基于μ-PPT電推進(jìn)器的立方體衛(wèi)星群落姿態(tài)協(xié)同控制

張科文，潘柏松

(1.浙江工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，浙江 杭州 310023；2.浙江工業(yè)大學(xué) 特種裝備制造與先進(jìn)加工技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310023；3.浙江雙環(huán)傳動(dòng)機(jī)械股份有限公司，浙江 臺(tái)州 317600)

0 引言

微小衛(wèi)星體積小、重量輕、研制周期短、發(fā)射成本低，近年來(lái)得到了越來(lái)越多的關(guān)注。憑借這些優(yōu)勢(shì)，微小衛(wèi)星可以通過(guò)組建群落，開展基于多個(gè)衛(wèi)星的協(xié)同任務(wù)，包括地球科學(xué)、太空應(yīng)用、深空探測(cè)以及空間技術(shù)驗(yàn)證等[1]。多個(gè)微小衛(wèi)星構(gòu)成的群落需要群落成員之間能夠進(jìn)行數(shù)據(jù)交換和協(xié)調(diào)，因此具有更復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)體系結(jié)構(gòu)。例如，Google、Facebook和SpaceX等多家公司設(shè)想利用數(shù)百甚至數(shù)千顆小衛(wèi)星來(lái)實(shí)現(xiàn)全球衛(wèi)星傳輸網(wǎng)絡(luò)，以較低的成本和較少的能耗，進(jìn)行全球監(jiān)測(cè)、災(zāi)難恢復(fù)以及物聯(lián)網(wǎng)等應(yīng)用[2]。

目前，微電子和微系統(tǒng)技術(shù)的發(fā)展大大減少了小衛(wèi)星的質(zhì)量和功耗，同時(shí)提高了小衛(wèi)星的靈活性和耐用性[3]。這類技術(shù)的使用讓所有的電子系統(tǒng)都可以嵌入到尺寸為厘米級(jí)的構(gòu)架中，由此產(chǎn)生的一類典型小衛(wèi)星被稱為立方體衛(wèi)星。立方體衛(wèi)星是由美國(guó)加州理工學(xué)院和斯坦福大學(xué)于1999年率先提出的，是一種能夠在短時(shí)間內(nèi)研制并且用于示教需求的微小衛(wèi)星[4]。立方體衛(wèi)星是由一個(gè)或多個(gè)體積為10×10×10 cm3的立方體單元組成的微小衛(wèi)星，每個(gè)單元體的質(zhì)量約為1.33 kg[5]。立方體衛(wèi)星的優(yōu)勢(shì)不僅在于其模塊化的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)，還在于其內(nèi)部硬件能夠從現(xiàn)有市場(chǎng)產(chǎn)品中獲得，這使它能夠保持較低的制作成本。

目前，大多數(shù)與立方體衛(wèi)星相關(guān)的任務(wù)是基于單個(gè)衛(wèi)星展開的。例如，F(xiàn)ISH等[6]利用單個(gè)立方體衛(wèi)星來(lái)分析動(dòng)態(tài)電離層現(xiàn)象，研究造成電離層風(fēng)暴增強(qiáng)密度凸起形成的物理過(guò)程，以及這一過(guò)程與穿透電場(chǎng)之間的關(guān)系。此外，還有麻省理工學(xué)院發(fā)起的CommCube小衛(wèi)星系列任務(wù)，測(cè)試使用立方體衛(wèi)星作為數(shù)據(jù)中繼站點(diǎn)的可能性，該中繼站能夠增加衛(wèi)星到地面站的通信時(shí)間和信息吞吐能力[7]。此外，還有三單元體立方體衛(wèi)星LituanicaSAT-2，用來(lái)進(jìn)行在軌技術(shù)測(cè)試，包括測(cè)量低熱層原子和氧分子的時(shí)辨行為，以及測(cè)試綠色單推進(jìn)劑微型推進(jìn)器對(duì)立方體衛(wèi)星的軌道操縱和阻力補(bǔ)償能力[8]。

