大口徑主鏡的六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

于致遠(yuǎn)，吳小霞，王富國

（1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引言

望遠(yuǎn)鏡是天文觀測的工具，望遠(yuǎn)鏡的性能決定了人們可觀測宇宙空間的大?。?-2］。在地基大口徑望遠(yuǎn)鏡中，主鏡的定位系統(tǒng)發(fā)揮了重要作用，其性能不僅關(guān)系到主鏡的位姿保持精度，而且關(guān)系到主鏡系統(tǒng)的固有頻率，對望遠(yuǎn)鏡的成像質(zhì)量有重要影響［3-4］。大口徑主鏡定位系統(tǒng)大致可以分為以下三種類型：第一是采用實際定位點(diǎn)對主鏡進(jìn)行定位，以NTT［5］和VST［6］等望遠(yuǎn)鏡為代表，在主鏡的軸向和徑向分別布置若干個定位點(diǎn)，定位點(diǎn)處用各種機(jī)構(gòu)將主鏡和鏡室剛性連接，完全限制主鏡的剛體位移；第二是采用虛擬定位點(diǎn)，以VLT［7］為代表，該方案在主鏡的背部和側(cè)面分別布置若干個液壓缸，將背部的液壓缸分成3個相同的扇形區(qū)域，將側(cè)面的液壓缸分為左右對稱的2個區(qū)域，保持每個區(qū)域內(nèi)的液壓缸輸出的壓力相同，如此形成若干個軸向和徑向的虛擬定位點(diǎn)，實現(xiàn)主鏡定位；第三種是采用六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)進(jìn)行主鏡定位，使用6 個相同結(jié)構(gòu)的硬點(diǎn)連接主鏡和鏡室，不僅能實現(xiàn)主鏡的定位，而且可以主動調(diào)節(jié)主鏡的位姿。

六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)是一種大型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，在地基大口徑望遠(yuǎn)鏡中有廣泛應(yīng)用，例如LBT［8］、維拉·C·羅賓天文臺望遠(yuǎn)鏡（原名LSST）［9］、GMT［10］等。六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)可以實現(xiàn)主鏡位姿調(diào)節(jié)，無需軸向和徑向定位的解耦，相比其他定位方案，六桿硬點(diǎn)定位在調(diào)節(jié)望遠(yuǎn)鏡準(zhǔn)直方面有明顯優(yōu)勢，也可以應(yīng)用于將大口徑反射鏡拼接形成主鏡的方案。六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)布置在主鏡背部，因此主鏡側(cè)面無需布置定位機(jī)構(gòu)，一定程度上簡化了主鏡定位系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。

六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)有廣泛的發(fā)展前景，國內(nèi)有學(xué)者開展了相關(guān)研究，胡佳寧等［11］總結(jié)了六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)在國外大口徑望遠(yuǎn)鏡中的應(yīng)用，對其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和主要指標(biāo)進(jìn)行了對比和總結(jié)。徐宏等［12］研究了LBT，GMT 等望遠(yuǎn)鏡使用的六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)，總結(jié)并論述了六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的工作原理以及硬點(diǎn)中的位移促動器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。魏夢琦等［13］分析了六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的相關(guān)參數(shù)指標(biāo)，對硬點(diǎn)分布半徑、定位夾角、硬點(diǎn)長度等參數(shù)分別進(jìn)行了優(yōu)化。

為了將六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)用于4 m 口徑碳化硅主鏡的定位，需要確保主鏡的六桿硬點(diǎn)定位系統(tǒng)有足夠高的固有頻率以滿足設(shè)計指標(biāo)的要求。固有頻率是主鏡定位系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)，目前國際上主流的6～8 m 級望遠(yuǎn)鏡，無論是采用彎月型薄主鏡還是蜂窩輕量化主鏡，其主鏡系統(tǒng)固有頻率普遍在15 Hz 以上，例如6.5 m 口徑MMT 望遠(yuǎn)鏡主鏡系 統(tǒng)固有頻率為20 Hz［14］，8.4 m 口徑的LSST 望遠(yuǎn)鏡 為16 Hz［15］，8 m口徑的VLT 和Gemini均達(dá)到25 Hz以上［16］。

