的三脈沖電信號連接微波放大器,通過光電調(diào)制器完成對中心波長為1540.46 nm、功率為10 dBm 的連續(xù)激光進行強度調(diào)制,調(diào)制后脈沖激光的峰值功率約為9.08 dBm。將調(diào)制后的脈沖激光接入摻鉺光纖放大器(EDFA)與可調(diào)光衰減器(VOA),并連接99:1 的光纖耦合器對泵浦激光的功率進行調(diào)整與監(jiān)測,利用中心波長λp=1540.46 nm、帶寬約為125 GHz 的密集波分復(fù)用器(DWDM)抑制EDFA 產(chǎn)生的自發(fā)輻射噪聲。使用偏振分束器(PBS)實現(xiàn)泵浦激光與PPLN 最佳相位匹配間的偏振對準(zhǔn)。在含有噪聲抑制濾波器的單根PPLN 波導(dǎo)中,通過級聯(lián)的二次諧波產(chǎn)生(SHG)與0 型自發(fā)參量下轉(zhuǎn)換(Type-0 SPDC)過程產(chǎn)生并濾波選取出波長為1549.34 nm 與1531.72 nm 的糾纏光子對ρact。

圖1 實驗光路圖。(a)量子態(tài)的制備;(b)|ii〉〈ii|的測量方法;(c)、和的測量方法;(d)|、|和的測量方法Fig.1 Experimental setup. (a)Preparing entangled photon-pairs;(b)Implementing the measurement of|ii〉〈ii|;(c)Implementing themeasurementof |and(d)I mplementing the measurement of|and

圖2 測量算符的構(gòu)建。(a)測量算符|00〉〈00|、|11〉〈11|和|22〉〈22|的測量;(b)1-bit delay MZI;(c)2-bit delay MZI;(d)1-bit MZI 與2-bit MZI 級聯(lián)Fig.2 Construction of measurement operators. (a)Measurements of measurement operator|00〉〈00|,|11〉〈11|and|22〉〈22|;(b)1-bit delay MZI;(c)2-bit delay MZI;(d)Cascaded 1-bit MZI and 2-bit MZI

表1 糾纏見證測量算符Table 1 The measurement operators of entanglement witnesses

進行三組實驗并計算糾纏見證判別式Tr(Wρact),得到結(jié)果如表2 所示。由實驗結(jié)果可知,傳統(tǒng)糾纏見證實驗在本研究實驗條件下的結(jié)果并不穩(wěn)定,說明制備的量子態(tài)ρact并不一定能破壞該糾纏見證。造成此結(jié)果的主要原因為每組實驗需要完成的測量組合較多,實驗進行時間較長,MZI 在長時間通電情況下不可避免地發(fā)生相位的偏移,同時調(diào)整干涉儀相位時存在回滯效應(yīng),這也給測量帶來了干擾。另一方面,進行投影測量也會帶來計數(shù)的損失,環(huán)形器的隔離度、光纖接頭的連接也都會引入噪聲與干擾。

圖3 符合計數(shù)圖。(a)|00〉〈00|,|11〉〈11|,|22〉〈22|;(b)■與Fig.3 Coincidence counts histograms of(a)|00〉〈00|,|11〉〈11|,|22〉〈22|;(b)and

表2 糾纏見證測量結(jié)果Table 2 Measurement results of entanglement witness

2 基于優(yōu)化算法的最優(yōu)糾纏檢測

采用文獻[25,26]提出的糾纏維度的檢測方案,基于統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)檢驗與SDP 優(yōu)化算法,面對給定任意維度的兩體糾纏態(tài)和一組局部測量算符,通過該方案可以準(zhǔn)確地判定目標(biāo)糾纏態(tài)的糾纏維度。

其中每一個|ψi〉都有D或更小的施密特秩,{λi}滿足λi≥0,同時∑iλi= 1。任何不屬于集合SD的量子態(tài)都至少具有D+1 維的糾纏。令目標(biāo)態(tài)ρAB?SD,pI,pII∈[0,1],并且根據(jù)假設(shè)檢驗的思想定義如下兩條規(guī)則:1)如果實際量子態(tài)σ ∈SD,則通過檢測判斷其是糾纏態(tài)(事件C)的概率最大為pI(棄真錯誤);2)如果實際量子態(tài)σ=ρAB,則通過檢測判斷其不是糾纏態(tài)(事件U)的概率最大為pII(取偽錯誤)。

通過求解關(guān)于最小化pI+pII的半定規(guī)劃問題,構(gòu)造出由集合π 中的局部測量算符與滿足LOCC 協(xié)議的一組最優(yōu)概率分布{p(i,k,c|j,l),i,k∈{1,··· ,m};j,l∈{1,··· ,d},c∈{C,U}}組成的含有兩個結(jié)果的POVM 測量。同時得到如果糾纏源每輪實驗可以產(chǎn)生目標(biāo)態(tài)ρ,通過該POVM 測量所要達到的最小值w=1 ?pII。由此定義新的糾纏見證算符為

表3 糾纏維度檢測的測量算符Table 3 The measurement operator of entanglement dimension detection

針對量子態(tài)ρact利用與前文所述糾纏見證實驗相同的TDC 實驗參數(shù)和糾纏光子對的分發(fā)模式,完成其糾纏維度的測量。在不引入MZI 的情況下完成投影測量|00〉〈00|、|11〉〈11|和|22〉〈22|,測量光路如圖1(b)所示,測量結(jié)果如圖4(a)所示。

圖4 符合計數(shù)圖。(a)|00〉〈00|,|11〉〈11|,|22〉〈22|;(b)Fig.4 Coincidence counts histograms of(a)|00〉〈00|,|11〉〈11|,|22〉〈22|;

進行三組實驗并計算判別式Tr(πρact),得到如表4 所示結(jié)果。通過與糾纏見證實驗結(jié)果的對比可以發(fā)現(xiàn),依據(jù)文獻[25,26]提供的方法,本節(jié)進行的三輪實驗均以6 組測量組合完成了目標(biāo)態(tài)的糾纏檢測,且由于該組實驗進行時間短,測量組合少,無需反復(fù)多次調(diào)整干涉儀相位,使得測量結(jié)果體現(xiàn)出了較為一致的重復(fù)性。同時,優(yōu)化算法本身的限制保證了檢測結(jié)果的確定性與最優(yōu)性。

表4 糾纏維度測量結(jié)果Table 4 Measurement results of entanglement dimension

3 結(jié) 論

在進行糾纏見證實驗過程中,不同的量子態(tài)制備方式往往具有不同的保真度、量子態(tài)產(chǎn)生速率以及采樣速率?；诒Ｕ娑鹊募m纏見證方案無法將不同的實驗條件納入考量,故無法高效準(zhǔn)確地應(yīng)用于所有可能的物理實驗系統(tǒng)。本研究基于文獻[25,26]提出的糾纏維度的檢測方案,在考量實驗條件并最優(yōu)化測量組合的基礎(chǔ)上,給出了一套糾纏維度的檢測方案。實驗結(jié)果表明,該方案測量組合數(shù)目相較糾纏見證方案減少約一倍,且能夠確定目標(biāo)糾纏態(tài)的糾纏維度,同時對噪聲容忍度更高,實驗難度更低。面對量子糾纏在量子通信領(lǐng)域的重要作用,這種能夠考量不同實驗條件并能夠確定糾纏維度的方法使得大規(guī)模量子系統(tǒng)子系統(tǒng)之間的相互協(xié)作成為可能,是傳統(tǒng)糾纏檢測方案的重要補充。