以上任務(wù)都是利用單個(gè)立方體衛(wèi)星作為空間平臺(tái)來(lái)開展科學(xué)探索和技術(shù)測(cè)試。然而，多個(gè)立方體衛(wèi)星的協(xié)同合作更能發(fā)揮出它們的優(yōu)勢(shì)。立方體衛(wèi)星群落的部署使整體對(duì)內(nèi)部組件故障具有很高的容錯(cuò)率，能夠適用于更多不同的應(yīng)用場(chǎng)景。例如，文獻(xiàn)[9-10]描述了由50個(gè)立方體衛(wèi)星組成的月球軌道分布式低頻天線組網(wǎng)系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有很高的可擴(kuò)展性，能夠用于對(duì)宇宙背景輻射進(jìn)行數(shù)據(jù)采樣與處理。文獻(xiàn)[11]描述的風(fēng)暴和熱帶系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)任務(wù)，利用在地球軌道上等距分布的5個(gè)立方體衛(wèi)星，來(lái)確保每個(gè)立方體衛(wèi)星每隔一段時(shí)間通過(guò)同一觀測(cè)點(diǎn)，從而可以在短時(shí)間內(nèi)觀測(cè)大氣云活動(dòng)，相比傳統(tǒng)衛(wèi)星監(jiān)視大氣云的時(shí)間間隔要短得多。多個(gè)立方體衛(wèi)星構(gòu)成的微小衛(wèi)星群落靈活性高、魯棒性強(qiáng)，能夠發(fā)揮出單個(gè)普通衛(wèi)星沒有的功能優(yōu)勢(shì)。目前，基于多個(gè)立方體衛(wèi)星群落執(zhí)行的復(fù)雜任務(wù)，主要包括空間數(shù)據(jù)處理和傳輸以及天文觀測(cè)等，特別是在遙感領(lǐng)域的應(yīng)用已越來(lái)越多。

立方體衛(wèi)星通過(guò)群落這種網(wǎng)絡(luò)體系結(jié)構(gòu)，能夠共享可用資源，使效益最大化。為保證立方體衛(wèi)星群落能夠有效地執(zhí)行群體協(xié)同任務(wù),需要對(duì)群落中的個(gè)體具有較好的協(xié)調(diào)控制能力。針對(duì)立方體衛(wèi)星特殊構(gòu)造和自身性能限制，建立適用于立方體衛(wèi)星群落姿態(tài)同步模型，并設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制策略是保證微小衛(wèi)星群落空間任務(wù)高效有序執(zhí)行的關(guān)鍵。

立方體衛(wèi)星中的姿態(tài)控制系統(tǒng)根據(jù)任務(wù)需求能夠?qū)崿F(xiàn)姿態(tài)的維持和調(diào)整。由于其結(jié)構(gòu)局限性，需要配置小尺寸高性能的微型推進(jìn)器系統(tǒng)。其中，微脈沖等離子推進(jìn)器體積小、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，能夠通過(guò)加速等離子體產(chǎn)生推力[12]。μ-PPT電推進(jìn)器的優(yōu)勢(shì)在于能夠通過(guò)控制脈沖沖量進(jìn)行精確操作，并且能夠滿足任務(wù)需要的魯棒性[13-14]。

為了探究由多單元立方體衛(wèi)星組成的微小衛(wèi)星群落姿態(tài)協(xié)同性能，本文利用立方體衛(wèi)星配置的姿態(tài)控制模塊，來(lái)分析和論證實(shí)現(xiàn)微小衛(wèi)星群落姿態(tài)同步需求的可行性。其中，構(gòu)成群落的N個(gè)立方體衛(wèi)星可以有不同的模塊結(jié)構(gòu)和質(zhì)量。通過(guò)群落內(nèi)部通信交換各自狀態(tài)信息，立方體衛(wèi)星群落能夠利用設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制策略實(shí)現(xiàn)姿態(tài)同步的自適應(yīng)調(diào)節(jié)。然后，再通過(guò)群落中每個(gè)成員配置的脈沖推進(jìn)模塊實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)姿態(tài)調(diào)整。最后，通過(guò)兩個(gè)不同的立方體衛(wèi)星群落姿態(tài)同步案例的仿真分析，驗(yàn)證了提出的自適應(yīng)控制策略與離散μ-PPT電推進(jìn)系統(tǒng)能有效地實(shí)現(xiàn)立方體衛(wèi)星群落姿態(tài)協(xié)同控制任務(wù)需求。

