基于Copula理論的多部件系統(tǒng)剩余壽命核密度預(yù)測方法

石 慧，康 輝，趙李志，董增壽

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，山西 太原 030024)

0 引言

剩余壽命(Remaining Useful Life, RUL)預(yù)測是制定最優(yōu)維修決策的前提和保證。根據(jù)剩余壽命預(yù)測結(jié)果提前進(jìn)行維修準(zhǔn)備，可以有效減少故障的發(fā)生，進(jìn)而提高系統(tǒng)的可用性和可靠性，降低或避免故障造成的重大損失，同時(shí)減少維修保障費(fèi)用，具有重要的研究意義和實(shí)用價(jià)值[1-3]。

剩余壽命預(yù)測是系統(tǒng)故障預(yù)測和健康管理領(lǐng)域的核心[4]。AHMADZADEH等[5-7]對剩余壽命預(yù)測建模方面的研究進(jìn)展進(jìn)行了綜述，其方法主要包括物理模型的方法、基于專家知識(shí)的方法和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法等。對大多數(shù)系統(tǒng)而言，難以建立準(zhǔn)確的物理模型表征復(fù)雜系統(tǒng)的退化及故障的機(jī)理，同時(shí)獲取有關(guān)系統(tǒng)完整的專家知識(shí)成本較高，而數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法僅依賴于觀測數(shù)據(jù)，因此它們更常用于RUL預(yù)測中[8-9]。

現(xiàn)有的許多數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測方法需要進(jìn)行模型結(jié)構(gòu)假設(shè)及參數(shù)估計(jì)，需要假設(shè)其作為判斷依據(jù)的隨機(jī)取值的樣本符合某種特定模型結(jié)構(gòu)，這些模型結(jié)構(gòu)的假設(shè)與實(shí)際的物理模型之間常常存在較大的差距，同時(shí)參數(shù)估計(jì)的最優(yōu)化過程有可能收斂到局部最小而不能保證全局最優(yōu)[10]，因而預(yù)測模型將不能保證最終漸近收斂于真實(shí)的樣本模型?；谏疃葘W(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)預(yù)測方法有強(qiáng)大的特征自學(xué)習(xí)能力，不需要事先對未知的退化模型進(jìn)行假設(shè)，但其內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不能清楚地表征系統(tǒng)退化特征的變化[11]。核密度估計(jì)(Kernel Density Estimation, KDE)不需要對數(shù)據(jù)分布進(jìn)行假設(shè)，完全從數(shù)據(jù)出發(fā)研究分布特征，是一種非參數(shù)估計(jì)方法[12]。BORTOLOTI等[13]提出一種基于k均值的監(jiān)督學(xué)習(xí)聚類方法，稱為監(jiān)督核密度估計(jì)k均值，將核密度估計(jì)用于數(shù)據(jù)分類。HU等[14]利用核密度估計(jì)方法來建立風(fēng)速的概率密度函數(shù)模型，通過與參數(shù)估計(jì)模型的比較驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。GUAN等[15]提出一種基于改進(jìn)的核密度估計(jì)模型的檢測算法估計(jì)風(fēng)電機(jī)組的可靠性。張衛(wèi)貞等[10]針對單部件系統(tǒng)建立相應(yīng)的核密度估計(jì)模型，并進(jìn)行壽命預(yù)測。但其僅針對單部件的退化過程及其剩余壽命預(yù)測展開研究。

