基于配合約束的幾何公差分配方法

馬 寧，楊 波，劉彥超，李金萍，成保忠，高常青

(濟(jì)南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 濟(jì)南 250022)

0 引言

在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段，機(jī)械系統(tǒng)裝配精度的保障主要來源于零件公差設(shè)計(jì)，其中幾何公差設(shè)計(jì)已經(jīng)成為設(shè)計(jì)人員必須考慮的重要環(huán)節(jié)。傳統(tǒng)幾何公差數(shù)值的選取多是基于經(jīng)驗(yàn)法，即根據(jù)幾何公差項(xiàng)目類型、零件的相關(guān)尺寸參數(shù)和加工工藝等級(jí)，利用類比或查表的方法定義幾何公差數(shù)值。這種經(jīng)驗(yàn)法得到的公差數(shù)值誤差大、加工成本高且忽略了零件間的關(guān)聯(lián)要求和初始配合要求的傳遞，往往不能滿足產(chǎn)品的設(shè)計(jì)、制造和檢測的要求。產(chǎn)品的設(shè)計(jì)過程與幾何公差的分配過程具有同步性和一致性，即隨著產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的不斷演化擴(kuò)展，作用在裝配體層次上的初始配合要求將逐步分解為零件層和幾何特征表面層的幾何公差要求。因此，當(dāng)公差原則為相關(guān)原則條件時(shí)，如何根據(jù)初始配合要求實(shí)現(xiàn)幾何公差的自頂向下分配，提出一種幾何公差項(xiàng)目演化的定性分析方法和定量的幾何公差數(shù)值自頂向下優(yōu)化分配方法，是該領(lǐng)域亟待解決的問題。

幾何公差數(shù)值的確定通常建立在公差數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，主要包括小位移旋量模型[1-2]、雅可比旋量模型[3-4]和以自由度為約束的SDT模型[5]等，其作用是確保旋量參數(shù)在公差域內(nèi)按照一定的分布規(guī)律隨機(jī)變動(dòng)。例如，ROBIN等[6]基于公差帶或虛擬邊界的傳遞進(jìn)行公差鏈數(shù)值的三維計(jì)算，建立曲面公差和偏移量的函數(shù)；GUO等[7]建立了理想配合表面的裝配誤差傳遞模型，考慮變形時(shí)公差累積的變化，將平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)最大值計(jì)入模型進(jìn)行幾何公差的分析；計(jì)自飛等[8]提出了基于最小區(qū)域法的逐次逼近算法，實(shí)現(xiàn)幾何公差數(shù)值的優(yōu)化；ZONG等[9]提出了基于控制點(diǎn)的幾何要素公差建模和分析方法，根據(jù)控制點(diǎn)的位置變化來表示幾何要素的公差；唐哲敏等[10]根據(jù)三維向量和齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，構(gòu)建裝配公差傳遞模型，并以此為映射函數(shù)建立統(tǒng)計(jì)公差分析模型。

幾何公差數(shù)值的優(yōu)化分配，即在保證產(chǎn)品功能和裝配要求下設(shè)計(jì)最經(jīng)濟(jì)的幾何公差，大多以最小總公差成本為目標(biāo)函數(shù)，采用遺傳算法[11]、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[12]、粒子群算法[13]等優(yōu)化算法進(jìn)行幾何公差數(shù)值優(yōu)化分配。此外，SARAVANAN等[14]提出了基于裝配函數(shù)要求的非線性組合優(yōu)化問題，并采用帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(fast elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm, NSGA-Ⅱ)和差分進(jìn)化(Differential Evolution, DE)算法來解決該問題；胡西彪等[15]以加工成本、質(zhì)量損失為目標(biāo)，以裝配功能和加工能力為約束條件，建立了基于離散化成本公差模型和全局蜂群混合算法的多目標(biāo)公差設(shè)計(jì)優(yōu)化模型。

上述研究有助于構(gòu)建合理的幾何公差數(shù)學(xué)模型，為幾何公差數(shù)值的優(yōu)化提供了強(qiáng)有力的理論基礎(chǔ)，但是仍存在一定的局限性。在對(duì)幾何公差進(jìn)行分析時(shí)，現(xiàn)有研究往往建立在公差原則為獨(dú)立原則的前提下，忽略了幾何特征表面間基于配合約束的配合公差與幾何公差間的關(guān)聯(lián)，及尺寸公差對(duì)幾何公差數(shù)值分配的影響；目前的相關(guān)研究往往側(cè)重于分析模型的建立，而對(duì)于幾何公差的數(shù)值分配還廣泛采用的是類比法亦即經(jīng)驗(yàn)法，這種通過查閱手冊(cè)確定幾何公差數(shù)值的方法，往往具有一定的模糊性。因此，如何基于配合約束，分析幾何特征表面間的配合公差對(duì)幾何公差數(shù)值的影響，并建立幾何公差的量化分配方法，是該領(lǐng)域亟待解決的問題。