1 立方體衛(wèi)星群落姿態(tài)同步模型

1.1 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)

考慮一個(gè)由N個(gè)立方體衛(wèi)星組成的微小衛(wèi)星群落，為了實(shí)現(xiàn)整個(gè)群落的姿態(tài)同步，首先對(duì)每個(gè)立方體衛(wèi)星進(jìn)行姿態(tài)動(dòng)力學(xué)描述。利用歐拉轉(zhuǎn)動(dòng)方程來(lái)表示立方體衛(wèi)星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型[15]：

(1)

式中：下標(biāo)i=1,…,N分別指代群落中的每個(gè)立方體衛(wèi)星；Ji∈R3×3是慣性矩陣；ωi是角速度矢量；τi是控制力矩；τd,i是外部擾動(dòng)力矩。同時(shí)，這里考慮的微小衛(wèi)星群落中的成員可以是不同類型的立方體衛(wèi)星，可以有不同的尺寸和質(zhì)量。

為了將上述方程轉(zhuǎn)化為更適合于參數(shù)化的系統(tǒng)模型表達(dá)式，引入修正的羅德里格參數(shù)(Modified Rodrigues Parameters, MRP)建立群落中立方體衛(wèi)星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型[15-16]。此時(shí)，MRP姿態(tài)矢量qi=[qi1;qi2;qi3]與角速度矢量ωi的關(guān)系式可表述為:

(2)

式中:

其中，反對(duì)稱矩陣S(qi)定義為:

結(jié)合式(1)和式(2)，可以得到群落中的每個(gè)立方體衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型的歐拉—拉格朗日表達(dá)式，即

(3)

式中:

Mi(qi)=Z-T(qi)·Ji·Z-1(qi)；

Z-1(qi)-Z-T(qi)·S(Jiωi)·Z-1(qi)；Ti=Z-T(qi)·τi；Td,i=Z-T(qi)·τd,i。

上述歐拉—拉格朗日動(dòng)力學(xué)模型式(3)滿足以下基本性質(zhì)[17-18]：

(1)慣性矩陣Mi具有上下界，即

0<λmin{Mi}·I3≤Mi≤λmax{Mi}·I3<∞。

其中λmin{Mi}和λmax{Mi}分別表示矩陣Mi的最小和最大特征值。

(2)任意矢量x∈R3滿足以下關(guān)系式，即

其中k>0。

1.2 立方體衛(wèi)星信息交互網(wǎng)絡(luò)

假設(shè)群落中的立方體衛(wèi)星通過(guò)搭載的通信設(shè)備能夠?qū)崿F(xiàn)群落成員的信息交流，采用圖論方法[19]可以描繪群落中每個(gè)立方體衛(wèi)星之間的信息互聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)關(guān)系。如圖1所示，群落信息網(wǎng)絡(luò)關(guān)系圖是由若干給定的頂點(diǎn)以及連接兩個(gè)頂點(diǎn)的邊所構(gòu)成的圖形，并且被定義為G∈(V,E)，其中：V={v1,v2,…,vn}是圖形G中頂點(diǎn)的集合，頂點(diǎn)vi代表了群落中每個(gè)立方體衛(wèi)星；E?V×V是圖形G中邊的集合，代表了立方體衛(wèi)星之間的信息互聯(lián)關(guān)系。