大型復(fù)雜系統(tǒng)往往是由相互作用的多個(gè)部件組成，部件之間的相互依賴關(guān)系是不可忽略的。多部件之間的相互依賴關(guān)系包括經(jīng)濟(jì)相關(guān)性、結(jié)構(gòu)相關(guān)性和隨機(jī)相關(guān)性[16]。隨機(jī)相關(guān)性影響著部件的退化狀態(tài)和剩余壽命分布，是維修相關(guān)性產(chǎn)生的原因[17]，因此考慮隨機(jī)相關(guān)性影響的部件剩余壽命預(yù)測可以更為準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的退化規(guī)律和未來狀態(tài)[18]。在以往的研究中，許多描述多部件系統(tǒng)相關(guān)性的可靠性模型是通過研究部件失效對其他部件性能的影響來建立的[19]。但在實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行過程中難以獲得故障率，部件發(fā)生故障之前的各部件的連續(xù)退化狀態(tài)與實(shí)時(shí)剩余壽命的相關(guān)性在研究多部件系統(tǒng)預(yù)測與健康管理問題中更值得關(guān)注。針對多部件系統(tǒng)部件間相關(guān)性的建模，常用的方法有多維退化模型[20-21]、退化率相關(guān)模型[22-23]和基于Copula函數(shù)的退化相關(guān)模型[24-28]。多維退化模型一般采用多維正態(tài)分布來描述系統(tǒng)中各部件的退化過程，退化率相關(guān)模型僅考慮部件間隨機(jī)相關(guān)性對退化率產(chǎn)生的影響，忽視了其對部件退化狀態(tài)造成的影響，Copula函數(shù)相較于前兩種方法，在具體的多變量模型未知的情況下，可以靈活地構(gòu)造多變量分布，是一種有效而靈活的隨機(jī)變量間相關(guān)性建模方法，近年來被廣泛應(yīng)用于可靠性和剩余壽命建模中。LI等[24]利用Lévy Copula函數(shù)建立了多部件系統(tǒng)在相同環(huán)境下考慮部件間隨機(jī)相關(guān)性的可靠性模型。蓋炳良等[25]和YANG等[26]利用Copula函數(shù)建立了的隨機(jī)相關(guān)的兩部件系統(tǒng)退化模型。楊志遠(yuǎn)等[27]基于伽馬過程建立系統(tǒng)退化模型，使用Copula函數(shù)描述退化過程的相關(guān)性，進(jìn)行系統(tǒng)可靠度分析和剩余壽命預(yù)測。WANG等[28]提出一種基于維納過程的產(chǎn)品RUL預(yù)測方法，其相關(guān)性用Frank Copula函數(shù)來表征。但對于不同的應(yīng)用問題，尤其存在連續(xù)退化隨機(jī)相關(guān)多部件系統(tǒng)，很難建立一個(gè)剩余壽命預(yù)測模型完全包含所有復(fù)雜系統(tǒng)的情況。

綜上所述，本文依靠傳感器獲得的實(shí)時(shí)監(jiān)測數(shù)據(jù)，考慮多部件系統(tǒng)連續(xù)退化過程中部件間隨機(jī)相關(guān)性影響，提出一種基于Copula理論的多部件系統(tǒng)非參數(shù)核密度剩余壽命預(yù)測方法。首先基于核密度估計(jì)求得部件的退化分布函數(shù)；然后采用Copula函數(shù)進(jìn)行部件隨機(jī)相關(guān)性建模，利用赤池信息準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的Copula函數(shù)，避免了不同類型的Copula函數(shù)可能導(dǎo)致的預(yù)測結(jié)果不準(zhǔn)確的問題；最后建立連續(xù)退化過程中隨機(jī)相關(guān)性影響的多部件系統(tǒng)非參數(shù)核密度剩余壽命預(yù)測模型并通過齒輪箱試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)，驗(yàn)證了所提模型的有效性和準(zhǔn)確性。

1 基于非參數(shù)核密度估計(jì)的退化分布

(1)

式中：hn為部件i選用的核函數(shù)窗寬，n為部件i的單位退化增量的樣本數(shù)，K(·)為部件i選用的核函數(shù)。

(2)