4 m 口徑碳化硅主鏡屬于背部半封閉式蜂窩輕量化鏡［17］，4 m 望遠(yuǎn)鏡要求主鏡系統(tǒng)的固有頻率必須高于15 Hz 才能保證望遠(yuǎn)鏡能夠穩(wěn)定觀測，固有頻率主要受到硬點(diǎn)的軸向剛度、主鏡的質(zhì)量和慣量、六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)等三個因素的影響，其中硬點(diǎn)的軸向剛度與硬點(diǎn)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，主鏡的質(zhì)量和慣量是由4 m 主鏡的力學(xué)性質(zhì)決定的，因此為六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)選擇合理的空間構(gòu)型對于提高系統(tǒng)固有頻率有重要意義。

為確保4 m 碳化硅主鏡的六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的固有頻率滿足指標(biāo)要求，對六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計。首先對六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)分析，推導(dǎo)了主鏡六桿硬點(diǎn)定位系統(tǒng)的固有頻率方程，建立了六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)、硬點(diǎn)的軸向剛度、主鏡的質(zhì)量和慣量與主鏡系統(tǒng)的固有頻率之間的函數(shù)關(guān)系。接著，通過有限元分析獲得了硬點(diǎn)的軸向剛度。然后，基于固有頻率方程，以最大化4 m碳化硅主鏡系統(tǒng)的一階固有頻率為目標(biāo)，使用遺傳算法對六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。最終獲得了構(gòu)型參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果。在最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)下，主鏡系統(tǒng)的一階固有頻率明顯高于初始值，優(yōu)化的效果顯著，能夠滿足望遠(yuǎn)鏡對4 m碳化硅主鏡定位系統(tǒng)的固有頻率要求。此外，還對六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)在最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)時的主鏡系統(tǒng)進(jìn)行了模態(tài)分析，并且校核了主鏡在極限工況下的強(qiáng)度。

2 六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的工作原理和數(shù)學(xué)模型

2.1 六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的工作原理

六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)本質(zhì)上是一種大型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，用于調(diào)節(jié)和保持大口徑主鏡的位姿，廣泛用于地基大口徑望遠(yuǎn)鏡的主鏡支撐系統(tǒng)。如圖1所示，六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)由6 個相同的硬點(diǎn)組成。硬點(diǎn)中設(shè)置有位移促動器。硬點(diǎn)的一端在Ai處通過柔性鉸鏈連接到的主鏡背板，另一端在Bi處連接到的鏡室。主鏡、硬點(diǎn)和鏡室組成了一個類似并聯(lián)平臺的系統(tǒng)，稱為主鏡六桿硬點(diǎn)定位系統(tǒng)，本文簡稱為主鏡系統(tǒng)。六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的原理與六自由度并聯(lián)平臺非常相似，調(diào)節(jié)硬點(diǎn)的長度的即可實現(xiàn)對主鏡相對于鏡室的位姿的調(diào)節(jié)。當(dāng)保持所有硬點(diǎn)長度不變時，六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)完全限制主鏡的空間位移，實現(xiàn)主鏡位姿的保持。

圖1 六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的示意圖Fig.1 Schematic diagram of six-hardpoint positioning mechanism

六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)對主鏡提供位姿調(diào)節(jié)和定位的功能，不用于提供支撐力，主鏡的重力由多組布置在主鏡背部的氣壓式力促動器承擔(dān)，硬點(diǎn)理論上不受力，也不會對主鏡產(chǎn)生力的作用。在望遠(yuǎn)鏡工作過程中，由于主鏡位姿改變或者慣性力、風(fēng)載等因素的影響，硬點(diǎn)可能會出現(xiàn)受力的情況，此時硬點(diǎn)中的力傳感器可以測量出力的大小，然后通過計算機(jī)進(jìn)行解算，計算出所有硬點(diǎn)對主鏡的合力和合力矩，然后通過氣壓促動器產(chǎn)生等效的校正力以抵消上述合力和力矩［18-19］。

