在小學(xué)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中滲透模型思想

陜西師范大學(xué)附屬小學(xué) 何軍華

一、模型思想的概述和應(yīng)用價(jià)值

小學(xué)數(shù)學(xué)的模型思想主要是對(duì)某種抽象的事物進(jìn)行一定的抽象或者效仿，讓學(xué)生對(duì)某些抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)建立起數(shù)學(xué)模型，可依托實(shí)物，也可以概括形式的表達(dá)，包括學(xué)生生活中的飛機(jī)模型、汽車模型等。而這些數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，可以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的概念、符號(hào)、圖形、數(shù)量關(guān)系有個(gè)清晰明確的認(rèn)知，通過(guò)創(chuàng)建情境可以讓學(xué)生更深入地接觸一些有關(guān)數(shù)量的關(guān)系。特別是狹義的數(shù)學(xué)模型可以解決生活中的一些實(shí)際問(wèn)題，對(duì)一些特定的問(wèn)題有著重要的研究意義，包括數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的植樹(shù)問(wèn)題、確定起跑線問(wèn)題、尋找次產(chǎn)品問(wèn)題等。

而在小學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)中，教師加強(qiáng)數(shù)學(xué)模型思想的滲透，有利于提升學(xué)生處理問(wèn)題的技能，幫助學(xué)生提高自我解題的正確率。首先，數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)自生活，也要回歸生活，教師可以考慮通過(guò)建設(shè)生活中的一些模型，讓學(xué)生根據(jù)自我的現(xiàn)實(shí)情況來(lái)判斷數(shù)學(xué)結(jié)果是否正確，建立一個(gè)問(wèn)題處理的形象，從而提升學(xué)生的問(wèn)題處理水平。其次，數(shù)學(xué)模型思想有利于提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程就是讓學(xué)生在生活中尋找問(wèn)題，然后用數(shù)學(xué)的方式表達(dá)出來(lái)，并且進(jìn)行驗(yàn)證和求解，這一過(guò)程不僅培養(yǎng)了學(xué)生建立模型的技能，也讓學(xué)生了解了這個(gè)過(guò)程的實(shí)踐意義和價(jià)值。學(xué)生能將學(xué)習(xí)的知識(shí)應(yīng)用于生活中，間接幫助學(xué)生提升了數(shù)學(xué)的解題技能，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有一個(gè)更深入的理解。最后，數(shù)學(xué)模型思想的融入也能讓學(xué)生對(duì)知識(shí)運(yùn)用思想有個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)和了解，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師有意識(shí)地滲透模型思想教育，能發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的一些思維問(wèn)題，進(jìn)行思想建模方面的引導(dǎo)，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有更多元化的解題方式和方法，能形成自我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。

比如，小學(xué)中常見(jiàn)的一些數(shù)學(xué)解題模型。

植樹(shù)問(wèn)題模型：

植樹(shù)問(wèn)題就是反映總路線長(zhǎng)、間距長(zhǎng)與棵數(shù)這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的問(wèn)題。這三個(gè)數(shù)量關(guān)系之間一般有下列關(guān)系。

點(diǎn)與間隔一一對(duì)應(yīng)，一端栽，長(zhǎng)度÷間隔＝棵數(shù)。

兩端都栽，長(zhǎng)度÷間隔＋1＝棵數(shù)；兩端都不栽，長(zhǎng)度÷間隔－1＝棵數(shù)。

關(guān)系模型：

關(guān)系模型就是表示某些數(shù)量關(guān)系的模型。在小學(xué)階段的主要數(shù)量關(guān)系有：每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù)，速度×?xí)r間＝路程，單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)，總數(shù)÷總份數(shù)＝平均數(shù)，正比例關(guān)系、反比例關(guān)系等。

概率模型：

統(tǒng)計(jì)與概率在小學(xué)階段涉及的內(nèi)容比較少，但也蘊(yùn)含了一些模型思想。在概率教學(xué)中涉及了有關(guān)（0－1）分布的模型思想（拋硬幣）。在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中主要是借助圖來(lái)整理、認(rèn)識(shí)現(xiàn)象。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用現(xiàn)狀

（一）教學(xué)目標(biāo)定位不準(zhǔn)確

由于傳統(tǒng)的教學(xué)方法，有些小學(xué)教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，只注重對(duì)學(xué)生的基本技能和基礎(chǔ)知識(shí)的培養(yǎng)，而忽視了新課標(biāo)中的模式思維。數(shù)學(xué)是一門(mén)需要邏輯思考的課程，學(xué)生如果總是被動(dòng)地接受，特別是那些喜歡玩的孩子，時(shí)間一長(zhǎng)，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性就會(huì)下降，學(xué)習(xí)的效果也會(huì)大打折扣。