窗寬hn影響擬合效果，對概率密度函數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性具有較大影響。取值過大時(shí)，平均的影響突出，使密度函數(shù)的細(xì)節(jié)變得模糊，不能清楚地反映密度函數(shù)的特點(diǎn)；若取值過小，隨機(jī)性的影響會(huì)增強(qiáng)，使密度函數(shù)變的不光滑，不能很好地反映密度函數(shù)的趨勢。因此，隨著樣本數(shù)據(jù)的變化可采用均方誤差最小準(zhǔn)則來選取最優(yōu)的窗寬，進(jìn)而準(zhǔn)確估計(jì)其概率密度函數(shù)。常用的準(zhǔn)則包括積分均方誤差準(zhǔn)則(MeanIntegratedSquaredError,MISE)和漸進(jìn)積分均方誤差準(zhǔn)則(AsymptoticMeanIntegratedSquaredError,AMISE)。AMISE可以更精確地平衡偏差項(xiàng)和方差項(xiàng)的階數(shù)，更適合應(yīng)用于核密度估計(jì)中最優(yōu)窗寬的計(jì)算[30]，因此采用極小化AMISE來求解窗寬的最優(yōu)解。其表達(dá)式為：

(3)

hopt=argminhAMISE(h)=

(4)

(5)

(6)

相應(yīng)的累積退化概率密度函數(shù)為：

(7)

(8)

(9)

(10)

2 考慮隨機(jī)相關(guān)性的剩余壽命建模

2.1 退化之間的相關(guān)性分析

建立部件間退化相關(guān)性模型，首先需要分析系統(tǒng)各部件之間是否存在相關(guān)性。常用的相關(guān)性分析方法有Pearson系數(shù)、Kendall系數(shù)和Spearman系數(shù)。Pearson系數(shù)具有很好的捕獲線性相關(guān)性的能力，但在非線性相關(guān)噪聲方面表現(xiàn)較差;Kendall秩相關(guān)系數(shù)用于測量兩個(gè)有序數(shù)列之間對應(yīng)程度的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)量，對于非高斯噪聲，Kendall秩相關(guān)系數(shù)比Pearson相關(guān)系數(shù)更適合，并且表現(xiàn)出比Spearman秩相關(guān)系數(shù)更強(qiáng)的魯棒性和有效性[31-33]，因此選擇Kendall系數(shù)進(jìn)行部件退化的相關(guān)性分析。Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ是衡量系統(tǒng)中各部件之間相關(guān)性的重要指標(biāo)，τ的取值范圍為-1～1，當(dāng)τ為0時(shí)，表示兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立。

0

(11)

其中：

采用Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ判斷其部件間存在相關(guān)性后可通過Copula函數(shù)表征其相關(guān)關(guān)系。

2.2 考慮隨機(jī)相關(guān)性的多部件剩余壽命預(yù)測模型

假設(shè)系統(tǒng)中M個(gè)部件存在隨機(jī)相關(guān)性，其剩余壽命聯(lián)合分布函數(shù)F(t1,t2,…,tM)為M維分布函數(shù)，可用Copula函數(shù)表示為：

F(t1,t2,…,tM)=C(F1(t1),F2(t2),…,FM(tM);θ)=

C(u1,u2,…,uM;θ)。

(12)

式中θ為相關(guān)參數(shù)，用來表征相關(guān)性程度。

根據(jù)SKlar定理可知，選擇合適的Copula函數(shù)C就可以通過Copula函數(shù)得到退化分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)。將部件的剩余壽命的退化分布函數(shù)式(8)帶入式(12)中得：

(13)

(14)

(15)

第i個(gè)部件在考慮隨機(jī)相關(guān)性下的條件分布函數(shù)為：

(16)

(17)

(18)

表1中列舉了幾種常見的Copula函數(shù)形式。

表1 常見的Copula函數(shù)

在實(shí)際應(yīng)用中，Copula函數(shù)的種類很多，如表1所示為3種常用的Copula函數(shù)形式，選擇不同的Copula函數(shù)進(jìn)行研究，可能會(huì)導(dǎo)致不同的分析結(jié)果。赤池信息準(zhǔn)則(Akaike Information Criterion, AIC)、貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian Information Criterion, BIC)和交叉驗(yàn)證法(Cross-Validation, CV)是統(tǒng)計(jì)學(xué)中模型選擇和評價(jià)的重要工具。WEI等[34]通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了AIC和BIC比CV準(zhǔn)則的計(jì)算速度更快，AIC準(zhǔn)則可用于衡量估計(jì)模型的復(fù)雜度與退化數(shù)據(jù)擬合程度[9,29]，且能更好地避免參數(shù)過擬合，因此采用AIC準(zhǔn)則來檢驗(yàn)函數(shù)擬合的優(yōu)劣性，AIC值越小表明模型越適合。