為了描述某個(gè)立方體衛(wèi)星與其他小衛(wèi)星的信息交互情況，引入鄰接矩陣A(G)，即：若邊(vivj)∈E，表示兩個(gè)小衛(wèi)星vi和vj之間有信息交互，對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣元素[A(G)]ij=1；否則，對(duì)應(yīng)元素[A(G)]ij=0。此外，引入度數(shù)矩陣D(G)來(lái)表示圖形中與某個(gè)頂點(diǎn)vi鄰接的其他頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由鄰接矩陣和度數(shù)矩陣能夠得到圖形G的拉普拉斯矩陣L(G)，即L(G)=D(G)-A(G)。這里兩個(gè)立方體衛(wèi)星鄰接表示它們能夠進(jìn)行通信，與其空間位置無(wú)關(guān)。

此外，若圖形G中頂點(diǎn)與頂點(diǎn)之間的通信是有方向性的，稱為有向圖(如圖1b)。有向圖中的邊具有指向性，例如邊(vivj)∈E表示信息從頂點(diǎn)vi流向了頂點(diǎn)vj。

若圖形G囊括群落中的全部頂點(diǎn)，并且保證信息在群落內(nèi)部能夠流通，則稱圖形G包含一個(gè)生成樹。無(wú)論是無(wú)向圖還是有向圖，假設(shè)其擁有一個(gè)生成樹。這種情況下，拉普拉斯矩陣L(G)有一個(gè)特征值為0，其余的特征值的實(shí)部均為正數(shù)[20]。在微小衛(wèi)星群落中引入圖論表述能夠從數(shù)學(xué)模型角度分析與表達(dá)立方體衛(wèi)星的狀態(tài)信息交互方式。

1.3 立方體衛(wèi)星配置

立方體衛(wèi)星一般由大型航天器通過(guò)微小衛(wèi)星軌道部署器投放到目標(biāo)軌道上?？紤]圖2所示的標(biāo)準(zhǔn)模塊化的三單元立方體衛(wèi)星，其姿態(tài)調(diào)整模塊單元由8個(gè)μ-PPT推進(jìn)器組成。每個(gè)μ-PPT推進(jìn)器包含一個(gè)微型火花點(diǎn)火器，能夠在每個(gè)放電周期內(nèi)啟動(dòng)一次放電。在這極短的放電時(shí)間內(nèi)，由推進(jìn)劑電離形成的等離子體在電磁力作用下加速產(chǎn)生推力。該推力形成的扭矩能夠使立方體衛(wèi)星的姿態(tài)產(chǎn)生變化。如圖2所示的立方體衛(wèi)星姿態(tài)調(diào)整模塊中的推進(jìn)器系統(tǒng)由上下兩層分別4個(gè)μ-PPT排列組成，能夠?yàn)榱⒎襟w衛(wèi)星提供三軸姿態(tài)控制。

基于立方體衛(wèi)星能耗低、容錯(cuò)率高的優(yōu)點(diǎn)，考慮圖3所示的由多個(gè)立方體衛(wèi)星組成的微小衛(wèi)星群落。由于微小衛(wèi)星軌道部署器的隨機(jī)投放，群落中的每個(gè)立方體衛(wèi)星有著不同的初始姿態(tài)。此外，允許組成群落的立方體衛(wèi)星有不同的模塊組成和質(zhì)量。許多由群落執(zhí)行的空間任務(wù)需要每個(gè)小衛(wèi)星保持姿態(tài)同步的狀態(tài)，下面對(duì)立方體衛(wèi)星群落姿態(tài)同步問題進(jìn)行分析與控制設(shè)計(jì)。