針對(duì)上述問題，本文提出了一種基于配合約束的幾何公差自頂向下分配方法。首先，通過分析配合公差對(duì)互參照公差和自參照公差的影響以及互參照公差對(duì)自參照公差的影響，構(gòu)建了基于配合約束的公差關(guān)聯(lián)模型；將作用在裝配體層次上的初始配合要求逐步分解為零件層和幾何特征表面層的幾何公差要求，形成了基于關(guān)聯(lián)的公差生成過程模型；在此基礎(chǔ)上，將具有接觸配合關(guān)系的幾何特征表面構(gòu)成的面偶定義為裝配接點(diǎn)，根據(jù)幾何特征表面的類型以及裝配接點(diǎn)的主次順序確定其旋量，并對(duì)互參照公差和自參照公差約束下的旋量進(jìn)行堆疊，基于旋量矩陣生成配合公差約束和幾何公差約束；最后，以最小總公差成本為目標(biāo)函數(shù)，以加工精度約束、基于旋量矩陣的公差約束和互參照公差數(shù)值對(duì)自參照公差數(shù)值的約束為約束條件，利用遺傳優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)了幾何公差數(shù)值的優(yōu)化求解。

1 基于配合約束的幾何公差生成模型

1.1 基于配合約束的公差關(guān)聯(lián)模型

裝配體中，廣義的配合約束主要包含用于表達(dá)與零件自身功能結(jié)構(gòu)有關(guān)的內(nèi)部約束，以及與其他零件有關(guān)的外部約束；在產(chǎn)品精度設(shè)計(jì)過程中，配合約束常常通過公差的形式表現(xiàn)出來，這其中主要包括配合公差、互參照公差和自參照公差。

零件間的配合公差是指組成配合的軸、孔公差之和，是允許間隙或過盈的變動(dòng)量；互參照公差是指同一零件內(nèi)兩個(gè)具有配合約束的幾何特征要素間的方向、位置要求，是零件內(nèi)被測要素與基準(zhǔn)要素間的公差要求，除了位置公差外，還包括方向公差、跳動(dòng)度公差、輪廓公差以及多幾何要素間的線性關(guān)聯(lián)或角度關(guān)聯(lián)公差；自參照公差是指同一幾何特征的實(shí)際要素相對(duì)于理想要素的變動(dòng)范圍要求，主要包括形狀公差和輪廓公差，是零件內(nèi)被測要素與自身理想要素間的公差要求。

在幾何公差的分配過程中，配合公差、互參照公差和自參照公差互為影響，如圖1所示。

(1)根據(jù)初始配合表面的類型以及配合約束的類型，產(chǎn)品內(nèi)的初始配合公差可分解、轉(zhuǎn)化為零件間相應(yīng)表面的互參照公差項(xiàng)目。

由于工程中常見的幾何特征表面主要為平面、圓柱面等，為此本文以該兩種幾何特征表面為例，說明基于配合約束的配合公差到互參照公差的轉(zhuǎn)化過程。如圖2所示，配合約束是設(shè)計(jì)需求的具體化表現(xiàn)形式，可由距離參數(shù)L及角度參數(shù)θ量化表達(dá)。相應(yīng)地，配合公差根據(jù)設(shè)計(jì)要求主要分為距離公差和角度公差。初始配合約束可分解、轉(zhuǎn)化為配合表面間的方位約束，同時(shí)，初始配合公差可轉(zhuǎn)化為裝配體中相關(guān)配合表面間的互參照公差。

1)當(dāng)配合公差為角度公差時(shí)，對(duì)于角度參數(shù)θ，如圖2a所示：

當(dāng)θ=90°或θ=+∞時(shí)，配合約束分別轉(zhuǎn)化為兩配合表面間的垂直約束或平行約束，配合公差則轉(zhuǎn)化為垂直度、平行度公差；當(dāng)θ∈(0°，90°)∪(90°，180°)時(shí)，配合約束轉(zhuǎn)化為兩配合表面間的傾斜約束，配合公差則轉(zhuǎn)化為傾斜度公差。

2)當(dāng)配合公差為平面間距離公差時(shí)，對(duì)于距離參數(shù)L，如圖2b所示：

當(dāng)L=0時(shí)，配合約束轉(zhuǎn)化為兩平面間的貼合約束，配合公差則轉(zhuǎn)化為跳動(dòng)度公差；當(dāng)L≠0時(shí)，配合約束轉(zhuǎn)化為兩幾何特征表面的距離約束，配合公差則轉(zhuǎn)化為位置度公差。

3)當(dāng)配合公差為圓柱面間距離公差時(shí)，對(duì)于距離參數(shù)L，如圖2c所示：

當(dāng)L=0時(shí)，配合約束轉(zhuǎn)化為兩圓柱軸線的同軸約束，配合公差轉(zhuǎn)化為同軸度公差；當(dāng)L>(d1+d2)/2時(shí)，配合約束轉(zhuǎn)化為兩圓柱軸線的距離約束，配合公差轉(zhuǎn)化為位置公差；當(dāng)L=(d1+d2)/2時(shí)，配合約束轉(zhuǎn)化為兩圓柱面的相切約束，配合公差轉(zhuǎn)化為跳動(dòng)度公差。