2.2 六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)模型

運(yùn)動學(xué)模型是動力學(xué)建模的基礎(chǔ)，六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖2 所示，圖2 是圖1 的簡化，圖2（a）表示六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)處于初始位姿的狀態(tài)，圖2（b）表示進(jìn)行位姿調(diào)節(jié)后的狀態(tài)。圖中O-xyz是定坐標(biāo)系，與鏡室固定；O1-x1y1z1是連體坐標(biāo)系，與主鏡固定；O2-x2y2z2是隨動坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)與主鏡中心點(diǎn)重合，各坐標(biāo)軸方向與O1-x1y1z1的相應(yīng)坐標(biāo)軸相同。主鏡作為剛體在空間中有6 個自由度，用包含6 個參數(shù)的向量q=［x y z α β γ］T表示主鏡位姿，q可以分解為位置矢量t=［x y z］T和姿態(tài)矢量s=［α β γ］T。根據(jù)圖3 中的幾何關(guān)系可以直接得出六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)逆解方程：

圖2 六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Structural diagram of the six-hardpoint positioning mechanism

其中：i=1，2，…，6，對應(yīng)6 個硬點(diǎn)；li是硬點(diǎn)矢量，表示硬點(diǎn)的方向，硬點(diǎn)矢量的模是硬點(diǎn)的長度hi；t是主鏡的位置矢量，是坐標(biāo)原點(diǎn)O1在O-xyz中的坐標(biāo)；ai是上支撐點(diǎn)Ai在坐標(biāo)系O1-x1y1z1中的坐標(biāo)，bi是下支撐點(diǎn)Bi在坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)；R是坐標(biāo)變換矩陣：

其中：α，β，γ是主鏡繞坐標(biāo)軸x2，y2，z2的轉(zhuǎn)角，是姿態(tài)矢量s中的元素。在已知六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)的情況下，運(yùn)動學(xué)逆解方程（1）給出了主鏡位姿和硬點(diǎn)長度之間的關(guān)系。ai，bi，hi統(tǒng)稱為六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)，通過構(gòu)型參數(shù)可以確定六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的空間構(gòu)型。

根據(jù)圖2 中的幾何關(guān)系，上支撐點(diǎn)Ai在定坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)為：

其中：ai（O-xyz）是上支撐點(diǎn)在O-xyz中的坐標(biāo)。定義主鏡在定坐標(biāo)系中的速度為q′=［t′，ω］T，ω是主鏡的角速度。對式（3）求導(dǎo)可得上支撐點(diǎn)在定坐標(biāo)系中的速度vai：

將上支撐點(diǎn)速度vai向硬點(diǎn)方向投影可得硬點(diǎn)的伸長速度li′：

其中：lni是表示硬點(diǎn)方向的單位向量，表達(dá)式如式（6）所示：

將硬點(diǎn)伸長速度表達(dá)式（5）寫成矩陣形式為：

其中：Jlq=［，（RA×Ln）T］是表示主鏡速度和硬點(diǎn)伸長速度關(guān)系的雅可比矩陣；硬點(diǎn)伸長速度矩陣Vl、硬點(diǎn)方向矩陣Ln、上支撐點(diǎn)坐標(biāo)矩陣A的表達(dá)式如式（8）～式（10）所示：

2.3 主鏡六桿硬點(diǎn)定位系統(tǒng)的動力學(xué)方程

由于硬點(diǎn)的質(zhì)量遠(yuǎn)小于主鏡的質(zhì)量，因此在動力學(xué)分析中忽略硬點(diǎn)質(zhì)量和慣性力帶來的影響。此外，由于主鏡的剛度遠(yuǎn)大于硬點(diǎn)的剛度，因此將主鏡作為剛體分析，只考慮硬點(diǎn)的變形，不考慮主鏡的變形。在這種情況下，主鏡平動的動力學(xué)方程為：

其中：mp是主鏡的質(zhì)量；g是重力加速度矢量；E為三階單位矩陣；fa是各硬點(diǎn)對主鏡的力組成的向量。主鏡轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程基于歐拉動力學(xué)方程：

其中：L為研究對象的角動量；I是慣量矩陣；ω是角速度；M是所受的力矩。因此主鏡轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程為：