（二）關(guān)注的焦點(diǎn)存在偏差

數(shù)學(xué)建模是一種新的教學(xué)手段，目前還處于摸索階段，雖然有不少數(shù)學(xué)教師在實(shí)踐中應(yīng)用，但還是有一些數(shù)學(xué)教師不能熟練地運(yùn)用它，只注重形式，而忽略了它的本質(zhì)。建立的模型是要把數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)相結(jié)合，但它只是一個(gè)連接的層次，更多地強(qiáng)調(diào)了算法的多樣性，而忽略了分析與優(yōu)化的過(guò)程，使學(xué)生無(wú)法通過(guò)這種模式來(lái)形成和提升自己的思考能力，這與建模的初衷背道而馳。

（三）評(píng)估方法改進(jìn)不足

從當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育狀況來(lái)看，大多數(shù)數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)都是一成不變的，教師只是根據(jù)學(xué)生的考試成績(jī)和日常訓(xùn)練的分?jǐn)?shù)來(lái)評(píng)判他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。這種單一的評(píng)估方法，會(huì)極大地影響學(xué)生的建模思維，難以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

三、在小學(xué)數(shù)學(xué)解題過(guò)程中滲透模型思想的方法

（一）以學(xué)生生活為中心，注重情境創(chuàng)設(shè)

在課堂上，教師為學(xué)生提供了與教材有關(guān)的情境，然后，學(xué)生就可以利用自己掌握的知識(shí)，將問(wèn)題給解決了。教師所創(chuàng)造的情境對(duì)學(xué)生的接受能力有很大影響，良好的情境可以幫助他們更快、更全面地了解知識(shí)點(diǎn)，而不好的情境不但會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生厭惡感，而且會(huì)對(duì)教師的教學(xué)造成不利影響。所以，教師要發(fā)揮自己的能力，創(chuàng)造出適合學(xué)生的情境，讓學(xué)生能更好地了解和理解，并構(gòu)建出一個(gè)模型。在建模過(guò)程中，最關(guān)鍵的是要對(duì)所觀察的物體進(jìn)行感知，利用一種具有相同特性的物體，挖掘出這種物體的特性和相互關(guān)系，從而指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中積累表象體驗(yàn)，形成正確的模型。

例如，在教授植樹(shù)問(wèn)題的時(shí)候，可以用五根手指的空隙，來(lái)表示樹(shù)與樹(shù)之間的間隔；對(duì)樹(shù)的數(shù)目和間隔數(shù)，要找到這兩者的相似性，即樹(shù)的數(shù)目－1＝間隔數(shù)（兩邊都種），這是一個(gè)抽象的過(guò)程，在這種情況下，學(xué)生可以利用這個(gè)模型來(lái)解決更復(fù)雜的問(wèn)題。

例如，在教學(xué)中，教師要滲透關(guān)于幾何的模型意識(shí)，不僅要讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)的效果，還要學(xué)習(xí)各種模型之間的關(guān)系、圖形的獲取及抽象的過(guò)程。從幾何學(xué)角度來(lái)看，最基本的幾何模型就是由直線、三角形、圓形等幾何元素組成的，如果缺少了與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，那么基礎(chǔ)幾何就會(huì)變成一種抽象的概念，而不會(huì)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系在一起。在應(yīng)用幾何圖形的教學(xué)中，要盡可能地使用直觀、形象的教具，幫助低年級(jí)的學(xué)生迅速接受抽象的數(shù)學(xué)觀念。

（二）以參與為中心，進(jìn)行模型建立假定

在模型思想教學(xué)中，教師需要明確教學(xué)任務(wù)和教學(xué)要點(diǎn)，以學(xué)生為中心，圍繞學(xué)生開(kāi)展模型思想滲透的教學(xué)工作。在明確了變量的關(guān)系和各個(gè)要素的相互關(guān)系后，才能更好地把握問(wèn)題的本質(zhì)。教師可以根據(jù)自己所學(xué)的知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化，給出一些假設(shè)。假定與簡(jiǎn)化要恰當(dāng)，不同的程度會(huì)導(dǎo)致多個(gè)模型的出現(xiàn)，答案也會(huì)有差別。當(dāng)假定與現(xiàn)實(shí)不符時(shí)，需要對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步的完善和反思。