(2)為保證初始配合公差的配合精度，需對(duì)初始配合表面或其最小基準(zhǔn)要素的形狀和輪廓進(jìn)行約束，并轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的自參照公差項(xiàng)目。

根據(jù)初始配合表面的類型，可參照表1選擇對(duì)應(yīng)的自參照公差項(xiàng)目。

表1 基于配合表面類型的自參照公差項(xiàng)目

(3)互參照公差對(duì)自參照公差具有約束和替代作用。

互參照公差對(duì)自參照公差的約束作用表現(xiàn)為：零件間配合約束轉(zhuǎn)化為零件內(nèi)部要素間的配合約束過程中，零件間相關(guān)要素間的互參照公差要求將轉(zhuǎn)化為零件內(nèi)互參照公差要求；在此過程中，為保證相關(guān)配合表面的精度，需對(duì)其形狀、輪廓進(jìn)行約束，從而生成相應(yīng)的自參照公差項(xiàng)目。

如圖3所示，初始功能要求是零件P1表面F1,1相對(duì)于零件P2表面F2,1的位置度要求。隨著設(shè)計(jì)過程的展開，初始位置要求將分解為零件P1內(nèi)的面F1,1相對(duì)于配合表面F1,2的位置度公差以及配合表面對(duì)F1,2與F2,1間的配合精度；為保證面F1,2與F2,1間的配合精度，根據(jù)配合表面類型，參照表1需對(duì)F1,2與F2,1添加平面度要求；同時(shí)為保證配合表面定位的準(zhǔn)確性，配合表面F1,2、F2,1相對(duì)于其各自的定位表面F1,3、F2,2應(yīng)具有垂直度要求。

互參照公差對(duì)自參照公差的替代作用表現(xiàn)為：當(dāng)同一幾何特征表面同時(shí)存在互參照公差和自參照公差時(shí)，若互參照公差為輪廓度等綜合性公差項(xiàng)目，則相應(yīng)的自參照公差項(xiàng)目可以被替代。

1.2 基于關(guān)聯(lián)的公差生成過程模型

根據(jù)上述基于配合約束的公差關(guān)聯(lián)關(guān)系，可構(gòu)建配合公差到互參照公差和自參照公差的轉(zhuǎn)化過程模型，實(shí)現(xiàn)從配合約束到零件表面幾何公差的映射。在這一過程中，首先將初始配合要求轉(zhuǎn)化為兩配合零件上初始配合表面間的約束關(guān)聯(lián)；以初始配合表面間的配合公差為起點(diǎn)，生成兩零件上初始配合表面間的互參照公差，同時(shí)為保證配合精度對(duì)初始配合表面添加自參照公差；然后，將作用在零件間的互參照公差要求轉(zhuǎn)化為零件內(nèi)的互參照公差和相應(yīng)自參照公差要求；最后，考慮互參照公差對(duì)自參照公差的替代作用，對(duì)幾何公差進(jìn)行檢驗(yàn)。

以圖4所示的簡單裝配體為例，基于配合約束的幾何公差生成過程如下：

(1)確定初始配合要求，并將之映射為初始配合表面間的約束關(guān)聯(lián)。

如圖4所示，初始配合要求體現(xiàn)為零件P1與P2的軸孔配合要求，可以將其映射為初始配合表面F1,2與F2,1之間的配合公差φ16H7/f6，并在兩表面間形成配合約束，如圖5a所示。

(2)根據(jù)配合要求和配合表面的類型，生成零件間互參照公差和自參照公差。

如圖5b所示，為保證配合表面F1,2、F2,1間同軸的配合約束，生成零件間的同軸度要求；同時(shí)，為保證配合表面F1,2、F2,1間的配合精度，根據(jù)其表面類型參照表1，生成圓柱面F1,2、F2,1各自的圓柱度要求。

(3)將零件間的互參照公差轉(zhuǎn)化為零件內(nèi)的互參照公差，并分析互參照公差對(duì)自參照公差的約束和替代作用，最后對(duì)幾何公差進(jìn)行檢驗(yàn)。

如圖5c所示，隨著公差的傳遞，為保證面F1,2、F2,1同軸配合約束，面F1,2、F2,1間的同軸度配合公差將演化為配合表面F1,2對(duì)其軸線L1,2以及配合表面F2,1對(duì)其軸線L2,1的跳動(dòng)度互參照公差；為保證定位精度，定位表面F1,1、F2,2分別對(duì)配合表面F1,2的軸線L1,2、F2,1的軸線L2,1具有垂直度公差要求；同時(shí)，為保證配合精度，根據(jù)互參照公差對(duì)自參照公差的約束對(duì)其配合表面F1,2、F2,1添加圓柱度的自參照公差。