其中：Iq=RIpRT是主鏡在定坐標(biāo)系中的慣量矩陣；Ip是主鏡在連體坐標(biāo)系中的慣量矩陣。將主鏡平動動力學(xué)方程（11）和轉(zhuǎn)動動力學(xué)方程（15）合并為：

式（16）可以寫成如下形式：

其中：M是主鏡的質(zhì)量慣量矩陣，C是主鏡的哥氏向心項系數(shù)矩陣，G是主鏡的重力矩陣。式（16）和式（17）即為主鏡六桿硬點(diǎn)定位系統(tǒng)的動力學(xué)方程。

2.4 主鏡六桿硬點(diǎn)定位系統(tǒng)的固有頻率方程

固有頻率是系統(tǒng)的固有屬性，阻尼和外力對其沒有影響，因此由式（17）得到主鏡系統(tǒng)的振動方程為：

其中，fa是各硬點(diǎn)對主鏡的力組成的向量，表達(dá)式為：

其中：K是由各硬點(diǎn)軸向剛度組成的對角矩陣，6個硬點(diǎn)的軸向剛度相同；ΔL是各硬點(diǎn)長度的變化量組成的向量，表達(dá)式為：

將式（19）和式（20）帶入振動方程（18），得到主鏡系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程：

運(yùn)動微分方程的特征行列式方程為：

將式（22）稱為主鏡六桿硬點(diǎn)定位系統(tǒng)的固有頻率方程，通過式（22）求解ω即可得到系統(tǒng)的前6 階固有頻率，單位為弧度/秒（rad/s）?？梢酝ㄟ^式（23）進(jìn)行單位換算：

其中，f是固有頻率的另一種形式，單位為Hz。將Jlq和M的表達(dá)式帶入主鏡系統(tǒng)的固有頻率方程（22）可得：

其中：mp是主鏡的質(zhì)量；Iq是主鏡的慣量矩陣；K是硬點(diǎn)軸向剛度的矩陣；矩陣A中的元素是上支撐點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)式（1）、式（6）、式（9），矩陣Ln由六桿硬點(diǎn)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)決定。因此，固有頻率方程（22）建立了六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)、硬點(diǎn)的軸向剛度、主鏡的質(zhì)量和慣量與主鏡系統(tǒng)的固有頻率之間的函數(shù)關(guān)系，可以求解系統(tǒng)的固有頻率，也說明對于一個特定的主鏡和一組特定結(jié)構(gòu)的硬點(diǎn)，選擇合適的構(gòu)型參數(shù)可以使主鏡系統(tǒng)具有更高的固有頻率。綜上，固有頻率方程（22）可以用于六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)構(gòu)型參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計。

3 硬點(diǎn)軸向剛度計算

針對4 m 口徑碳化硅主鏡設(shè)計的硬點(diǎn)的結(jié)構(gòu)如圖3 所示，基于硬點(diǎn)的結(jié)構(gòu)設(shè)計，對硬點(diǎn)中的元件分別進(jìn)行有限元分析，計算他們的剛度，進(jìn)而得出硬點(diǎn)的軸向剛度。如圖3 所示，硬點(diǎn)中主要包括上柔性鉸鏈、力傳感器、扭矩限制器、分離機(jī)構(gòu)、位移促動器、下柔性鉸鏈等6 個元件，硬點(diǎn)的軸向剛度由這6 個元器件的剛度決定，由于所有元件的均為串聯(lián)，因此硬點(diǎn)的剛度可以通過式（25）計算：

其中：Kh是硬點(diǎn)的軸向剛度；K1～K6分別是硬點(diǎn)中的6 個元件的剛度。

圖3 硬點(diǎn)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of the hardpoint

在上述元件中，上柔性鉸鏈、扭矩限制器、分離機(jī)構(gòu)、下柔性鉸鏈的結(jié)構(gòu)比較簡單，因此可以通過有限元分析直接計算他們的剛度，向各元件施加1 000 N 的軸向力以及相應(yīng)的固定約束，得到元件的變形情況，然后通過公式計算他們的剛度：

其中：Ki表示各元件的剛度；F是軸向力的大小；Δxi是通過有限元分析得到的各元件的軸向變形量。各元件的變形云圖如圖4 所示，計算剛度的結(jié)果如表1 所示。