通過AIC準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的Copula函數(shù)，AIC表達(dá)式為：

(19)

式中：n為樣本個(gè)數(shù)，P和Q分別表示Copula函數(shù)的似然函數(shù)值和參數(shù)個(gè)數(shù)。

對于Copula函數(shù)中的未知參數(shù)θ，本文采用極大似然函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。首先利用非參數(shù)核密度估計(jì)得到退化分布函數(shù)，然后利用極大似然估計(jì)方法估計(jì)Copula函數(shù)中的未知參數(shù)θ。

(20)

通過式(20)求得不同Copula函數(shù)的參數(shù)θ及其似然函數(shù)值，將其似然函數(shù)值代入式(19)分別計(jì)算對應(yīng)的AIC。選擇AIC值最小的Copula函數(shù)代入式(13)，通過式(13)～式(18)即可求解考慮隨機(jī)相關(guān)性的部件剩余壽命概率密度函數(shù)。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證分析

3.1 數(shù)據(jù)采集

如圖1所示為本次試驗(yàn)所用的齒輪箱試驗(yàn)臺(tái)，由主試齒輪箱和陪試齒輪箱相連接構(gòu)成，其中心距為150cm，試驗(yàn)采用機(jī)械杠桿加載，扭矩采用轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速傳感器測量，試驗(yàn)過程中對主、陪試箱體的振動(dòng)、加速度、溫度及噪聲進(jìn)行監(jiān)測，主試齒輪箱中為正反交錯(cuò)搭接的一對齒輪，齒輪的斷齒等效為齒輪的失效，軸承的外圈磨損等效為軸承的失效。

試驗(yàn)臺(tái)架上共布置13個(gè)傳感器，傳感器安裝情況如圖2所示，1#、2#、3#、4#加速度傳感器分別布置在主試箱內(nèi)軸承座的徑向位，7#、8#加速度傳感器分別布置在主試箱內(nèi)軸承座的軸向位，5#、6#加速度傳感器分別布置在陪試箱內(nèi)軸承座的徑向位；9#、10#聲音傳感器分別懸掛在主試箱和陪試箱正上方40cm處；11#溫度傳感器布置在主試齒輪箱內(nèi)部；12#轉(zhuǎn)速傳感器布置在驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出端；13#轉(zhuǎn)矩傳感器布置在主、陪試箱的聯(lián)接軸處。主試箱齒輪嚙合情況如圖3所示。

試驗(yàn)中加載分八級(jí)載荷，八級(jí)載荷的大小分別為349.5扭矩，430.7扭矩，492.2扭矩，555.6扭矩，612.9扭矩，693.4扭矩，734扭矩，822.7扭矩，前七級(jí)載荷的運(yùn)行時(shí)間均為10個(gè)小時(shí)，在第八級(jí)載荷時(shí)監(jiān)測到各部件發(fā)生故障，剩余壽命預(yù)測選取從第八級(jí)加載開始后的加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。由圖2可知，4#和1#加速度傳感器的位置最靠近主試箱的齒輪，8#加速度傳感器的位置最靠近主試箱的軸承，因此將4#、1#和8#加速度傳感器的振動(dòng)信號(hào)分別作為齒輪1、齒輪2和軸承的退化信號(hào)。其采樣頻率為25.6kHz，每次采樣持續(xù)60s，每隔9min記錄一次采樣數(shù)據(jù)。

齒輪箱的退化軌跡整體呈上升趨勢，為了更好地反映各部件的退化趨勢，采用均方幅值方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取，可由下式計(jì)算：

(21)

式中：Ni為采樣點(diǎn)數(shù)，yj為振動(dòng)信號(hào)幅值。

通過均方幅值法對齒輪箱齒輪1、齒輪2和軸承的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，得到如圖4～圖6所示的退化曲線圖?？梢钥闯?，齒輪1在發(fā)生故障時(shí)的故障閾值為L1=76.375mm/s2，齒輪2在發(fā)生故障時(shí)的故障閾值為L2=79.580mm/s2，軸承在發(fā)生故障時(shí)的故障閾值為L3=85.637mm/s2。齒輪1的真實(shí)壽命為77.17h，齒輪2的真實(shí)壽命為78.83h，軸承的真實(shí)壽命為83.51h。