通過上述過程，基于零件間初始配合表面間的配合公差，可得到零件內(nèi)相關(guān)幾何特征表面的互參照和自參照公差項(xiàng)目。配合公差不僅對(duì)互參照公差和自參照公差項(xiàng)目的生成具有直接的影響，還對(duì)公差數(shù)值的分配形成相應(yīng)的約束關(guān)系。在上述基于配合約束的公差模型的基礎(chǔ)上，即可進(jìn)行基于配合約束的幾何公差數(shù)值分配。

2 基于配合約束的旋量矩陣分析與旋量參數(shù)堆疊

零件間的裝配、定位關(guān)系可通過旋量參數(shù)來表達(dá)，即旋量表達(dá)零件間配合表面沿坐標(biāo)軸方向的小位移矢量，因此基于配合表面間的配合約束可得對(duì)應(yīng)的旋量矩陣。同時(shí)，配合公差對(duì)互參照和自參照公差的約束關(guān)聯(lián)可表達(dá)為微觀幾何特征表面間旋量參數(shù)間的約束關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步完成基于旋量矩陣的幾何公差分配。

2.1 旋量

旋量是三維空間中表達(dá)幾何特征表面形位變化的小位移矢量，旋量法是一種表達(dá)公差變動(dòng)域的公差分析方法。旋量參數(shù)α，β，γ，u，v，w分別對(duì)應(yīng)沿x，y，z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)，其內(nèi)涵為幾何特征表面的自由度約束情況。7種常見的幾何特征表面對(duì)應(yīng)的基本轉(zhuǎn)動(dòng)旋量矩陣J′R和基本平動(dòng)旋量矩陣J′T如表2所示。

表2 常見幾何特征表面的基本旋量矩陣

2.2 裝配接點(diǎn)及其旋量矩陣

2.2.1 裝配接點(diǎn)

具有裝配關(guān)系的兩個(gè)零件，在一定約束下形成的接觸配合表面偶即裝配接點(diǎn)。例如，圖3中的配合表面F1，2與F2，1貼合即構(gòu)成了一個(gè)裝配接點(diǎn)。

裝配接點(diǎn)是配合公差自頂向下傳遞的基本載體，同時(shí)又是配合約束的特殊表現(xiàn)形式。例如，對(duì)于圖2b和圖2c中的距離約束，當(dāng)L=0、L=(d1+d2)/2時(shí)，兩配合表面即構(gòu)成裝配接點(diǎn)。隨著設(shè)計(jì)過程的展開，裝配接點(diǎn)的裝配關(guān)系約束將分解為構(gòu)成裝配接點(diǎn)的配合表面間的配合約束，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為互參照公差和自參照公差。

裝配接點(diǎn)往往由一對(duì)類型一致的配合表面組成。當(dāng)考慮單一裝配接點(diǎn)時(shí)，構(gòu)成裝配接點(diǎn)配合表面的約束自由度及其基本旋量矩陣可按照表2進(jìn)行選取。

當(dāng)兩零件間存在多個(gè)裝配接點(diǎn)時(shí)，需考慮各裝配接點(diǎn)對(duì)幾何公差分配的影響程度，亦即需對(duì)各裝配接點(diǎn)進(jìn)行優(yōu)先級(jí)排序。由于零件間的裝配是通過對(duì)零件的配合表面添加約束實(shí)現(xiàn)的，其本質(zhì)是約束零件的自由度，從而實(shí)現(xiàn)零件的定位與裝配。因此，本文以裝配接點(diǎn)限制的自由度數(shù)量為依據(jù)，對(duì)其進(jìn)行排序。顯然，裝配接點(diǎn)限制的自由度數(shù)量越多，該裝配接點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)越高。按照裝配接點(diǎn)限制的自由度數(shù)量由多到少的順序，分別將各裝配接點(diǎn)定義為主裝配接點(diǎn)、次裝配接點(diǎn)、第三裝配接點(diǎn)，以此類推。

2.2.2 裝配接點(diǎn)的旋量矩陣

對(duì)于存在多個(gè)裝配接點(diǎn)的兩個(gè)零件，由于各裝配接點(diǎn)共同作用于零件，并完成零件的定位與裝配約束，構(gòu)成各裝配接點(diǎn)配合表面的旋量矩陣不僅取決于其自身形狀，還取決于其所在裝配接點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)順序。

兩零件間各裝配接點(diǎn)的旋量矩陣之間具有如下關(guān)系：

JA=JR∪JT；

(1)

如圖6所示，零件P1和P2間具有圓柱面F1,2和F2,2構(gòu)成的主裝配接點(diǎn)、平面F1,1和F2,1構(gòu)成的次裝配接點(diǎn)以及平面F1,3和F2,3構(gòu)成的第三裝配接點(diǎn)。各裝配接點(diǎn)配合表面的旋量矩陣分析過程如下：

(1)首先，假設(shè)結(jié)合面的裝配過程誤差為零，根據(jù)兩零件間的裝配結(jié)構(gòu)進(jìn)行總自由度分析，得到裝配結(jié)構(gòu)的總轉(zhuǎn)動(dòng)旋量矩陣JR和總平動(dòng)旋量矩陣JT。