圖4 硬點(diǎn)中部分元件的變形云圖Fig.4 Deformation diagram of some elements in the hardpoint obtained by finite element analysis

表1 硬點(diǎn)中部分元件的軸向剛度的計算結(jié)果Tab.1 Calculation results of axial stiffness of some elements in the hardpoint

硬點(diǎn)中的力傳感器使用Interface 品牌的1000 型輪輻式力傳感器，通過查閱產(chǎn)品手冊，得到了力傳感器的軸向剛度為384 N/μm。

硬點(diǎn)中的位移促動器的結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜，其軸向剛度取決于促動器中的滾柱絲杠、支撐軸承、螺母座、軸套、外殼等多個元器件的剛度，促動器的軸向剛度由以下公式計算：

其中：KS和KN分別是滾珠絲杠中絲杠軸和螺母的軸向剛度，可以通過查閱產(chǎn)品手冊獲得，分別為380 N/μm 和73 N/μm；支撐軸承的剛度KB也通過查閱相應(yīng)產(chǎn)品手冊獲得，剛度值為350 N/μm；KL，KZ，KW分別是螺母座、軸套、外殼的軸向剛度，均通過有限元分析獲得，方法與硬點(diǎn)中的柔性鉸鏈等元件的計算方法大致相同，3 個元件的變形云圖如圖5 所示，得到的軸向剛度分別為4 491.02 N/μm，4 300.46 N/μm，454.71 N/μm。將位移促動器中所有元件的軸向剛度帶入式（27），得到促動器整體的軸向剛度為45.78 N/μm。

圖5 位移促動器中部分元件的變形云圖Fig.5 Deformation diagram of some elements in the actuator obtained by finite element analysis

最后，將6 個元件的軸向剛度帶入式（25），得到4 m 碳化硅主鏡的硬點(diǎn)的軸向剛度為33.044 N/μm。

4 構(gòu)型參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計

基于固有頻率方程（22）、硬點(diǎn)的軸向剛度、4 m 口徑碳化硅主鏡的質(zhì)量和慣量指標(biāo)，以最大化主鏡系統(tǒng)的固有頻率為目標(biāo)，使用遺傳算法對六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

4.1 優(yōu)化目標(biāo)

本文的六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)構(gòu)型參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)是最大化主鏡系統(tǒng)的一階固有頻率。一階固有頻率是望遠(yuǎn)鏡主鏡系統(tǒng)最關(guān)鍵的技術(shù)指標(biāo)之一。為了使望遠(yuǎn)鏡能夠穩(wěn)定觀測，要求望遠(yuǎn)鏡有足夠高的基本固有頻率。而為了防止與望遠(yuǎn)鏡的振動耦合，要求主鏡系統(tǒng)的固有頻率應(yīng)高于望遠(yuǎn)鏡的基本固有頻率，一般要求至少為該值的兩倍。如果固有頻率低于指標(biāo)要求，則振動耦合將導(dǎo)致成像質(zhì)量降低［20］。主鏡系統(tǒng)只有具備足夠高的一階固有頻率，才能避免異常振動，保證望遠(yuǎn)鏡觀測穩(wěn)定。因此，提高主鏡系統(tǒng)的固有頻率對望遠(yuǎn)鏡的性能有重要意義。4 m望遠(yuǎn)鏡要求主鏡六桿硬點(diǎn)定位系統(tǒng)的固有頻率高于15 Hz。

此外，由于主鏡的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量已經(jīng)確定，且硬點(diǎn)的軸向剛度不可能無限提高，因此主鏡系統(tǒng)的固有頻率實際上很大程度上就取決于六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)。雖然六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)精度在一定程度上也受到構(gòu)型參數(shù)的影響，但是相比構(gòu)型參數(shù)對固有頻率的影響，構(gòu)型參數(shù)對運(yùn)動學(xué)精度的影響很小。此外，由于硬點(diǎn)中位移促動器的行程較小，因此將靈巧度等指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)的意義也不大。綜上，本文最終選擇將最大化固有頻率作為優(yōu)化目標(biāo)。