3.2 單部件的剩余壽命預(yù)測

利用齒輪箱所提取的特征值來驗(yàn)證不考慮隨機(jī)相關(guān)性的齒輪1剩余壽命預(yù)測KDE模型。由式(10)可求得齒輪1的剩余壽命概率密度函數(shù)，圖7給出了不同監(jiān)測時(shí)刻齒輪1的剩余壽命預(yù)測結(jié)果。從圖中可以看出，從監(jiān)測的10h～70h，剩余壽命概率密度圖的方差逐漸減小，這是由于在監(jiān)測初期的數(shù)據(jù)量少，隨著數(shù)據(jù)的增多，預(yù)測結(jié)果也越準(zhǔn)確。

如表2所示為齒輪1對KDE模型的預(yù)測結(jié)果誤差分析。

表2 齒輪1剩余壽命的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值的誤差分析

表2給出了齒輪1在不同監(jiān)測時(shí)刻的預(yù)測值、實(shí)際值和模型誤差值。由表中的數(shù)據(jù)可知，隨著監(jiān)測時(shí)間的增加，數(shù)據(jù)量增大，該模型所預(yù)測的結(jié)果與真實(shí)值的誤差逐漸減小，對齒輪1剩余壽命的預(yù)測也更加準(zhǔn)確。

同理，用同樣的方法來分別驗(yàn)證不考慮隨機(jī)相關(guān)性的齒輪2和軸承的剩余壽命預(yù)測KDE模型，可以得到不同監(jiān)測時(shí)刻下齒輪2和軸承的剩余壽命預(yù)測結(jié)果，如圖8和圖9所示。

齒輪2和軸承對KDE模型的預(yù)測結(jié)果誤差分析分別如表3和表4所示。

表3 齒輪2剩余壽命的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值的誤差分析

表4 軸承剩余壽命的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際值的誤差分析

齒輪2和軸承的預(yù)測結(jié)果同樣說明，隨著監(jiān)測時(shí)間的增加，該模型的預(yù)測誤差也逐漸減小，說明了基于核密度估計(jì)的剩余壽命模型對齒輪2和軸承剩余壽命預(yù)測的準(zhǔn)確性。

3.3 考慮隨機(jī)相關(guān)性的部件剩余壽命預(yù)測

通過式(11)求得齒輪1和齒輪2，齒輪1和軸承，齒輪2和軸承的Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ分別為0.413 8，0.713 5，0.327 3，說明齒輪1，齒輪2和軸承為存在隨機(jī)相關(guān)的多部件系統(tǒng)。

常見的3種Copula函數(shù)二維概率密度圖如圖10所示。

由圖10可知，GumbelCopula函數(shù)可描述上尾相關(guān)關(guān)系，ClaytonCopula函數(shù)可描述下尾相關(guān)關(guān)系，F(xiàn)rankCopula適合描述具有對稱相關(guān)結(jié)構(gòu)的相關(guān)關(guān)系。由于部件的退化程度越大，對其他部件的影響也越大，部件之間的退化存在尾部相關(guān)性，且這種相關(guān)性是非對稱的，可見使用上尾相關(guān)性更適合描述不同部件間的隨機(jī)相關(guān)性。

通過極大似然估計(jì)Copula函數(shù)的參數(shù)，然后根據(jù)AIC準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的Copula函數(shù)。由式(19)得到如表5所示的3種常用Copula函數(shù)的AIC值。

表5 常用Copula函數(shù)的AIC值

由表5可知,在相同的時(shí)刻下，AIC值最小的為Gumbel Copula函數(shù)，因此根據(jù)AIC準(zhǔn)則可知最優(yōu)的Copula函數(shù)應(yīng)選擇Gumbel Copula函數(shù)，可以更好地描述部件之間的相關(guān)性，這與所分析的Gumbel Copula函數(shù)特性一致。