本例中該結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)自由度的全約束，則JR=[α,β,γ]T，JT=[u,v,w]T。

2.3 旋量堆疊

轉(zhuǎn)動(dòng)堆疊約束是指，互參照和自參照公差作用的幾何特征表面的轉(zhuǎn)動(dòng)旋量矢量和應(yīng)與配合公差轉(zhuǎn)動(dòng)旋量具有相等關(guān)系，如式(2)：

(2)

式中：αi、βi、γi是第i個(gè)幾何特征表面的轉(zhuǎn)動(dòng)旋量參數(shù)；α0、β0、γ0是與設(shè)計(jì)要求相對(duì)應(yīng)的初始配合表面的轉(zhuǎn)動(dòng)旋量參數(shù)。

平動(dòng)堆疊約束是指，互參照和自參照公差作用的幾何特征表面的平動(dòng)旋量矢量和，加上轉(zhuǎn)動(dòng)旋量映射到坐標(biāo)軸方向上的矢量和應(yīng)與配合公差平動(dòng)旋量具有相等關(guān)系，如式(3)：

(3)

式中：ui，vi，wi是第i個(gè)幾何特征表面的平動(dòng)旋量參數(shù)；u0，v0，w0是與設(shè)計(jì)要求相對(duì)應(yīng)的初始配合表面的平動(dòng)旋量參數(shù)；Xi、Yi、Zi是零件在x、y、z軸線方向上的相關(guān)尺寸參數(shù)。

旋量堆疊反映了配合公差旋量與幾何公差旋量間的約束關(guān)系。旋量不僅表達(dá)其作用表面在結(jié)構(gòu)約束下沿坐標(biāo)軸方向的小位移矢量，還可以作為參數(shù)進(jìn)一步約束配合公差和幾何公差的數(shù)值。

3 基于配合約束的幾何公差優(yōu)化

3.1 目標(biāo)函數(shù)的建立

本文采用基于最小成本法的幾何公差分配方法。產(chǎn)品的成本主要包括制造成本、裝配成本、檢測成本等。制造成本是產(chǎn)品成本中所占份額最大的部分，因此控制產(chǎn)品制造成本常常是企業(yè)經(jīng)營的重要指標(biāo)。這種制造成本與公差之間的關(guān)系可以用公差—成本模型來描述，即目標(biāo)函數(shù)為最小總公差成本：

(4)

式中：C(ti)為產(chǎn)品中第i個(gè)幾何公差數(shù)值ti的成本函數(shù)，mi為該公差項(xiàng)目涉及的相關(guān)表面數(shù)量，n為產(chǎn)品中公差項(xiàng)目的數(shù)量。常見的自參照公差和互參照公差對(duì)應(yīng)的公差—成本模型[16]C(ti)如表3所示。

表3 公差—成本模型

3.2 約束函數(shù)的建立

約束條件包括基于旋量矩陣的配合公差約束、基于旋量矩陣的幾何公差約束、作用在同一幾何特征表面上的互參照公差數(shù)值對(duì)自參照公差數(shù)值的約束和加工精度約束。

3.2.1 基于旋量矩陣的配合公差約束

在初始配合表面旋量矩陣的基礎(chǔ)上，將配合公差沿其旋量參數(shù)的方向，向配合表面進(jìn)行分解與傳遞，并根據(jù)公差帶形狀得到相關(guān)配合表面的配合公差約束。

以圖4為例，配合表面F1,2與F2,1間的配合公差為φ16H7/f6。對(duì)于零件P1和P2，初始配合表面F1,2和F2,1所構(gòu)成裝配接點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)旋量矩陣為[α0,β0,0]T、平動(dòng)旋量矩陣為[u0,v0,0]T。初始配合要求φ16H7/f6可轉(zhuǎn)化為XOY面上一個(gè)總偏差為0.054/2 mm寬的圓環(huán)形區(qū)域，如圖7所示。故初始配合面F1,2與F2,1間的旋量約束為：

(u0+30·tanβ0)2+(v0+30·tanα0)2≤

(0.054/2)2。

(5)

轉(zhuǎn)動(dòng)角β0和α0近似于0°，利用等價(jià)代換得到化簡后配合約束：

(u0+30·β0)2+(v0+30·α0)2≤(0.054/2)2。

(6)

3.2.2 基于旋量矩陣的幾何公差約束

(1)基于旋量矩陣的互參照公差約束

為保障零件間的配合精度與定位精度，需通過互參照公差對(duì)零件內(nèi)初始配合表面與定位表面間的相對(duì)方向或位置進(jìn)行約束。因此，互參照公差的數(shù)值受幾何特征表面類型、裝配接點(diǎn)主次順序及其幾何公差帶形狀影響的同時(shí)，也受配合公差的約束。其中，幾何特征面類型和裝配接點(diǎn)主次順序決定了互參照公差的旋量參數(shù)；旋量參數(shù)在一定程度上反映了幾何公差帶的形狀，即旋量參數(shù)代表的平動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)位移決定了幾何公差帶形狀在坐標(biāo)軸上的維度；幾何特征表面的公差帶形狀決定了相應(yīng)互參照公差數(shù)值的變化區(qū)域。