4.2 優(yōu)化變量及其取值范圍

六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)屬于并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其上支撐點(diǎn)Ai和下支撐點(diǎn)Bi的位置分別呈中心對稱分布。用硬點(diǎn)的初始長度l0和支撐點(diǎn)的位置確定機(jī)構(gòu)的構(gòu)型，支撐點(diǎn)的位置需要4 個參數(shù)，如圖6 所示，分別是上支撐點(diǎn)所在的圓的半徑R1、相鄰的上支撐點(diǎn)之間的夾角θ1、下支撐點(diǎn)所在圓的半徑R2、相鄰的下支撐點(diǎn)之間的夾角θ2。通過上述5 個參數(shù)可以完全確定六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的空間構(gòu)型。2.2 節(jié)中提到將ai，bi以及硬點(diǎn)的長度統(tǒng)稱為構(gòu)型參數(shù)，由于ai和bi可以通過R1，θ1，R2，θ2求解，因此兩種表示方法的意義是相同的。硬點(diǎn)初始長度的設(shè)計值為800 mm，無需優(yōu)化，因此構(gòu)型參數(shù)優(yōu)化的優(yōu)化變量為R1，θ1，R2，θ2。

優(yōu)化變量的取值范圍是根據(jù)結(jié)構(gòu)的容許量確定的，首先注意R1和θ1，上支撐點(diǎn)Ai分布在主鏡背板，4 m 碳化硅主鏡屬于背部半封閉式輕量化鏡，背部有徑向筋板和環(huán)向筋板，主鏡背部的結(jié)構(gòu)如圖7 所示，為了保證主鏡內(nèi)部應(yīng)力的合理分布，也考慮到結(jié)構(gòu)的合理性，因此上支撐點(diǎn)Ai只能布置在徑向筋板和環(huán)向筋板的交點(diǎn)，因此R1和θ1的取值范圍如表2 所示。R2和θ2的取值范圍主要考慮鏡室的尺寸，初步設(shè)定R2的取值范圍為350～2 000 mm，θ2的取值范圍是0°～120°。此外，為了避免相鄰硬點(diǎn)在空間尺寸上發(fā)生干涉，要求相鄰的支撐點(diǎn)不能過于接近，因此將θ2的取值范圍修正為10°～110°，同理，θ1的取值范圍中的“0°”和“120°”應(yīng)予剔除。

圖6 六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)示意圖Fig.6 Configuration parameters of six-hardpoint positioning mechanism

圖7 4 m 碳化硅主鏡的背部結(jié)構(gòu)Fig.7 Backing plate of the 4 m SiC primary mirror

此外，上支撐點(diǎn)Ai和下支撐點(diǎn)Bi之間的距離在水平方向上的投影不能超過硬點(diǎn)的初始長度l0，因此優(yōu)化變量還必須滿足如式（28）所示的關(guān)系：

表2 上支撐點(diǎn)分布圓半徑R1和上支撐點(diǎn)之間的夾角θ1的取值范圍Tab.2 Value ranges of the radius R1 of the upper support point distribution circle and the angle θ1 between the upper support points

4.3 構(gòu)型參數(shù)優(yōu)化的方法

綜上所述，本文的構(gòu)型參數(shù)優(yōu)化問題可表示為：

本文采用遺傳算法進(jìn)行構(gòu)型參數(shù)優(yōu)化，該算法提出于上世紀(jì)70 年代，是通過模擬生物自然進(jìn)化過程搜索最優(yōu)解的優(yōu)化算法，其主要特點(diǎn)是有較好的全局搜索能力、可以自適應(yīng)地調(diào)整搜索方向［21-22］。設(shè)定優(yōu)化目標(biāo)為最大化主鏡系統(tǒng)的一階固有頻率，設(shè)定優(yōu)化變量R1，θ1，R2，θ2及其取值范圍。在優(yōu)化中將硬點(diǎn)的軸向剛度按照第3 節(jié)有限元分析的結(jié)果設(shè)定為33.044 N/μm。此外，4 m碳化硅主鏡的質(zhì)量為1 684.4 kg，碳化硅材料的主要力學(xué)參數(shù)包括：密度3 050 kg/m3，楊氏模量3.92×1011Pa，泊松比0.25，將以上參數(shù)也帶入優(yōu)化算法。

