積分教學(xué)中的反例及其應(yīng)用

重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 柳彥軍

反例在實(shí)分析教學(xué)中非常重要，教學(xué)中熟練運(yùn)用逆向思維，從不同的角度可以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念、定理等，由“特殊”可發(fā)現(xiàn)“一般”，又可由“特殊”否定“一般”，因此，構(gòu)造反例遵循的原理是由“特殊”否定“一般”。實(shí)分析教學(xué)中通過(guò)構(gòu)造反例，能使學(xué)生更加直觀地理解測(cè)度、幾乎處處收斂、依測(cè)度收斂等概念，更加深刻地描述所有定義及其性質(zhì)，并突出定義成立的條件，同時(shí)，構(gòu)造反例，可以深刻理解Lebesgue積分與Riemann積分的關(guān)系。在實(shí)分析中，Riemann積分是有局限性的，1902年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Lebesgue在他的博士論文《積分、長(zhǎng)度與面積》中，最早把測(cè)度論引入積分當(dāng)中，使得可積函數(shù)更加廣泛，建立了Lebesgue積分論。為了更清楚地區(qū)分Lebesgue積分與Riemann積分，突出Lebesgue積分的性質(zhì)，在實(shí)分析教學(xué)中，反例的構(gòu)造可以區(qū)分清楚細(xì)微的概念與定理內(nèi)容。

一、利用定義構(gòu)造反例

實(shí)分析教學(xué)中可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系可以利用定義構(gòu)造反例說(shuō)明。

定義設(shè)f（x）是定義在可測(cè)函數(shù)集Rn，E?Rn的實(shí)函數(shù)。若對(duì)任何有限實(shí)數(shù)a，E［f＞a］都是可測(cè)集，則稱f（x）為定義在E上的可測(cè)函數(shù)。

可測(cè)集E?Rn，定義在E上的連續(xù)函數(shù)是可測(cè)函數(shù)，但是逆命題并不成立，可以利用特例構(gòu)造法，即考慮特例狄利克雷函數(shù)：

則對(duì)任意的有限實(shí)數(shù)a，有三種情形：

當(dāng)a≥1時(shí)，E［D（x）＞a］＝0；

當(dāng)0≤a＜1時(shí)，E［D（x）＞a］＝Q；

當(dāng)a＜0時(shí)，E［D（x）＞a］＝R。

因此，按照定義D（x）是可測(cè)函數(shù)，但顯然狄利克雷函數(shù)是不連續(xù)函數(shù)，于是該反例表明可測(cè)函數(shù)不一定是連續(xù)函數(shù)，進(jìn)一步，兩者的關(guān)系可由魯津定理說(shuō)明。

二、利用性質(zhì)構(gòu)造反例

由反例本身的性質(zhì)特征，根據(jù)一定的數(shù)學(xué)知識(shí)技能進(jìn)行反例構(gòu)造。

比如，絕對(duì)值可測(cè)與函數(shù)本身可測(cè)的關(guān)系。若函數(shù)f（x）可測(cè)，則函數(shù)｜f（x）｜亦可測(cè)；反之則不能成立。例如，設(shè)E為區(qū)間［0，1］的可測(cè)集有函數(shù)：

如定義所示｜f（x）｜＝x，而｜f（x）｜在區(qū)間［0，1］上是連續(xù)函數(shù)，所以｜f（x）｜在區(qū)間［0，1］上為可測(cè)函數(shù)，但f（x）在區(qū)間［0，1］不是可測(cè)函數(shù)。原因是當(dāng)x∈［0，1］-E時(shí)，定義域?yàn)椴豢蓴?shù)集，所以f（x）為不可測(cè)函數(shù)。

再如，可測(cè)函數(shù)的運(yùn)算表明函數(shù)f（x），g（x）在E上為可測(cè)函數(shù)，則f（x）+g（x），f（x）*g（x）亦可測(cè)，逆命題則不成立。

例如，在Rn中取不可測(cè)集E有函數(shù)：

于是有f（x）+g（x）＝0，f（x）*g（x）＝0，則f（x）+g（x），f（x）*g（x）為可測(cè)函數(shù)，但f（x），g（x）均不可測(cè)。

三、通過(guò)反例理解重要定理

一致收斂定義在連續(xù)函數(shù)內(nèi)，幾乎處處收斂運(yùn)用于可測(cè)函數(shù)內(nèi)，這兩種定義之間的關(guān)系可以用葉果洛夫定理來(lái)闡述。