如表4所示為本文總結(jié)出的平面、圓柱面、球面幾種典型工程表面，分別作為主、次或第三裝配接點(diǎn)的構(gòu)成表面時(shí)，其旋量矩陣、公差帶形狀及基于旋量矩陣的互參照公差約束。

表4 常見表面的互參照公差約束

(2)基于旋量矩陣的自參照公差約束

為保障配合表面間的配合精度及其空間位置約束，需對(duì)配合表面的形狀和自身輪廓建立自參照公差約束。因此，初始配合公差和互參照公差的大小會(huì)對(duì)自參照公差數(shù)值產(chǎn)生影響，形成約束。自參照公差數(shù)值受配合表面類型和幾何公差帶形狀的影響，它們分別決定了自參照公差的旋量參數(shù)以及自參照公差數(shù)值的變化區(qū)域。表5所示為球面、圓柱面及平面的旋量矩陣、公差帶形狀、自參照公差類型及基于旋量矩陣的自參照公差約束。

表5 常見表面的自參照公差約束

3.2.3 互參照公差數(shù)值對(duì)自參照公差數(shù)值的約束

當(dāng)同一幾何特征要素同時(shí)具有互參照和自參照公差時(shí)，互參公差數(shù)值對(duì)自參照公差數(shù)值存在一定約束，其約束可表達(dá)為：

t自=δ·t互。

(7)

其中：t自為自參照公差數(shù)值；t互為互參照公差數(shù)值；δ為t互對(duì)t自的影響系數(shù)。

當(dāng)自參照公差為直線度或平面度，互參照公差為定向公差時(shí)，δ的范圍是0.4～0.5；當(dāng)自參照公差為直線度，互參照公差為同軸度時(shí)，δ的范圍是0.3～0.5；當(dāng)自參照公差為圓度或圓柱度，互參照公差為跳動(dòng)度公差時(shí)，δ的范圍是0.3～0.5。在δ的各區(qū)間范圍內(nèi)，其具體數(shù)值需參照互參照公差的精度等級(jí)確定，精度越高，δ的取值越小。

3.2.4 加工精度約束

加工精度是加工后零件幾何特征表面的實(shí)際尺寸、形狀、位置3種幾何參數(shù)與理想幾何參數(shù)的符合程度。加工精度約束反映實(shí)際加工參數(shù)與理想幾何參數(shù)的偏差程度。

因此，幾何公差應(yīng)滿足加工精度約束條件：

(8)

加工精度根據(jù)零件尺寸參數(shù)(長度L、直徑D等)以及加工工藝等級(jí)確定，通過查閱GB/T1184-1996可得相應(yīng)的加工精度約束。

以最小總公差成本為目標(biāo)函數(shù)，以上述基于旋量矩陣的公差約束、互參照公差數(shù)值對(duì)自參照公差數(shù)值的約束和加工精度約束為約束條件；利用遺傳優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化求解，即可得到最小總公差成本及其對(duì)應(yīng)的幾何公差數(shù)值。

4 實(shí)例

以曲軸活塞機(jī)構(gòu)為例，進(jìn)行基于配合約束的幾何公差數(shù)值分配與優(yōu)化。該機(jī)構(gòu)主要由活塞、連桿組和曲軸等零部件組成，如圖8所示。其中活塞銷P2、銷擋圈P3、螺栓P6、連桿大頭上軸瓦P7、連桿大頭下軸瓦P8和螺母P10是標(biāo)準(zhǔn)件，無需對(duì)其進(jìn)行幾何公差分析。

(1)基于配合約束的幾何公差項(xiàng)目生成

1)首先確定初始配合要求，并將之映射為配合表面間的約束關(guān)聯(lián)。

如圖9所示，初始設(shè)計(jì)要求為活塞銷孔軸線l1、連桿軸頸軸線l2、曲軸主軸軸線l3保持平行，初始配合要求體現(xiàn)為零件P1與P2、P2與P3、P5與P7、P8與P9、P7與P11、P8與P11之間的軸孔配合要求?？紤]到P7、P8是標(biāo)準(zhǔn)件，這些配合要求可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為配合表面F1,1與F5,1之間、F5,4與F11,1、F9,2與F11,1之間的配合約束。

2)根據(jù)配合要求和配合表面的類型，生成零件間的互參照公差和初始配合表面的自參照公差。

由于活塞銷孔軸線l1、連桿軸頸軸線l2、曲軸主軸軸線l3間需具有平行的位置關(guān)系，可生成平行度互參照公差；根據(jù)初始配合要求，則需保證配合表面F1,1、F5,1間，配合表面F5,4、F11,1間以及配合表面F9,2、F11,1間的同軸配合約束；同時(shí)，根據(jù)其表面類型參照表1，生成初始配合表面F1,1、F5,1、F5,4、F11,1和F9,2各自的圓柱度自參照要求，如圖9所示。