5 結(jié)果與討論

5.1 構(gòu)型參數(shù)優(yōu)化的結(jié)果

構(gòu)型參數(shù)優(yōu)化結(jié)果如表3 所示。通過遺傳算法優(yōu)化后，構(gòu)型參數(shù)R1，θ1，R2，θ2的值分別為1 484 mm，30°，1 670 mm 和76°，4 m 碳化硅主鏡系統(tǒng)在該構(gòu)型參數(shù)下的一階固有頻率為30.83 Hz，能夠滿足4 m 望遠(yuǎn)鏡對主鏡系統(tǒng)的固有頻率大于15 Hz 的要求。在遺傳算法中設(shè)定的初始種群的個體數(shù)量為80，每次迭代樣本數(shù)40，最大迭代次數(shù)14 次，最終產(chǎn)生了395 組數(shù)據(jù)。

表3 中同時列出了主鏡系統(tǒng)在初始構(gòu)型參數(shù)下的一階固有頻率，初始構(gòu)型參數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗初步分析選定的一組較優(yōu)的參數(shù)，初始構(gòu)型參數(shù)下主鏡系統(tǒng)的一階固有頻率是14.69 Hz。將其與遺傳算法得到的結(jié)果進(jìn)行對比可知，在遺傳算法得到的構(gòu)型參數(shù)下，主鏡系統(tǒng)的一階固有頻率相對初始參數(shù)提高了109.9%。將遺傳算法得到的構(gòu)型參數(shù)作為優(yōu)化的最終結(jié)果，即R1，θ1，R2，θ2的最優(yōu)值分別為1 484 mm，30°，1 670 mm 和76°。

表3 六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results of configuration parameters of six-hardpoint positioning mechanism

5.2 最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)下的4 m 碳化硅主鏡系統(tǒng)的固有頻率計算和模態(tài)分析

分別用固有頻率方程和有限元分析的方法計算4 m 碳化硅主鏡系統(tǒng)的固有頻率，對兩種方法得到的結(jié)果進(jìn)行對比和分析。

首先使用固有頻率方程（22）計算主鏡系統(tǒng)的固有頻率，所有物理量均使用國際單位。根據(jù)最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)和2.2 節(jié)的內(nèi)容計算R，A和Ln，進(jìn)而得到Jlq。然后基于硬點(diǎn)的軸向剛度值33.044 N/μm 得到矩陣K=diag（3.304 4×107，…，3.304 4×107）。4 m 碳化硅主鏡的質(zhì)量是1 684.4 kg，主鏡的慣量矩陣Iq為：

進(jìn)而得到主鏡的質(zhì)量慣量矩陣M=diag（1 684.4，1 684.4，1 684.4，1 659.4，1 659.4，3 283.2）。將上述物理量帶入固有頻率方程（22）并求解，使用式（23）進(jìn)行單位換算，得到主鏡系統(tǒng)的前6 階固有頻率的計算結(jié)果如表4 所示。由于方程（22）沒有考慮主鏡的變形，因此更高階的固有頻率無法用方程（22）求解。

然后，基于最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)建立主鏡和六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的模型，將硬點(diǎn)簡化為桿件并設(shè)定軸向剛度為33.044 N/μm，導(dǎo)入有限元軟件進(jìn)行模態(tài)分析，得到主鏡系統(tǒng)的前10 階固有頻率，如表4 所示。此外，還得到了系統(tǒng)的前10 階模態(tài)振型，如圖8 所示，圖8（a）～圖8（j）分別為主鏡系統(tǒng)在最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)下的1～10 階振型，其中1～6 階表現(xiàn)為主鏡的剛體位移：1，2 階為主鏡的橫向平移；3 階為主鏡沿光軸方向的平移；4，5 階為主鏡橫向翻轉(zhuǎn)；6 階為主鏡繞光軸方向的旋轉(zhuǎn)，6 階以上的振型則表現(xiàn)為主鏡本身的變形。有限元分析的結(jié)果基本驗證了前文的觀點(diǎn)，即主鏡系統(tǒng)的前6 階振型體現(xiàn)為主鏡的剛體位移，而更高階振型體現(xiàn)為主鏡的變形。