數(shù)學(xué)模型思維的運(yùn)用是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，必須始終貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)中。因此，在引導(dǎo)小學(xué)生學(xué)習(xí)新的知識(shí)點(diǎn)、建立新模型的同時(shí)，還需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)之前建立的模型進(jìn)行回顧，增強(qiáng)學(xué)生的建模意識(shí)，提升學(xué)生的建模能力，增強(qiáng)學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生對(duì)教材中的內(nèi)容有更好的理解。數(shù)學(xué)是一門(mén)枯燥乏味的科目，建立數(shù)學(xué)模型則會(huì)增強(qiáng)小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。數(shù)學(xué)教師要充分利用這個(gè)優(yōu)勢(shì)，把模型思維運(yùn)用到實(shí)際中去。在反復(fù)練習(xí)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)會(huì)越來(lái)越好，在遇到問(wèn)題的時(shí)候，也可以用模型來(lái)輔助。

例如，當(dāng)學(xué)生初次接觸到不同分母的加法時(shí)，一般都會(huì)根據(jù)所學(xué)的加法定律，給出以下假設(shè)：把分子和分母分開(kāi)。在教師引導(dǎo)下，學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐，就會(huì)發(fā)現(xiàn)以上的假設(shè)是錯(cuò)的，正確的方法是使用最小的公倍數(shù)來(lái)進(jìn)行運(yùn)算。

例如，在進(jìn)行典型的雞兔同籠式教學(xué)時(shí)，可以先設(shè)定全部雞（或兔子），然后根據(jù)多余的腿數(shù)量進(jìn)行分配。

在教授矩形的面積公式時(shí)，用方格紙來(lái)表示。假定長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度和寬度與其面積之間的關(guān)系為：長(zhǎng)×寬＝面積。假定的程序主要是基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和常識(shí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)的圖形和幾何中，關(guān)于不同圖形的性質(zhì)、面積、體積的計(jì)算公式的推導(dǎo)，都可以通過(guò)猜測(cè)—證實(shí)的方法來(lái)讓學(xué)生自己去探索。

（三）建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行引導(dǎo)和求解

從廣義和狹義的數(shù)學(xué)模型來(lái)看，數(shù)學(xué)模型可以是生活中的問(wèn)題，也可以是教科書(shū)中的基本概念、基本知識(shí)。小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容相對(duì)來(lái)說(shuō)較為簡(jiǎn)單，與現(xiàn)實(shí)生活緊密相關(guān)，數(shù)學(xué)中的概念、公式等都有相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。建立好了模型，接下來(lái)就是做題了。

例如，能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986這些數(shù)字排成一行，使得兩個(gè)1之間夾著1個(gè)數(shù)，兩個(gè)2之間夾著2個(gè)數(shù)……兩個(gè)1986之間夾著1986個(gè)數(shù)。

這道題用的是整數(shù)的奇偶性模型。教師可以讓學(xué)生自己動(dòng)手做一做。

（1）排一排1，2，3這三個(gè)數(shù)：3，1，2，1，3，2

（2）排一排1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字：2，3，4，2，1，3，1，4

（3）排一排1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字：……

通過(guò)教師的恰當(dāng)引導(dǎo)和學(xué)生的實(shí)踐、體驗(yàn)，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，創(chuàng)立奇偶數(shù)模型，然后進(jìn)行題目的求解。而這種模型建立求解問(wèn)題的方式，也能吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生保持濃厚的興趣。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，模型滲透的終極目標(biāo)是讓學(xué)生利用所建立的模型來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，使他們充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)用價(jià)值。

例如，植樹(shù)問(wèn)題：在一條長(zhǎng)達(dá)100米的道路上種植樹(shù)木，每5米一棵，兩邊各插一棵，總共要種幾株？在建立模型部分，教師指導(dǎo)學(xué)生把100米的問(wèn)題，變成10米、15米、20米……并觀察線段圖形，根據(jù)自己的直覺(jué)，找出其中的規(guī)律，由此得到“棵數(shù)＝間隔數(shù)＋1”的數(shù)學(xué)模型。為使學(xué)生更好地了解這個(gè)數(shù)學(xué)模型，教師還可以設(shè)計(jì)“遷移應(yīng)用”的教學(xué)環(huán)節(jié)，以幫助學(xué)生鞏固和內(nèi)化這些知識(shí)。

（四）以解題過(guò)程為導(dǎo)向，對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)