3)將零件間的互參照公差要求轉(zhuǎn)化為零件內(nèi)的幾何公差要求，并分析互參照公差對(duì)自參照公差的約束和替代作用，最后對(duì)幾何公差進(jìn)行檢驗(yàn)。

(2)基于配合約束的旋量矩陣表達(dá)

1)首先，分析配合零件間配合面偶的組成及其優(yōu)先級(jí)，從而得到相關(guān)配合表面的轉(zhuǎn)動(dòng)旋量矩陣和平動(dòng)旋量矩陣。

2)分析曲軸活塞機(jī)構(gòu)中各互參照公差和自參照公差作用表面，得到各表面的旋量矩陣，如表6所示。

表6 曲軸活塞機(jī)構(gòu)幾何公差作用表面的旋量矩陣

表6為曲軸活塞機(jī)構(gòu)中幾何公差作用表面的旋量矩陣，其中作用在同一表面F9,2的旋量v3=v4，作用在同一表面F5,4的旋量v10=v11。

3)對(duì)曲軸活塞機(jī)構(gòu)中幾何公差作用表面的旋量參數(shù)進(jìn)行堆疊，其矢量和等于初始配合公差作用表面的旋量參數(shù)。該機(jī)構(gòu)中的轉(zhuǎn)動(dòng)旋量堆疊和平動(dòng)旋量堆疊約束如下：

(9)

(3)基于配合約束的幾何公差優(yōu)化

1)目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建。

將曲軸活塞機(jī)構(gòu)中所有幾何公差項(xiàng)目作用表面對(duì)應(yīng)的公差—成本函數(shù)累加，得最小總公差成本函數(shù)(其中各成本函數(shù)如表6)：

minC=C3(t1)+2C3(t2)+C7(t3)+C2(t4)+

2C8(t5)+2C2(t6)+C2(t7)+2C2(t8)+

2C8(t9)+C7(t10)+C2(t11)+2C3(t12)+

C2(t13)+4C7(t14)+4C1(t15)。

(10)

2)約束條件的構(gòu)建。

首先，在初始配合表面F1,1和F5,1，配合表面F5,4、F11,1和F9,2旋量矩陣的基礎(chǔ)上，根據(jù)配合約束要求和公差帶形狀得到相關(guān)配合表面的配合公差約束：

(v0+50·γ0)2+(w0+90·β0)2≤0.12；(v00+50·γ00)2+(w00+180·β00)2≤0.22。

(11)

然后，對(duì)幾何公差作用表面進(jìn)行基于旋量矩陣的幾何公差約束的生成，對(duì)應(yīng)的幾何公差帶形狀和幾何公差約束如表7所示。

表7 基于旋量矩陣的幾何公差約束

被測要素配合面F5,4、F9,2既具有圓柱度自參照公差要求t11、t4，又具有跳動(dòng)度互參公差要求t10、t3，其約束可表達(dá)為：

0.3×t10≤t11≤0.5×t10；0.3×t3≤t4≤0.5×t3。

(12)

最后，分析加工精度對(duì)幾何公差數(shù)值的影響。當(dāng)加工工藝等級(jí)采用7級(jí)時(shí)，根據(jù)圖9所示的幾何公差類型、相關(guān)表面的結(jié)構(gòu)參數(shù)，參照GB/T1184-1996得到相應(yīng)的加工精度約束。各幾何公差數(shù)值的加工精度約束為(單位：μm)：

12≤t1≤20；12≤t2≤20；60≤t3≤100；12≤t4≤14；30≤t5≤50；7≤t6≤11；10≤t7≤15；7≤t8≤11；30≤t9≤50；60≤t10≤100；12≤t11≤14；12≤t12≤20；7≤t13≤8；50≤t14≤80；10≤t15≤15。

(13)

3)基于遺傳優(yōu)化算法的幾何公差數(shù)值優(yōu)化。

基于遺傳優(yōu)化算法的幾何公差數(shù)值優(yōu)化分配過程如下：

步驟1設(shè)置群體規(guī)模、進(jìn)化代數(shù)、交叉概率、變異概率等算法參數(shù)分別為50、100、0.5和0.05，并輸入幾何公差數(shù)值(t1,t2,…,t8)；

步驟2隨機(jī)生成初始種群，對(duì)種群個(gè)體進(jìn)行二進(jìn)制編碼；

步驟3計(jì)算染色體的適應(yīng)度；適應(yīng)度函數(shù)也稱評(píng)價(jià)函數(shù)，是根據(jù)目標(biāo)函數(shù)minC(式(10))確定的用于區(qū)分群體中個(gè)體好壞的標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)幾何公差數(shù)值ti滿足相關(guān)約束條件，即滿足式(11)～式(13)和表7所列出的幾何公差約束時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)F(t)=minC；