表4 主鏡系統(tǒng)在最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)下的固有頻率Tab.4 Natural frequency of the primary mirror system under optimal configuration parameters （Hz）

圖8 4 m 碳化硅主鏡的六桿硬點(diǎn)定位系統(tǒng)在最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)下的1～10 階模態(tài)振型Fig.8 First to tenth order modes of the six-hardpoint positioning system of 4 m SiC primary mirror under the optimal configuration parameters

結(jié)果表明，使用有限元計算的固有頻率和通過固有頻率方程計算的固有頻率非常接近，說明本文推導(dǎo)的固有頻率方程是正確的。然而表4 的結(jié)果說明，通過固有頻率方程計算的結(jié)果與有限元分析的結(jié)果存在一定的誤差，一方面是因為有限元分析本身存在一定的誤差，另一方面是因為本文的固有頻率方程沒有考慮主鏡的變形和硬點(diǎn)的質(zhì)量，兩個因素的共同作用導(dǎo)致了計算結(jié)果的誤差，整體上看，誤差的大小在可接受的范圍內(nèi)。

5.3 最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)下主鏡的強(qiáng)度校核

為了檢驗六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)按最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)排布時的主鏡安全性，通過有限元分析計算了極限工況下的主鏡內(nèi)部應(yīng)力，判斷主鏡是否安全?？紤]到發(fā)生斷電、地震等意外情況時主鏡可能會因為受力過大而導(dǎo)致的損壞，六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)中設(shè)置有安全裝置，即在每個硬點(diǎn)中的分離裝置，一旦其受力達(dá)到閾值，則可以快速降低剛度并提供一定的伸長或縮短，使得主鏡落于安全防護(hù)組件上，從而保護(hù)了主鏡。當(dāng)硬點(diǎn)機(jī)構(gòu)受力閾值設(shè)置為1 000 N 時，即每個硬點(diǎn)上施加1 000 N 的軸向力，有限元分析的結(jié)果如圖9 所示，主鏡中第一主應(yīng)力的最大值出現(xiàn)在硬點(diǎn)與主鏡的接觸點(diǎn)處，第一主應(yīng)力的最大值為0.87 MPa，該值遠(yuǎn)小于碳化硅材料100 MPa 的抗彎強(qiáng)度［23］。有限元分析的結(jié)果說明，六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)按照本文的最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)排布時，主鏡在極限工況下可以保證安全。

6 結(jié)論

圖9 主鏡在極限工況下的最大主應(yīng)力云圖Fig.9 Maximum principal stress diagram of the primary mirror under extreme working condition

為了提高4 m 口徑碳化硅主鏡的六桿硬點(diǎn)定位系統(tǒng)的一階固有頻率，對六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，獲得了最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)。首先推導(dǎo)了主鏡系統(tǒng)的固有頻率方程，建立了六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)與主鏡系統(tǒng)的固有頻率之間的函數(shù)關(guān)系。接著通過有限元分析獲得了4m 碳化硅主鏡的硬點(diǎn)的軸向剛度。然后基于固有頻率方程，使用遺傳算法對六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。此外，還對最優(yōu)構(gòu)型下的4m 碳化硅主鏡系統(tǒng)進(jìn)行了模態(tài)分析。優(yōu)化結(jié)果表明，構(gòu)型參數(shù)R1，θ1，R2，θ2的最優(yōu)值分別為436 mm，30°，600 mm 和109°，在最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)下，主鏡系統(tǒng)的固有頻率達(dá)到30.83 Hz，相對初始值有較大提高，能夠滿足4 m 望遠(yuǎn)鏡對主鏡系統(tǒng)的固有頻率大于15 Hz 的要求。本文的研究為4 m 碳化硅主鏡的六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)提供了最優(yōu)構(gòu)型參數(shù)，使主鏡系統(tǒng)能夠滿足固有頻率指標(biāo)的要求，對保證望遠(yuǎn)鏡的穩(wěn)定觀測有重要意義。此外，本文的構(gòu)型參數(shù)優(yōu)化方法可以應(yīng)用于與各種口徑的主鏡配套的六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)，為六桿硬點(diǎn)定位機(jī)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化提供了可行的方法。