定理內(nèi)容：設(shè)mE＜∞，｛fn（x）｝是E上一列幾乎處處收斂于一個(gè)幾乎處處有限的函數(shù)f（x）的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意δ＞0，存在子集Eδ?E，使得｛fn（x）｝在Eδ上一致收斂于f（x），且m（E-Eδ）＜δ。

根據(jù)葉果洛夫定理，當(dāng)mE＜∞時(shí)，除去一個(gè)測(cè)度任意小的點(diǎn)集，幾乎處處收斂的可測(cè)函數(shù)為一致收斂。但是，葉果洛夫定理中的條件“mE＜∞”是不可或缺的，當(dāng)mE＝∞時(shí)，葉果洛夫定理不成立。

例如，設(shè)E＝［0，+∞），構(gòu)造函數(shù)如下：

則{fn（x）}在E上可測(cè)，且處處收斂于f（x）＝0。

例如，取E＝[0，1] ，有函數(shù)列：

則該分段函數(shù)為閉區(qū)間 [0，1] 上的連續(xù)函數(shù)，所以也是區(qū)間 [0，1] 上的可測(cè)函數(shù)，對(duì)于所有的x∈E，，因此滿足葉果洛夫定理的各個(gè)條件，但沒(méi)有測(cè)度為零的集合e?E，使得{fn（x）}在集合E上一致收斂于零。

除了幾乎處處收斂，實(shí)變函數(shù)中還有一種收斂的定義：依測(cè)度收斂。

定義：設(shè)函數(shù){fn（x）}是定義于集合E的一列幾乎處處收斂有限的可測(cè)函數(shù)，若有集合E上幾乎處處收斂的可測(cè)函數(shù)滿足f（x）對(duì)任意的ε＞0，存在正數(shù)N（ε，σ），使得n≥N（ε，σ）時(shí)，ε。那么由幾乎處處收斂是否能得到依測(cè)度收斂？并不能直接得到。

設(shè)E＝[0，+∞) ，令則對(duì)所有x∈ [0，+∞) ，有，但對(duì)于0＜ε＜1，有，所以mE［｜fk-1｜≥ε］＝+∞，因此{(lán)fn（x）}不能依測(cè)度收斂于1。

四、反例在Lebesgue可積概念中的應(yīng)用

若函數(shù)在區(qū)間[a，b] 上R可積，則f（x）在[a，b] 上Lebesgue可積，但是反之不成立。

例如，在區(qū)間[0，1] 有函數(shù)：

則根據(jù)定義，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1] 上Lebesgue可積，但是由于在區(qū)間 [0，1] 上處處不連續(xù)，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上Riemann不可積。

通過(guò)證明，我們知道了Lebesgue積分是Riemann積分的推廣，對(duì)于非負(fù)函數(shù)來(lái)說(shuō)Lebesgue積分亦是Riemann反常積分的推廣，但Lebesgue積分在一般情況下未必是Riemann積分的推廣。

例如，令函數(shù)：

則函數(shù)f（x）在x∈ [0，+∞) 上R反常積分收斂且，但是

五、結(jié)語(yǔ)

相比Riemann積分，Lebesgue積分有著更多優(yōu)勢(shì)。其一，Lebesgue積分不需要分別處理有界函數(shù)與無(wú)界函數(shù)，而在Riemann積分中，只能通過(guò)定義廣義積分來(lái)解決無(wú)界函數(shù)的積分問(wèn)題；其二，Lebesgue積分大大擴(kuò)充了可積的范圍，如點(diǎn)集、某些不可列實(shí)數(shù)集、無(wú)理數(shù)集等，類比有理數(shù)向?qū)崝?shù)的擴(kuò)充，并不是所有集合都是可測(cè)集合，但相對(duì)Riemann積分意義下的集合，已經(jīng)有了較大的進(jìn)步；其三，Lebesgue積分提出了不同于Riemann函數(shù)的收斂定理——葉果洛夫定理，提出幾乎處處收斂的概念，該定理應(yīng)用的范圍不但更加廣泛，而且相對(duì)于Lebesgue積分更加實(shí)用。綜上三步，Lebesgue積分解決了Riemann積分的不足，并進(jìn)行了一定的擴(kuò)充，為后來(lái)的多種相關(guān)分支學(xué)科打下了堅(jiān)定的基礎(chǔ)。

實(shí)分析教學(xué)中的數(shù)學(xué)理論知識(shí)與許多后續(xù)課程學(xué)習(xí)密切相關(guān)，所以教學(xué)中的細(xì)微概念必須嚴(yán)格區(qū)分。在此過(guò)程中，反例對(duì)定義、概念的理解尤為重要。