將部件的剩余壽命分布函數(shù)式(9)和表1中的Gumbel Copula函數(shù)表達(dá)式代入式(13)中，可求得3部件的聯(lián)合分布函數(shù)為：

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

用齒輪箱提取的特征值來驗(yàn)證考慮隨機(jī)相關(guān)性的剩余壽命預(yù)測模型?？煞謩e求得齒輪1、齒輪2和軸承的剩余壽命預(yù)測結(jié)果，其在不同監(jiān)測時(shí)刻的預(yù)測結(jié)果如圖11～圖13所示。

圖11～圖13顯示了在不同監(jiān)測時(shí)刻下，兩種不同模型對齒輪1、齒輪2和軸承的剩余壽命預(yù)測結(jié)果。從圖中可以看出，隨著監(jiān)測時(shí)間的增加，兩種模型的剩余壽命概率密度函數(shù)曲線方差逐漸減小，而且真實(shí)值都在兩種模型預(yù)測的范圍之內(nèi)。同時(shí)考慮隨機(jī)相關(guān)的剩余壽命預(yù)測模型結(jié)果更接近真實(shí)值。表6～表8分別對3個(gè)部件考慮隨機(jī)相關(guān)性的剩余壽命預(yù)測模型和不考慮隨機(jī)相關(guān)性的KDE模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行誤差分析。

表6 兩種模型下齒輪1剩余壽命預(yù)測結(jié)果誤差分析

續(xù)表6

表7 兩種模型下齒輪2剩余壽命預(yù)測結(jié)果誤差分析

表8 兩種模型下軸承剩余壽命預(yù)測結(jié)果誤差分析

對比表中數(shù)據(jù)可知，隨著監(jiān)測時(shí)間的增加，兩種模型預(yù)測的準(zhǔn)確度均在增加。而且在相同監(jiān)測時(shí)刻，基于Copula理論考慮相關(guān)性剩余壽命預(yù)測結(jié)果比KDE剩余壽命預(yù)測結(jié)果有更小的絕對誤差。由此表明，考慮部件之間的隨機(jī)相關(guān)性后，預(yù)測齒輪的剩余壽命比不考慮隨機(jī)相關(guān)性所預(yù)測的結(jié)果更為準(zhǔn)確。

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提出的模型，使用相同的樣本數(shù)據(jù)采用Gamma分布模型分別對3個(gè)部件進(jìn)行剩余壽命預(yù)測，圖14～圖16分別給出了在第40 h和第60 h的Gumbel Copula模型與Gamma分布模型的預(yù)測結(jié)果對比圖。通過比較可以得出，Gumbel Copula模型方法的預(yù)測結(jié)果比Gamma分布的預(yù)測結(jié)果更接近于剩余壽命的真實(shí)值。隨著監(jiān)測時(shí)間的增加，樣本增多，兩種模型的精確性也更高，而Gumbel Copula模型的預(yù)測誤差更小，說明考慮部件隨機(jī)相關(guān)性后可以更準(zhǔn)確地對部件的剩余壽命進(jìn)行預(yù)測。

4 結(jié)束語

本文考慮連續(xù)退化多部件系統(tǒng)中部件間存在的隨機(jī)相關(guān)性，首先基于核密度估計(jì)的方法進(jìn)行退化分布建模；然后利用Kendall秩相關(guān)系數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析；接著采用Copula函數(shù)表征部件退化的相關(guān)性，建立相應(yīng)的剩余壽命預(yù)測模型；最后通過試驗(yàn)驗(yàn)證了基于Copula的考慮隨機(jī)相關(guān)性的多部件剩余壽命預(yù)測結(jié)果比不考慮隨機(jī)相關(guān)性的剩余壽命預(yù)測結(jié)果更接近剩余壽命的真實(shí)值，證實(shí)了該方法的有效性。未來將在多部件預(yù)測的基礎(chǔ)上，建立混合Copula的聯(lián)合剩余壽命預(yù)測方法，進(jìn)一步提高預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性。