2 立方體衛(wèi)星群落姿態(tài)協(xié)同策略

為了實(shí)現(xiàn)立方體衛(wèi)星群落的整體姿態(tài)協(xié)同這一任務(wù)需求，提出如圖4所示的姿態(tài)同步控制策略。對(duì)于群落中的每個(gè)立方體衛(wèi)星來(lái)說(shuō)，基于當(dāng)前時(shí)刻的姿態(tài)信息以及接收的鄰接小衛(wèi)星的姿態(tài)信息，通過(guò)比較實(shí)時(shí)狀態(tài)差異，將得到的誤差信息用于力矩控制算法中，計(jì)算所需轉(zhuǎn)矩Ti。由于μ-PPT特殊的脈沖工作模式，推進(jìn)器無(wú)法輸出理論轉(zhuǎn)矩Ti，需要通過(guò)選擇μ-PPT脈沖序列來(lái)確定姿態(tài)調(diào)整模塊內(nèi)對(duì)應(yīng)的推進(jìn)器放電組合，使得實(shí)際輸出的轉(zhuǎn)矩τi最符合Ti。然后，通過(guò)選定的μ-PPT實(shí)現(xiàn)對(duì)當(dāng)前立方體衛(wèi)星的姿態(tài)改變，直至實(shí)現(xiàn)群落整體姿態(tài)同步的目標(biāo)。

(4)

式中：i=1,…,N，j∈Ni。其中Ni是指與第i個(gè)立方體衛(wèi)星鄰接的所有小衛(wèi)星集合。

考慮到各個(gè)鄰接立方體衛(wèi)星的差異性，提出具有同步增益的自適應(yīng)控制策略。根據(jù)立方體衛(wèi)星與其鄰接小衛(wèi)星之間的每一對(duì)初始狀態(tài)差異，調(diào)整圖形節(jié)點(diǎn)之間的互連增益強(qiáng)度。通過(guò)對(duì)每個(gè)立方體衛(wèi)星設(shè)計(jì)控制輸入Ti，實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)群落的姿態(tài)調(diào)節(jié)的同步性。

首先，針對(duì)第i個(gè)立方體衛(wèi)星，定義同步信號(hào)變量si(t)如下：

(5)

式中λij>0為同步增益強(qiáng)度系數(shù)。根據(jù)鄰接立方體衛(wèi)星之間的初始姿態(tài)誤差選取如下：

λij=ηij·‖qi(0)-qj(0)‖。

(6)

式中ηij>0，‖·‖是歐氏距離。將同步信號(hào)變量si(t)代入式(3)，群落中每一個(gè)立方體衛(wèi)星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可重新構(gòu)建為：

(7)

(8)

式中Γi是正定矩陣?；谏鲜鲎赃m應(yīng)控制律，式(7)變?yōu)椋?/p>

(9)

為了實(shí)現(xiàn)立方體衛(wèi)星群落姿態(tài)同步控制目標(biāo)，考慮閉環(huán)系統(tǒng)式(9)，其中同步信號(hào)變量由式(5)給出，使用自適應(yīng)控制律式(7)能夠?qū)崿F(xiàn)同步信號(hào)的最終收斂。通過(guò)群落信息交互網(wǎng)絡(luò)以及閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性，群落中每個(gè)立方體衛(wèi)星的姿態(tài)控制目標(biāo)式(4)能夠得到滿足。并且，對(duì)于群落中每個(gè)立方體衛(wèi)星，基于式(9)構(gòu)建的系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂性可以通過(guò)如下Lyapunov穩(wěn)定性分析方法來(lái)證明。

證明對(duì)基于式(9)的系統(tǒng)進(jìn)行姿態(tài)穩(wěn)定性與收斂性分析，首先構(gòu)建如下Lyapunov函數(shù)：

(10)

式中i=1,…,N。基于性質(zhì)(1)的描述，根據(jù)慣性矩陣Mi的有界性可知Vi(t)>0且有界。然后，對(duì)Vi(t)求導(dǎo)可得

在上式中代入自適應(yīng)控制律式(8)得到

(11)

進(jìn)一步求導(dǎo)得出：

Lw(G)=Dw(G)-Aw(G)。

(12)

式中矩陣Dw的元素dij滿足：

矩陣Aw的元素aij滿足：aij=λij。然后，基于式(5)定義的第i個(gè)立方體衛(wèi)星的同步信號(hào)si，得出群落整體同步信號(hào)表達(dá)式，即

(13)

3 立方體衛(wèi)星推進(jìn)系統(tǒng)姿態(tài)調(diào)整實(shí)現(xiàn)