在建立了模型之后，教師必須把問(wèn)題的答案和實(shí)際情況進(jìn)行比較，從而證明該模型的正確性。在對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證后，可以得出兩個(gè)結(jié)論：一是該問(wèn)題的求解結(jié)果與實(shí)際問(wèn)題一致。此時(shí)，證明所建立的模型是正確的，并且將來(lái)可以用這種模型解決相似的問(wèn)題。二是該模型的結(jié)論與現(xiàn)實(shí)不符。也就是說(shuō)，如果計(jì)算結(jié)果與實(shí)際情況不符，那就必須重新建立一個(gè)新的模型。這是一個(gè)模型的構(gòu)建，是一個(gè)驗(yàn)證的過(guò)程。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，應(yīng)用問(wèn)題的解法是一個(gè)模型化的過(guò)程，方程式是一種很有意義的數(shù)學(xué)模式。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)解法和方程式法是兩種常用的解法。相對(duì)算術(shù)，方程可以使我們更容易地了解問(wèn)題、分析數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型。因此，在求解較為復(fù)雜的量關(guān)系問(wèn)題時(shí)，方程式法具有一些數(shù)學(xué)解法無(wú)法比擬的優(yōu)點(diǎn)。

例如，兩箱蘋(píng)果的個(gè)數(shù)相同，甲箱賣(mài)出80個(gè)，乙箱賣(mài)出124個(gè)，甲箱剩余的蘋(píng)果個(gè)數(shù)是乙箱的3倍，每箱蘋(píng)果原有多少個(gè)？在解決這一道問(wèn)題時(shí)，將每箱蘋(píng)果設(shè)為x個(gè)，根據(jù)甲箱賣(mài)出80個(gè)后剩下的蘋(píng)果個(gè)數(shù)是乙箱賣(mài)出124個(gè)后剩下蘋(píng)果的3倍，這個(gè)等量關(guān)系很容易就可以列出方程來(lái)解決問(wèn)題。和數(shù)學(xué)解法相比，方程式法更好理解。

當(dāng)學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)習(xí)植樹(shù)問(wèn)題時(shí)，他們常常會(huì)考慮一個(gè)模型：長(zhǎng)度÷間隔＝棵數(shù)。但當(dāng)學(xué)生將解的結(jié)果返回到問(wèn)題中時(shí)，就會(huì)知道這樣的解不符合現(xiàn)實(shí)情況。這時(shí)就要再次經(jīng)歷建立模型過(guò)程，結(jié)合具體情境分析，再使用線段等工具進(jìn)行直觀教學(xué)，找到的正確數(shù)學(xué)模型是：一端栽，長(zhǎng)度÷間隔＝棵數(shù)；兩端都栽，長(zhǎng)度÷間隔＋1＝棵數(shù)。

再比如以下數(shù)學(xué)問(wèn)題：

（1）一個(gè)星期有7天，10月份共有31天。10月份有幾個(gè)星期零幾天？

對(duì)這樣的問(wèn)題，可以帶領(lǐng)學(xué)生依題意一個(gè)一個(gè)星期地?cái)?shù)一數(shù)，并逐一寫(xiě)出來(lái)：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，算式：31÷7＝4（個(gè)）……3（天），十月有4個(gè)星期零3天。

（2）已知2007年5月9日是星期三，問(wèn)6月9日是星期幾？

第一步，先算出從5月9日到6月9日共有32天；

第二步，每7天為一周，32天共有幾節(jié)余幾天；

算式：32÷7＝4（周）……4（天），可知最后一天（6月9日）與第一周中的第4天相同，是星期六。

四、結(jié)語(yǔ)

新課標(biāo)中新教材所涵蓋的一個(gè)重要概念就是模型思維。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生更傾向于接受與現(xiàn)實(shí)生活非常接近的、與自己認(rèn)知的事物或現(xiàn)象類似的數(shù)學(xué)。因此，在教學(xué)中要注意把模型思維滲透到課堂中去。模型思維的精髓，就是要讓學(xué)生將現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)結(jié)合起來(lái)，用數(shù)字來(lái)表達(dá)和解決問(wèn)題。也就是說(shuō)，要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)和外界的關(guān)系不是孤立的，而是密切地聯(lián)系在一起的。教師要做到這一點(diǎn)，就必須把模型思維滲透進(jìn)教學(xué)中，讓學(xué)生從小接觸這樣的數(shù)學(xué)思維和思想，幫助學(xué)生提升解題正確率。