步驟4解碼，即將二進(jìn)制編碼轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的幾何公差數(shù)值；并更新運(yùn)行過程中所得的最小總公差成本；

步驟5若達(dá)到最小總公差成本，則輸出最小總公差成本的值及其對(duì)應(yīng)的幾何公差數(shù)值；若未達(dá)到終止條件，則進(jìn)行選擇、交叉、變異等操作，從而得到新的染色體種群并返回步驟3繼續(xù)優(yōu)化。

在此基礎(chǔ)上，得到基于配合約束的最小成本及各幾何特征表面的幾何公差數(shù)值(如表8)。

(4)結(jié)果分析

為驗(yàn)證配合約束法的有效性，將該方法與經(jīng)驗(yàn)法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表8所示。

經(jīng)驗(yàn)法亦稱類比法，在幾何公差數(shù)值的選取過程中，該方法根據(jù)幾何公差項(xiàng)目類型、被測要素的幾何參數(shù)以及加工工藝等級(jí)查閱相關(guān)手冊(cè)，從而確定所設(shè)計(jì)零件幾何要素的精度，是目前工程領(lǐng)域廣泛采用的方法。

經(jīng)對(duì)比可知，采用兩種方法所得的活塞孔F1,1圓柱度公差數(shù)值t13大小一致；采用配合約束法所得的圓柱度公差數(shù)值t4、t6、t7、t8、t11、t15偏小，此外，對(duì)比這些公差數(shù)值可見，配合約束法中軸的圓柱度公差t15小于其相配合孔的圓柱度公差t4、t11，這與實(shí)際工況中孔的加工難度大于軸，可以適當(dāng)提高軸的加工精度相符；對(duì)于構(gòu)成主裝配接點(diǎn)的配合平面F9,5、F9,1和F5,5，配合約束法所得的平面度公差數(shù)值t1、t2、t12偏小；配合約束法所得的互參照公差數(shù)值t3、t5、t9、t10、t14也略有降低，這是由于該方法綜合分析了配合公差對(duì)互參照公差的約束、互參照公差對(duì)自參照公差的約束；經(jīng)對(duì)比，由于配合約束法既綜合考慮了各種公差之間的約束關(guān)聯(lián)，也考慮了裝配接點(diǎn)順序?qū)π繀?shù)的消減，該方法在提高產(chǎn)品精度的情況下，加工成本也低于基于經(jīng)驗(yàn)法的結(jié)果，對(duì)于復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品，由于零件數(shù)量多，當(dāng)大批量生產(chǎn)時(shí)，這種生產(chǎn)成本的降低將更為顯著。

表8 兩種方法所得幾何公差數(shù)值及其總成本比較

5 結(jié)束語

根據(jù)配合公差到互參照公差和自參照公差的分解轉(zhuǎn)化關(guān)系，以及互參照公差對(duì)自參照公差的約束替代關(guān)系，本文構(gòu)建了基于配合約束的公差關(guān)聯(lián)模型；將裝配體層次上的初始配合要求逐步分解為零件層和幾何特征表面層的幾何公差要求，有利于實(shí)現(xiàn)與產(chǎn)品結(jié)構(gòu)同步的自頂向下的幾何公差設(shè)計(jì)。

根據(jù)裝配結(jié)構(gòu)的約束配合以及裝配接點(diǎn)的主次順序，提出了基于配合約束的裝配接點(diǎn)配合表面的旋量矩陣分析方法；在此基礎(chǔ)上，結(jié)合公差帶形狀生成基于旋量矩陣的配合公差約束和幾何公差約束，并采用旋量堆疊定量表達(dá)配合公差對(duì)幾何公差的約束作用，實(shí)現(xiàn)微觀小位移旋量對(duì)幾何特征表面公差數(shù)值的約束。

提出了以最小總公差成本函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，以加工精度約束、基于旋量矩陣的公差約束和互參照公差數(shù)值對(duì)自參照公差數(shù)值的約束為約束條件的優(yōu)化算法，為幾何公差數(shù)值的優(yōu)化分配提供了可靠的定量計(jì)算方法。與經(jīng)驗(yàn)法對(duì)比可知，該方法既提高了產(chǎn)品設(shè)計(jì)精度，又降低了成本，實(shí)現(xiàn)了幾何公差數(shù)值的精準(zhǔn)分配。

本文僅以平面、圓柱面等典型表面為例進(jìn)行了基于配合約束的幾何公差分配方法的研究，尚未涉及其他復(fù)雜表面；幾何公差數(shù)值分配中的公差成本函數(shù)也僅是針對(duì)平面或圓柱面在特定加工環(huán)境下得到的統(tǒng)計(jì)函數(shù)，具有模糊性；對(duì)于其他表面在小批量加工等特定加工環(huán)境下，以及幾何公差與配合公差在獨(dú)立原則的情況下，如何進(jìn)行幾何公差的合理、精確分配，仍是后續(xù)需進(jìn)一步展開的工作。