立方體衛(wèi)星的姿態(tài)調(diào)整模塊所配置的μ-PPT電推進(jìn)器在每次極短的脈沖周期內(nèi)能夠產(chǎn)生一個(gè)扭矩，用來(lái)實(shí)現(xiàn)空間3個(gè)方向上的角度和角速度控制?；谧藨B(tài)動(dòng)力學(xué)模型式(1)，在Δt時(shí)間內(nèi)第i個(gè)立方體衛(wèi)星對(duì)應(yīng)的角速度變化量Δωi為：

(14)

其中立方體衛(wèi)星實(shí)際產(chǎn)生的力矩τi由配置的多個(gè)μ-PPT推進(jìn)器產(chǎn)生的合力矩提供。

假設(shè)群落中第i個(gè)立方體衛(wèi)星的姿態(tài)調(diào)整模塊中的第k個(gè)μ-PPT推進(jìn)器能夠產(chǎn)生的推力為fp,ik，則對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的力矩為

(15)

式中：rp,ik為fp,ik到立方體衛(wèi)星質(zhì)心的位置矢量；Ibit為脈沖沖量；tp為脈沖持續(xù)時(shí)間；np,ik為推力單位方向矢量。然后，相應(yīng)的由m個(gè)μ-PPT產(chǎn)生的合力矩為：

(16)

由于μ-PPT特有的脈沖屬性，立方體衛(wèi)星實(shí)際產(chǎn)生的力矩τp,i無(wú)法完全滿足由式(8)給出的理論所需扭矩Ti。因此，需要從配置的μ-PPT中選擇一組脈沖序列，使得該序列產(chǎn)生的合力矩與理論扭矩的差異最小。根據(jù)模塊中每個(gè)μ-PPT的布局位置，選擇的最優(yōu)脈沖序列組合能夠使τp,i與Ti之間的矢量夾角最小，即

(17)

式中αop,i為最小夾角。由此得到的最優(yōu)序列組合對(duì)應(yīng)的μ-PPT推進(jìn)器個(gè)數(shù)定義為mop,i。在配置的推進(jìn)器中，這mop,i個(gè)μ-PPT輸出的最優(yōu)力矩τop,i為：

(18)

立方體衛(wèi)星根據(jù)上式實(shí)際輸出力矩τop,i，在一個(gè)脈沖周期內(nèi)能夠獲得的角速度增量為δωi，即

(19)

由上述分析可知，群落中的每一個(gè)立方體衛(wèi)星配置的姿態(tài)控制模塊，根據(jù)實(shí)時(shí)群落同步姿態(tài)誤差，基于控制系統(tǒng)計(jì)算得到的自適應(yīng)控制律式(8)和最優(yōu)脈沖序列組合，在每個(gè)脈沖周期內(nèi)通過(guò)式(18)和式(19)不斷改變?nèi)郝渲懈鱾€(gè)立方體衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，最終能夠?qū)崿F(xiàn)式(4)表述的小衛(wèi)星群落姿態(tài)同步控制目標(biāo)。

4 微小衛(wèi)星群落姿態(tài)同步案例分析

考慮一個(gè)由立方體衛(wèi)星組成的微小衛(wèi)星群落，利用提出的控制策略以及配置的推進(jìn)器系統(tǒng)模塊來(lái)實(shí)現(xiàn)微小衛(wèi)星群落姿態(tài)同步調(diào)整。假設(shè)群落中有6個(gè)不同類型的立方體衛(wèi)星，每個(gè)立方體衛(wèi)星配置的μ-PPT脈沖沖量為40 μN(yùn)·s，脈沖頻率為1 Hz。表1列出了它們的慣性矩陣數(shù)值。

表1 立方體衛(wèi)星慣性矩陣

表2列出了這6個(gè)立方體衛(wèi)星的初始條件信息。其中，α,β,γ為3個(gè)姿態(tài)方向角度數(shù)值，q1,q2,q3為對(duì)應(yīng)的MRP姿態(tài)數(shù)值。

表2 立方體衛(wèi)星初始姿態(tài)角信息

4.1 群落信息無(wú)向交互分析

首先，假設(shè)群落中6個(gè)立方體衛(wèi)星能夠進(jìn)行雙向信息交互，即群落信息交互無(wú)指向性。如圖5所示繪制的通信圖G∈(V,E)為無(wú)向圖。從群落的無(wú)向圖中可以看出，鄰接立方體衛(wèi)星之間能夠進(jìn)行雙向通訊，即：立方體衛(wèi)星1與立方體衛(wèi)星2能夠信息互通，2能夠與3信息互通，2能夠與5信息互通，5能夠與4信息互通，6能夠與1信息互通。因此，立方體衛(wèi)星群落通信網(wǎng)絡(luò)圖形G中頂點(diǎn)的集合為V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}，圖形中邊的集合為E={(v1v2),(v2v3),(v2v5),(v5v4),(v1v6)}。

為了驗(yàn)證群落姿態(tài)同步效果，提出如下檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。首先，計(jì)算N個(gè)立方體衛(wèi)星3個(gè)方向角的平均數(shù)值，即

(20)

通過(guò)仿真求得每個(gè)立方體衛(wèi)星與平均值的誤差，來(lái)驗(yàn)證姿態(tài)同步的控制效果，即

Errori=[errori1,errori2,errori3]T=

[αi,βi,γi]T-mean。

(21)

式中i=1,…,N。圖5所示的群落中選取N=6，下面給出第1個(gè)案例的仿真結(jié)果。其中，選擇控制器參數(shù)ηij=1.5，Γi=diag{1,1,1}，i=1,…,6。表3給出了6個(gè)立方體衛(wèi)星的姿態(tài)控制模塊中各自配置的8個(gè)μ-PPT推進(jìn)器的脈沖數(shù)目。圖6分別給出了群落中6個(gè)立方體衛(wèi)星的姿態(tài)方向角的仿真結(jié)果。結(jié)果表明，在提出的姿態(tài)同步控制策略以及μ-PPT脈沖推進(jìn)器執(zhí)行下，6個(gè)立方體衛(wèi)星由初始不同的姿態(tài)角最終趨于同步姿態(tài)角度[αmean;βmean;γmean]=[-2.3°;0.72°;-2.6°]。

表3 μ-PPT脈沖序列數(shù)

圖7所示的仿真結(jié)果表明每個(gè)立方體衛(wèi)星與群落整體的姿態(tài)同步均值的誤差隨時(shí)間趨于零。圖8給出了群落中6個(gè)立方體衛(wèi)星角速度ωi分量隨時(shí)間演變的仿真結(jié)果。結(jié)果表明，基于圖5所示的立方體衛(wèi)星群落，每個(gè)立方體衛(wèi)星的姿態(tài)同步誤差以及角速度最終都趨于零，滿足式(4)提出的任務(wù)目標(biāo)。

4.2 群落信息有向交互分析

在另一種通訊模式中，考慮群落中6個(gè)立方體衛(wèi)星的信息交互是有方向性的，繪制的圖G∈(V,E)由圖9給出。從方向圖G中可以看出，群落中的通訊方式是單向的，即：立方體衛(wèi)星1能夠?qū)⑿畔鬏斀o立方體衛(wèi)星2，但是立方體衛(wèi)星1不能接收到立方體衛(wèi)星2的信息。以此類推，2能夠?qū)⑿畔鬏斀o3，2能夠?qū)⑿畔鬏斀o5，5能夠?qū)⑿畔鬏斀o4，5能夠?qū)⑿畔鬏斀o6，6能夠?qū)⑿畔鬏斀o1。由此得到，立方體衛(wèi)星群落通信網(wǎng)絡(luò)圖形G的頂點(diǎn)集合V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}，邊的集合E={(v1v2),(v2v3),(v2v5),(v5v4),(v5v6),(v6v1)}。

下面給出基于信息有向交互模式的仿真分析結(jié)果。選擇控制器參數(shù)ηij=1，Γi=diag{1,1,1}，i=1,…,6。表4給出了6個(gè)立方體衛(wèi)星的姿態(tài)控制模塊中各自配置的8個(gè)μ-PPT推進(jìn)器的脈沖數(shù)目。圖10分別給出了群落中6個(gè)立方體衛(wèi)星三個(gè)姿態(tài)角分量的仿真結(jié)果。結(jié)果表明，在提出的姿態(tài)同步控制策略以及μ-PPT脈沖推進(jìn)器作用下，6個(gè)立方體衛(wèi)星由不同的初始姿態(tài)角最終趨于同步姿態(tài)角度[αmean;βmean;γmean]=[3.8°;3.6°;-1.5°]。

表4 μ-PPT脈沖序列數(shù)

基于群落姿態(tài)同步檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)式(21)，圖11所示的仿真結(jié)果表明，第2個(gè)案例中每個(gè)立方體衛(wèi)星與群落整體的姿態(tài)同步均值的誤差隨時(shí)間趨于零。圖12給出了群落中6個(gè)立方體衛(wèi)星角速度ωi分量隨時(shí)間演變的仿真結(jié)果。結(jié)果表明，在群落內(nèi)小衛(wèi)星之間的信息交互有指向性的情況下，每個(gè)立方體衛(wèi)星的姿態(tài)同步誤差以及角速度最終也能滿足式(4)提出的任務(wù)目標(biāo)。

對(duì)比以上兩種不同的群落內(nèi)部信息交互模式，可以看到，由于每個(gè)立方體衛(wèi)星對(duì)周圍信息獲知差異，群落姿態(tài)同步結(jié)果也不同。此外，群落通信網(wǎng)絡(luò)也可以同時(shí)存在無(wú)向交互和有向交互兩種混合模式。根據(jù)控制算法的證明分析以及第四部分的案例分析可知，基于本文提出的控制策略，在混合信息交互模式下，依然能夠滿足群落姿態(tài)同步目標(biāo)。

5 結(jié)束語(yǔ)

多個(gè)立方體衛(wèi)星組成的微小衛(wèi)星群落容錯(cuò)率高，相比于單個(gè)普通衛(wèi)星更能發(fā)揮出它們的優(yōu)勢(shì)。本文基于標(biāo)準(zhǔn)模塊化結(jié)構(gòu)的多單元體立方體衛(wèi)星，提出一種基于μ-PPT電推進(jìn)系統(tǒng)的微小衛(wèi)星群落姿態(tài)同步控制策略?；谌郝渥藨B(tài)動(dòng)力學(xué)模型，構(gòu)建的自適應(yīng)控制器能夠根據(jù)每個(gè)立方體衛(wèi)星與鄰接衛(wèi)星的狀態(tài)信息差異，通過(guò)對(duì)同步信號(hào)變量進(jìn)行互聯(lián)強(qiáng)度加權(quán)，改善群落姿態(tài)同步性能。并且，基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，對(duì)群落整體動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性和收斂性進(jìn)行了驗(yàn)證。此外，立方體衛(wèi)星的離散μ-PPT電推進(jìn)系統(tǒng)通過(guò)最優(yōu)脈沖序列配置方法，能夠在實(shí)現(xiàn)群落整體姿態(tài)同步的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)外部干擾力矩的連續(xù)補(bǔ)償與穩(wěn)定?；诹⒎襟w衛(wèi)星群落在不同信息交互方式下的姿態(tài)協(xié)同控制案例分析，驗(yàn)證了所提出控制策略的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)性能和有效性，為微小衛(wèi)星群落協(xié)同控制提供了一個(gè)新思路。與此同時(shí)，后續(xù)工作將進(jìn)一步引入微小衛(wèi)星的空間平移運(yùn)動(dòng)，研究微小衛(wèi)星有限體積下的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)推進(jìn)器的選擇及其部署方案，研究在空間環(huán)境下微小衛(wèi)星群落平移與姿態(tài)的協(xié)同運(yùn)動(dòng)及其同步控制策略，研究群落內(nèi)部通信可靠性和實(shí)時(shí)性對(duì)微小衛(wèi)星協(xié)同控制的影響并提出解決方案。